Estadística y Probabilidad
1. Una persona está manejando un carro en una autopista a 70 km/h y nota que el número de autos a los que pasa es igual al número de autos que a ella le pasan. Los 70 km/h son el promedio, la mediana o la moda de las velocidades de los autos en la carretera.
Al ser el mismo número de autos los que le rebasan, como los q rebasa. Este valor se en encuentra en la mitad de todos los valores. Es por esta razón que 70 km/ h es la mediana.
3. Dada n=9 mediciones: 5, 8, 8, 4, 4,9, 7, 5, 4. Determine:
a) Media Aritmética
x=∑i=1
k
xi
n
x= 549
x= 6
b) La mediana
4, 4,4,5,5,7,8,8,9La mediana es 5
c) sXi Xi - Xp (Xi – Xp)2
4 -2 44 -2 44 -2 45 -1 15 -1 17 1 18 2 48 2 49 3 9
s=2√∑i=1
n
(Xi−X )2
n−1= √ 32
8 =2
d) El rango
Rango= 9 - 4Rango = 5
e) RIQ
RIQ= (Q3-Q1)RIQ= 8 – 4RIQ= 4
f) Asimetría
As=∑i=1
n
(Xi−X )3/n
s3
As= 28
As= 0,25
Xi (Xi – Xp)3
4 -84 -84 -85 -15 -17 18 88 89 27
g) Curtosis
Ap=∑i=1
n
(Xi−X )4/n
s4 −3
Ap= 164/9
24 - 3
Ap= -1,8
5. Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000, 5000, y 10000 dólares, respectivamente. Si el primero le rinde un 5% anual, el segundo un 4% anual y el tercero un 2% anual. ¿Cuál es el tipo de interés que recibe?
Primero2000( 5100
): = 100
Segundo5000( 4100
): = 200
Tercero: 10000( 2100
) = 200
Total: 500( 100 %17000
) = 2, 94%
7. En una bodega de venta de licores se registró las principales características de 25 marcas de whiskys.
N° de Whisky Precio de Venta
Proporción de malta Categoría Tiempo de
AñejamientoNota de Calidad
123456789
10111213141516171819202122232425
7060657470737055936287788390
1101139682
1271609086
10010095
20202025253030303333333540404040404545
100100100100100100
1111111122222222222333333
55
7.51212585
6.58
8.58.58
5.5128.512128.5121212101112
3222300213324211334342330
a) Identificar el tipo de dato que representa a cada una de las variables
Al ser datos que expresan cantidades, el precio de venta, la proporción de malta y el tiempo de categoría serán datos cuantitativos.
Mientras que al ser valores que expresan una cualidad del producto; la categoría y la nota de calidad serán datos cualitativos.
Todos estos datos son datos discretos ya que los valores son distintos y separados; es decir se los puede contar.
b) Realice un diagrama de tallo y hojas para el precio de venta y el tiempo de añejamiento
Precio de Venta
56789
10111216
5025000138236700356000370
Tiempo de Añejamiento
001
5,5,5,55.5,6.5, 7.5, 8, 8, 8, 8.5,8.5,8.5,8.50,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2
c) Calcule el promedio, la moda y la mediana del precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento
PrecioPromedio
x=∑i=1
k
xi
nXP= 2186 = 87,56 25
Moda
El precio que más se repite es 70
Mediana
55,60,62,65,70,70,70,71,73,78,82,83,86,87,90,90,93,95,96,100,100,110,113,127,160El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 86.
Proporción de Malta
Promedio
x=∑i=1
k
xi
nXM = 1224 = 48,96
25
Moda
La proporción que más se repite es 100
Mediana
20,20,20,25,25,30,30,30,33,33,33,35,40,40,40,40,40,45,45,100,100,100,100,100,100El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 40.
Tiempo de Añejamiento
Promedio
x=∑i=1
k
xi
nXT= 226.5 = 9.06 25
Moda
El tiempo que más se repite es 12
Mediana
5,5,5,5,5.5,6.5,7.5,8,8,8,8.5,8.5,8.5,8.5,10,11,12,12,12,12,12,12,12,12,12El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 8.5.
d) Encuentre la desviación estándar, el RIQ y el coeficiente de variación del precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento.
PrecioDesviación Estándar
s=2√∑i=1
n
(Xi−X )2
n−1
sP= = √ 12970,1625 –1
= 23,24
RIQ
RIQ = Q3 – Q1RIQ = 100 – 70RIQ = 30
Coeficiente de Variación
CV= sx
CV = 0,27
Proporción de MaltaDesviación Estándar
s=2√∑i=1
n
(Xi−X )2
n−1
sM= √ 21764,9625 –1
= 30,11
RIQ
RIQ = Q3 – Q1RIQ = 45 – 30RIQ = 15
Coeficiente de Variación
CV= sx
CV = 0,61
Tiempo de Añejamiento
Desviación Estándar
s=2√∑i=1
n
(Xi−X )2
n−1
sM= √ 174,662525– 1
= 2,697
RIQ
RIQ = Q3 – Q1RIQ = 12 – 6,5
RIQ = 5,5
Coeficiente de Variación
CV= sx
CV = 0,29
e) Calcule los coeficientes de asimetría y de apuntamiento de precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento.
Precio
Coeficiente de Asimetría
As=∑i=1
n
(Xi−X )3/n
s3
As= 14812,8104 (23,24)3
As= 1,18
Coeficiente de Apuntamiento
Ap=∑i=1
n
(Xi−X )4/n
s4 −3
Ap= 53862,91 - 3 (23,24)4
Ap= - 2,8
Proporción de Malta
Coeficiente de Asimetría
As=∑i=1
n
(Xi−X )3/n
s3As= 26332,83187 (30)3
As= 0,9
Coeficiente de Apuntamiento
AP=∑i=1
n
(Xi−X ) 4/n
s4−3
Ap= 2519855,592 - 3 (23,24)4
Ap= 5,6
Tiempo de Añejamiento
Coeficiente de Asimetría
As=∑i=1
n
(Xi−X )3/n
s3As= -4,03 (23,24)3
As= 0,04
Coeficiente de Apuntamiento
As=∑i=1
n
(Xi−X )4/n
s4
Ap= 44742,14312 - 3 (23,24)4
Ap= -2,85
f) Realice un gráfico de barras de la categoría y de la nota de calidad.
Categoría
Categoría 1 Categoría 2 Categoría 30
2
4
6
8
10
12
8
11
6
Nota de Calidad
0 1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3 3
7
9
3
9. Dados los datos y sus frecuencias:
xi 2 5 7 10ni 8 12 16 14
Halle:
a) Media Aritmética
x=∑i=1
k
(¿ )(xi)
n
x= 32850
x= 6,56
b) La moda
Es 7 al ser el valor que más se repite.
c) s
xi ni Xi - X̄ (Xi – Xp)2 ni(Xi – Xp)2
2 8 -4,56 20,7936 166,34885 12 -1,56 2,4336 29,20327 16 0,44 0,1936 3,0976
10 14 3,44 11,8336 165,6704
∑i=1
n
(Xi−X )2 = 364,32
s=2√∑i=1
n
(Xi−X )2
n−1
s= √ 364 ,3249
s=2,72673835
d) El rango
Rango = 10-2Rango = 8
11. Se realizó una investigación sobre el precio de zapatos deportivos, de similares características en diversos almacenes de la ciudad, obteniéndose los siguientes datos (dólares):
50 43 39 43 40 38 35 25 37 3249 43 39 44 40 38 33 26 36 3049 43 39 44 40 38 33 27 36 3047 41 39 45 40 37 33 27 35 3046 41 38 46 40 37 32 28 35 28
a) Determine la distribución de frecuencias individuales de los datos
Valor datos
Frecuencia absoluta
F. absoluta acumulada
Frecuencia relativa
F. relativa acumulada
25 1 1 0,02 0,0226 1 2 0,02 0,0427 2 4 0,04 0,0828 2 6 0,04 0,1230 3 9 0,06 0,1832 2 11 0,04 0,2233 3 14 0,06 0,2835 3 17 0,06 0,3436 2 19 0,04 0,3837 3 22 0,06 0,44
38 4 26 0,08 0,5239 4 30 0,08 0,640 5 35 0,1 0,741 2 37 0,04 0,7443 4 41 0,08 0,8244 2 43 0,04 0,8645 1 44 0,02 0,8846 2 46 0,04 0,9247 1 47 0,02 0,9449 2 49 0,04 0,9850 1 50 0,02 1
Total 28 1 1
b) Elabore la distribución de frecuencias con datos agrupados por clases;
Clase=50−25
5=5
Intervalo Frecuencia[24 – 29[ 6[29 – 34[ 8[34 – 39[ 12[39 – 44[ 15[44 – 49[ 6[49 – 54[ 3
c) A partir de la distribución obtenida, trace el histograma.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
24 29 34 39 44 49 54
Organigrama
13.- A partir de la siguiente distribución de frecuencias
xi 1.2 2.3 3.5 5.4 7.8 8.3 12.1ni 2 4 4 6 3 5 1
Encuentre:
a) Los cuartiles inferior, superior y la mediana.
Q1= P25;
nk /100= 25∗25
100 = 6.25 = r + t
Q1= X6+1 = 3.5
Q3= P25;
nk /100= 25∗75
100 = 18.75
Q3= X18+1= 7.8
Mediana= X13 = 5.4
b) La media armónica
MH=n
∑i=1
n 1xi
= 25
21.2
+ 42.3
+ 43.5
+ 65.4
+ 37.8
+ 58.3
+ 112.1
= 3.715
c) La media geométrica
MG= n√∑i=1
n
xin1 = 25√(1.2 )2 ¿¿ = 4.584
15. Los siguientes datos se obtuvieron de una encuesta sobre las condiciones de vida, en el área rural de los cantones Zapotillo y Macara y corresponden al número de hombres y de mujeres que integran las familias encuestadas.
Hombres Mujeres Hombres Mujeres
Hombres
Mujeres
Hombres
Mujeres
4 4 3 2 2 2 7 45 5 3 4 3 3 3 34 1 4 3 6 3 2 23 2 2 3 2 4 4 46 1 2 4 4 6 5 43 4 0 4 6 7 2 47 1 3 7 4 2 5 25 2 3 3 2 3 4 35 8 1 3 5 4 4 1
a) Realice un diagrama de puntos de los datos, clasificados por sexo
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Hombres
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mujeres
b) Realice la tabla de frecuencias y el histograma de los datos, según el sexo de los encuestados;
Longitud de clase (Hombres) ¿7−0
4=1.75
Longitud de clase (Mujeres): ¿8−1
4=1.75
Intervalo Frecuencia Absoluta
Frec. Absoluta Acumulada
Frecuencia Relativa
Frec. Relativa Acumulada
Hombres Mujeres HombresMujere
s Hombres Mujeres Hombres Mujeres Hombres Mujeres[0 ; 1,75[ [0 ; 1,75[ 2 4 2 4 0,055 0,111 0,055 0,111
[1,75 ; 3,5[ [1,75 ; 3,5[ 15 16 17 20 0,416 0,444 0,471 0,555[3,5 ; 5,25[ [3,5 ; 5,25[ 14 12 31 32 0,388 0,333 0,859 0,888[5,25 ; 7[ [5,25 ; 7[ 3 1 34 33 0,083 0,027 0,942 0,915[7 ; 8,75[ [7 ; 8,75[ 2 3 36 36 0,055 0,083 1 1
16 36 1 1
Hombres
1.75 3.5 5.25 7 8.750
2
4
6
8
10
12
14
16
2
1514
32
Mujeres
1.75 3.5 5.25 7 8.150
2
4
6
8
10
12
14
16
18
4
16
12
1
3
c) Construya el diagrama de caja de los datos;
mín Q1 Q2 Q3 máxHombres 0 2 4 5 7Mujeres 1 2 3 4 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D
Valores Y
Hombres Mujeres
Núm
ero
d) Interprete y compare los resultados obtenidos en a), b), c)
En las gráficas obtenidas en la sección a y b, se puede apreciar claramente que el mayor número de familias encuestadas están conformadas por un número entre tres y cuatro hombres, cómo también mujeres.
Para la sección c se puede apreciar en el caso del hombre que la mediana se encuentra en la mitad de la caja indicando que los datos son simétricos. Además la vallas son iguales por lo que denotada que no existen valores atípicos.
En el caso de las mujeres, a pesar que se muestra simetría en los datos al estar la mediana en la mitad de la caja, las vallas no son iguales, por lo que permite conocer que existen valores atípicos.
e) Determine el número total de miembros en cada familia. Con estos datos trace el diagrama de puntos, el diagrama de tallo y hojas, la tabla de frecuencias, el histograma y el diagrama de caja. Interprete lo obtenido.
Número de Miembros de cada Familia
8 5 4 1110 7 6 65 7 9 45 5 6 87 6 10 97 4 13 68 10 6 77 6 5 7
13 4 9 5 Diagrama de punto
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Diagrama de tallo y hojas
Tabla de frecuencias
Intervalo Frec. Absoluta
Frec. Absoluta Acumulada
Frec. Relativa
Frec. Relativa Acumulada
[3,75 ; 6[ 10 10 0,277 0,277[6 ; 8,25[ 17 27 0,472 0,75
[8,25 ; 10,5[ 6 33 0,166 0,915[10,5 ; 12,75[ 1 34 0,027 0,942[12,75 ; 15[ 2 36 0,055 1
0 444455555566666660 77777778889991 000133
Histograma
3.75 6 8.25 10.5 12.75 1502468
1012141618
10
17
6
12
Diagrama de caja
mín Q1 Q2 Q3 máxHombres 4 5 7 8 13
0123456789
1011121314
D
Valores Y
Miembros Mujeres
Núm
ero
Interpretación
Se puede apreciar claramente tanto en el diagrama de puntos como en el histograma que la mayor parte de familias están conformadas por 6 o 7 personas.Sin embargo, en el diagrama de caja se puede ver que no existe una simetría en los datos ya que la mediana no se encuentra en la mitad de la caja. Además, las vallas no tienen el mismo tamaño, lo que indica que existen datos atípicos.
17. En una investigación sobre la razón por la que la frecuencia habían colas muy largas en las cajas de un banco, se obtuvo información del tiempo (en minutos) requerido para atender a los clientes. Se tomaron 50mediciones en una caja las cuales se dan a continuación.
6 5,9 4 3,1 1,9 5,3 2,1 5,2 2,9 5,24,8 4,8 5,1 6 4,2 4,4 5,3 1,4 4,4 4,15,2 2,8 4,7 1,8 5,1 5,8 2,9 5,7 3,8 5,83,6 4,4 2 2,8 4,8 3,1 1,5 5,9 3,6 4,63,7 4,5 3,9 2,3 5,5 5,3 5,8 2,4 5,5 3,7
a) Calcule la desviación estándar, y su aproximación a partir del rango
s=2√∑i=1
n
(Xi−X )2
n−1
s= √ 88,949
s= 1,3477
b) Determine
Xp= 4,172
Xp±s = (2,82:5,52)Xp±2s = (1,48:6,87)Xp±3s = (0,13:8,22)
c) Determine el número de observaciones que se encuentran en cada uno de los intervalos
Xp±s = 32Xp±2s = 49Xp±3s = 50
d) Construya el diagrama de caja de los datos y compare los resultados de la parte b) ¿Qué observa?
Q1 Q2 Q3 X min X máx.3,1 4,4 5,3 1,4 6
1,44 2,58 3,72 4,86 6
Se puede apreciar que la distribución no es simétrica ya que la mediana no se encuentra en la mitad de la caja.
Además puede apreciar que las vallas no tienen longitudes iguales por lo cual se puede conocer que existen valores atípicos en los datos.
19.- Las notas de un examen de 6 alumnos son: 6,5,9,19,3,18. Un alumno aprueba si su nota es mayor o igual que el promedio y que la mediana de las notas. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen.
x=∑i=1
k
xi
n
x= 10
Mediana= 7,5
%=26
(100 )=33,33 %
21. El kilometraje que marca un auto, luego de 4 años de uso, es 100mil kilómetros. Si el dueño lo compró nuevo y lo hace descansar 1 día, luego de usarlo 4 días seguidos, ¿cuál es el recorrido promedio diario de los días manejados, considerando años de 365 días?
1díausa( 5días4díausa )( 100000 km
(4 ) (365 )días )=85 ,616km
El automóvil ha circulado un promedio diario de 85,616 Km.
23. Se tiene cuatro números. Al añadir el promedio de tres de ellos al número restante, se obtiene los números 17,21,23,29 . Si se excluye al mayor de estos números. ¿ Cuál es el promedio de los tres restantes?
(a+b+c)/3 + d= 17 (a+b+d)/3 + c = 21 (a+c+d)/3 +b = 23 (a+d+b)/3 +a=9
1) a+b= 63-d-3c2) c+d=69-3d-3c3) c+d=87-b-3a4) a+b = 51-c-3d
1 y 263-d-3c=51-c-3d5) c=6+d
2y 3 69-3d-a=87-b-3a6) -b+a=9
5 y 6 en 19+b+b=63-d-3c7) b+2d=18
5 y 6 en 26+d+d=69-3b-a8) 2b+d=27
7 en 82(18-2d)+d=27 d=3
d en 72b+3=27b=12
-12+a = 9a= 21
6+3=c9=c
A,b,c,d = 21,12,9,3
(12+9+3)/3 = 8
25. El promedio de 53 números es 600. Si se eliminan 3 números consecutivos, se observa que el nuevo promedio aumenta en 5% ¿Cuál es el mayor de dichos números consecutivos?
x=
∑i=1
k
xi
n
600 = ∑x 53
∑x1 = 31800
x=
∑i=1
k
xi
n
630 = ∑x 50
∑X1 = 31500
31800 – 31500 = 300
99 + 100 + 101 = 300 R: 101
27. Calcule la mediana de los siguientes datos.
Intervalo Frecuencia10—2020—3030—40
335
40—5050—60
812
Intervalo Frecuencia Frec. acumulada10—2020—3030—4040—5050—60
3358
12
36
111931
n = 31 → n2 = 15.5
La mediana está en el intervalo (40—50)
A = 50 – 40 = 10
Mediana = 40 + 15.5−11
8 * 10
Mediana = 45.625
29. En una reunión hay 50 varones con una edad media de 20,5 años y 25 mujeres, las que en promedio son 1/10 más jóvenes que los varones. Halle el número entero más próximo a la eded media de las personas de dicha reunión.
xi ni. Edad MediaHombres 50 20,5Mujeres 25 y
edad mujeres: (20,5 – 20,510 )= 18,45
Edad promedio= 20,5+18,45
2 = 19,5 ≈20
La edad media de las personas es 20 años.
31. Si cada uno de los 28 millones de habitantes de cierto país come, en promedio, 12 kg de pescado al año, entre conservas enlatadas y pescado fresco, siendo este rubro cuatro veces el de conserva. Cuantas toneladas de pescado fresco se consumen en promedio por año.
Una persona come en promedio 12kg de pescado al año y come 4 veces más fresco que de conserva:
12kg( 45)=9,6kg
9.6kg×28 ' 000000=268 ' 800000 kg
268 ' 800000 kg× 1Tn1000kg
=268800Tn
Se consumen 268800 Tn de pescado al año
33. De los datos de una tabla de distribución de frecuencias, con 5 intervalos de clase y ancho de clase común, se observo que Q2= 24, x1= 16, X3= 24, n3= 2n1, n5= 2n2. Qué porcentaje del total son menores que 30?
Intervalos Punto medio Frecuencia[16, 20[ 18 n1[20, 24[ 22 n2[24, 28[ 26 2n1[28, 32[ 30[32, 36[ 34 2n2
(4 ) 10020
=20 %
20% (4n)= 80 % menos de 30
35. La siguiente tabla muestra la distribución de sueldos de 210 trabajadores de una empresa. Debido al aumento de la productividad, los sueldos sufrieron un incremento del 10% y adicionalmente, un aumento de 50 dólares. Halle el nuevo sueldo promedio.
Sueldos Trabajadores600 - 700 100700 - 800 20800 - 900 60
900 - 1000 201000 - 1100 10
Sueldos 10% Aumento $50 Total Trabajadores650 65 50 765 100750 75 50 875 20850 85 50 985 60
950 95 50 1095 201050 105 50 1205 10
x=∑i=1
k
nixi
n
X =(765)(100)+(875)(20)+(985)(60)+(1095)(20)+(1205)(10) 210
X =187050 = 890.71 210
37.- En la siguiente ojiva se muestran los sueldos de los trabajadores de un organismo estatal. Halle la diferencia entre el promedio y la mediana
Intervalo L. Superior Fr. Absoluta Fr. Relativa Fr. Rel. Acumulada300-600 450 30 0.3 0.3600-900 750 18 0.18 0.48
900-1200 1050 22 0.22 0.71200-1500 1350 25 0.25 0.951500-1800 1650 5 0.05 1
100 1
x- Med =6,27
39. En la siguiente tabla se muestra la distribución de frecuencias de las ventas realizadas por los 60 locales de un centro comercial popular de la ciudad de Quito. Si los intervalos tienen igual longitud halle el promedio, la mediana y la desviación.
x̄=(450 )(30 )+(750 )(18)+(1050)(22)+(1350)(25 )+(1650 )(5 )100
x̄=921
Med=900+(50−4822 )300
Med=927 .27
Ventas Punto medio Fr. Absoluta Fr. Abs. Acu. Fr. Relativa nixi20-30 25 12 12 0.2 30030-40 35 3 15 0.05 10540-50 45 18 33 0,3 81050-60 55 15 48 0.25 82560-70 65 12 60 0.2 780
x=∑i=1
k
nixi
n
x̄=(25)(12)+(35)(3 )+( 45)(18 )+(55)(15 )+(65 )(12)60
x̄=47
d=√∑i=1
k
nixi2−n x̄2
n−1
d=√(12∗252+3∗352+18∗452+15∗552)−60(47 )2
59d=13.75
Med=40+(30−1518 )∗10
Med=48 .33