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PROBLEMAS RESUELTOS ELECTRICIDAD ESTATICA
Con estos pocos problemas pretendemos hacer ver que si
aplicamos las pautas comentadas y somos rigurosos con los cรกlculos los,
aparentemente, complicados y teรณricos problemas de electrostรกtica no lo
son tanto. Esperamos conseguirlo.
1. Una carga ๐ = +๐๐ช y masa ๐ = ๐๐ฒ๐ es acelerada bajo una
diferencia de potencial de 1000 V y entra con la velocidad
adquirida y equidistante de las placas dentro de un condensador
de placas separadas 60 cm y que estรกn a una diferencia de
potencial de 680 voltios. Las placas tienen una longitud de 1 m y la
velocidad de entrada de la carga forma 30 grados con el eje OX tal
como indica la figura. Hallar la altura mรกxima que la carga
adquiere entre las placas y su velocidad al salir de ellas.
+
โ
Lo primero, vamos a calcular el mรณdulo de la velocidad de
entrada despuรฉs de haber sido acelerado.
โ๐ฌ๐ = |๐โ๐ฝ| โ1
2๐๐ฃ๐
2 โ1
2๐๐ฃ0
2 = |๐โ๐| โ1
22๐ฃ๐
2 โ 0 = 1 โ 1000
โ ๐๐ = ๐๐โ๐๐๐
๐
Una vez dentro, la carga estรก inmersa en un campo elรฉctrico
vertical y hacia abajo (por cรณmo estรกn cargadas las placas, la positiva
arriba) que le va a producir una aceleraciรณn tambiรฉn hacia abajo (la carga
es positiva) que queremos calcular. A partir de ahรญ el problema serรก de
cinemรกtica.
Campo dentro de las placas del condensador:
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โ๐ฝ = ๐ฌ๐ โ 680 = ๐ธ60 โ 10โ2 โ ๐ธ =3400
3
๐
๐ถ
Por lo tanto, la fuerza sobre nuestra carga es:
๐น = ๐๐ธ โ ๐น = 1 โ3400
3 ๐ vertical hacia abajo
Y su aceleraciรณn:
๐น = ๐๐ โ ๐ =3400
6=
1700
3
๐
๐ 2 Tambiรฉn vertical y hacia abajo
En estas fรณrmulas vectoriales hemos trabajado sรณlo con los
mรณdulos porque las direcciones de los vectores las sabรญamos.
Con estos datos, el problema es de tiro oblicuo:
๐ฃ0
๐
๐ฃ0โโโโ = 10โ10๐๐๐ 30๐ + 10โ10๐ ๐๐30๐ = 5โ30๐ + 5โ10๐
๐ =1700
3(โ๐ ) = โ
1700
3๐
๐0โโ โ = 0
Recordando los tiros parabรณlicos, estas son las tres caracterรญsticas
que lo definen pues tienen de fรณrmula general:
๐ = ๐0โโ โ + ๐ฃ0โโโโ ๐ก +1
2๐ ๐ก2
En nuestro caso:
๐ = (5โ30๐ + 5โ10๐ )๐ก +1
2(โ1700
3๐ )๐ก2
Y agrupando componentes:
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๐ = 5โ30 โ ๐ก๐ + (5โ10 โ ๐ก โ1700
6๐ก2)๐
De donde:
๐ฃ =๐๐
๐๐ก= 5โ30๐ + (5โ10 โ
1700
3๐ก) ๐
Ya conocemos perfectamente el movimiento con estas dos leyes.
Vamos a calcular la altura mรกxima y eso, como sabemos, es cuando la
velocidad es sรณlo horizontal (en el punto mรกs alto no hay componente
vertical de la velocidad). Por lo tanto:
๐ฃ๐ฆ = 0 โ 5โ10 โ1700
3๐ก = 0 โ ๐ก =
15โ10
1700=3โ10
340๐
Veamos ahora la posiciรณn en este tiempo:
๐ (3โ10
340) = 5โ30
3โ10
340 ๐ + (5
3โ10
340โ10 โ
1700
6(3โ10
340)2) ๐
๐ =15โ3
34๐ + (
15
34โ15
68) ๐ โ ๐, ๐๐ ๐ + ๐, ๐๐๐
Por lo que el vรฉrtice de la parรกbola se alcanza dentro del condensador en
la posiciรณn calculada respecto al origen de coordenadas definido.
Veamos ahora la velocidad de salida:
Seguimos advirtiendo que para calcular alguna caracterรญstica
concreta del movimiento (en nuestro caso la velocidad de salida) tenemos
que saber traducir al lenguaje matemรกtico de la trayectoria โalgunaโ
propiedad que defina al punto que queremos estudiar y calcular con ella
el tiempo en que eso ocurre (conocido el tiempo, conocemos todo pues
es la variable fundamental). Suele ser sencillo, en nuestro caso creemos
que se ve fรกcil que la โxโ del punto de salida es un metro
๐ = ๐โ๐๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ก =1
5โ30๐ โ ๐ฃ (
1
5โ30) = 5โ30๐ + (5โ10 โ
1700
3
1
5โ30)๐ โ 27๐ โ 5๐
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Alargamos este problema con una segunda parte:
Un plano indefinido y vertical de densidad ๐๐ช
๐๐ estรก a ๐๐ de la
salida del condensador. Calcular dicha densidad sabiendo que es la
mรญnima para que no choque la carga con el plano.
Representando lo que sabemos hasta ahora:
๐1 ๐
โ
๐ ๐ฃ0=โโ โโ โโ 27๐ โ 5๐
2๐
Para el estudio del movimiento fuera del condensador elegimos
otro origen de coordenadas ๐1 y asรญ nos evitamos trabajar con ๐ 0 en la ley
fundamental del movimiento de aceleraciรณn constante, como va a ser en
nuestro caso segรบn vemos:
Campo creado por la placa, segรบn recordamos de la teorรญa, es:
๏ฟฝโ๏ฟฝ =๐
2๐(โ๐ ) Ya que la placa es positiva
Fuerza entonces sobre la partรญcula:
๐น = ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐น = 1 (โ๐
2๐๐ ) โ ๐ =
๐น
๐= โ
๐
4๐๐ (Aquรญ hemos utilizado las
leyes vectoriales como ejemplo, aunque tambiรฉn, por la sencillez de las
direcciones, hubiรฉramos podido trabajar con los mรณdulos de estos
vectores e indicar su direcciรณn al lado, como se ha hecho en el apartado
anterior). Ya tenemos entonces las tres caracterรญsticas esenciales del
movimiento
๐ = ๐0โโ โ + ๐ฃ0โโโโ ๐ก +1
2๐ ๐ก2 โ
{
๐ 0 = 0โ
๐ฃ 0 = 27๐ โ 5๐
๐ = โ๐
4๐๐
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Como vemos, hemos trabajado con la incรณgnita ๐
tranquilamente y lo vamos a seguir haciendo hasta que al final,
imponiendo la condiciรณn del problema (la carga no choca con la placa),
calculemos su valor y solucionemos el problema (tรฉcnica general,
creemos, para resolver muchos problemas). Sustituyendo en la ley general
los valores de ๐ 0, ๐ฃ 0 ๐ฆ ๐ nos queda:
๐ = (27๐ โ 5๐)โโโ ๐ก +1
2(โ
๐
4๐๐ ) ๐ก2 โ ๐ = (27๐ก โ
๐
8๐๐ก2) ๐ โ 5๐ก๐
{๐ฅ = 27๐ก โ
๐
8๐๐ก2
๐ฆ = โ5๐ก
Y el vector velocidad:
๐ฃ =๐๐
๐๐ก= (27 โ
๐
4๐๐ก) ๐ โ 5๐
{๐ฃ๐ฅ = 27 โ
๐
4๐๐ก
๐ฃ๐ฆ = โ5
Ecuaciones que nos permiten conocer el movimiento
perfectamente. La condiciรณn que nos permite resolver el problema nos la
estรกn diciendo en el enunciado: cuando la carga llega a la placa, como no
queremos que choque con ella eso significa que en ese momento la
velocidad es sรณlo vertical, o sea, en ese momento ๐ฃ๐ฅ = 0, cuando ๐ฅ = 2
Vamos a las ecuaciones de โxโ y ๐ฃ๐ฅ e imponemos esas condiciones:
๐ฅ = 2 โ ๐๐๐ โ๐
๐๐บ๐๐ = ๐
๐ฃ๐ฅ = 0 โ ๐๐ โ๐
๐๐บ๐ = ๐
Sistema de dos ecuaciones con dos incรณgnitas en ๐ก ๐ฆ ๐ que, como
decรญamos, resuelven el problema.
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La trayectoria de la carga serรก
๐1 ๐
โ
๐ ๐ฃ0โโโโ = 27๐ โ 5๐
2๐
2. Sea un segmento de longitud L y carga Q uniformemente
distribuida (densidad de carga ๐ธ
๐ณ constante). Calcular el campo
elรฉctrico en los puntos del plano que pasa por su centro y es
perpendicular al segmento.
Lo primero es una figura y unos ejes respecto a los cuales
definir posiciones y vectores; Elegir el mรกs sencillo es mรกs bien
intuitivo, en nuestro caso elegimos la barra cargada (remarcada en
negro) y el plano perpendicular a ella (el plano ๐๐) segรบn la figura:
๐
๐๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐(๐ฅ, 0, ๐ง)
๐๐ ๐๐ ๐(0, ๐ฆ, 0) ๐
๐ฆ ๐๐ฆ
๐
Como hemos hecho en el apartado de teorรญa de cรกlculo de campo
elรฉctrico, cogemos una carguita genรฉrica posicionada por, en este caso, la
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variable โ๐ฆโ y encerrada en un trocito del segmento cargado de longitud
๐๐ฆ y calculamos el vector (diferencial) de campo elรฉctrico en el punto
que queramos ( ๐(๐ฅ0, 0, ๐ง0) en nuestro caso, punto genรฉrico del plano del
problema pero de componentes constantes y por ello en las coordenadas
de P se han puesto subรญndices para remarcar que ๐ฅ0 ๐ฆ ๐ง0 son constantes,
que estamos en un punto concreto, y eso lo tendremos muy en cuenta a la
hora de integrar) producido por esa carguita y despuรฉs sumaremos todos
esos โcampitosโ por medio de una integral para calcular el campo total en
el punto P como nos han pedido. Una advertencia, por comodidad de
escritura no pondremos los subรญndices a ๐ฅ0 ๐ฆ ๐ง0 y a partir de ahora serรกn
๐ฅ y ๐ง
Cรกlculo de ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ :
Direcciรณn: la direcciรณn y sentido, como vemos en la figura, es la del vector
๐๐โโโโ โ
๐ธ๐ทโโโโโโ = (๐ โ ๐) = (๐ฅ, 0, ๐ง) โ (0, ๐ฆ, 0) = (๐ฅ,โ๐ฆ, ๐ง) = ๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐ + ๐ง๏ฟฝโ๏ฟฝ
|๐ธ๐ทโโโโโโ | = โ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + ๐ง2
= |๐ฅ2 + ๐ง2 = ๐ 2 ๐ฅ ๐ฆ ๐ง ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐๐ข๐๐ก๐ ๐|
= โ๐ 2+๐ฆ2
๐ ๐ง
๐ 2 = ๐ฅ2 + ๐ง2 = ๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐.
๐ฅ
Vector unitario en la direcciรณn y sentido de ๐ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ , ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๏ฟฝโ๏ฟฝ =1
|๐๐โโโโ โ|๐๐โโ โโ โ =
1
โ๐ 2+๐ฆ2(๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐ + ๐ง๏ฟฝโ๏ฟฝ )
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Mรณdulo del campo infinitesimal producido por la carguita ๐ ๐
๐๐ธ = ๐พ๐๐
๐2= |๐๐ = ๐๐๐ฆ =
๐
๐ฟ๐๐ฆ; ๐2 = |๐๐โโโโ โ|
2= ๐ 2 + ๐ฆ2| = ๐พ
๐๐ฟ๐๐ฆ
๐ 2 + ๐ฆ2
Por lo que
๐ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐ ๐ฌ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐ฒ๐ธ
๐ณ
๐ ๐
๐น๐ + ๐๐โ
๐
โ๐น๐+๐๐(๐๐ โ ๐๐ + ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ ) โ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐ฒ๐ธ
๐ณโซ
๐ ๐
(๐น๐ + ๐๐)๐๐
๐=๐ณ๐
๐=โ๐ณ๐
(๐๐ โ ๐๐ + ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ )
= ๐พ๐
๐ฟ[โซ
๐ ๐
(๐น๐ + ๐๐)๐๐
๐=๐ณ๐
๐=โ๐ณ๐
๐๐ โ โซ๐ ๐
(๐น๐ + ๐๐)๐๐
๐=๐ณ๐
๐=โ๐ณ๐
๐๐
+ โซ๐ ๐
(๐น๐ + ๐๐)๐๐
๐=๐ณ๐
๐=โ๐ณ๐
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ ]
La segunda integral vale cero pues es la de una funciรณn impar entre dos
valores simรฉtricos de la variable. Las otras dos resultan ser las mismas
pues en ellas ๐ฅ ๐ฆ ๐ง son constantes.
La integral que hay que resolver por lo tanto:
โซ๐๐ฆ
(๐ 2 + ๐ฆ2)32
๐ฆ=๐ฟ2
๐ฆ=โ๐ฟ2
= [1
๐ 2๐ฆ
โ๐ 2 + ๐ฆ2]
โ๐ฟ2
+๐ฟ2
=1
๐ 22
๐ฟ2
โ๐ 2 +๐ฟ2
4
=2๐ฟ
๐ 2โ4๐ 2 + ๐ฟ2
Llamada binomial no nos parece para nada interesante resolverla aquรญ (de
hecho la ha resuelto uno de los muchos programas que hay para ello).
Sustituyendo en la expresiรณn del campo, nos queda:
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐ฒ๐ธ
๐ณ[
๐๐ณ
๐น๐โ๐๐น๐ + ๐ณ๐๐๐ +
๐๐ณ
๐น๐โ๐๐น๐ + ๐ณ๐๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ ]
Si ๐ โซ ๐ฟ โ
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๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐พ๐
๐ฟ[2๐ฟ
2๐ 3๐ฅ๐ +
2๐ฟ
2๐ 3๐ง๏ฟฝโ๏ฟฝ ] = ๐พ
๐
๐ 3(๐ฅ๐ + ๐ง๏ฟฝโ๏ฟฝ )
๐ฃ = ๐ฅ๐ + ๐ง๏ฟฝโ๏ฟฝ
๏ฟฝโ๏ฟฝ
๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐พ๐
๐ 2๐ฃ
๐ = ๐พ
๐
๐ 2๏ฟฝโ๏ฟฝ
Pues
|๐ฃ | = โ๐ฅ2 + ๐ง2 = ๐ ๐ฆ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐๐ฃ
๐ =๐ฃ
|๐ฃ |= ๏ฟฝโ๏ฟฝ
Vector unitario en la direcciรณn de ๐ฃ
Observamos que la expresiรณn
๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐พ๐
๐ 2๏ฟฝโ๏ฟฝ
Es la misma que la expresiรณn del campo que producirรญa esa
carga si fuera puntual y situada en el origen de coordenadas.
3. Demostrar que el campo elรฉctrico producido por una carga anular
de densidad constante en los puntos de su eje tiene su mรณdulo
mรกximo en ๐๐ = +๐
โ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ = โ
๐
โ๐ siendo ๐ el radio del anillo.
Representar el mรณdulo del campo en funciรณn de โxโ para todos sus
valores.
๐๐ ๐
๐ ๐ท ๐๐ธ2โโโโ
๐๐1 ๐๐ธ1โโโโ ๐
๐ ๐ฅ
๐๐2
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Si nos damos cuenta, la direcciรณn del campo total es la del eje X
pues las componentes Y Z del campo infinitesimal creado por una carguita
infinitesimal ๐๐1 quedan contrarrestadas por el campo infinitesimal
creado por la carguita ๐๐2 que estรก enfrente suyo en el anillo. Podemos
entonces simplificar el problema sin tener que trabajar con los vectores
unitarios en las tres dimensiones para integrar cada componente despuรฉs.
Vamos a calcular el campito infinitesimal en la direcciรณn del eje X
producido por una carga genรฉrica posicionada por el รกngulo ๐ y despuรฉs
los sumaremos por medio de la integral para calcular el campo total que,
como hemos dicho, va en esa direcciรณn.
Campo infinitesimal en la direcciรณn eje X creado por la carguita
๐๐1:
๐๐1 = ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ร ๐๐ = ๐๐๐๐
Donde, de otros problemas, sabemos que un trocito infinitesimal
de longitud sobre una circunferencia es ๐ ๐๐. En nuestro caso el radio del
anillo es ๐ y por lo tanto ๐๐ = ๐๐๐
La distancia de esta carguita al punto P donde estamos calculando
el campo es:
๐ท
๐
๐๏ฟฝโ๏ฟฝ
๐ฅ
En el triรกngulo rayado que es rectรกngulo la distancia de la
carguita al punto P es la hipotenusa ๐. Dado que los otros dos catetos son
๐ฅ y el radio ๐ del anillo nos queda:
๐ท = โ๐ฅ2 + ๐2
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Como queremos calcular la componente del campo ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ , que va en la
direcciรณn del eje X vamos a dibujar el triรกngulo rayado y el vector ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ
vistos de frente:
๐ท
๐ ๐ฝ ๐ท ๐๐ธ๐ฅ
๐ฅ ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ
Mรณdulo de ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ :
๐๐ = ๐๐๐๐ โ ๐ ๐ฌ = (๐๐๐
๐ท2) = ๐
๐๐๐ ๐ฝ
๐๐ + ๐๐
Cuya componente ๐๐ธ๐ฅ es
๐๐ธ๐ฅ = ๐๐ธ๐๐๐ ๐ = |๐๐๐ ๐ =๐ฅ
๐ท=
๐ฅ
โ๐ฅ2 + ๐2| = ๐
๐๐๐ ๐ฝ
๐๐ + ๐๐๐
โ๐๐ + ๐๐โ
๐ธ = ๐ธ๐ฅ = โซ ๐๐๐๐๐
๐ฅ2 + ๐2๐ฅ
โ๐ฅ2 + ๐2
2๐
0
= |๐ฅ = ๐๐ก๐. | = ๐๐๐๐ฅ
(๐ฅ2 + ๐2)32
โซ ๐๐2๐
0
๐ธ = ๐๐๐๐ฅ
(๐ฅ2 + ๐2)32
2๐ = |2๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐| = ๐๐๐
(๐ฅ2 + ๐2)32
๐ฅ
๐ฌ = ๐๐ธ๐
(๐๐ + ๐๐)๐๐
๐
Que en forma vectorial podemos poner
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐๐ธ๐
(๐๐ + ๐๐)๐๐
๐ โ ๐
Ya que el sentido coincide con el de ๐ (hacia la derecha para ๐
positivas y hacia la izquierda para ๐ negativas pues la carga del anillo es
positiva. Si la carga hubiera sido negativa simplemente el campo
cambiarรญa de signo โcomo no podรญa ser de otra manera-.)
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Para demostrar lo que nos preguntan, en quรฉ puntos su mรณdulo es
mรกximo, sรณlo tenemos que derivar respecto de la variable ๐ฅ
(๐๐๐
(๐ฅ2 + ๐2)32
๐ฅ)โฒ = ๐๐1 โ (๐ฅ2 + ๐2)
32 โ ๐ฅ
32(๐ฅ2 + ๐2)
122๐ฅ
(๐ฅ2 + ๐2)3
Que igualando a cero (mรกximo de una funciรณn)
1 โ (๐ฅ2 + ๐2)32 โ ๐ฅ
3
2(๐ฅ2 + ๐2)
122๐ฅ = 0 โ
(๐ฅ2 + ๐2)32 = 3๐ฅ2(๐ฅ2 + ๐2)
12 โ |๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐๐| โ
(๐ฅ2 + ๐2)3 = 9๐ฅ4(๐ฅ2 + ๐2) โ (๐ฅ2 + ๐2)2 = 9๐ฅ4 โ
๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐ : ๐ฅ2 + ๐2 = ยฑ3๐ฅ2
De donde, con el signo mรกs (eligiendo el signo menos no existe
soluciรณn real) nos queda:
๐ฅ = ยฑ๐
โ2
Como se pedรญa.
La grรกfica del campo respecto de la variable โxโ:
๐ฌ = ๐๐ธ๐
(๐๐ + ๐๐)๐๐
๐
๐๐๐
3๐โ2
โ๐
โ2
๐
โ2
La grรกfica serรญa mรกs o menos asรญ. No se ha hecho un estudio
pormenorizado de la funciรณn, sabiendo que pasa por el origen, es
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simรฉtrica respecto al eje Y (estamos dibujando el mรณdulo, para โxโ
negativas le cambiamos de signo) y los lรญmites cuando ๐ฅ โ ยฑโ valen cero
creemos que es suficiente.
OTRA MANERA:
El potencial creado por el anillo en el punto P es muy fรกcil de
calcular pues toda la carga estรก a la misma distancia del punto P.
๐๐ = ๐๐๐
๐ท= ๐
๐๐
โ๐ฅ2 + ๐2โ ๐
= โซ๐๐๐
โ๐ฅ2 + ๐2=
๐
โ๐ฅ2 + ๐2โซ๐๐ = ๐
๐๐
โ๐ฅ2 + ๐2
๐ฝ = ๐๐ธ๐
โ๐๐ + ๐๐
La relaciรณn matemรกtica que relaciona el potencial con el campo,
en forma diferencial, es:
๐น๐ฝ
๐น๐๐ +
๐น๐ฝ
๐น๐๐ +
๐น๐ฝ
๐น๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ = โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
En nuestro caso, el estar en una sola direcciรณn:
๐๐
๐๐ฅ๐ = โ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ
๏ฟฝโ๏ฟฝ = โ
โ๐๐๐ โ1
2โ๐ฅ2 + ๐22๐ฅ
๐ฅ2 + ๐2๐ = ๐
๐๐
(๐ฅ2 + ๐2)32
๐ฅ๐
Como sabรญamos. Como vemos, ha sido mรกs corto y sencillo. Tenedlo en
cuenta a la hora de resolver problemas de cรกlculo de campos.
Por รบltimo, vamos a dibujar la funciรณn potencial:
๐ฝ = ๐๐ธ๐
โ๐๐ + ๐๐
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Dado que ๐๐ es positiva, la grรกfica es tambiรฉn positiva. Es
simรฉtrica respecto eje Y. Ademรกs, cuando ๐ฅ โ ยฑโ el potencial tiende a
cero y, si hallamos los mรกximos y mรญnimos, vemos que tiene un mรกximo en
๐ฅ = 0 (el denominador es mรญnimo para ๐ฅ = 0)
๐
๐
Este es el potencial creado por el anillo. Si ahora cogemos una
carga positiva, su energรญa potencial serรญa:
๐ธ๐ = ๐๐
Que serรญa una grรกfica parecida a la anterior pues resulta de ella al
multiplicarla por un nรบmero positivo. El punto mรกximo serรญa un punto de
equilibrio inestable pues si se separa un poquito de รฉl โrodarรญaโ
alejรกndose indefinidamente hacia la izquierda o la derecha segรบn fuera la
desviaciรณn inicial.
Sin embargo, la energรญa potencial de una carga negativa serรญa la
misma grรกfica pero hacia abajo:
๐
๐
Y observamos que para ellas el origen es un punto de equilibrio estable.
Veamos quรฉ movimiento se produce si una carga negativa la separamos
un poquito del centro:
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ๐๐ธ๐
(๐๐ + ๐๐)๐๐
๐๐
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Por lo que la fuerza sobre una carga negativa serรญa:
๐น = ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐๐๐
(๐ฅ2 + ๐2)32
๐๐ฅ๐
De donde podemos deducir varias cosas:
a) Si ๐ฅ โช ๐ โ ๐ฅ2 + ๐2 โ ๐2 โ ๐น = ๐๐๐
๐3๐๐ฅ๐
b) Para ๐ฅ > 0 โ la fuerza es hacia la izquierda (๐ < 0)
c) Para ๐ฅ < 0 โ la fuerza es hacia la derecha
Dado que
๐ =๐น
๐โ ๐ = ๐
๐๐๐๐3
๐๐ฅ๐ โ ๐ = โ๐๐๐๐๐3
|๐|๐ฅ๐
De donde deducimos que la aceleraciรณn es proporcional a la
posiciรณn (elongaciรณn) pero cambiada de signo. Cumple por lo tanto la
definiciรณn de movimiento armรณnico:
๐ = โ๐๐๐
En nuestro caso:
๐ = โ๐๐๐๐๐3
|๐|๐ฅ
De donde
๐2 = ๐๐๐๐๐3
|๐|
๐ =2๐
๐=
2๐
โ๐๐๐|๐|
๐๐3
= 2๐๐โ๐๐
๐๐๐|๐|
๐ป = ๐๐ ๐โ๐๐
๐๐ธ๐|๐|
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