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PROBABILIDAD

Para la mayoría de la gente, “Probabilidad” es un termino vago utilizado en el lenguaje cotidiano, para indicar la

posibilidad de un evento futuro.

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PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

Conceptos previos:

• Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio.

• Suceso: subconjunto del espacio muestral. Se representa con una letra mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas.

Operaciones con sucesos:

• Unión: la unión de dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de ellos.

• Intersección: la intersección dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se dan ambos a la vez.

La probabilidad, en una experiencia aleatoria, es una aplicación que asigna un número real a cada suceso.

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Tipos de sucesos:• Suceso Seguro: se tiene la certeza de que se producirá porque contiene todos

los resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio muestral).

• Suceso Imposible: se tiene la certeza de que nunca se puede presentar, ya que no tiene elementos (es el conjunto vacío).

• Suceso Contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A; es su complementario respecto al espacio muestral (A).�

• Suceso Elemental: es el que tiene un solo resultado, es un conjunto unitario.

• Sucesos incompatibles: la intersección es conjunto vacío, es decir, no pueden los dos sucesos darse al mismo tiempo.

• Sucesos Compatibles: la intersección de dos sucesos contiene algún elemento.

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CARACTERÍSTICAS DE LA PROBABILIDAD

• La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero.

• La probabilidad del suceso seguro es uno.• La probabilidad de la unión de dos sucesos

incompatibles es igual a la suma de sus probabilidades.

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Axiomas de la probabilidad

1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1• 0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabilidad del suceso seguro es 1.• p(E) = 1

3. Si A y B son incompatibles, es decir A  B =  entonces:• p(A  B) = p(A) + p(B)

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PRIMERA:

La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

SEGUNDA:Probabilidad del suceso imposible es cero

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TERCERA:

La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

CUARTA:Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

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QUINTA:

Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

SEXTA:

Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

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DOS LEYES DE LA PROBABILIDAD

1. Ley multiplicativa de la probabilidad

La probabilidad de la intersección de dos eventos A y B

P(A n B) = P(A)P(B/A)

= P(B)P(A/B)

Si A y B son independientes, entonces

P(A n B) = P(A)P(B)

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2. Ley aditiva de la probabilidad

La probabilidad de la unión de dos eventos A y B es.

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces.

P(A n B) = 0 y

P(A U B) = P(A) + P(B)

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EJEMPLO

En cierta ciudad, 40% de los votantes son republicanos y el 60% son demócratas; 70% de los republicanos y 80% de los demócratas están a favor de una emisión de bonos. Al seleccionar al azar un votante de la ciudad ¿Cuál es la probabilidad de que este a favor de la emisión de bonos?

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SOLUCIÓN:

Sea “f” el evento a favor de la emisión de bonos “R” el evento de que sea elegido un republicano, y “D” el evento de que sea escogido un demócrata.

Entonces:

P(R) = 0.4, P(D) = 0.6, P(f/R) =0.7, P(f/D) = 0.8

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EJEMPLO

Ahora

P(f) = P[(f n R) U (f n D)] = P(f n R) +P(f n D)

Ya que (f n R) y (f n D), son dos eventos excluyentes f = (F n R) U (f n D)

Entonces

P(f n R) = P(f/R)P(R) = (0.7)(0.4) = 0.28

En forma similar

P(f n D) = P(f/D)P(D) = (0.8)(0.4) = 0.76

Entonces

P(f) = 0.28 + 0.48 = 0.76

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REGLA DE BAYES

El procedimiento de la composición de los eventos para resolver los problemas de la probabilidad se facilita algunas veces al considerar el espacio muestral “S” como una unión de subconjuntos que son mutuamente excluyentes, es decir, se supone que

S = B₁ U B₂ U … U Bк, con Bi n Bj = 0 para i ‡ j

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A = A n S = A n (B₁ U B₂ … Bк)

= (A n B₁) U (A n B₂) U … U (A n Bк)

Entonces

P(A) = P(A n B₁) + P(A n B₂) + … P(A n Bк)

= P(B₁)P(A/B₁) + P(B₂)P(A/B₂) + P(Bк)P(A/ Bк)

к = ∑ P(Bi)P(A/ Bi)

i = 1

Resumen:

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DISTRIBUCIÓN BINOMIALEs una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos

en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p.

En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)

Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)

Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad p de moverse de aquí para allá y 1-q de moverse de allá para acá

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOSUNIÓN. Se define como el conjunto de todos los elementos, que

pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, (siendo A y B previamente definidos).

INTERSECCIÓN. Es el conjunto de elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B, (A y B previamente definidos), y se escribe A ∩ B.

DIFERENCIA. Son todos los elementos que de A que no pertenecen a B, esto es, A – B.

COMPLEMENTO. Si B C A, entonces, A – B se denomina el complemento de B relativo a A y se escribe: B A o BA o B’CA.

. Si A = U, nos referimos a U – B, sencillamente como el complemento de B: B o B o B’C El complemento de (A B) se escribe ( A B) o (A B) o ∪ ∪ ∪(A B)∪ ’C

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BIBLIOGRAFIA• http://www.definicionabc.com/general/probabilidad.php

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

• http://monografias.interbusca.com/matematicas/propiedades-de-la-probabilidad.html

• http://www.vitutor.com/pro/2/a_8.html

• http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

• http://www.youtube.com/watch?v=OeTE8Q0Nmcc

• Estadística matemática con aplicaciones, Mendenhall, Scheaffer, Wackerly . Ed grupo editorial Latinoamérica - Cramer, H. elememtos de probabilidad 2da edicion Huntington N.Y. 1973.

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PRESENTADO POR:

Rosario Bermúdez

John Calderón

Pedro Castillo

Giovanni Gómez

Nadia Sanabria

Katherine Tovar


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