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C
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Historia defnicin
par-binomio
defnicinpolar-trigon.
operacionespolar-trigon.
AmpliacinFractales, cao
operacionespar-binomio
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Historia
C
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C
Csoluciona
el defecto algebraico
de Rde que existan
ecuaciones polinmicas
con coeficientes reales
que no tienen soluciones
reales.
Ej.x2+ 1 = 0.
N Z Q R C
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Girolamo Cardano
(1501-1576)Ars Magna (1545)
Considerada como la fecha de
nacimiento de los nmeros
complejos.
!esolucin de ecuaciones detercer " cuarto grado.
Divide 10 en dos partes,
de modo que una por la otrad 40.
x(10!x)"40
#olu$i%n intrigante.
1##
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Rafael Bombelli (1526-1572)resol$i la situacin operando
como lo hacemos ho" con nmeros complejos.
%orma general de la ecuacin cbica" solucin&
%uncionaba bien en algunos casos' como&
(ero en otros ... &
Cardano sab)a que x = * es solucin de esta ecuacin.
+
+2
+
+2
+
+22+22
'
++=
=+
pqqpqqx
qpqpxx
+++ 1010,1010,-20 +==+ xxx
+++ 21212121-*1# +==+ xxx
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Ren Desar!es
(15"6-1650)
0 a/os despus de ombelli&
A pesar de que podemos pensarque la e$ua$i%n
x3- 6x2+ 13x - 10 = 0 tiene tres
ra&$es, 'ni$amente una de ellas es
real, la $ual es , las otras dos*
son simplemente
imaginarias.
!en escartes
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+os n'meros imaginarios
son un ex$elente
maravillosoreugio del-sp&ritu #anto,una espe$ie de
aniio entre ser no ser
Go!!fried #on$eibni!%
(1&6'6 1&716)
9tros trminos que han sidousados para referirse a los
nmeros complejos inclu"en &
#oisti$ados 6Cardano8
#in sentido 6:per8/nexpli$ales 65irard8
/n$omprensiles 6;u"gens8
/mposiles6i$ersos autores8
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-stos n'meros no son nada,ni menos que nada, lo $ualne$esariamente los a$eimaginarios, o imposiles.
form*lam li!!era i+,$eonard .*ler (1777)
$eonard .*ler(1&707 1&7/)
Con Euler los imaginarios se
incorporan definiti$amente en la
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>arl %riedrich Gauss(1777-1!!"
3'meros &ntegros complexos
>. %. 5auss 61,18
A los n'meros enteros se
an agregado las ra$$iones
a las $antidades ra$ionales,
las irra$ionalesa las positivas, las negativas
a las reales, las imaginarias.
?@Au es un nmero complejoB 5auss dio la respuestasatisfactoria definiti$a en 1,1 al establecer la
interpretacin geomtrica&x+iy (x,y).
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i*el de G*%m3n
(1"6-200')
?4a $isualiDacin de los nmeros
reales mediante los puntos de una
rectao de los nmeros complejos
mediante los puntos del planonosolamente penetr sin gran resistencia
en el anlisis' sino que se puede decir
con raDn que' en el caso de los
nmeros complejos' esta$isualiDacin 6rgand' 5auss8 fue
lo que hiDo posible $encer la fuerte
oposicin de la comunidad
matemtica al dar carta de ciudadan)a
a los nmeros complejos.-l rin$%n de la piarra6 ensaos de
visualia$i%n en an2lisis matem2ti$o.
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defnicin#orma de par
y binnica
C
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Fn n4mero omleoes un par ordenado de
nmeros reales a , escrito como6
" 6a,8(3ota$i%n en $omponentes o
$oordenadas $artesianas).ase llama la ar!e realde& Re(z)6" a
se llama la ar!e imainariade& m(z) 6"
Dos n'meros $ompleos son iguales si s%lo si sus partes reales e
imaginarias son iguales6
(x1,1) " (x,) sii x1" x, 1"
El conjunto de nmeros complejos' se denota por C
{ }= '&8'6& .a.a7
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(01)se llama la *nidad imainaria" se denota por&
Gi a= 0' se dice que es un imainario *ro.
Gi b= 0'se comporta como un n4mero real.
z = a + !i
Fn nmero complejoz = (a,!)se escribe comnmente
como &
(+os ingenieros el"c#ricosa menudo usan $%para evitar $onusiones $on els&molo i, que aso$ian a la intensidad el$tri$a).
6nota$i%n algerai$a o !in&mica,aio en textos de anta8o8
8106 ,i =
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C
" a 9 i
" 6a,8
8106 ,i
=
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l plano compl jo
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El plano complejo6(lano D' de rgand o de 5auss8
Eje real
Eje imaginario
z8 (9:)
x
)
r
-emplo6
-
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-emplo6
ibujar el nmero complejo " !:!ien el plano complejo
x
)
+
2
i2+
-
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conjugadoEl on*ado de un nmero complejo " x + i
se define como&
5rficamente el conjugado
es una reflexin respecto
al eje real.
5
i)x5 =
x
5)
5)
-
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conjugado
Es sencillo
demostrar
que&21212121
21212121
HH 55555555
55555555
==
=+=+
i)x5 =
55=
228866 )xi)xi)x55 +=+=
-
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opuestoEl o*es!o de un nmero complejo
" x + i se define como&
5rficamente elopuesto
es una reflexin
respecto al punto 60'08
5
i)x
x
5)
5
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Guma " producto
;*ma
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618
628
p
e modo que podemos sustituir siempre&
Ejemplo&
ii
iiiiii
22+81012681#,6
J28#6+*KJ+8#62*K8+286#*6
+=++=+++=+
1800681068086062 =++=++= iiii
12 =i( ) 1111 2 === ii
-
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(otencias de i
(or ejemplo&1816186 2+*2#* === iii
1
1
1
#
*
+
2
=
=
=
=
=
i
ii
iii
i
11
i
i
-
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!esta
i$isin
6operacin in$ersa a la
suma8
6operacin in$ersa al producto8
.l oien!e de dos n4meros
omleos se alla m*l!iliando el n*merador :
denominador or el on*ado del denominador
8686 2121 ))ixx5 +=
Guma " resta de nmeros complejos
-
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Guma " resta de nmeros complejos
en el plano complejo
En la suma 6" la resta8los nmeros complejos
se comportan como $ectores
x
)
15
2521 55
+
12 55
-emplos6
-
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618
628
-emplos6
Gean& 1"1; 9 :i " !< 9 i
;allar el in$erso de i&
ii
i
i
ii==
=
1
11
=++=
8278627682786+1,6
DD
2
1
iiii
#+
#7120
27
82786+1,622
i!!
i!!i
=++=
- l
-
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Calcular&
=e(1) " 1;, =e() " !
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$e: de la*s*ra=1 9 " 1pertenecena7.
$e: asoia!i#a=
(1 9 ) 9 :" 1 9 ( 9 :)
(1) :" 1 (:)
$e: dis!rib*!i#a=
1 ( 9 :) " 1 9 1:
op ed des geb c s
4a suma " el producto dotan
a C de estructura de cuerpo.
$e: onm*!a!i#a=
1
9
"
9 1
1" 1
-
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09 " 90 " 6Ne*!ro ara la s*ma8
9(!) " (!)9 " 0 6>*es!o ara la s*ma8
>1 " 1 > " 6?den!idad ara el rod*!o8
> !1" !1 > " 1 6?n#erso ara el rod*!o8
@CA es *n *ero&No es osible ordenar el on*n!o de los n4meros omleos&
Careen de sen!ido e9resiones omo % 0 o %1 E %2
6(ara todo D distinto de 08
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$na #alacia ...
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%alacia@1=L1B
11-1-111-1818616-1818616
2 =====
i
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C
Forma polar
-
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El plano complejo6(lano D' de rgand o de 5auss8
Fd*lo&
Iambin llamado ?$alor absoluto6el mdulo de un real es su $alor absoluto8
r*men!o&
Eje real
Eje imaginario
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%orma polar
%orma trigonomtrica
x
)r
sin
cos
r)
rx
=
=
sincos irr
i)x5
+=
+=
( ) sincos ir5 +=
r5=
-emplo6
-
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argumento&
p
Escribir el siguiente nmero complejoz1=1Ai'
en formapolar " trigonomtrica&
mdulo&
sol*iFn
x
)
i5 +=11
1
12
1
r
+=
*sin
*cos21
i
2816816 2211 =+==5r
*H1
1arctanarg 1 =
=5
*H1
2=5
-emplo6
-
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ibujar el nmero complejo " !:!ien el plano complejo "
e$aluar mdulo " argumento
-
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operacionespolar-trigon.
C
< lti li i
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p j p p j
x
)
1r 15
25
2r
21rrr=
+=
21555=
-
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(otencias
( ) nnn mm =
8Jsin68Kcos6 ninr5 nn +=
%rmula de
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(otencias enteras de complejos
en forma polar&
( )
( )
( )
( )
( ) ...'1'0sincos
82sin682cos6
8sin68cos6
2sin2cos
sincos
22
11
22
=+=
+=
+=
+=
+=
nninr5
ir5
ir5
ir5
ir5
nn
( ) 8sin68cos6sincos nini n +=+
El teorema de
-
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generar identidades trigonomtricas. (or ejemplo&
Qgualando las partes reales e imaginarias&
+22+
+
sinsincossincoscos8sin6cossincos
iiii
+=+=+
+2
2+
sinsincossin
sincoscoscos
=
=
(otencias iguales
-
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(otencias iguales
istintos nmeros complejos pueden lle$ar al mismo
resultado al realiDarles una misma potencia R
.s!o nos lle#a al 3l*lo de raJes
( )
( )( )
( ) *01120*
2,0
*070
*
1P0
*0*00
*
100
*0
*
10
112
112
112
12
==
==
==
=
S1P02
S2,02
S1002
S102
S*01
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!a)ces
se llama la ra)D ensima de D a cualquier nmero
T que cumple& ?n = D' " se escribe como
Mdulo de w
ngulo de w
(artimos de un nmero complejo D
n 5?=
1'0'1'US+0 =
+=
=
n@nn
r= n
r5=
!a)ces
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Gean ?" =($os9 i sin)
" r($os9 i sin)
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!a)D cuarta R
Primer ngulo
ngulo a aadir
( )
( )
( )
( )
2,0
1P0
100
10
**0
2
2
2
2
1
S1P02
S2,02
S1002
S102
S10
*
S*0=
SP0*
S+0=
S*01
'$emplo raJes de la *nidad
-
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'$emplo raJes de la *nidad
#
,*
#
+
#
*2
#
21
S00
20##
S0
1
1
1
1
1
*'1'011
11
=
=
=
==
==
=
+
?
?
?
?
?
@n
@
1=n
5
-
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i$isin
8Jsin68Kcos62
1
2
1 += ir
r
5
5
=OO m
m
m
m
i$isin de nmeros complejos en el plano complejo
-
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15
x
)
=
5
25
2
r
1r
2
1
r
r
r=
2
1
5
55=
ampliacin
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C
-
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Fractales
Fn fra!al es un objeto geomtrico cu"a
estructura bsica se repite en diferentes escalas
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enoit
andelbro!
public en 1P7#
su primer ensa"o
sobre fractales
Gu construccin se basa en la iteracin de un nmero
complejo' es decir se hace una operacin " sta se repite
con el resultado R.
DD2+ C. 6conjunto de
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Benoi! andelbro!(
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p
i
c
a
c
El f)sicoLmatemtico ntonio r ha modelado
matemticamente el crecimiento de los tumores' o
al menos' eso es lo que defiende. En 1PP, publica
la primera ecuacin de crecimiento tumoral en lamejor re$ista del mundo de f)sica. ? R Este f)sico
espa/ol ha logrado $urar un cncer de h)gado
terminal con una ecuacin R .http&HHTTT.periodistadigital.comHsaludHobject.phpBo=,2P#7
geometr)a fractal' como son la red $ascular'
las ramificaciones bronquiales' la red
neuronal' la disposicin de las glndulas' etc.
Diseo
de
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-
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$os fra!ales an es!ado siendo *sados
omerialmen!e en la ind*s!ria
inema!or3fia en elJ*las omo ;!ar Oars
: ;!ar HreP&
!!=s!arars&:a&om
!!=&!rePminal&omne#o:aesebdesaras&
Elcine
isita la web de un
artista:
escucha msica
fractal
-
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mis fractales
Otros programas:Xaos
IfsAttrActoR
Fractal hecho conel programaapophysis.
www.apophysis.org
http&HHTTT.arraUis.esH[s"sifusHsoftTare.html
!!=ome&anadoo&nl
la*rens&lare
Botnica
-
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Caos
3@4a $ibracin de las alas
de una mariposa en rasil
pueLde desencadenar uncicln en IejasB3.
6(oincar8
-
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Causas pequeasproducen
comienDos de la dcada del 0' 4orenDse puso a elaborar un
modelo matemtico para predecir fenmenosatmosfricos' " por casualidad descubri que la
misma herramienta matemtica que utiliDaba estaba
fallando&
eL*eSos ambios en las ondiiones iniiales
rod*ian diferenias asombrosas
los fractales son la
representacin grafica
Ejemplos de sistemas
caticos inclu"en la
atmsfera terrestre el
-
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representacin grafica
del caos.atmsfera terrestre' el
Gistema Golar' las placas
tectnicas' los fluidos en
rgimen turbulento " loscrecimientos de
poblacin.
'n la "caa el *0se empearon a investigar $omportamientos
$a%ti$os en el ritmo $ard&a$o, las rea$$i%nes qu&mi$as, el
mer$ado urs2til *.
-
7/23/2019 Numeros_complejos (2)
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Cuaterniones
Cuaterniones ehipercomplejos
-
7/23/2019 Numeros_complejos (2)
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;ir Oilliam Roan
Tamil!on (1/05 - 1/65)
4os cuaterniones son nmeroscomplejos en cuatro dimensiones
en lugar de dos 6;amilton 1,*8.
s) un cuaternin qse expresa
como& q " a9i9$9@d dondea,,$,dson nmeros reales.
p p j
\4a propiedadEl softTare de $uelo del# # l b
-
7/23/2019 Numeros_complejos (2)
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conmutati$a no se
cumple para el productode cuaterniones].
4os cuaterniones se emplean para
describir dinmicas en
dimensiones' en f)sica " en
grficos por ordenador 6para hacer
pel)culas " juegos8.
#pa$e #uttleusaba
cuaterniones para el
control de na$egacin "$uelo
BibliorafJa
-
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BibliorafJa
asada en la presentacin de artolo 4uque
http&HHTTT.disa.bi.ehu.esH 6nS complejosLarchi$o ppt8
http&HHTTT.arraUis.esH[s"sifusHindex.html 6rea fractalL$arios8
http&HHes.Tebfractales.comH 6imgenesLsoftTare8
http&HHTTT.di$ulgamat.netHTeborriaUHExposicionesHrte