Potencia
Circuitos Eléctricos 2
Potencia instantánea
La potencia instantánea se define como:
p(t) = v(t) i(t)
Para una resistencia es:
p(t) = v(t) i(t) = i2(t)R = v2(t)/R
Para una bobina:
Para un capacitor:
tdttvtv
Ldttdi
tLititvtp ')'()(1)(
)()()()(
tdttiti
Cdttdv
tCvtitvtp ')'()(1)(
)()()()(
Potencia en el circuito RL
)(1)( 0 tueR
Vti LRt
)(1)()()(2
0 tueR
Vtvtitp LRt
)(1)()(2
202 tueR
VRtitp LRt
R
)(1)()()(2
0 tueeR
Vtitvtp LRtLRt
LL
Potencia de excitación senoidal
RL 1tan222 LR
VI m
m
La respuesta al estado senoidal es:
i(t) = Im cos (t –)
ttIVtvtitp mm cos)cos()()()(
)2cos(2
cos2
cos)2cos(2
)(
tIVIV
tIV
tp
mmmm
mm
Potencia promedio
coscoscoscos 21
21Usando
Ejemplo en Matlab
%Potencia instantanea% senoidal en un circuito RLw = 1000;Vm = 1;R = 50;L = 100e-3;Im = Vm/sqrt(R*R+w*w*L*L);fi = -atan(w*L/R);t = 0:0.00005:0.01;i = Im*cos(w*t+fi);v = Vm*cos(w*t);p = v.*i;plot(t,v,t,i*100,t,p*100)grid
Factor de escala
Potencia promedio = (1)(0.0089)(cos(–1.107)) = 0.002
Voltaje corriente potencia
EjemploUna fuente de tensión de 40 + 60 u(t) un capacitor de 5 F y un resistor de 200 están en serie. Determine la potencia que absorbe el resistor y el capacitor en t = 1.2 ms.
vC(0–) = vC(0+) = 40 V
vR(0+) = 60 V
por tanto
i(0+) = 60/200 = 300 mA
i está dada por
i(t) = 300e– t / mA
= RC = 1 ms
en t = 1.2 ms i = 90.36 mA
la potencia en R es
pR(1.2m) = i2R = 1.633 W
La potencia en C es
i(t)vC(t)
es fácil ver que
vC(t) = 100 – 60e– t / V
vC(1.2m) = 100 – 60e–1.2 V
= 81.93 V
la potencia es
(90.36)(81.93) = 7.403 W
Tarea #14
Una fuente de corriente de 12 cos(2000t) A, un resistor de 200 y un inductor de 0.2 H, están en paralelo. En t = 1ms determine la potencia que absorbe el resistor, el inductor y la fuente senoidal.
13.98 kW, –5.63 kW, –8.35 kW
Potencia promedio o activa
La potencia promedio se define como
2
112
1 t
tdttp
ttP
Para una función periódica
f(t) = f(t + T)
Tt
t
x
x
dttpT
P1
t1 t1+ Ttx tx+ T
p(t)
t
Potencia promedio o activa
nTt
t
x
x
dttpnT
P1
Podemos calcular la potencia promedio como
Si n se hace muy grande y con un intervalo simétrico
2/
2/
1lim
nT
nTndttp
nTP
Ejemplo
T 2T
Im
–T
i(t)
t
T 2T
Im2R
–T
p(t)
t
i(t) = Im t/T 0<t<T
i(t) = Im (t – T)/T T<t<2T
p(t) = Im2 Rt2/T2 0<t<T
p(t) = Im2R (t – T)2/T2 T<t<2T
P = Im2R/3
Potencia en estado senoidal
v(t) = Vm cos(t + )
i(t) = Im cos(t + )
p(t) = Im Vm cos(wt + ) cos(t + )
p(t) = ½Im Vm cos()+½Im Vm cos(2t + )
P = ½Im Vm cos()
Para el estado senoidal
La potencia promedio es:
Ejemplo
Dada la tensión en el domino del tiempo v = 4cos(t/6) V, determine la potencia promedio y una expresión para la potencia instantánea que se produce cuando la tensión fasorial correspondiente a V = 4/_0° V se aplica a través de una impedancia Z = 2/_60° .
Ejemplov(t) = 4cos(t/6) V
Z = 2 60° Ohm
i(t) = 2 cos(t/6–60°) A
P = ½(4)(2)cos() = 2 W
p(t) = 8 cos(t/6) cos(t/6–60°)
=2 + 4 cos(t/3–60°) W
Voltaje corriente potencia
Tarea #15
Dada la tensión fasorial V = 115245° V en una impedancia Z = 16.2619.3° , obtenga una expresión para la potencia instantánea y calcule la potencia promedio (activa) si = 50 rad/s.
767.5 + 813.2 cos(50t + 70.7°)W; 767.5 W
Potencia promedio absorbida por un resistor ideal
En este caso la diferencia de fase es cero, de modo que:
P = ½Im Vm cos(0) = ½Im Vm
RV
RIP mmR 2
22
21
Potencia promedio absorbida por elementos puramente reactivos
En este caso la diferencia de fase es 90° de modo que:
P = ½Im Vm cos(90°) = 0
La potencia promedio entregada a una red formada solo de inductores y capacitores es cero.
Ejemplo
Encuentre la potencia promedio (activa) entregada a cada uno de los elementos pasivos.
ZL = 45j;ZC = -100j;R = 2;V1 = 10*(cos(50*pi/180)+j*sin(50*pi/180));V2 = -5;% Matriz del sistemaZ = [ZL+R, -R; -R, ZC+R];% vector de voltajesV = [V1;V2];% corrientesI = inv(Z)*V;% corriente en RIR = I(1)-I(2);% potencia promedio en RPR = R*abs(IR)*abs(IR)/2;PV1 = abs(I(1))*abs(V1)/2*cos(angle(V1)-angle(I(1)));PV2 = abs(I(2))*abs(V2)/2*cos(angle(V2)-angle(I(2)));fprintf('Potencia promedio en la resistencia = %8.6f\n',PR)fprintf('Potencia suministrada por V1 = %8.6f\n',PV1)fprintf('Potencia suministrada por V2 = %8.6f\n',PV2)fprintf('Suma = %8.6f\n',PV1+PV2)
% +---ZL---+----ZC---+% | | |% V1 R V2% | | |% +--------+---------+
Potencia promedio en la resistencia = 0.037576Potencia suministrada por V1 = 0.042007Potencia suministrada por V2 = -0.004431Suma = 0.037576
Tarea #16
En el circuito de la figura, calcule la potencia promedio que absorbe cada uno de los elementos del circuito.
% +---R1---+----R2---+% | | |% V1 ZL ZC% | | |% +--------+---------+
V1 = 100 VR1 = 4 OhmsR2 = 10 OhmsZL = 5j OhmsZC = -5j Ohms
Transferencia de potencia máxima
Una fuente de tensión independiente en serie con una impedancia Zth o una fuente de corriente independiente en paralelo con una impedancia Zth entrega una potencia promedio (activa) máxima a una impedancia de carga ZL, que es el complejo conjugado de Zth o ZL = Zth
*.Zth
ZL
+
–
Potencia promedio para funciones no periódicas
i(t) = sent + sent no periódica
i(t) = sent + sen 3.14t si periódica
2/
2/
22 sensen2sensen1
lim dtttttnT
P
El valor promedio de sen2t es ½, también el de sen2t es ½. El valor promedio de sent sent es 0. Por lo tanto
P = ½ + ½ = 1 W
Generalizando
i(t) = Im1cosw1t + Im2cosw2t +...+ ImNcoswNt
RIIIP mmm2
N2
22
121 ...
Superposición de potencia para frecuencias diferentes.
EjemplosDetermine la potencia promedio que entrega la corriente I1 = 2 cos 10t – 3 cos 20t A a un resistor de 4 .
Dado que las frecuencias son diferentes
P = ½ (2)24 + ½ (3)24 = 8 + 18 = 26 W.
Determine la potencia promedio que entrega la corriente I2 = 2 cos 10t – 3 cos 10t A a un resistor de 4 .
Como la frecuencia es la misma, se debe escribir la corriente como una sola cosenoidal.
I2 = –cos 10t
P = ½ 124 = 2 W
Valores eficaces de I y V
La potencia entregada a una resistencia R es:
TT
dtiTR
RdtiT
P0
2
0
21
La potencia que entrega una corriente directa es:
P = Ief2R
Igualando y despejando Ief
T
ef dtiT
I0
21
Esta expresión define es el valor RMS (raíz cuadrada media)
RMS de una senoidal
Si
i(t) = Im cos(wt + )
2
2
022cos21
21
2
cos1
/20
/2
0
0
22
m
m
m
T
mef
I
tI
dttI
dttIT
I
RMS y potencia promedio
La potencia promedio en una resistencia R es:
P = ½ Im2 R
Como Im = 2 Ief, la potencia promedio es
P = Ief2 R
P = Vef Ief cos( – )
P = Vef2 /R
Ejemplo
La amplitud de un valor de tensión o corriente senoidal difiere del valor eficaz por un factor de 2.
50/_30° V = 35.4/_30° Vrms
Valor eficaz para varias frecuencias
RIIIP efef2Nef
22
21 ...
Por tanto
Entonces para frecuencias diferentes
2Nef
22
21 ... IIII efefef
RIIIP mmm2
N2
22
121 ...
La potencia promedio de una señal de múltiples frecuencias esta dada por:
EjemploCalcule el valor eficaz de 6 cos 25t
25/2
0 21
21
25/2
0
2
252
50cos36225
25cos361
dtttdt
24.418505018
18225
25/2
0
tsent
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 4 sen(25t + 30°)
function y = rms(f,T)% calcula la raiz cuadrada mediaF = inline(strcat('(',f,').*(',f,')'));Q = quad(F,0,T);y = sqrt(1/T*Q);
La siguiente función en MatLab calcula el valor rms.
rms('6*cos(25*x)+4*sin(25*x+30*pi/180)',2*pi/25)
ans = 6.1644
EjemploCalcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 5 cos225t
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 5 cos30t + 4
Para este caso hay que utilizar
rms('6*cos(25*x)+5*cos(25*x).*cos(25*x)',2*pi/25)
ans = 5.23221
sqrt(rms('6*sin(25*x)',2*pi/25)^2+rms('5*sin(30*x)',2*pi/30)^2+16)ans = 6.8191
2Nef
22
21 ... IIII efefef
Tarea #17Utilice la función rms definida para Matlab para encontrar el valor rms de:
a) 5 cos 40t
b) v(t) = 10 + 9 cos 100t + 6 cos 100t
c) h(t) = 2 + 3 cos100t + 4 cos(101t – 120°)
Potencia aparente
v(t) = Vm cos(wt + )
i(t) = Im cos(wt + )
La potencia promedio es
P = Ief Vef cos()
Al término Ief Vef se le llama potencia aparente y se mide en VA (Volt-Ampere).
Factor de potencia = Potencia promedio/potencia aparente
= cos()
Al ángulo () se le llama ángulo de FP.
Para el estado senoidal
EjemploCalcule valores para la potencia promedio suministrada a cada una de las cargas de la figura, así como la potencia aparente que proporciona la fuente y el factor de potencia de las cargas combinadas.
2-j1
1+j560/_0° Vrms
La tensión eficaz es 60 V rms que aparece a la combinación de la carga
2–j1+1+j5 = 3+j4
La corriente que suministra la fuente es
Is = (60/_0°)/(3+j4) = (60/_0°)/(5/_53.13°) =
12/_–53.13°
La potencia promedio que suministra la fuente es
Ps = (60)(12)cos(0°–53.13°) = 432 W
La potencia aparente es
VefIef = (60)(12) = 720 W
El factor de potencia es
PF = 342/720 = 0.6 (retrasado)
La potencia promedio que se entrega a cada carga es
Psuperior = 122(2) = 288 W
Pderecha = 122(1) = 144 W
Potencia complejaLa potencia promedio esta dada por
P = Ief Vef cos()
Puede escribirse como:
P = Ief Vef Re{e j()}
P = Re{Vef e j Ief e j)}
P = Re{Vef Ief*}
Definimos la potencia compleja como:
S = Vef Ief*
S = P + jQ
Donde Q es la potencia reactiva
S
Q
PRe
Im
Triángulo de potencia
Potencia compleja
Vef
Re
Im
Ief
Iefcos(Iefsen|
El signo de la potencia reactiva caracteriza la naturaleza de la carga a la cual se especifican Vef e Ief.
Si la carga es inductiva, entonces (– ) es un ángulo entre 0 y 90°, el seno de este ángulo es positivo y la potencia reactiva es positiva.
Una carga capacitiva produce una potencia reactiva negativa.
Medición de la potenciaUn wattímetro registra la potencia real promedio consumida por una carga y con un varmetro se obtendrá la potencia reactiva Q consumida por la carga.
La potencia compleja entregada a varias cargas interconectadas es igual a la suma de las potencias complejas entregadas a cada una de las cargas individuales, sin importar cómo están interconectadas.
Ejemploun consumidor industrial opera un motor de inducción de 50 kW (67.1 hp) a FP retrasado de 0.8. La tensión de la fuente corresponde a 230 V rms. Para obtener tarifas eléctricas inferiores, el consumidor debe elevar el FP retrasado. Especifique una solución plausible.Se debe agregar una impedancia para corregir el FP en paralelo con el motor.
S1 S2
I1
V
I2I
–
+
La potencia S1 tiene parte real P = 50 kW y parte imaginaria Q = 50*tan(cos-1(.8)) = 37.5 VA, entonces
S1 = 50 + j37.5 kVA
Si se desea FP = 0.95, la potencia acompleja total debe ser S = 50 + j50*tan(cos-1(.95)) = 16.43 kVA y
S2 = S – S1 = 50 + j16,43 – 50 – j37.5 kVA
= – j21.07 kVA
La corriente que atraviesa S2 es
I2* = S2 /V = – j21.07/230 = – j91.6 A
I2 = j91.6 A
Z2 = V/I2 = 230/ j91.6 = – j2.51
Si f = 60 Hz, un capacitor de
C = 1/(2.51*2**60) = 1.056 mF
Terminología de potenciaTérmino Símbolo Unidad Descripción
Potencia instantánea p(t) W p(t) = v(t)i(t) valor de la potencia en un instante cualquiera
Potencia promedio P W En el estado senoidal
Valor eficaz o rms Vrms o Irms V o A Senoidal Im/2
Potencia aparente |S| VA |S| = Vef Ief
Factor de potencia PF Ninguna 1 para cargas puramente resistivas y para cargas puramente reactivas
Potencia reactiva Q VAR Para medir flujo de energía en cargas reactivas
Potencia compleja S VA S = P + jQ
ejemploEl voltaje suministrado por la fuente es de 440 a una carga ZL = 10+2j a través de una línea de transmisión que tiene una resistencia total de 1.5 . Determine a) potencia promedio y aparente suministrada a la carga; b) potencia promedio y aparente perdida en la línea; c) potencia promedio y aparente suministrada por la fuente; d) factor de potencia de la fuente.
Vm = 440;ZL = 10+2j;R = 1.5;% a) potencia pormedio y aparente suministrada a la cargaI = Vm/(ZL+R); % corriente totalIm = abs(I); % amplitud de la corrienteVmL = abs(I*ZL);P = real(ZL)*Im*Im % potencia promedio cargaPA = VmL*Im % potencia aparente carga% b) potencia pormedio y aparente perdida en la lineaVmlinea = abs(I*R);Plinea = R*Im*Im % potencia promedio lineaPAlinea = Vmlinea*Im % potencia aparente carga% b) potencia pormedio y aparente suministrada por la lineaPfuente = real(ZL+R)*Im*Im % potencia promedio fuentePAfuente = Vm*Im % potencia aparente carga% d) factor de potenciaPfuente/PAfuenteRespuestas: 14.21 KW, 14.49 kVA; 2.131 kW; 16.34 kW, 16.59 kVA; 0.985 retrasado
TareaPara el circuito determine la potencia compleja que absorbe: a) el resistor de 1 Ohm, b) el capacitor dr -10j Ohms, c) la impedancia de 5 + 10j Ohms, d) la fuente.
+---R1---+-------+ R1 = 1 Ohms| | | R2 = 5 Ohms| R2 | L = 10j Ohms| | | C = -10j OhmsV | C V = 120 Vrms| | || L || | |+--------+-------+
Solución: 26.6 + 0j VA; 0 – 1.331j VA; 532 + 1065j VA; -559 + 266j VA.