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NUMEROS REALES. VALOR ABSOLUTO.DESIGUALDADES
UNIDAD I: PRIMERA PARTE.
TEMA I 1.- Los Números Reales. 1.1.- Suma y Multiplicación de Números Reales. Propiedades básicas de la Suma y la Multiplicación. Definición de Diferencia y Cociente. Algunas propiedades de los Números Reales. Axioma de Orden. Definición de desigualdades. Intervalos. Tipos de Intervalos.
Ecuaciones: Dos expresiones algebraicas unidas por el signo igual.Ejemplo: 2x + 1 = 3x – 2 ,
)).((22 bababa +−=−
Nota: • Resolver una ecuación o una inecuación significa hallar el conjunto solución de la igualdad o desigualdad respectivamente.• El conjunto solución, es el conjunto formado por todos los números reales que son solución de la ecuación o inecuación.• El conjunto solución de una ecuación es finito, mientras que el conjunto solución de una inecuación, en general, es infinito.
Ejemplos:1.- Resolver la siguiente ecuación: x – (6 – 2x) = 8(x – 2)
2.- Resolver la siguiente inecuación: x – (6 – 2x) > 8(x – 2)
DEFINIDOS AXIOMAS TEOREMAS
NUMEROS REALES
METODO AXIOMATICO
CONCEPTOS PROPOSICIONES
PRIMITIVOS
Números Reales
Números Reales Positivos
Adición y Multiplicación de Números Reales
Si H, entonces T
H ⇒ T
H si y sólo si T
H ⇔ T
Conjuntos de Números: Naturales: 1,2,3,4,... Denotado por: Enteros: ..., -3,-2,-1,0,1,... Denotado por:
Racionales: Números que pueden escribirse de la forma: m/n
donde n es distinto de 0
Se denota por:
Números Reales
Q
....4142.1/ que tales
en Zn y mexisten no que ya 2 .5
....14159.3/ que tales
en Zn y mexisten no que ya 4.
1/330.3 que ya ...3333.0 3.
1/20.5 que ya 5.0 2.
2/168 que ya 8 1.
=∉
=∉
=∈
=∈=∈
nm
Q
nm
Q
Q
Q
Q
π
Ejemplos
En general:
“Un número es racional si es entero o, si su fracción decimal es finita o infinita periódica”
2; 3; 176543; 34,456; -456,456456456...
En otro caso es irracional:
Estos y otros forman el conjunto de los irracionales
denotado por
e ;;8 ;3 ;2 4 π
I
Asi tenemos:
N Q I⊂ ⊂=R Q I
e
N Z Q R
Z
El Conjunto de los Números Reales R
Está formado por todos los números, racionales e irracionales que pueden medir longitudes, incluyendo sus negativos y el cero.
La Recta real
La recta real es una representacion geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real"
Números Reales, Racionales e Irracionales Recta Real
Números RacionalesPueden expresarse como cociente de
dos enteros
Números IrracionalesNo pueden expresarse como
decimales finitos ni periódicos
Decimales finitos
2
5
=0,4
Periódicos
1
3
=0,333...=0,3
0 1 2 3 4
2 e π
2≈ 1,414213562
π ≈ 3,141592654
e ≈ 2,718281828
Operaciones en R
Suma o adición:
Multiplicación:
RyxRyx ∈+⇒∈,
RyxRyx ∈⇒∈ .,
Axiomas de la Suma y Multiplicación
Leyes conmutativas:
Leyes Asociativas:
Ley Distributiva:
Elementos Identidad:
Inversos:
Aditivo:
Multiplicativo:
yxxyxyyx =+=+ y
zxyyzxzyxzyx )()( y )()( =++=++
xzxyzyx +=+ )(
xxxxR ==+∈∃ 1 y 0 que tales1 y 0
0)( que tal)( )( =−+∈−∃∈∀ xxRxRx
1. que tal)/1)(0( 11 =∈=∃≠∀ −− xxRxxx
Sustracción y división
Para definir estas operaciones hacemos uso de las propiedades anteriores, de manera que:
).(/
)(1−=−+=−
yxyx
yxyx
Algunas propiedades de los números reales: Sean a, b, c, d ∈ R, se cumple:
0 1. )20
)(0 )19
.).(0. )18
)17
)).(( )16
).1( )15
0con )( )14
0,,con )13
0,con . )12
0,con .
. )11
0 00 )10
0, )9
0 )8
)()( )7
)()()()()( )6
)( )5
000 )4
00 3)
0 )2
1)
1
11
111
22
22
11
≠=⇒==⇒≠=⇒≠
−==⇔=+−=−
−=−≠=
≠=
≠=
≠=
=⇔=⇔=
≠+=+
≠−=−
=−−=−−−=+−
⋅=−⋅−⋅−=−⋅=⋅−=−−
==⇔=⋅=⋅
=⇒≠⋅=⋅=⇔+=+
−
−−
−−−
−−
aconabba
aaa
bababa
baóbaba
bababa
aa
aaa
dcbbc
ad
dc
ba
dbbd
ac
d
c
b
a
cbb
a
cb
ca
bexiste no b
a y a
b
a
dbconbd
cbad
d
c
b
a
bconb
a
b
a
b
a
acabcbaybaba
babaybababa
aa
bóaba
a
bacycbca
bacbca
Axioma de Orden
El conjunto de los números reales tiene un subconjunto no vacío llamado
los números reales positivos y denotado por R+ que satisface las
siguientes propiedades:
O1.- Para todo a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes
proposiciones: a = 0 , a ∈ R+ ó (-a ) ∈ R+
O2.- Sí a, b ∈ R+ entonces (a + b) ∈ R+
O3.- Sí a, b ∈ R+ entonces (a . b) ∈ R+
Definición: Un numero real “a” es negativo si y solo si “(-a)” es
positivo.
El conjunto de los números reales negativos se denota por R-.
Definición: Sean a,b ∈ R
-Desigualdades Estrictas:
“ a es menor que b” (a < b) si y solo si (b – a) ∈ R+
“ a es mayor que b” (a > b) si y solo si (a – b) ∈ R+.
-Desigualdades No Estrictas:
“a es menor o igual que b” (a ≤ b) si y solo si a < b ó a = b.
“ a es mayor o igual que b” (a ≥ b) si y solo si a > b ó a = b.