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POTENCIACIÓN - TEOREMAS
Equipo de Ciencias
APLICACIONES
X cm
X cm
X cm
X cm
x2
x3Longitud
Área
Volumen
APLICACIONES
LEYES DE EXPONENTES Y
TEORÍA DE EXPONENTES II
POTENCIACIÓN: TEOREMAS
PROBLEMAS DE POTENCIACIÓN
RADICACIÓN: TEOREMAS
ECUACIONES EXPONENCIALES
DE BASES IGUALES
ESQUEMA DE LA UNIDAD
DEFINICIÓN DE UNA POTENCIA
an = a . a . a . … . a
n veces
Recuerda que si elevamos un número a (la base) Al exponente n, significa que se multiplica ese número atantas veces como indique el exponente n.
Base
Exponente
DEFINICIONES
EXPONENTE NATURAL
; x R n Z+
EXPONENTE CERO
x0 = 1
; x R – { 0 }
EXPONENTE NEGATIVO
; x R – {0} n Z+
vecesn
n xxxx .................. n
n
xx
1
TEOREMAS DE POTENCIACIÓN
EXPONENTE NATURAL
•3 2 = 3 . 3 = 9
•(-3) 2 = -3 . -3 = 9
•5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
•(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
•x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
•(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
•-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que no se multiplica la base por el exponente.
Si la base es negativa hay que encerrarla en paréntesis.
Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo que sea el resultado de elevar la base a la potencia indicada.
EXPONENTE NATURAL
•3 2 = 3 . 3 = 9•(-3) 2 = -3 . -3 = 9•5 3 = 5 . 5 . 5 = 125•(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125•x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
•(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
•-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
•Recuerda que: •-Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es positivo. •-Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.•-Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.
EXPONENTE CERO
•3 0 = 1
•(-3) 0 = 1
•135 0 = 1
•(-275) 0 = 1
•x 0 = 1
•(-x) 0 = 1
•(x2y3) 0 = 1Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el resultado es uno.
00 no está definido.
EXPONENTE NEGATIVO
•3 -2 =
•(-3) -2 =
•2 -3 =
•(-2) -3 =
•x -5 =
•(x2y3) -7 =
1 1=
32 9
1 1=
(-3)2 9
1 1=
23 8
1 1=
(-2)3 - 81
x5 1
(x2y3)7
x -3 =
y
y 3
x
TEOREMAS DE POTENCIACIÓN• Si a y b son números reales distintos de cero y, m y n son números enteros,
se cumple:
m.nnm a)(a
nmnm a.aa
nm
n
m
aa
a
mmm .ba(a.b)
m
mm
b
a
b
a
Multiplicación de Potencias con Bases Iguales
Potencia elevada a otra potencia
Producto elevado a una potencia
División de Potencias con Bases Iguales
Fracción elevada a una potencia
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS CON BASES IGUALES
• a n . a m = a n + m
Ejemplos:
4 5 . 4 2 = 4 7
x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6
x 2 . x . x 4 = x 7
x + x 3 =
Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes
No se puede aplicar esta ley ya que las potencias no se están multiplicando. La ley aplica cuando tenemos una multiplicación, no aplica en suma.
DIVISIÓN DE POTENCIAS CON BASES IGUALES
7 5 = 75-3 = 72
73
7 5 = 7 2 = 49 7 3
7 5 = 7 0 = 1 7 5
x 3 = x x 2
Ejemplos:
Al dividir bases iguales se restan los exponentes. nm
n
m
aa
a ; a 0
PRODUCTO ELEVADO A UNA POTENCIA
• (a b) n = a n . b n
Ejemplos:
( x y ) 3 = x3y3
( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5
(x + y ) 2 = No se puede aplicar esta ley ya que no hay una multiplicación, hay una suma.
FRACCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA
a n = a n
b b n
2
5
3
y
Se eleva cada término de la fracción a la misma potencia n.
2
y
x
3
2
3
y
x
2
2
y
x
9
10y6
9
y
x
; b 0
POTENCIA ELEVADA A OTRA POTENCIA
(EXPONENTE DE EXPONENTE)
Ejemplos:
(x 2 ) 3 = x 6
(5 3 ) 4 = 5 12
(y 7 ) 0 = 1
Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes
mnnm aa )(
{(22)3}4 = 2 2.3.4
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
5,021
21 16981 P1) Calcula el valor de:
111
4
1
3
1
2
1
Q2) Reducir:
yxy
xyx
C7.33.77
373 11
3) Si: 3x = 7y; reducir:
124927
A4) Calcular:
EVALUACIÓN
05
2
3322
1
Q1) Reducir
2) Calcular: (32)0,252