Download - Olimpiada naţională de matematică
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V-a
1. Se dau numerele: x = [3121 : 960 + (52)3 : ( 52)2]: 22
y = 102 : 23 + 34 : [(2 ⋅ 32)2 : 18 – 170 ⋅ 12012]
Arătaţi că numărul x + y + 1717 este cub perfect.
2. Fie A = 2019 + 2∙( 1 + 2+ 3 + …..+ 2018) şi B = 1 + 3 + 5 +……+ 2019 . Să se arate că:
a) A si B sunt pătrate perfecte;
b) Arătaţi că numărul C = 20193 – 20192 ∙ 2018 – 2019 ∙ 2018 + 6 este pătrat perfect.
3. Trei caiete, două pixuri și un stilou costă 21 lei; un caiet, trei pixuri și două stilouri costă 29 lei;
două caiete, un pix și trei stilouri costă 34 lei.
a) Aflați cât costă, împreună, un caiet, un pix și un stilou.
b) Determinați prețul unui caiet, prețul unui pix și prețul unui stilou.
4. a) Fie numărul natural A=1234 ... 673+2020. Determinați restul împărțirii lui A la 2019.
b) Numerele naturale a, b, c dau prin împărțire la 11 resturile 9, 8, respectiv 7. Determinați
restul împărțirii numărului natural n=6a+5b+4c la 11.
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V-a
1.
Adottak a következő számok:
= : + : :
= : + : ∙ : − ∙
Igazold, hogy az + + köbszám.
2.
Legyen A = 2019 + 2 · (1 + 2 + 3 + …. + 2018) és
B = 1 + 3 + 5 + … + 2019.
Igazold, hogy:
a.) A és B számok teljes négyzetek.
b.) C = 20193 – 20192 · 2018 – 2019 · 2018 + 6 teljes négyzet.
3.
Három füzet, két ceruza és egy toll ára 21 lej; egy füzet, három ceruza és két toll ára 29 lej; két
füzet, egy ceruza és három toll ára 34 lej.
a.) Határozd meg mennyibe kerül összesen egy füzet, egy ceruza és egy toll.
b.) Határozd meg mennyibe kerül külön – külön egy füzet, egy ceruza és egy toll.
4.
a)Adott a következő természetes szám: A=1234 ... 673+2020. Határozd meg az A szám
2019 – cel való osztási maradékát.
b)Az a, b, c természetes számok 11 – gyel való osztási maradékai 9, 8 illetve 7. Határozd meg
az n=6a+5b+4c természetes szám 11 – gyel való osztási maradékát.
Notă: Timp de lucru 3 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V-a
1. Gegeben sind die Zahlen: x = [3121 : 960 + (52)3 : ( 52)2]: 22
y = 102 : 23 + 34 : [(2 ⋅ 32)2 : 18 – 170 ⋅ 12012]
Zeigt, dass die Zahl x + y + 1717 Kubikzahl ist.
2. Es sei A = 2019 + 2∙( 1 + 2+ 3 + …..+ 2018) und B = 1 + 3 + 5 +……+ 2019 . Zeigt, dass:
a) A und B Quadratzahlen sind ;
b) Zeigt, dass die Zahl C = 20193 – 20192 ∙ 2018 – 2019 ∙ 2018 + 6 Quadratzahl ist.
3. Drei Hefte, zwei Stiften und ein Kugelschreiber kosten 21 Lei;ein Heft,drei Stiften und drei
Kugelschreiber kosten 29 Lei; zwei Hefte ,ein Stift und drei Kugelschreiber kosten 34 Lei.
a) Wieviel kosten insgesamt ein Heft, ein Stift und ein Kugelschreiber.
b) Bestimmt der Preis eines Heftes, eines Stiftes und eines Kugelschreibers.
4. Es sei die naturliche Zahl A=1234 ... 673+2020. Bestimmt den Rest der Division der Zahl
A durch 2019.
Die naturlichen Zahlen a, b, c geteilt durch 11 den Rest 9, 8, und 7 ergibt. Bestimmt den Rest
der Division der naturliche Zahl n=6a+5b+4c durch 11.
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V-a
1. Se dau numerele: x = [3121 : 960 + (52)3 : ( 52)2]: 22
y = 102 : 23 + 34 : [(2 ⋅ 32)2 : 18 – 170 ⋅ 12012]
Arătaţi că numărul x + y + 1717 este cub perfect.
prof. Moldovan Gherghe, Şcoala Gimnazială “George Cosbuc”, Mediesu Aurit
2. Fie A = 2019 + 2∙( 1 + 2+ 3 + …..+ 2018) şi B = 1 + 3 + 5 +……+ 2019 . Să se arate că:
a) A si B sunt pătrate perfecte;
b) Arătaţi că numărul C = 20193 – 20192 ∙ 2018 – 2019 ∙ 2018 + 6 este pătrat perfect.
prof. Şteţ Anca – Şcoala Gimnazială Nr. 1 Carei
3. Trei caiete, două pixuri și un stilou costă 21 lei; un caiet, trei pixuri și două stilouri costă 29 lei;
două caiete, un pix și trei stilouri costă 34 lei.
a) Aflați cât costă, împreună, un caiet, un pix și un stilou.
b) Determinați prețul unui caiet, prețul unui pix și prețul unui stilou.
prof. Ionela Turturean , Școala Gimnazială Culciu Mare
4. a) Fie numărul natural A=1234 ... 673+2020. Determinați restul împărțirii lui A la 2019.
b) Numerele naturale a, b, c dau prin împărțire la 11, resturile 9, 8, respectiv 7. Determinați restul
împărțirii numărului natural n=6a+5b+4c la 11.
prof. Ionela Turturean , Școala Gimnazială Culciu Mare
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V -a
barem de corectare
punctaj
1. x=7
2 p
y=4 2 p
x+y=11 1 p
x+y+1717=1728 0,5 p
1728=(12)3 1,5 p
2. a) A = 2019 + 2 ∙ [ 2018 ( 2018 + 1) ] : 2 1 p
A= 2019 + 2018 ∙ 2019
A = 2019 ∙( 1 + 2018 )
0,5p
A= 2019 ∙ 2019
A= 20192 – este pătrat perfect
0,5 p
B= (1 + 2019) ∙ [ ( 2019 – 1) : 2 + 1] : 2
B= 1010 ∙ ( 1009 + 1 )
B= 1010 ∙1010
B=10102 este pătrat perfect
0,5 p
0,5 p
0,5 p
0,5 p
b) C = 20192 ( 2019 – 2018 ) – 2019∙2018 + 6
C = 20192 - 2019∙2018 + 6
C = 2019 ( 2019 – 2018) + 6
C = 2019 + 6
1p
0,5 p
0,5 p
0,5 p
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
C = 2025
C = 452
0,5 p
3. a)
R1: 3 caiete____2 pixuri____1 stilou_____21 lei
R2: 1 caiet_____3 pixuri____2 stilouri____29 lei
R3: 2 caiete____1 pix ______3 stilouri____34 lei
Adunăm relațiile R1-3:
6 caiete____6 pixuri_____6 stilouri____84 lei / :6
1 p
R4: 1 caiet_____1 pix_______1 stilou_____14 lei
1 p
b)
R1: 3 caiete____2 pixuri____1 stilou_____21 lei
R4: 1 caiet_____1 pix_______1 stilou_____14 lei
Scădem relațiile R1, R4:
R5: 2 caiete _____1 pix_______________21-14=7 lei
1 p
R3: 2 caiete____1 pix ______3 stilouri____34 lei
R5: 2 caiete _____1 pix_________________7 lei
Scădem relațiile: R3, R5: 3 stilouri_____34-7=27 lei
1 stilou___________________________27:3=9 lei
1 p
R4: 1 caiet_____1 pix_______1 stilou_____14 lei
_____________________ 1 stilou_____9 lei 1 p
Scădem relațiile:
1 caiet ____1 pix__________________14-9=5 lei
2 caiete _____1 pix_________________7 lei 1 p
Scădem relațiile:
1 caiet __________________________2 lei
1 pix____________________________3 lei 1 p
4. a) 3673=2019, 1 p
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
A=2019y+2019+1, r=1 1 p
b) a=11c1+9, b=11c2+8, c=11c3+7 1 p
n=66c1+54+55c2+40+44c3+28 1p
=11(6c1+5c2+4c3)+122 1 p
=11(6c1+5c2+4c3)+1111+1, r=1
2 p
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V-a
1. Fie numerele naturale:
a= (1+221015):(20190+02019+12019+20191),
b= 241414
84161: -2(42+32)8:515
c=(20192018-20192015):673
Arătați că numerele naturale x= și y=a+b+c sunt pătrate perfecte.
2. Aflaţi numărul natural de trei cifre care împărţit la răsturnatul său dă câtul 6 şi restul 47, iar
diferenţa dintre cifra zecilor şi a unităţilor este 3.(specificăm că răsturnatul unui număr este
numărul dat citit de la dreapta la stânga, ex: răsturnatul numărului 7652 este numărul 2567)
3. O stradă are casele numerotate cu numere pare până la 110 inclusiv și cu numere impare până la
51 inclusiv.
a) Să se precizeze numărul de case de pe stradă.
b) Să se arate că suma numerelor impare de la 1 la 51 este un pătrat perfect.
4. Fie șirul de numere naturale : 1, 5, 9, 13, ….. . a) Completați șirul cu încă 3 termeni . b) Aflați al 99-lea și al 1000-lea termen al șirului. c) Justificați care din următoarele numere fac parte din șir: 501, 576, 2017. Precizați locul
lor în șir. d) Calculați suma primilor 100 de termeni ai șirului.
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V-a
1.
Adottak a következő természetes számok:
a= (1+221015):(20190+02019+12019+20191),
b= 241414
84161: -2(42+32)8:515
c=(20192018-20192015):673
Igazold, hogy az x= és y=a+b+c természetes számok teljes négyzetek.
prof.Ionela Turturean, Şcoala Gimnazială Culciu Mare
2.
Határozd meg azt háromjegyű természetes számot amelyet, ha elosztunk a tükörszámával a
hányados 6, a maradék pedig 47, illetve a tízesek számjegye és az egyesek számjegye közötti
különbség 3. (Egy szám tükörszámát úgy kapjuk meg, hogy a szám számjegyeit jobbról balra
olvassuk, pl. a 7562 tükörszáma a 2657)
prof. Pop Virgil
3.
Egy utcában a páros oldalon az utolsó házszám a 110, a páratlan oldalon pedig 51.
a.) Határozd meg, hogy hány ház van az utcában.
b.) Igazold, hogy a páratlan számok összege 1 – től 51 – ig teljes négyzet
prof. Guţ Cristian, Liceul Teoretic Carei
4. Adott az 1; 5; 9; 13; …. Természetes számokból álló sorozat
a.) Egészítsd ki a fenti sorozatot még három taggal.
b.) Határozd meg a sorozat 99 – edik és 1000 – edik tagját.
c.) Ellenőrizd ,hogy az 501; 576 és 2017 számok közül melyek tartoznak a sorozathoz.
Határozd meg a sorozatban elfoglalt helyüket.
d.) Számítsd ki a sorozat első 100 tagjának az összegét.
prof.Moldovan Gheorghe, Şcoala Gimnazială “ Gheorghe Coşbuc” Medieşu Aurit
Notă: Timp de lucru 3 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a VI-a
1. a) Findet die Anzahl der Quadratzahlen zwischen 200 und 400
b) Bestimmt die naturliche Zahlen x und y aus der Bedingung 40022 yx
2. Es sei die Menge 20183;...;2;1;A
a) Bestimmt die Anzahl der Teilmengen der Menge A gebildet von zwei Elemente deren
Summe 2019 ist.
b) Bestimmt die Anzahl der Teilmengen der Menge A, gebildet von 4 Elementen so, dass
die Summe zweier Elementen soll gleich sein, mit die Summe der anderen zwei
Elementen und diese 2019 ist.
3. Es seien die Punkten A,B,C,D,E,F auf dem Kreis C(O,r) so, dass
m( )=m( )=m( )=m( )=m( )=60⁰.
a) Zeigt, dass AB || DE.
b) Zeigt, dass die Mittelsenkrechten der Sehnen AB,BC,CD,DE,EF,FA in denselben Punkt
sich schneiden.
4. Es seien die anliegenden Winkeln A1OA2, A2OA3, …, A15OA16 mit Masszahlen des Winkels
gleich mit 1, 2,….15.
a) Bestimmt die Masszahl des Winkels A1OA16.
b) Es sei OM die Winkelhalbierende des Winkels A1OA4 und ON die Winkelhalbierende des
Winkels A13OA16. Bestimmt die Masszahl des Winkels MON.
Notă: Timp de lucru 3 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V-a
1. Fie numerele naturale:
a= (1+221015):(20190+02019+12019+20191),
b= 241414
84161: -2(42+32)8:515
c=(20192018-20192015):673
Arătați că numerele naturale x= și y=a+b+c sunt pătrate perfecte.
prof. Ionela Turturean , Școala Gimnazială Culciu Mare
2. Aflaţi numărul natural de trei cifre care împărţit la răsturnatul său dă câtul 6 şi restul 47, iar
diferenţa dintre cifra zecilor şi a unităţilor este 3.(specificăm că răsturnatul unui număr este
numărul dat citit de la dreapta la stânga, ex: răsturnatul numărului 7652 este numărul 2567)
prof. Pop Virgil, Școala
3. O stradă are casele numerotate cu numere pare până la 110 inclusiv și cu numere impare până la
51 inclusiv.
a) Să se precizeze numărul de case de pe stradă.
b) Să se arate că suma numerelor impare de la 1 la 51 este un pătrat perfect.
prof. Gut Cristian,Liceul Teoretic Carei
4. Fie șirul de numere naturale : 1, 5, 9, 13, ….. .
a) Completați șirul cu încă 3 termeni .
b) Aflați al 99-lea și al 1000-lea termen al șirului.
c) Justificați care din următoarele numere fac parte din șir: 501, 576, 2017. Precizați locul lor în șir.
d) Calculați suma primilor 100 de termeni ai șirului.
prof. Moldovan Gherghe, Şcoala Gimnazială “George Cosbuc”, Mediesu Aurit
Notă: Timp de lucru 2 ore.
Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.
SUCCES!
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Olimpiada naţională de matematică
etapa locală, 16.02.2019
Clasa a V -a
barem de corectare
punctaj
1. a=(1+2020):(1+0+1+2019)
1 p
=2021:2021=1
1p
b=241228
21224:281 -2258:515
1p
=16-10=6
1p
c=20193:673=9
1p
x=169=132
1p
y=16=42 1p
2. 2 p
1 p
Dar b-c=3 atunci b= 3+c inlocuind avem
2 p
dar 94a este par atunci (649c + 147) trebuie sa fie un nr par, de unde rezulta ca
c trebuie sa fie o cifra impara
1 p
Singura varianta posibila este pt c = 1 atunci b = 4 si a = 9 atunci
=941
1 p
3. a) Numărul de case numerotate cu numere impare este 52:2=26
2 p
INSPECTORATUL
ŞCOLAR
JUDEŢEAN
SATU MARE
___________________________________________________________________________
Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,
Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti
Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06
Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05
www.satmar.ro www.edu.ro
Numărul de case numerotate cu numere pare este 110:2=55 1 p
Numărul total de case de pe stradă este 26+55=81 1 p
b) notăm cu n= 1+3 +5 +…+51
n=51+49+47+…+1
2n=(1+51)+(3+49)+(5+47)+…+(51+1)
1 p
2n=52+52+52+…+52 52:2=26 numere de 52 1 p
Deci, 2n=26*52 n=26*26
n= ,de unde rezultă că n este pătrat perfect.
1 p
4. a) 17,21,25 1p
b) a99=1+4∙98=393
a1000=1+999∙4=3997
1p
1p
c) 501=4∙125+1, este în șir pe locul 126
576=4∙144, nu este în șir
2017=4∙504+1 , este în șir pe locul 505
0,75 p
0,75p
0,75 p
d) S100=4(1+2+3+….+99)+100
S100=19900
1p
1p