NUCLEO TEMÁTICO II.

2 Productos notables2.1 Binomio al cuadrado2.2 Binomios con término común2.3 Binomios conjugados

ORGANIZADOR ANTICIPADO

En este núcleo temático, vamos a abordar el estudio de algunos productos notables (binomio al cuadrado, binomios con término común y binomios conjugados), estos productos son multiplicaciones que se presentan con frecuencia en matemáticas, son multiplicaciones que se rigen por reglas fijas, por lo que su resultado acorde al producto de que se trate, puede calcularse mentalmente o por simple inspección. Por lo que debes retomar las competencias que adquiriste sobre las leyes de los signos en las operaciones aritméticas de suma y multiplicación de polinomios y las leyes de los exponentes en la multiplicación de polinomios, por ejemplo:

En la terraza del departamento del profesor Marcial hay una planta, en la cual se construye una casa para un ave con las medidas que se muestran en la figura. ¿Cuál es el volumen que el ave tiene como casa?.

Escribamos primero un enunciado que represente la solución del cálculo del volumen de la casa.

Volumen de la casa = volumen del cubo más volumen del prisma triangular Recuerda que el volumen de un cubo se calcula como (lado)(lado)( lado) y que el volumen del prisma triangular se calcula como (1/2) (largo)(ancho)(altura)

Sustituyendo en nuestro enunciado los datos de la casa tenemos que:

Vcasa = (2a)(2a)(2a) + (1/2)(2a)(2a)(2a + 2)

= 8a3 + (1/2)(8a3 + 8a2 )

= 8a3 + 4a3 + 4a2

= 12a3 + 4a2

2.2.1 Binomio al cuadrado

¿Cómo calculamos el área de la cocina?

Resolvamos ahora la pregunta del área de la cocina, retomando los datos que obtuviste del plano del departamento del Profesor Marcial.

Con las respuestas 1 y 2 del croquis del departamento calculemos el área de la cocina.

A = lado (lado) Entonces A= (x + 6)(x + 6)

= lado2 Sustituyendo = (x + 6)2

Resolviendo = x2 + 12x + 36

El resultado obtenido x2 + 12x + 36 es la expresión algebraica del área de la cocina que es la respuesta a la segunda pregunta

¿Cómo resolvemos un binomio al cuadrado?

Observa los pasos para elevar un binomio al cuadrado en el siguiente diagrama:

(x + 6)2 = x2 + 12x + 36

ANIMACION 4 BLOQUE 2 (presentación en Power Point binomio al cuadrado)

x + 6

Cocinax + 6

3º Cuadrado del segundo término 6

1º Cuadrado del primer término x

2º Dos veces el primer término por el segundo “x” por seis

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1

Analiza el diagrama anterior en el que se te mostró en tres pasos, el desarrollo de un binomio al cuadrado y escribe sobre las líneas una regla que te permita elevar cualquier binomio al cuadrado.

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Aplica la regla para elevar un binomio al cuadrado y realiza la siguiente actividad

Existen otro tipo de productos notables, algunos de ellos son, el producto de binomios con término común y producto de binomios conjugados.

2.2.2 Binomios con término común

Para calcular el resultado de este tipo de binomios veamos los siguientes diagramas

1º El término común x se eleva al cuadrado

2º Se suman los términos no comunes (a + b) y el resultado se multiplica por el término común “x”

3º Se multiplican los términos no comunes a( b)

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2

Instrucción: Resuelve en tu cuaderno los binomios al cuadrado, en caso de dudas consulta con tu asesor.

1. (x + 7)2 =

2. (x - 6)2 =

3. (2x + 3)2 =

4. (4x - y)2 =

5. (6xy - 9)2 =

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Ejemplos:

1. (x + 15) (x + 6) = x2 + 21x + 90

2. (x - 23) (x + 9) = x2 -14x - 207

1º El término común x se eleva al cuadrado

2º Se suman los términos no comunes (15 +6) y el resultado se multiplica por el término común “x”

3º Se multiplican los términos no comunes 15(6)

1º El término común x se eleva al cuadrado

2º Se suman los términos no comunes (-23+9) y el resultado se multiplica por el término común “x”

3º Se multiplican los términos no comunes -23(9)

1º El término común x se eleva al cuadrado

2º Se suman los términos no comunes (-27-6) y el resultado se multiplica por el término común “x”

3º Se multiplican los términos no comunes -27(-6)

3. (x - 27) (x - 6) = x2 - 33x + 162

Los diagramas te muestran la forma en que se calculan los resultados de la multiplicación de binomios con término común “x” y los casos de signos diferentes para los términos no comunes, Ahora realiza la siguiente actividad.

2.2.3 Binomios conjugados

Para obtener el resultado del producto de dos binomios conjugados se representa en el diagrama siguiente:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3

Instrucción: Calcula el resultado de la multiplicación de binomios con término común, para cada ejercicio escribe de manera directa el resultado, en caso de dudas consulta con tu asesor.

1. (x + 9)(x + 15) =

2. (x - 21)(x + 17) =

3. (x - 8)(x – 13) =

4. (3x - 3)(3x + 6) =

5. (7x + 14)(7x – 11) =

1º El primer término de cada binomio se eleva al cuadrado

2º Siempre se escribe el signo menos

3º El segundo término de cada binomio se eleva al cuadrado

(x + y) (x – y) = x2 - y2

Ejemplos:

1. (x + 14) (x – 14) = x2 - 196

1º El primer término de cada binomio se eleva al cuadrado

2º Siempre se escribe el signo menos

3º El segundo término de cada binomio se eleva al cuadrado

(2x - 9) (2x + 9) = 4x2 - 81

1º El primer término de cada binomio se eleva al cuadrado

2º Siempre se escribe el signo menos

3º El segundo término de cada binomio se eleva al cuadrado

2.

¿QUIERES SABER MÁS? Sobre productos notables, consulta la siguiente página y realiza los ejercicios que se proponen.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/identidadesnotables/productos/productos01.htm

Autoevaluación del aprendizaje.

El objetivo de esta autoevaluación, es que valores si has adquirido las competencias matemáticas, para resolver de manera acertada los productos notables planteados como actividades de aprendizaje, por lo que te solicitamos que cheques los procedimientos de solución y las respuestas, es importante que revises esta autoevaluación después de haber dado respuesta a todas las actividades, si tienes duda en alguna de las respuestas proporcionadas, consulta con tu asesor.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4

Instrucción: Realiza las multiplicaciones de binomios conjugados, escribe los resultados de manera directa, en caso de dudas consulta con tu asesor.

1. (x + 7)(x - 7) =

2. (x - 8)(x + 8) =

3. (5x - 6)(5x + 6) =

4. (9 + 11x)(9 – 11x) =

5. (3x + 2y)(3x – 2y) =

Soluciones:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1

Analiza el diagrama anterior en el que se te mostró en tres pasos, el desarrollo de un binomio al cuadrado y escribe sobre las líneas una regla que te permita elevar cualquier binomio al cuadrado.

El resultado de elevar un binomio al cuadrado es: el cuadrado del primer término más dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2

Instrucción: Resuelve en tu cuaderno los binomios al cuadrado, en caso de dudas consulta con tu asesor.

1. (x + 7)2 = x2 + 2(7)(x) + (7)2

= x2 + 14x + 49

2. (x - 6)2 = x2 + 2(-6)(x) + (-6)2

= x2 - 12x + 36

3. (2x + 3)2 = (2x)2 + 2(3)(2x) + (3)2

= 4x2 + 12x + 9

4. (4x - y)2 = (4x)2 + 2(-y)(4x) + (-y)2

= 16x2 – 8xy + y2

5. (6xy - 9)2 = (6xy)2 + 2(-9)(6xy) + (-9)2

= 36x2 y2 – 108xy + 81

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3

Instrucción: Calcula el resultado de la multiplicación de binomios con término común, para cada ejercicio escribe de manera directa el resultado, en caso de dudas consulta con tu asesor.

1. (x + 9)(x + 15) = x2 + (9 + 15)x + (9)(15)

= x2 + 24x + 135

2. (x - 21)(x + 17) = x2 + (-21 + 17)x + (-21)(17)

= x2 - 4x - 357

3. (x - 8)(x – 13) = x2 + (-8 - 13)x + (-8)(-13)

= x2 - 21x + 104

4. (3x - 3)(3x + 6) = (3x)2 + (-3 + 6)(3x) + (-3)(6)

= 9x2 + 9x - 18

5. (7x + 14)(7x – 11) = (7x)2 + (14 – 11)7x + (14)(-11)

= 49x2 + 21x - 154

Resumen

El esquema te presenta los temas revisadas en el núcleo 2

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4

Instrucción: Realiza las multiplicaciones de binomios conjugados, escribe los resultados de manera directa, en caso de dudas consulta con tu asesor.

1. (x + 7)(x - 7) = x2 – 49

2. (x - 8)(x + 8) = x2 – 64

3. (5x - 6)(5x + 6) = 25x2 – 36

4. (9 + 11x)(9 – 11x) = 81 - 121x2

5. (3x + 2y)(3x – 2y) = 9x2 – 4y2 P RODUCTOS

NOTABLES

BINOMIO AL CUADRADO

Con el estudio de los productos notables binomio al cuadrado, binomios con término común y binomios conjugados, vas adquiriendo otras competencias matemáticas que te preparan para dar solución a diversas situaciones de la vida cotidiana, en las que se involucren entre otras, problemas relacionados con áreas y volúmenes.

Cuando te propones resolver una situación problemática en la que debas usar herramientas matemáticas, es necesario que apliques tus capacidades y competencias que has asimilado, de manera tal que logres interactuar con el medio que te rodea, por lo que se te invita a que continúes preparándote, con el estudio del bloque temático III con la finalidad de que amplíes tus conocimientos , capacidades y aptitudes, para que puedas desempeñarte de manera solvente en la resolución de problemas de diversas áreas del conocimiento.

FUENTES CONSULTADAS

Barnett R. Álgebra. Sexta edición. Mc Graw Hill. México. 1999.

Randall C. MIDDLE SCHOOL MATH. Scott Foresman – Addison Wesley. USA. 1999.

Dugopolski M. Intermediate Algebra. fifth edition. Mc Graw Hill. USA. 2006.

Colera J. Bachillerato 1. Matemáticas I. Grupo ANAYA. Madrid España. 2009.

BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

BINOMIOS CONJUGADOS

Además de aprender la forma en que se desarrollan los productos notables, empleaste las competencias para:

Aplicar las leyes de los signos en la multiplicación

Aplicar las leyes de los exponentes en la multiplicación.

Resolver problemas que requieran el cálculo de áreas de cuadrados.

PAGINAS WEB CONSULTADAS

¿QUIERES SABER MÁS? Sobre productos notableshttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/identidadesnotables/productos/productos01.htm