Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez

Parmetros De Lneas De TransmisinDescripcin Fsica

Tensin KV Separacin fases (m) Altura torre (m) Numero aisladores

15 1 a 1,4 12 a 13 1

23 1,4 a 1,6 12 a 13 1a2

Separacin tpica entre fases 66 110 2a3 3a5 13 a 18 15 a 21 4a6 7 a 10

154 4,5 a 6 18 a 24 8 a 11

220 5,0 a 7,5 21 a 30 11 a 20

500 12 a 14 30 a 38 20 a 38

Estructuras alternativas

Tipos de aisladoresAislador de apoyo Aislador de suspensin

Definicin grafica de los parmetros de lnea

Efecto por campo magntico Efecto por campo elctrico Efecto por prdidas en calor en conductores Efecto por prdidas de corrientes de fuga por los aislantes

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Equivalente por fase de una Lnea con Parmetros Distribuidos.

( )

Unidades de medida de los conductores

1 CM: rea de un conductor cuyo dimetro es igual a 1 Mil ( )

(Mil circular mil)

Calibres AWG (American Wire Gage)N AWG 4/0 3/0 2/0 1/0 1 2 3 --36 Dimetro Mils 460/1 = 460 460/K 460/k2 460/k3 460/k4 460/k5 460/k6 --460/k39 = 5

La razn entre dimetros consecutivos se mantiene constante

Secciones y dimetros de conductoresCalibre AWG 4/0 3/0 2/0 1/0 1 2 3 4 5 6 7 8 Seccin en CM 211.600 167.860 133.100 105.500 83.690 66.370 52.630 41.740 33.100 26.250 20.820 16.510 Seccin en mm2 107,2 85,1 67,4 53,5 42,4 33,6 26,7 21,1 16,8 13,3 10,5 8,4 Calculado 11,68 10,41 9,27 8,25 7,35 6,54 5,83 5,19 4,62 4,12 3,66 3,26 Dimetro en mm. Tablas 13,30 11,80 10,50 9,40 8,34 6,54 5,83 5,19 4,62 4,11 3,66 3,26

4.1-

Resistencia Serie

Como la lnea esta formada por conductores fsicos, tienen una resistencia elctrica que es la principal causante de las perdidas de energa que se manifiesta en forma de calor.

Resistencia hmica (de d.c.)La resistividad de un conductor varia linealmente con respecto a la temperatura entre 0 y 100 C Unidades de medida: Resistividad del conductor a una temperatura T en C

Coeficiente de temperatura relativa a 0

Este coeficiente depende del material y de la temperatura de referencia. Es positivo para los metales y negativo para los aislantes y aproximadamente cero para algunas aleaciones

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza GonzlezResistencia del conductor a una temperatura T1 en C ( ) Resistencia del conductor a una temperatura T2 en C ( ) Relacin de la resistencia de un conductor a una temperatura T1 y T2

Resistividad del conductor a una temperatura T1 en C

Resistividad del conductor a una temperatura T2 en C

Relacin de la resistividad de un conductor a una temperatura T1 y T2 ( ( ))

Relacin de la resistencia de un conductor a una temperatura T1 y T2 ( ( ))

Algunas caractersticas de conductoresConductor Cobre recocido Cobre duro, estirado en frio Aluminio duro, estirado en frio Acero % [/mm2/m] 100% 97% 62% 12,3% [ /m/mm2] 0,017241 0,01772 0,02781 0,14017 0 a 0C 0,00427 0,00414 0,00438 0,00471 1 a 20C 0,003934 0,003823 0,004027 0,004305

Tipo de conductores:Conductor macizo Conductor de 3 hilos Conductor de 7 hilos

Los conductores cableados, aunque tengan igual seccin y longitud que uno macizo, presentan una mayor resistencia debido a que las hebras componentes van trenzadas, por lo que su longitud es mayor que la del cable mismo. En general, para representar este efecto, se suele considerar un incremento porcentual de la longitud y por ende de la resistencia, como el sealado: Para conductores de 3 hilos: aumento de 1% Para conductores de 7 hilos: aumento de 2% Para conductores de ms de 11 hebras aumento de 3%

Resistencia Efectiva (de c.a.) La densidad de corriente solamente es uniforme en el caso que el conductor este recorrido por C.C. El efecto superficial, skin, piel o kelvin se produce en el caso de corriente alterna a mayor frecuencia, la densidad de corriente se incrementa en la superficie, disminuyendo en la zona central del conductor, Esto trae consigo una disminucin de la superficie til del conductor y por tanto un aumento de la resistencia. Para este caso se mide la potencia perdida en el conductor y la corriente que circula por el tal que:

El efecto de Proximidad es la tendencia de la corriente de viajar en otros patrones no deseables - vueltas o distribuciones concentradas, debido a la presencia de campos magnticos generados por conductores cercanos. ( ) ( Ks: Efecto Skin Kp: Efecto proximidad )

Resistencia Serie de Lneas Trifsicas Caso I: Simple circuito con conductores en Haz Caso II: Lnea doble circuito con conductores en Haz

RTabla se obtiene de las tablas de conductores donde aparecen columnas de resistencias de distinto calibre a 25C y 50C, ambas columnas a 50HZ donde ya estn en las unidades de /km, y h es la cantidad de conductores por cada fase (Haz de conductores)

RTabla se obtiene de las tablas de conductores donde aparecen columnas de resistencias de distinto calibre a 25C y 50C, ambas columnas a 50HZ donde ya estn en las unidades de /km, y h es la cantidad de conductores por cada fase (Haz de conductores)

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez

4.2-

Conductancia ShuntEste parmetro representa las corrientes de fuga que circulan a travs de los aislantes hacia tierra, generalmente se desprecia.

4.3-

Reactancia Serie

Suposiciones: Conductores suficientemente largos, Macizos y cilndricos Conductores no magnticos = 0 Densidad de corriente uniforme No se considera retorno por tierra

Enlace de flujoEs la cantidad de flujo magntico que atraviesa una superficie de trayectoria C ( )

( )

Enlace de flujo de un conductor que transporta una corriente i Se considerar un conductor macizo, circular, de radio a, muy largo (infinito), con densidad de corriente uniforme y no magntico. Simetra cilndrica: el vector campo magntico en un punto de un plano de simetra para las corrientes es normal al plano y al mismo tiempo es antisimtrico. ( )

Las lneas de flujo magntico externas al conductor, enlazan completamente la corriente que transporta. En cambio, las lneas de flujo internas al conductor, enlazan porciones variables de la corriente que transporta. ( )

Punto dentro del conductor ra ( )

( )

Contribucin interna () () () ()

Contribucin externa

()

()

Finalmente: () ( )

Usualmente se escribe en la forma compacta: ()

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Enlace de flujo del conductor a en presencia de un conductor vecino bSe asume medio lineal, por lo tanto, se puede aplicar la superposicin de los enlaces. ( )

( )

(

)

( )

( )

Enlace de flujo del conductor a debido a su propia corriente ia considerando nula la corriente ib () ( )

Enlace de flujo del conductor a debido a la corriente ib considerando nula la corriente ia.

Se supone que: dab >> a, b; por lo que resulta una buena aproximacin, considerar el conductor a filamentario ( )

( )

()

()

( )

El enlace total ser:

Considerando que no hay retorno por tierra:

Para considerar todo el enlace de flujo, se extiende la superficie S hacia el infinito

Por lo tanto:

Enlace de Flujo de un conductor en un sistema multiconductorEnlace de flujo del conductor k en un sistema multiconductor Donde se definen las inductancias aparentes:

Enlace de flujo para el conductor k

[

]

[

] [ ]

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Inductancia de Lneas TrifsicasCada una de las fases est formada por: na, nb y nc subconductores, respectivamente. La corriente por subconductor dependiendo de la fase ser (aproximadamente): ia/ na, ib/ nb, ic/ nc

Cada subconductor k de la fase (a) estar enlazado por un flujo magntico ( )

ak

( Slo la fraccin 1/na de la corriente ia total del conductor (a) es enlazada por el flujo ak; as el enlace de flujo (de la corriente iak) del subconductor ak es:

)

El enlace de flujo total del conductor (a)

(

)

:

Media geomtrica de las distancias entre los conductores de la fase

(a). Se conoce como el radio medio geomtrico de la fase (a) (RMGa) : Radio medio geomtrico del conductor ak Media geomtrica de las distancias entre los conductores de las fases a y b. Se conoce como distancia media geomtrica entre las fases a y b. (DMGab)

La lnea trifsica con na, nb y nc y conductores en cada una de sus fases, respectivamente, se ha transformado a una lnea trifsica equivalente con un conductor por fase.

[

]

[ ]

[

]

Lneas Trifsicas Simtricas

(

) Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

Unidades de medida: La reactancia serie: La inductancia por fase:

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Lneas Trifsicas AsimtricasNo es posible obtener una inductancia por fase, debido a que las inductancias mutuas son diferentes. Por lo tanto, la lnea en este caso, es un elemento no simtrico. Para que la lnea sea un elemento simtrico, hay que transponerla.

Lneas Trifsicas Asimtricas TranspuestaLa transposicin consiste en intercambiar cclicamente las posiciones fsicas de las fases, de modo que cada fase ocupe todos los lugares posibles en todo el recorrido de la lnea. Con la transposicin se logra que cada fase tenga una misma inductancia promedio.

Enlace de flujo del conductor a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

El enlace de flujo promedio de los conductores de las fases (a), (b), (c)

( ( (

) ) )

(

)

(

)

De manera idntica se resuelve para los enlaces de flujos de las restantes fases de manera que: Y las inductancias mutuas quedan cero

Esta expresin, se puede aplicar a cualquier lnea trifsica, ya sea de un circuito (circuito simple) o doble circuito, con o sin conductores en haz.

Caso 1: Simple circuitoSi los 3 conductores son idnticos:

Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

Donde: Donde r` se obtiene de tablas La inductancia por fase: Unidades de medida: (se obtiene de tablas)

Reactancia Serie

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Caso 2: Simple circuito conductores en HazLas distancias entre los subconductores de un haz son pequeas comparadas con las distancias entre los haces.

Los tres haces son iguales

Las inductancias mutuas son cero y las propias son: En general: Donde r` se obtiene de tablas Cada fase est integrada por dos o ms subconductores formando un haz, todos de igual radio y separados entre s por distancias muy pequeas (30 a 40 cms). Esta configuracin se utiliza en lneas de EAV. Se reduce la intensidad del campo elctrico en las superficies de los conductores, lo cual a su vez, reduce o elimina el efecto corona y sus resultados: Prdida de potencia, interferencia en las comunicaciones y ruido audible. Se reduce la reactancia serie de la lnea al incrementar el RMG de las fases. Unidades de medida: (se obtiene de tablas)

( (

) ) ( )

La inductancia por fase:

Reactancia Serie

Caso 3: Lnea doble circuito

Unidades de medida: (se obtiene de tablas)

Se calculara el flujo promedio enlazado de conductor a1 y del conductor a2 en los tres tramos, para luego calcular el flujo promedio entre estas dos lneas paralelas y as obtener el parmetro La, desarrollo idntico para las restantes fases.

Enlace de flujo del el conductor a1 del circuito 1( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(( )

(

)

)

(

)

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza GonzlezEn funcin de las distancias del primer tramo:( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

El enlace de flujo promedio del conductor a1 (( ) ( ) ( )

)

( (

( ))

)

Enlace de flujo del conductor a2 del circuito 2( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

(

)

)

( )

(

)

En funcin de las distancias del primer tramo:( )

(

)

( )

(

(

)

)

( )

(

)

El enlace de flujo promedio del conductor a1 (( ) ( ) ( )

)

( (

( ))

)

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza GonzlezEl enlace de flujo promedio del conductor a (a1 con a2) ( )

( (

( ) ( ) (

)

(

) ( ) ( ) (

)

(

) ))

(

(

))

( ( ( ( )

)

))

Finalmente: Los RMG para las distintas fases son: Donde: Las inductancias mutuas son cero y las propias son: La inductancia por fase: Reactancia Serie Las DMG entre las fases son: Donde:

Caso 4: Lnea doble circuito con conductores en hazLas inductancias mutuas son cero y las propias son:

Las DMG entre las fases son: Donde: Los RMG para las distintas fases son: Por generalidad supngase que cada uno de los circuitos paralelos est compuesto por conductores en haz. Todos Los haces son iguales La distancia entre dos conductores que pertenecen a haces diferentes, es aproximadamente igual a la distancia entre los centros de dichos haces. Su proceso de solucin es idntico al caso anterior solo que se reemplaza r` por su correspondiente RMG Donde: Para conductores en haz: h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz. r` se obtiene de tablas

Unidades de medida: (se obtiene de tablas)

La inductancia por fase:

Reactancia Serie

( (

) ) ( )

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Calculo RMG (r`) de los Conductores 1- Mediante Uso de TablasLa reactancia inductiva por conductor ser: Donde D y r` se deben expresar en la misma unidad

Si r` esta en metros, Xa, se llama reactancia inductiva a 1 metro de separacin ( ) Sistema mtrico de unidades. A 1 metro de separacin a 50Hz( )

Tablas de conductoresCaractersticas de conductores de aluminio reforzado con acero (ACSR) N de Dime Peso Resist. Cap. Resistencia, / Km hebras tro a la trmic (1) total rotura a aprox. 25 C 50 C Kg/Km Ton. (2) cc 50 Hz 50 Hz MCM mm Amp. Chukar 1780 84/19 40.7 3086 24.31 1440 0.0324 0.0326 x Falkon 1590 54/19 39.2 3028 25.45 1350 0.0365 0.0367 Parrot 1510.5 54/19 38.2 2877 24.18 1310 0.0384 0.0386 Plover 1431 54/19 37.2 2725 22.86 1260 0.0405 0.0407 Martin 1351.5 54/19 36.2 2574 21.60 1220 0.0429 0.0431 0.0492 Pheasant 1272 54/19 35.4 2422 20.32 1170 0.0456 0.0458 0.0522 Grackle 1192.5 54/19 34.0 2271 19.55 1120 0.0487 0.0488 0.0556 Finch 1113 54/19 32.8 2110 18.24 1070 0.0521 0.0523 0.0595 Curlew 1033.5 54/7 31.7 1979 16.85 1020 0.0561 0.0564 0.0637 Cardinal 954 54/7 30.4 1826 15.54 990 0.0608 0.0610 0.0695 Canary 900 54/7 29.5 1723 14.65 960 0.0646 0.0646 0.0730 Crane 874.5 54/7 29.1 1674 14.25 940 0.0665 0.0665 0.0757 Condor 795 54/7 27.8 1522 12.95 880 0.0727 0.0733 0.0844 Drake 795 26/7 28.1 1624 14.18 890 0.0727 0.0727 0.0800 Mallard 795 30/19 29.0 1833 17.44 880 0.0727 0.0727 0.0800 Crow 715.5 54/7 26.3 1370 11.95 820 0.0814 0.0814 0.0915 Starling 715.5 26/7 26.7 1462 12.75 830 0.0814 0.0814 0.0896 Redwing 715.5 30/19 27.4 1648 15.69 820 0.0814 0.0814 0.0896 Gull 666.6 54/7 25.4 1276 11.14 790 0.0870 0.0876 0.0989 Flamingo 666.6 24/7 25.4 1277 10.77 790 0.0870 0.0876 0.0989 Goose 636 54/7 24.8 1218 10.73 760 0.0913 0.0920 0.1043 Grosbeak 636 26/7 25.2 1299 11.34 770 0.0913 0.0913 0.1005 Egret 636 30/19 25.9 1466 14.33 760 0.0913 0.0913 0.1005 Rook 636 24/7 24.8 1219 10.27 760 0.0913 0.0913 0.1005 Duck 605 54/7 24.2 1158 10.21 730 0.0957 0.0963 0.1091 Teal 605 30/19 25.2 1397 13.63 730 0.0960 0.0965 0.1075 Squab 605 26/7 24.5 1268 10.95 740 0.0957 0.0957 0.1069 Peacock 605 24/7 24.2 1159 9.80 740 0.0957 0.0963 0.1075 Dove 556.5 26/7 23.6 1137 10.19 700 0.1044 0.1044 0.1115 Eagle 556.5 30/7 24.2 1293 12.36 700 0.1044 0.1044 0.1115 Parakeet 556.5 24/7 23.2 1067 9.00 700 0.1044 0.1051 0.1120 Heron 500 30/7 23.0 1162 11.09 680 0.1162 0.1162 0.1280 Hawk 477 26/7 21.8 975 8.82 640 0.1218 0.1218 0.1342 Hen 477 30/7 22.4 1108 10.59 630 0.1218 0.1218 0.1342 Flicker 477 24/7 21.5 914 7.80 630 0.1218 0.1218 0.1342 Ibis 397.5 26/7 19.9 812 7.34 560 0.1460 0.1460 0.1609 Lark 397.5 30/7 20.4 923 9.06 560 0.1460 0.1460 0.1609 Linnet 336.4 26/7 18.3 687 6.38 510 0.1727 0.1727 0.1901 Oriole 336.4 30/7 18.8 782 7.74 510 0.1727 0.1727 0.1901 Ostrich 300 26/7 17.3 613 5.73 470 0.1932 0.1932 0.2125 Piper 300 30/7 17.8 697 7.00 480 0.1932 0.1932 0.2125 Partridge 266.8 26/7 16.3 545 5.10 440 0.2175 0.2175 0.2392 Penguin 211.6 6/1 14.3 433 3.82 360 0.2745 0.2745 0.3015 Pigeon 167.8 6/1 12.7 343 3.03 315 0.346 0.3465 0.3805 Quail 133.1 6/1 11.3 272 2.43 270 0.437 0.4375 0.480 Raven 105.5 6/1 10.1 216 1.94 235 0.550 0.550 0.605 Robin 83.7 6/1 9.0 171 1.59 205 0.696 0.696 0.765 Sparrow 66.4 6/1 8.0 136 1.27 180 0.855 0.855 0.940 (1): hebras aluminio/hebras acero (2): Para conductores a 80 C; ambiente de 40 C; suave brisa de 2.2 km/h (2 ft/s) (3): Calculadas a un metro de separacin Denominacin comercial Secci n de alumin io Componentes de conductor (50 Hz) x a (3) x 'a (3)

/ km0.2587 0.2605 0.2623 0.2636 0.2654 0.2673 0.2698 0.2716 0.2741 0.2766 0.2785 0.2791 0.2822 0.2810 0.2779 0.2853 0.2841 0.2816 0.2878 0.2882 0.2890 0.2884 0.2853 0.2897 0.2909 0.2871 0.2897 0.2912 0.2921 0.2897 0.2937 0.2928 0.2971 0.2940 0.2987 0.3027 0.2996 0.3083 0.3052 0.3120 0.3089 0.3151 0.3755 0.3959 0.4064 0.4145 0.4189 0.4190

M km0.2229 0.2250 0.2263 0.2281 0.2296 0.2313 0.2333 0.2352 0.2373 0.2396 0.2412 0.2421 0.2448 0.2439 0.2423 0.2477 0.2470 0.2454 0.2499 0.2500 0.2512 0.2504 0.2487 0.2514 0.2526 0.2500 0.2518 0.2527 0.2541 0.2526 0.2550 0.2556 0.2585 0.2570 0.2595 0.2637 0.2620 0.2684 0.2670 0.2718 0.2703 0.2751 0.2828 0.2893 0.2959 0.3026 0.3090 0.3160

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza GonzlezCaractersticas de conductores de aluminio ( 62%) Denominacin comercial Seccin de aluminio MCM Jessamine Coreopsis Gladiolus Carnation Columbine Narcissus Hawthorn Marigold Larkspur 1750 1590 1510.5 1431 1351.5 1272 1192.5 1113 1033.5 61 61 61 61 61 61 61 61 61 N de hebras Dimet ro total Peso Resist. a la rotura Ton. 14.90 13.59 12.91 12.23 11.80 11.09 10.62 9.91 8.28 Cap. trmic a aprox. (1) Amp. 1550 1460 1410 1370 1320 1270 1220 1160 1130 Resistencia,/ Km

mm 38.7 36.9 36.0 35.0 34.0 33.0 32.0 30.9 29.8

Kg/Km 2446 2226 2116 2005 1893 1781 1670 1560 1445

cc

25 C 50 Hz 0.0346 0.0381 0.0399 0.0419 0.0442 0.0467 0.0496 0.0529 0.0568

50 C 50 Hz 0.0378 0.0415 0.0435 0.0457 0.0482 0.0510 0.0542 0.0578 0.0621

Componentes de conductor (50 Hz) x a (2) x 'a (2)

/ km0.2618 0.2673 0.2702 0.2704 0.2725 0.2740 0.2762 0.2782 0.2808

M km0.2260 0.2285 0.2298 0.2313 0.2331 0.2348 0.2367 0.2387 0.2408

0.0326 0.0359 0.0378 0.0399 0.0423 0.0449 0.0479 0.0513 0.0553

Mediante Definicin del RMG Esta expresin se aplica a conductores homogneos Para conductores ACSR, resulta una buena aproximacin al ignorar las hebras de acero. En general, el clculo resulta tedioso.

Suponer Conductor Cilndrico MacizoEsta aproximacin es tanto mejor cuanto mayor es el nmero de hebras del conductor r: radio del conductor cableado

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez

4.4

Susceptancia Shunt Al aplicar una diferencia de potencial instantnea a dos conductores separados por una cierta distancia, stos adquieren una carga +q (t) y -q (t). El valor absoluto de la carga depender de la diferencia de potencial v(t) y una constante de proporcionalidad C, tal que: () ()

Este parmetro representa el efecto del campo elctrico que rodea a los conductores. La fuente de este campo elctrico es la carga elctrica que se deposita en la superficie de los conductores.

Ley de Gauss( ( ) ( ) ( ( )) ) ( ( ))

Concepto de capacidades parcialesEl concepto de capacidades parciales se puede apreciar en la figura siguiente: En este caso aparecen tres capacidades parciales: Entre los conductores y entre cada uno de ellos y tierra. Estas son:

Clculo de Capacidades de Lneas sin Considerar el Efecto de TierraEsto implica considerar nulos C10 y C20 en la figura anterior. Es decir, se supone que los conductores estn ubicados en un medio dielctrico de extensin infinita, por tanto se calcular el potencial en un punto p debido a la presencia de n conductores cargados en su espacio cercano en relacin a un origen arbitrario O y que adems, son cilndricos.

Si se asume que no hay otros conductores cargados en las cercanas, se tiene: Con o= 8,85 * 10- 12 [F/m]: constante de permitividad del vaco ( )

Esta expresin se puede reescribir como: [ [ ] ]

Asimismo, la presencia de los restantes conductores har que: ( ( ) )

Se aprecia que el segundo trmino es constante para una eleccin fija del punto O, por tanto: [ ]

(

)

Finalmente, la diferencia de potencial entre los puntos p y O, debido a la presencia de los n conductores cargados ubicados en ese espacio ser:

Si se considera que el potencial del punto p est referido al O y que la constante se eliminar en cada clculo de diferencia de potencialmente conductores, se tiene, finalmente: [ ]

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez

Lnea MonofsicaEl potencial en el punto p, ser:

Trasladando el punto p a la superficie de cada uno de los conductores a y b y considerando que qa + qb= 0: ( Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) Recurdese que o es la permitividad del vaco, de valor 8,85 x10 -12 [Coulomb/volt] en el Sistema MKS. En el caso de conductores cableados r corresponde al radio exterior. Normalmente se expresa el valor de la capacidad por conductor, por lo que en (2.89), se ha determinado la capacidad total de la lnea. Empleando el concepto de capacidades parciales, se puede representar como: )

(

)

Ntese que se ha considerado que como D >> ri ; se tiene D- ra D rb D. Entonces: As la capacidad de la lnea ser: Si ra = rb = r, se puede escribir:

La Susceptancia capacitiva total de la lnea ser: En que el punto n, es un punto de potencial cero y corresponde a la mitad de la distancia que separa a ambos conductores. Se tiene:

Lnea Trifsica de Disposicin EquilteraSe cumple que D12 = D13 = D23 = Ds; ra = rb = rc = r; [ qa + qb + qc = 0 ]

Trasladando el punto p a la superficie de cada conductor y considerando que D >> r. [ ]

Anlogamente el potencial para los conductores 2 y 3, ser: Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) Esta capacidad corresponde a cada fase (conductor) con respecto a un punto de potencial cero, que en este caso, por la disposicin de la lnea est ubicado en el centro del tringulo equiltero, como se muestra en la figura siguiente. [ ]

[ As la capacidad de la lnea ser:

]

La Susceptancia capacitiva total de la lnea ser: ( )

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Lnea Trifsica con Transposiciones

Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) [ [ [ ] ] ] [ [ [ ] ] ]

Llevando el punto P hacia las superficies de cada conductor en cada ecuacin respectivamente se tiene: [ [ [ ] ] ]

La tensin promedio en todo el ciclo de transposiciones ser:

Distancia Media geomtrica: [ ]

Este juego de ecuaciones se puede aplicar a cada tramo del ciclo de transposiciones. Sin embargo, se debe considerar que si se asume que la tensin permanece contante, el valor de las cargas debe variar dada la diferente posicin que tienen los conductores en cada tramo. Si se asume que lo que permanece constante son las cargas, variar el potencial. Esta ltima suposicin es la que se har y en ese caso el potencial del conductor 1 en cada tramo ser: [ [ [ ] ] ]

r: radio del conductor de cada fase

La capacidad por fase de la lnea: [ Y la Susceptancia capacitiva ser a su vez: ( ]

)

Lnea Trifsica simple circuito con Transposiciones con conductores de fase en haz h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz

1 conductor por Fase

( (

) ) ( )

La capacidad por fase de la lnea: Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) [ Y la Susceptancia capacitiva ser a su vez: ]

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Lneas Trifsicas con Transposiciones en Doble Circuito

Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas)

Se calculara el potencial promedio del conductor a1 y del conductor a2 en los tres tramos, para luego calcular el potencial promedio entre estas dos lneas paralelas y as obtener el parmetro Ca, desarrollo idntico para las restantes fases.

Potencial en cada tramo para el conductor a1( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

En funcin de las distancias del primer tramo:( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

El potencial promedio para el conductor a1:(( ) ( ) ( )

)

( (

(

)

( ))

)

Potencial en cada tramo para el conductor a2( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza GonzlezEn funcin de las distancias del primer tramo:( )

(

)

( )

(( )

) )

(

El potencial promedio para el conductor a1:(( ) ( ) ( )

)

( (

(

)

( ))

)

Potencial promedio entre los conductores paralelos a1 y a2 ( )

( (

(

( ) (

)

)

(

) ( ) (

) ) (

(

) ))

) (

(

)

(

(

(

)

))

( ( ) )

[

]

La capacidad por fase de la lnea:

Donde:

[

]

Y la Susceptancia capacitiva ser a su vez: ( )

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Lnea Trifsica con Transposiciones en Doble Circuito con conductores de fase en hazDonde: Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) La capacidad por fase de la lnea: Para conductores en haz: h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz

[

]

Y la Susceptancia capacitiva ser a su vez: ( ) ( ( ) ) ( )

Clculo de Capacidades de Lneas Considerando el Efecto de TierraSe considera en el caso de lneas que operan en Extra Alta Tensin (EAT), ya que la separacin entre conductores es comparable a la existente entre conductores y tierra. Para el anlisis se harn las siguientes consideraciones: La superficie de la tierra se considera un plano equipotencial de potencial cero y extensin infinita. La carga en la superficie de cada conductor se supone uniformemente distribuida. Los conductores se suponen ubicados a una altura h constante sobre el plano de tierra, cilndricos, paralelos entre s y sus radios son mucho menores que las distancias entre conductores. Se emplear el mtodo de imgenes, en que a cada conductor le corresponde un conductor imagen ubicado a la misma distancia que el conductor real bajo el plano de tierra. Las cargas de los conductores imgenes son de igual magnitud y signo distinto que la de los conductores reales. Es decir: qk = - q k As el clculo del potencial en un punto p respecto a tierra, debido a la presencia de n conductores cargados, se transforma en un problema de 2n conductores (los n conductores reales y sus n imgenes). Bajo las condiciones estipuladas precedentemente, se cumple entonces que: ( )

El potencial en el punto p ser: [ ]

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Lnea Monofsica[ ]

[

]

* Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) Este caso, se considerar como una situacin particular del caso general. En efecto, si se hace n = 2, se tiene: [ ]

+

Por tanto; la capacidad total de la lnea ser: En trminos de capacidades parciales C corresponde a la combinacin en paralelo de C12 y la rama serie C10 y C20.

[

]

Trasladando el punto p, sucesivamente a la superficie de los conductores 1 y 2, se tiene: [ ]

[

]

[

]

Lnea Trifsica simple circuito con Transposiciones

Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas)

Tramo I

El voltaje en un punto P es: [ Llevando las distancias Da, Db, Dc, Da`Db`Dc` a la superficie del conductor a se tiene: [ ] ]

Capitulo 4El voltaje en un punto P es: Tramo II Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez [ ]

Llevando las distancias Da, Db, Dc, Da`Db`Dc` a la superficie del conductor a se tiene: [ ]

Reemplazando se obtiene: [ ]

Tramo III

El voltaje en un punto P es: [ ]

Llevando las distancias Da, Db, Dc, Da`Db`Dc` a la superficie del conductor a se tiene: [ ]

Reemplazando se obtiene: [ ]

{ [

[

[ ]

] [

[ ]

] [

[

] ]]}

{ [

[

[

] ]

[ [

] ]]}

[

]

[

]

,

*

[ ]

*

[

+

[

]

[

]

[ { {

[ [ [ [ ] [ ]

] [ ] *

] + [ * [

]+] ]]} * + * [ + * ] +]}

+

[

[

]

*

+

*

+]

*

+

La capacidad por fase de la lnea:

Y la Susceptancia capacitiva ser a su vez:

[

]

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Lnea Trifsica simple circuito con Transposiciones con conductores de fase en haz

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz

( Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) (

) ) ( )

La capacidad por fase de la lnea: [ ]

Y la Susceptancia capacitiva ser a su vez:

Lneas Trifsicas con Transposiciones en Doble CircuitoUn desarrollo similar al expuesto para una lnea sin efecto de tierra se puede realizar en este caso considerando las imgenes a tierra de cada conductor Donde: Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) La capacidad por fase de la lnea: Y la Susceptancia capacitiva ser a su vez: ( )

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez Lnea Trifsica con Transposiciones en Doble Circuito con conductores de fase en hazDonde: Unidades de medida: (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de tablas) Para conductores en haz:

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre los haz

La capacidad por fase de la lnea: ( ( ) ) ( )

Y la Susceptancia capacitiva ser a su vez: ( )

Capitulo 4Ing. Civil Elctrico (C) Juan Pablo Espinoza Gonzlez

Referencias Bibliogrficas[1][2][3][4][5][6][7]om Lufke (EL Rayo Domado) o Los sistemas elctricos de potencia, W. brokering, R.Palma, L. Vargas, 2008 Sistemas Electricos de potencia I, S. Carter, 2005 Analisis de Sistemas de Potencia, J.Grainger, W.Stevenson, 1998 Electric Power Transmision System Engineering Analisys and Desing, T. Gonen, 1988 Sistemas de Potencia, Analisis y diseo, D. Glover, M. Sarma, 2003 Modern Power System Analysis, D.Kothari, I. Nagrath, 2008 Apuntes de clases EIEE, Universidad de Tarapaca, I. Harnish, 2011