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Método de Elementos Finitos
Julio Jornet Monteverde*
Master de Telecomunicaciones
Universidad de Alicante
Email: [email protected]
Métodos de Investigación en Telecomunicaciones
Julio Jornet Monteverde
Método de Elementos Finitos (FEM)
• Discretización
• Formulación Matricial
• Resolución de Ecuaciones
Métodos de Investigación en Telecomunicaciones
Julio Jornet Monteverde
Características FEM
• Método utilizado en varias áreas, principalmente
en análisis estructural y electromagnético.
• FEM es más potente que FDM y MoM para
tratar problemas de geometrías complejas y
medios no homogéneos.
• Pasos: 1. Discretización de la región de solución en un número finito de
subregiones o elementos.
2. Obtener ecuaciones para el elemento típico.
3. Ensamblaje de todos los elementos en la región de solución.
4. Resolución del sistema de ecuaciones obtenido.
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• La precisión del resultado dependerá del tamaño de la discretización.
• Métodos generadores de malla -> Método de Delaunay (Matlab).
Discretización en elementos FEM
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Desarrollo FEM
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• Plano x-y en 25 nodos: 32 triángulos
• Mallado de 39x39 nodos: 3200 triángulos
• Mayor mallado, mejor resultado.
Resultados FEM
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Método Matriz de Líneas de
Transmisión
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Método Matriz de Líneas de Transmisión
(TLM)
• Método simple y estable para modelizar
la propagación de las ondas -> proceso
físico de la propagación.
• Modelo de propagación exacto al tratarse
de una red pasiva.
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• Características:
– El espacio a modelizar se representa con una rejilla cartesiana donde
los nodos se interconectan mediante líneas de transmisión eléctrica.
– Cada nodo de la rejilla representa un nodo eléctrico y que cumple las
relaciones circuitales.
– Se discretizan las propiedades del medio continuo para definir la rejilla.
– Errores de cálculo despreciables si separación entre nodos h < λ/10
– Campo eléctrico asociado al Voltaje
– Campo magnético asociado a la Intensidad
Método Matriz de Líneas de Transmisión
(TLM)
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• Se inyectan pulsos en los nodos apropiados a las condiciones de
contorno de la señal inicial.
• En t+1, los impulsos se propagan al siguiente nodo y debido a la
desadaptación de impedancias se produce una onda reflejada.
• Medio Homogéneo: un pulso se propaga por una línea con impedancia
Z0, en el siguiente nodo, el pulso verá una impedancia Z0/3 resultado de
las tres líneas en paralelo.
• Debido a la desadaptación de impedancias: coeficientes de reflexión ρ,
coeficientes de transmisión τ
Método Matriz de Líneas de Transmisión
(TLM)
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• Ejemplo de rejilla con 3 intervalos de tiempo y un único nodo iniciador.
• Las fronteras de modelizan colocando impedancias de carga en los nodos:
– Cortocircuito -> Anulación campo E -> Pared E -> reflexión Total
– Circuito Abierto -> Anulación campo M -> Pared M -> reflexión Total
• La integración se realiza en sobre un recinto finito.
Método Matriz de Líneas de Transmisión
(TLM)
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Las propiedades de propagación dependerán de la polarización.
En cada rama del nodo se colocan dos líneas independientes: polarización Horizontal y Vertical.
3D: Nodo Condensado Simétrico (SNC):
• Definido por 12 magnitudes
• Propiedades reflexión/transmisión se definen con una matriz de dispersión 12x12.
Método Matriz de Líneas de Transmisión
(TLM)
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Programa simulación MEFISTO-2D (TLM) http://FaustCorp.com
Se agrega la región de computación (donde se realiza la simulación - en
gris), la región fuente, donde se coloca la fuente de las ondas (senoidal en
nuestro caso - en rojo) y la región de animación, donde se mostrarán los
resultados (cuadriculado):
Se dibuja la estructura a analizar en la rejilla TLM
Los planos conductores perfectos se simbolizan con paredes magnéticas (ρ
= +1, en azul) y los extremos de la guía con paredes de reflexión (en verde),
donde se define el coeficiente de reflexión para ondas incidentes:
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Programa simulación MEFISTO-2D (TLM)
Permite estudiar:
• Los efectos de la forma de onda
• Las propiedades eléctricas de la
guía
• Las condiciones de carga
• La dispersión por discontinuidades
de impedancia en la propagación de
campos
Campo E para los modos TE10 y TE20 Campo E para los modos TE31 y TE22
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Método de Adaptación Modal (MAM)
(Mode-Matching Method)
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Método de Ajuste Modal (MAM)
• Técnica casi analítica: se convierte en numérico
en el momento en que se truncan las series
modales a un número finito de elementos.
• Ideal para cálculos de discontinuidades en guías
y en Microstrip.
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Descripción general del método MAM
Condiciones de contorno
en la unión
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𝑉𝑖𝑎 , 𝑉𝑖
𝑏
Formulación MAM
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Discontinuidad entre Guías
Formulación MAM
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Condiciones de continuidad
Utilizando las expresiones modales anteriores:
Formulación MAM
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Sistema de Ecuaciones Lineales
Para obtener [S] se requieren 2 ecuaciones lineales:
• (1) cumple completamente la condición de campo eléctrico
• (4) no requiere calcular matrices nuevas (B y C)
Solución Sistema Ecuaciones MAM
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Como N < M se escoge la siguiente solución:
Convergencia MAM
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El Problema de la Convergencia Relativa
La Adaptación Modal expande los campos en series
infinitas → se requiere truncar las series
Las series finitas se pueden truncar si son convergentes: Resultados no varían al aumentar el número de modos
En Adaptación Modal se deben truncar 2 o más series a la
vez.
CONVERGENCIA RELATIVA
Convergencia MAM
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Criterios de Convergencia:
Depende del número de modos en cada guía
Debe cumplirse la relación óptima → 𝜌 = 𝑁1 𝑁2
La relación óptima depende de la forma y dimensiones de las
guías. Ejemplo Guías Rectangulares:
• Cambio de Alturas (Plano E), 𝜌𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎 = 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠.
• Cambio de Anchuras (Plano H), 𝜌𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎 = 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎𝑠
• Cambio de Altura/Anchura (Doble Salto),
𝜌𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎 = 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠
Convergencia MAM
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Unión entre guías circulares con doble salto