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Objetivos: Comprender como son emitidos rayos gammas o partículas cargadas con equipamiento empleado en radioterapia.
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Generación de Radiación Ionizante 1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas
Dr. Willy H. GerberInstituto de Fisica
Universidad AustralValdivia, Chile
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Elementos
2
Generación de electrones(Filamento)
Emitir Rayos Gamma o Partículas
Generación de Rayos Gamma
Aceleración adicional
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Emisión de electrones
3
ATγϕk
Constante [C/m2K2s]Temperatura absoluta [K]Reflexión [-]Función de trabajo [J]Constante de Boltzmann
De la primera parte concluimos que a temperatura T los electrones que “evaporaríamos” están dados por la ecuación de Richardson-Dushman:
Ahora debemos acelerarlos para alejarlos del cátodo y dirigirlos a donde deseemos.
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Elementos
4
Generación de electrones(Filamento)
Emitir Rayos Gamma o Partículas
Generación de Rayos Gamma
Aceleración adicional
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Aceleradores
5
Las placas ”básicas”- Movimiento de una Carga -
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Aceleradores básicos
6
Principio básico:
Ánodo (positivo)Cátodo (negativo)
Campo eléctrico
Carga eléctrica
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Aceleradores básicos
7
z
ztmqEz
Posición de la partícula [m]Tiempo [s]Masa de la partícula [kg]Carga de la partícula [C]Campo eléctrico [N/C]
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Aceleradores básicos
8
V
d
EzVd
Campo eléctrico [N/C]Potencial aplicado [V]Distancia entre placas [m]
+-
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Aceleradores básicos
9Si queremos impartir mayor energía debemos aumentar el potencial.
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Aceleradores
10
Las placas ”básicas”- Movimiento de una Distribución de Cargas -
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Aceleración entre placas
11
Aceleración entre dos placas
cátodo ánodo
EZVzdenε0
Campo eléctrico [F/C]Potencial [V]Posición en el campo [m]Distancia entre las placasCarga del electrón [C]Concentración de electrones [1/m3]Constante de campo [C2/Nm2](8.85x10-12 C2/Nm2)
De las ecuaciones de Maxwell y definición de potencial:
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Calculo de la concentración de electrones
12
Por conservación de energía tenemos
Por continuidad tenemos una corriente
mju(z)u0n0
Masa del electrón [kg]Densidad de Corriente [A/m2]Velocidad en el punto z [m/s]Velocidad inicial [m/s]Concentración inicial [1/m3]
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Ley de Child-Langmuir
13
Con lo que se obtiene (nota j < 0 por la carga de los electrones):
Solucionando se obtiene:
Para el caso de dos placas con diferencia de potencial V y distancia d y despejando j se obtiene la ley de Child-Langmuir:
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Ley de Child-Langmuir
14
De esta forma:
y en particular:
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Limites
15
E=a+bE = a+b
2 3 4 5 6 7 8 9 10
20kV
40kV
80kV
0.0
0.5
1.0
1.5
Corriente en filamento (A)
Corr
ient
e en
tubo
(A)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0Co
rrie
nte
en tu
bo (A
)
No saturado
Saturado
T1
T2
T3
Voltaje Ánodo (kV)
0 20 40 60 80 100
El nivel de saturación se alcanza cuando no se logran “evaporar” mas electrones de los que están dados por la ecuación de Richardson-Dushman
El incremento de la corriente en el tubo se incrementa en función del potencial según Child-Langmuir.
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Limitaciones
16
E=a+bE = a+b
La segunda limitación esta dada por el peligro de fundir el filamento.
La temperatura del filamento se determina en función que la energía irradiada sean igual a aquella generada por la resistencia eléctrica:
σεSTT0IR(T)
Constante de Stefan Boltzmann [5.6704x10-8 J/sm2K4]Grado de emisión [-]Superficie del filamento [m2]Temperatura del filamento [K]Temperatura ambiental [K]Corriente [A]Resistencia en función de la temperatura [Ohm]
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Limitaciones
17
La densidad de resistencia puede ser modelada, por ejemplo para el Tungsteno, en función de la temperatura mediante:
Su temperatura de fusión es de 3695 K.
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Modelo de Filamento
18
Modelamiento del sistema filamento-placas(p: placa, f: filamento, a: ánodo)
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Superficie del filamento [m2]Sección del filamento [m2]Largo del Filamento [m]Constante de Stefan Boltzmann[5.6704x10-8 J/sm2K4]Grado de emisión [-]
SALσ
ε
Caso Tungsteno:
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Aceleradores
19
El Betatrón
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Betatrón
20
E=a+bE = a+b
FilamentoÁnodo
Vista superior Vista lateral
Imanes base
Orbita de almacenamiento
Imanes de control
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Betatrón
21
La variación del campo magnético índice un potencial:
lo que genera un campo:
UindRBt
Potencial inducido [V]Radio de la orbita [m]Campo magnético [Tesla=Vs/m2]Tiempo [s]
UindREz
Potencial inducido [V]Radio de la orbita [m]Campo eléctrico [V/m]
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Betatrón
22
lo que genera una fuerza sobre los electrones
con lo que
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Betatrón
23
E=a+bE = a+b
Para mantener el electrón en la orbita debe de existir un campo magnético B0 tal que
De ambas ecuaciones del impulso
Se obtiene la condición de Wideroe:
Que se satisface diseñando el imán de modo de lograr los respectivos campos en las distintas orbitas.
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Betatrón
24
E=a+bE = a+b
Como la velocidad es cercana a la de la luz la energía cinética es:
y el impulso:
con lo que se obtiene
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Betatrón
25
E=a+bE = a+b
y la energía es
o para altas velocidades (υ ~ c)
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Aceleradores
26
El Ciclotrón
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Ciclotrón
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Ciclotrón
28
Campo magnéticopermanente
Campo eléctricoalternanteSINCRONIZADOcon el haz.
“Inyección de iones”“Salida de iones”
Vista de arriba Vista lateral
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Ciclotrón
29
E=a+bE = a+b
Velocidad angula independiente del radio
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Fuentes
30
Radiación
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Radiación
31
Decaimiento de Cobalto
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Radiación
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Radiación
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Accesorios
34
Klistrón
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Klistrón
35
Bunch deelectrones
Flujo eléctrico Flujo eléctrico
Rejilla 1 Rejilla 1 Rejilla 1 Rejilla 2Rejilla 2Rejilla 2
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Klistrón
36
“Buncher” “Catcher”
Cavidad deentrada
Cavidad desalida
Cañón de electrones
V0V1
Señal
ω
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z
V1sin(ωt) d
f(z)
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Klistrón
37
Si la masa es m, la velocidad inicial u0, la carga del electrón e y el potencial del canon de electrones V0 la energía inicial será:
La energía tras cruzar el “buncher” que esta a un potencial V1 y oscila con la frecuencia angular ω será:
en donde u es la velocidad en este punto y M el factor de acoplamiento.
La velocidad es entonces:
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Klistrón
38
Si al tiempo t1 esta en el buncher, llegara al catcher a una distancia l en el tiempo:
o como fase:
con
el llamado Bunching parameter
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Klistrón
39
Para calcular el M debemos asumir la forma de la perturbación en el buncher:
con Em el valor máximo y f(z) una función de forma. El potencia V1 seria entonces:
ósea
La ecuación de movimiento del electrón será:
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Klistrón
40
Si se integra la ecuación en z desde 0 a la distancia del canal d:
como la primera integral se puede integrar de la forma:
con lo cual
y el camino recorrido es
siendo
factor de propagación del haz
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Klistrón
41
pero dado que
Se concluye que (omitiendo el factor sin)
Para un campo constante y simétrico en torno al eje del haz el M se reduce a:
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Klistrón
42
El factor
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se denomina el ángulo de transito y representa el cambio de fase de la onda durante el paso de la partícula.
La energía del electrón varié en
Con lo que
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Fuentes
43
Magnetron
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Magnetrón
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