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Curso de Engenharia Civil
Notas de Aula de
A LGORITMO
Julho, 2009
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SUMÁRIO
1 – CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DE SEÇÕES PLANAS 03
1.1 – Momentos Estáticos e Baricentro 031.2 – Momentos Estáticos e Baricentro de uma Área Composta 061.3 – Momentos de Inércia e Raio de Giração 081.4 – Teorema dos Eixos Paralelos 091.5 – Momentos de Inércia de uma Área Compostas 10
Lista de Exercícios 1 12
2 – RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 18
2.1 – Solubilidade de um Sistema de Equações Lineares 182.2 – Equivalência entre Sistemas de Equações Lineares 192.3 – Algoritmo de Triangularização (Gauss) 202.4 – Algoritmo da Diagonalização (Gauss-Jordan) 222.5 – Inversão de Matrizes por Diagonalização 23
Lista de Exercícios 2 25
3 – INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 28
3.1 – Regra do Trapézio 283.2 – Regra de Simpson 30
Lista de Exercícios 3 33
BIBLIOGRAFIA 36
ANEXOS:
1 - Algoritmo para o Cálculo de Características Físicas de FigurasPlanas Compostas. 37
2 - Algoritmo para Resolução de Sistemas de Equações Lineares peloMétodo da Triangularização. 39
3 - Características Físicas das Principais Figuras Planas. 41
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1 – CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DE SEÇÕES PLANAS
1.1 – Momentos Estáticos e Baricentro
Os momentos estáticos (Q) de uma área plana (A) em relação aos eixos x e y sãodefinidos como:
∫ ⋅=
∫ ⋅=
Ay
Ax
dAxQ
dAyQ
Desta forma, os momentos estáticos podem assumir valores positivos, negativos enulos.
O baricentro de uma área plana A é definido como o ponto C de coordenadasx ey , tais que:
∫ ⋅=⋅
∫ ⋅=⋅
A
A
dAxxA
dAyyA
dA
x
x
y
y
C
x
x
y
y
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4
Desta forma, considerando os momentos estáticos definidos anteriormente, pode-se escrever:
⋅=
⋅=
xAQ
yAQ
y
x
Quando uma área plana apresenta um eixo de simetria, o momento estático daárea em relação a esse eixo é zero.
Sendo assim, se uma área possui um eixo de simetria, seu baricentro se localizasobre esse eixo.
Quando a área plana possui um centro de simetria (O), o momento estático emrelação a qualquer eixo que passe por O é zero. Além disso, o baricentro (C)coincide com (O).
x-x
• C dAdA’
y
x
• C≡O
dA
dA’
y
x
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5
Quando o baricentro C de uma área plana pode ser localizado por meio desimetria, o momento estático em relação a um eixo qualquer é facilmentedeterminado.
Por exemplo, para uma área retangular com altura h e largura de base b, tem-se:
( )
( ) =
⋅=⋅=
=
⋅=⋅=
2
y
2x
hb2
1b2
1bhxAQ
bh21h
21bhyAQ
Exemplo 1:
Determine o momento estático Qx e a ordenada y do baricentro de um triânguloqualquer.
( ) ( )yhbhuhb yhu −⋅=⋅⇒↔ −↔
hbybu −=⇒
dyhbybdyudA ⋅
−=⋅=
6bhQ
3bh
2bh
h3bh
2bh Q
h3by
2by
dyhby
bdAyQ2
x2232
x
h
0
32h
0x
=⇒−=−=
−=⋅∫
−=∫ ⋅=
3hy
2bh
6bh
AQyyAQ
2x
x =⇒==⇒⋅=
dA
dy
u
h
y
h-y
y
x
b
x
y
h
b
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1.2 – Momentos Estáticos e Baricentro de uma Área Composta
Se dividirmos uma área A em subáreas Ai, os momentos de estáticos podem sercalculados como:
( )
( )∑ ⋅=∫ ∑ ∫ ⋅=⋅=
∑ ⋅=∫ ∑ ∫ ⋅=⋅=
iiA iA
y
iiA iA
x
xAdAxdAxQ
yAdAydAyQ
Para determinarmos as coordenadas X e Y do baricentro C da área comporta,faz-se:
( )
( )∑ ⋅=⋅
∑ ⋅=⋅
ii
ii
xAXA
yAYA
Logo, tem-se:
( )A
xAX ii∑ ⋅= e ( )AyAY ii∑ ⋅=
Exercício 1:
Determine os momentos estáticos Qx e Qy e as coordenadas do baricentro dafigura a seguir.
80 cm
40 cm
20 cm
60 cm
x
y
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Trabalho 1:
Determine os momentos estáticos Qx e Qy e as coordenadas do baricentro dafigura a seguir. (Obs.: dimensões em cm)
5
2
4 4
1
3
2
x
y
4 22
1
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1.3 – Momentos de Inércia e Raio de Giração
Os momentos de inércia (I) de uma área (A) em relação aos eixos x e y sãodefinidos como:
∫ ⋅=
∫ ⋅=
A
2y
A
2x
dAxI
dAyI
O momento de inércia polar (Jo) de uma área (A) em relação ao ponto O é definidocomo:
∫ ⋅ρ=A
2o dAJ
Obs.: Ix, Iy e Jo assumem valores sempre positivos.
Pode-se mostrar que:
( ) ∫ ⋅+∫ ⋅=∫ ⋅+=∫ ⋅ρ=A
2
A
2
A
22
A
2o dAydAxdAyxdAJ
Logo, tem-se: yxo IIJ +=
O raio de giração é definido como a grandeza r que satisfaz a seguinte relação:
ArJ 2o ⋅= ⇒ AIr =
dA
x
x
y
y
ρ
O
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Logo, tem-se:
AI
r xx = ; AI
r yy = ; AJ
r oo = ,
e então: 2y2x2o rrr +=
Exemplo 2:
Determine o momento de inércia Ix em relação ao eixo baricentro x e o raio degiração rx, correspondente, de uma área retangular qualquer de altura h e largurade base b.
( ) ( )
12h
r 12h
bh12
bh
AI
r
12bhI
24h
24hbI
32
h
32
hbI
3ybdybydAyI
x
23
xx
3x
33x
33
x
2h
2h
32
h
2h
22x
=⇒
===
=⇒
+⋅=
−−⋅=
⋅=⋅∫ ⋅=∫ ⋅=
−−
1.4 – Teorema dos Eixos Paralelos
Consideremos o momento de inércia Ix de uma área A em relação a um eixo xqualquer. Se chamarmos y a distância de um elemento de área dA, tem-se:
∫ ⋅=A
2x dAyI
Seja y′ a distância do elemento de área dA ao eixo baricentro x′ . Logo, tem-se:
y = y′ + d
onde d é a distância entre os dois eixos x e x′ .
x
y
dy
y
y′
dx
x′
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Pode-se escrever:
( ) ∫⋅+∫ ⋅⋅+∫ ⋅=∫ ⋅+=∫ ⋅=A
2
AA
2
A
2
A
2
xdAddA'yd2dA'ydAd'ydAyI
onde:
∫ =⋅A
x2 IdA'y ⇒ momento de inércia em relação ao eixo baricentro;
0QdA'y xA
==∫ ⋅ ⇒ momento estático em relação ao eixo baricentro;
AdAA
=∫ ⇒ área da figura plana.
Logo, tem-se:
⋅+=
⋅+=
⋅+=
2oo
2yy
2xx
dAJJ
dAII
dAII
Observações:1) O momento de inércia pode ser entendido como um índice de resistência ao
giro ou a flexão;
2) Para qualquer área plana o momento de inércia em relação ao eixo baricentroé o de menor valor.
1.5 – Momentos de Inércia de uma Área Composta
Consideremos uma área A composta por várias partes Ai. O momento de inérciadessa área em relação a um certo eixo é dado pela soma dos momentos deinércias de cada uma das partes Ai em relação a esse mesmo eixo.
Logo, antes de se somar o valor dos momentos de inércia das partes Ai, deve-seusar o teorema dos eixos paralelos para transformar todos os momentos deinércia para um mesmo eixo comum e desejado.
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Exercício 2:
Determine o momento de inércia Ix em relação ao eixo baricentro x da figura aseguir.
Trabalho 2:
Determine os momentos de inércia Ix e Iy, e o momento polar Jo em relação aoseixos baricentros x e y da figura a seguir. (Obs.: dimensões em cm)
80 cm
40 cm
20 cm
60 cm
x
y
C
5
4 4
1
3
x
y
4 22
C
1
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Lista de Exercícios 1
1) Determine o valor dos momentos estáticos na direção x e na direção y, além docentro de massa, das figuras planas a seguir:Observação: dimensões em mm.
a)
b)
c)
10
30
10
10 1020
X
Y
10
40
10
10 2020
X
Y
10
40
10
10 2020
X
Y
1010
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d)
e)
f)
10 40
10
10
50
X
Y
10
2040 20
50
X
Y
10
40
15
10 2020
X
Y
10
15
10
10
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2) Desenvolva a equação que representa o momento de inércia em relação aoeixo x que passa pelo centro de gravidade das figuras planas a seguir:
a)
b)
hdy
b
X
Y
hdy
b
X
Y
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3) Determine os momentos de inércia em relação aos eixos x e y que passam pelocentro de massa das figuras a seguir:
a)
b)
c)
10
30
10
10 1020
X
Y
10
40
10
10 2020
X
Y
10
40
10
10 2020
X
Y
10
10
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d)
e)
f)
10 40
10
10
50
X
Y
10
2040 20
50
X
Y
10
40
15
10 2020 X
Y
10
15
10
10
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4) Seja a seção de uma viga como mostrado na figura a seguir. Pede-sedeterminar a posiçãoy do centro de massa e o momento de inércia xI , relativo aoeixo x que passa pelo centro de massa.
5) Calcule os momentos de inérciaxI e yI em relação aos eixos baricentrosx e y para a seção do tijolo furado mostrado na figura a seguir.(obs.: dimensões em cm)
x
10 cm
15 cm
5 cm 10 cmO
2
2
2 2 2
16
17 17
y
x
y
-
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2 – RESOLUÇÃO DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Seja a estrutura mostrada na figura a seguir. Pede-se determinar as reações nasextremidades A e B.
=α⋅+⇒∑ ==α⋅+⇒∑ =
0senPV0F0cosPH0F
AAAy
AAAx
=β⋅+⇒∑ ==β⋅−−⇒∑ =0senPV0F
0cosPH0FBBBy
BBxB
=β⋅−α⋅−−⇒∑ ==β⋅+α⋅−
⇒∑ = 0senPsenPP0F 0cosPcosP0F BAPy
BAPx
Logo, tem-se um sistema de 6 equações e 6 incógnitas: HA, HB, VA, VB, PA e PB.
2.1 – Solubilidade de um Sistema de Equações Lineares
Seja o sistema:
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
K
M
K
K
Ele pode ser reescrito da seguinte forma: =⋅
n
2
1
n
2
1
nnn2n1
n22221
1n1211
b
bb
x
xx
a a a
a a aa a a
MM
K
M
K
K
E representado por A·X=B, onde: A é a matriz de coeficientes; X é o vetor deincógnitas; B é o vetor de termos independentes.
P (conhecido)
HBHA
VBVA a b
hα β
+
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- Se det(A)≠ 0 → uma única solução;- Se det(A) = 0 e {B} = 0→ infinitas soluções;- Se det(A) = 0 e {B}≠ 0 → não existem soluções.
A solução dada pelo Teorema de Cramer é:
)Adet()Adet(x ii =
onde Ai é a matriz formada pela matriz A com a coluna i substituída pelo vetor B.
O teorema de Cramer exige um número elevadíssimo de operações aritméticas,não sendo favorável para os casos envolvendo aplicações através decomputadores, por exemplo.
2.2 – Equivalência entre Sistemas de Equações Lineares
Dois ou mais sistemas lineares são ditos equivalentes quando apresentamsoluções idênticas.
=+=+2yx
5y2x3:S ⇒ =11X
=+
=+′4y2x2
35y32x:S ⇒ =′ 11X
Como X = X′ , isto implica que S é equivalente à S′ .
Substituindo-se uma equação linear do sistema S por uma combinação linear deequações de S, obtém-se um sistema S′ que é equivalente à S.
Desta forma, podem-se obter sistemas de equações lineares, equivalentes aooriginal, porém mais simples de serem resolvidos.
−=+=+
1y4x31yx2:S ⇒
−+
= 11X
( ) ( ) ( )−−=+−+=+
′141yx24y4x3
1yx2:S
−=−=+
′5x51yx2:S ⇒
−+
=′ 11X
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( ) ( )−=+=+
′′15y4x35
1yx2:S
−=+=+′′
5y20x15 1yx2:S ⇒ −+=′′ 11X
Logo, S≡ S′ ≡ S″.
Observações:
1) Combinação linear significasoma e subtração de equações e multiplicaçãoe divisão por constantes .
2) Não se pode multiplicar ou dividir equações nem somar ou subtrair constantes.
2.3 – Algoritmo da Triangularização (Gauss)
Este algoritmo consiste em se aplicar combinações lineares a S até se obter S′ , talque A′ se torne uma matriz triangular superior.
Exemplo 3:
−=−−=++=−+
2zyx33zy2x0zyx2
:S ⇒ M = [A|B] =2- 1- 1- 33 1 2 10 1- 1 2
1) Troca-se l 1 com l 2: M′ =2- 1- 1- 30 1- 1 23 1 2 1
2) l 2 ← l 2 - 2l 1: M′ =2- 1- 1- 36- 3- 3- 03 1 2 1
3) l 3 ← l 3 - 3l 1: M′ =11- 4- 7- 06- 3- 3- 03 1 2 1
4) l 2 ← l 2 /(-3): M′ =11- 4- 7- 02 1 1 03 1 2 1
5) l 3 ← l 3 + 7l 2: M’ =3 3 0 02 1 1 03 1 2 1
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Logo: 3z = 3 ⇒ z = 1
y + z = 2 ⇒ y = 1x + 2y + z = 3 ⇒ x = 0
Exemplo 4:
=−+=−+
=+−
3z2y3x82z3y4x6
1zyx2:S ⇒ M = [A|B] =
3 2- 3 82 3- 4 61 1 1- 2
1) l 1 ← l 1 /2: M′ =3 2- 3 82 3- 4 6
0,5 0,5 0,5- 1
2) l 2 ← l 2 – 6l 1: M′ =3 2- 3 81- 6- 7 0
0,5 0,5 0,5- 1
3) l 3 ← l 3 – 8l 1: M′ =1 6- 7 01- 6- 7 0
0,5 0,5 0,5- 1
4) l 2 ← l 2 /7: M′ =1 6- 7 0
0,14- 0,86- 1 00,5 0,5 0,5- 1
5) l 3 ← l 3 – 7l 2: M′ =0 0 0 0
0,14- 0,86- 1 00,5 0,5 0,5- 1
⇒ Sistema Indeterminado.
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2.4 – Algoritmo da Diagonalização (Gauss-Jordan)
Este algoritmo consiste em se aplicar combinações lineares a S até se obter S′ , talque A′ se torne uma matriz unidade.
Exemplo 5:
=+−=−+
=++
4z3yx5z2y2x
6zyx:S ⇒ M = [A|B] =
4 3 1- 15 2- 2 16 1 1 1
1) l 2 ← l 2 - l 1: M′ =4 3 1- 11- 3- 1 06 1 1 1
2) l 3 ← l 3 - l 1: M′ =2- 2 2- 01- 3- 1 0
6 1 1 1
3) l 3 ← l 3 + 2l 2: M′ =4- 4- 0 01- 3- 1 0
6 1 1 1
4) l3 ← l
3 /(-4): M′ =
1 1 0 01- 3- 1 06 1 1 1
5) l 2 ← l 2 + 3l 3: M′ =1 1 0 02 0 1 06 1 1 1
6) l 1 ← l 1 - l 2 - l 3: M′ =1 1 0 02 0 1 03 0 0 1
Logo: X≡ B′ = 12
3
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2.5 – Inversão de Matrizes por Diagonalização
A aplicação do teorema das combinações lineares permite também calcular amatriz inversa (A-1) da matriz A, tal que A·A-1 = I, onde I é a matriz unidade.
Desta forma, pode-se transformar a matriz aumentada M em M′ , tal que:
M = [A|I] ⇒ M′ = [I|A-1]
Exemplo 6:
A =
1 4 2
1- 1 31 1 1
⇒ M =
1 0 0 1 4 2
0 1 0 1- 1 30 0 1 1 1 1
1) l 2 ← l 2 - 3l 1: M′ =1 0 0 1 4 20 1 3- 4- 2- 00 0 1 1 1 1
2) l 3 ← l 3 - 2l 1: M′ =1 0 2- 1- 2 00 1 3- 4- 2- 00 0 1 1 1 1
3) l 3 ← l 3 + l 2: M′ = 1 1 5- 5- 0 0 0 1 3- 4- 2- 0
0 0 1 1 1 1
4) l 3 ← l 3 /(-5): M′ =0,2- 0,2- 1 1 0 00 1 3- 4- 2- 00 0 1 1 1 1
5) l 2 ← l 2 + 4l 3: M′ =0,2- 0,2- 1 1 0 00,8- 0,2 1 0 2- 00 0 1 1 1 1
6) l 2 ← l 2 /(-2): M′ =0,2- 0,2- 1 1 0 00,4 0,1- 0,5- 0 1 0
0 0 1 1 1 1
7) l 1 ← l 2 - l 2 - l 3: M′ =0,2- 0,2- 1 1 0 00,4 0,1- 0,5- 0 1 00,2- 0,3 0,5 0 0 1
Logo: A-1 =0,2- 0,2- 1 0,4 0,1- 0,5-0,2- 0,3 0,5
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Exercício 3:
Resolva o sistema a seguir pelos métodos da diagonalização e triangularização.
=++−=−++−
=+−+
72x3zy275x2z3y
7z36y2x:S
Trabalho 3:
Determine as reações nos apoios da estrutura mostrada no início do capítuloatravés dos algoritmos da diagonalização e da triangularização. Considere osseguintes dados: P = 1.000 N; a = 10,0 m; b = 20,0 m; h = 10,0 m.
-
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Lista de Exercícios 2
1) Resolva os sistemas de equações abaixo pelos métodos da triangulação e dadiagonalização.
a)−=++
=++=++
4z5yx0zy4x3zyx4
:S solução:−
=1
01
zyx
b)=++
−=+−−=+−
11zyx212z3y4x5
4zyx:S solução:
−=
163
zyx
c)
=+++=+++=+++=+++
52,1t24,0z132,0y40,0x60,026,1t36,0z46,0y24,0x20,081,0t32,0z24,0y15,0x10,094,0t30,0z12,0y32,0x20,0
:S solução: =
07,191,068,045,1
tzyx
d)
=−+=−+
=−−+=−+
02xx02xx
04xx4x02xx
:S
43
31
421
41
solução: =
1111
xxxx
4
3
2
1
e)=++−
=+−=−+
104z317y289x428103z210y371x158102z328y546x234
:S solução: =7475,03899,05739,0
zyx
-
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2) Determine as reações e a força em cada barra das treliças a seguir:
a) Treliça 1.
Solução:−
−
=
5
50
07,75105
07,7
V
VHFFFFF
D
A
A
5
4
3
2
1
b) Treliça 2.
Solução:
−−
−
−
=
25155,176,10
250
5,177,24
FFFFFFFF
8
7
6
5
4
3
2
1
e −=
5,175,17
05,17
7,240
5,176,10
VVHFFFFF
H
A
A
13
12
11
10
9
10t
45 o 45 o
1
2
3
4
5
AC
B
D
15t
45 o
45 o
1
2
3
13
12
A
C
BD10t 10t4
5
6
7
8
9
10
11
E
F
G
H45 o45 o
-
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3) Inverta as seguintes matrizes:
a) − 2 11 2
Solução: 0,4 0,20,2- 0,4
b)2 1 24 2 21- 3 1
Solução:0,99 0,36 0,14-0,43- 0,29 0,291 0,5- 0
c)
2 5 2- 5 1- 3 1 3
1 1 2 14 1- 2 2
Solução:
0,15 0,36- 0,33 3,64 0,18 0,30- 0,67 0,33-
0,12- 9,09 0,33 0 9,09- 0,48 0,67- 0,33
d)2,75 0,5- 25,1
3 1- 12 1 2
Solução: Não existe.
-
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3 – INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Consideremos o problema de se computar o valor numérico de uma integraldefinida com qualquer grau desejado de precisão.
( ) ( ) ( ) ( )aFbFxFdxxf bab
a−==∫
Desta forma, devemos ser capaz de achar a integral indefinida F(x) e de calcular oseu valor em x=a e x=b. Quando isso não for possível, a fórmula anterior não temuso prático. Essa abordagem falha inclusive para integrais aparentementesimples, tais como:
( )∫π
0dxxsen e ∫
2
1
xdx
xe
Isto ocorre, pois não existem funções elementares cujas derivadas sejam ( )( )xsen e
xex .
Sendo assim, neste capítulo serão apresentadas formulações matemáticas quefornecem um valor aproximado de integrais, independentemente de podermosdeterminar a expressão para as integrais definidas.
3.1 – Regra do Trapézio
A integral é a representação numérica do valor da área compreendida entre acurva da função f(x) e o eixo x, num determinado intervalo.
( ) ( )[ ]∑ ∆⋅=∫ ⋅==∞→
N
0iN
b
axxflimdxxfA
y
a b
Af(x)
x
-
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Admitindo-se uma subdivisão do intervalo de cálculo, pode-se aproximar a curvapor semi-retas.
A área do trapézio formado pela semi-reta é dada por:
( )( )1kk
k1k
xx2yy
−−
−⋅+
Sendo a e b os limites de integração e n o número inteiro e positivo de intervalos,pode-se escrever:
nabxxx 1kk
−=−=∆ −
Fazendo-se k = 1, 2, …, n e somando-se as áreas de todos os trapézios formados,tem-se:
( )
++++++⋅∆≅∫ −− 2yyyyy
2yxdxxf n1n2n210
b
aL n
abx −=∆
Exercício 4:
Utilizando a regra do trapézio, com n = 6, calcule o valor aproximado da integral:
∫+
−
−
2
2 2
3dx
1xx1
Xxk-1 xk
yk-1yk
-
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3.2 – Regra de Simpson
Esse método baseia-se em um artifício mais engenhoso, pois cada trecho dacurva f(x) é aproximado por um segmento de parábola.
Dividi-se o intervalo de integração [a,b] em n partes iguais, porém agora, ointervalo n deve ser inteiro, positivo e par. A cada 3 (três) pontos de subdivisãoaproxima-se um segmento de parábola conforme apresentado a seguir.
O segmento de parábola utilizado para aproximar a curva é escrito da seguinteforma:
( ) ( ) ( )211 xxCxxBAyxP −⋅+−⋅+==
Para: x = x0: ⇒ ( ) ( )210100 xxCxxBAy −⋅+−⋅+=
x = x1: ⇒ Ay1 = (1)x = x2: ⇒ ( ) ( )212122 xxCxxBAy −⋅+−⋅+=
Sendo 1201 xxxxnabx −=−=−=∆ , pode-se escrever:
( ) ( )( ) ( )∆+⋅+∆+⋅=−
∆−⋅+∆−⋅=−2
12
210
xCxByyxCxByy
Obtendo-se: ( ) 2102
yy2yxC2 +−=∆⋅ (2)Admitindo-se que o segmento de parábola representa bem f(x), tem-se:
( ) ( ) ( )[ ]∫ −⋅+−⋅+≅∫ 2x1x
211
2x
1xdxxxCxxBAdxxf
( ) ( ) ( )2x
1x
31
21
2x
1xxxC
31xxB
21Axdxxf −⋅+−⋅+≅∫
Xx0 x2
y0
y2
x1
y1
-
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( ) ( )32x
1xxC
32xA2dxxf ∆⋅+∆⋅≅∫ (3)
Substituindo-se (1) e (2) em (3), tem-se:
( ) ( ) ( )21021012x
1xyy4y
3xxyy2y
31xy2dxxf ++∆=∆⋅+−+∆⋅≅∫
Aplicando-se esse procedimento para todos os subintervalos [x0,x2], [x2,x4], [x4,x6],… e somando-os, obtém-se a aproximação para o cálculo da integral dado por:
( ) ( )n1n2n210b
ayy4y2y2y4y
3xdxxf ++++++⋅∆≅∫ −−L n
abx −=∆
Observações:• y0 e yn → coeficiente 1;• yi com i par → coeficiente 2;• yi com i impar → coeficiente 4.
Exercício 5:
Refazer o exercício 6 com o cálculo pela regra de Simpson e comparar osresultados com aquele apresentado pela calculadora.
Exercício 6:
Determinar a área marcada na figura abaixo sendo a equação da parábola dadapor 28,5x76,5x48,0y 2 −+−= . Considere n = 4.
10,08 m
X (m)
Y (m)
-
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Trabalho 4:
Sejam as funções f1 e f2 conforme apresentadas a seguir:
( )1x
1xf 21 += e ( )
7,3x2,07,1x2,0xf 22 +
+−=
Calcule as integrais abaixo pelas regras do Trapézio e de Simpson, com 10intervalos e utilizando a precisão de 3 (três) casas decimais.
( )∫ ⋅−
4
11 dxxf
( )( )∫ ⋅
−
4
1 2
1 dxxfxf
-
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Lista de Exercícios 3
1) Resolva as integrações numéricas a seguir através dos métodos do Trapézio ede Simpson (com 6 intervalos).
a) ( )∫ +−4
0
3 dx1x3x3
b) ∫2
π
0dx)xcos(
c) ∫ +1
0
2x dx)xe(
d) ( )∫ +⋅1
0 dxx1lnx e) ∫
π
0
2 dx)xsen(
f) ∫9
0dt
t)tsen(
g) ∫14
2 xdx
h) ∫+
6,0
0 k1dk
i) ∫π
π
2 )xsen( dxe
3) Determine o deslocamento máximo, no ponto de aplicação da força P, na barrabiapoiada uniforme e homogenia da figura a seguir. (Obs.: resolva a integral peloMétodo do Trapézio com 5 intervalos)Dados da barra:
- Comprimento: 10 m;- Força P: 20 t;- Módulo de elasticidade do material: 2100 t/cm2
- Seção da barra: retangular com b = 30 cm e h = 50 cm.P
l /2l /2
-
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Notas de Aulas Algoritmo
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4) Você foi contratado para determinar a área de uma fazenda cujos terrenosestão delimitados por um rio e uma estrada conforme mostrado na figura a seguir.Você verificou que tanto o rio quanto a estrada poderiam ser representados porequações de um sistema de eixos conforme apresentado na figura. Utilizando-seos Métodos do Trapézio e de Simpson, ambos com 4 intervalos, determine a áreaatravés de integração numérica.
- Equação do rio: 25x0833,4x7333,0x0233,0y 23 +⋅−⋅+⋅−= - Equação da estrada: x1969,0e9696,0y ⋅⋅=
y
x
Fazenda
(20,50)
Rio
Estrada
Obs.:Dimensões em km
-
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Notas de Aulas Algoritmo
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5) Determine a área entre as três curvas a seguir, considerando as dimensões emcm e a equação das três parábolas conforme indicado.
6) Seja um perfil de seção transversal em forma de parábola, conformeapresentado no gráfico a seguir. Pede-se determinar o momento de inércia emrelação ao eixo X. Além disso, no cálculo da área da seção transversal, pede-separa utilizar o método de Simpson com 6 intervalos.
X
Y (cm)
X
X (cm)
h
ho
y = 2x -72
O
y1 = 0,125x +1,875
y2 = -0,025x -0,10x+2,125
y3 = -0,125x +4,125
-
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Notas de Aulas Algoritmo
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BIBLIOGRAFIA
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. (1982). Resistência dos Materiais. McGraw-Hill doBrasil. 2a edição. São Paulo, SP.
SIMMONS, G. F. (1952). Cálculo com Geometria Analítica. McGraw-Hill. SãoPaulo, SP.
-
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Notas de Aulas Algoritmo
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ANEXO 1
Algoritmo para o Cálculo deCaracterísticas Físicas de Figuras Planas Compostas
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Dados:
• Número de figuras: NF;• Área de cada figura: A[i];• Posição x e y do eixo baricentro de cada figura: Xb[i], Yb[i];• Momento de inércia em relação aos eixos baricentro de cada figura: Ixb[i],
Iyb[i].
Resultados:
• Área de Figura Composta: Atot;• Posição x e y do eixo baricentro da figura composta: Xtot, Ytot;• Momento de inércia em relação aos eixos baricentro da figura composta: Ix[i],
Iy[i].Algoritmo:
Leia (NF)Atot← 0Soma_Ax← 0Soma_Ay← 0Para i ← 1 até NFFaça
Leia (A[i], Xb[i], Yb[i],Ixb[i], Iyb[i])
Atot←
Atot + A[i]Soma_Ax← Soma_Ax + A[i]× Xb[i]Soma_Ay← Soma_Ay + A[i]× Yb[i]
Fim paraXtot← Soma_Ax ÷ AtotYtot← Soma_Ay ÷ AtotIx← 0Iy← 0Para i ← 1 to NFFaça
Ix← Ix + A[i]× (Xb[i] – Xtot)× (Xb[i] – Xtot)
Iy← Iy + A[i]× (Yb[i] – Ytot)× (Yb[i] – Ytot)Fim façaImprime(Atot, Xtot, Ytot, Ix, Iy)
-
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ANEXO 2
Algoritmo para a Resolução deSistemas de Equações Lineares pelo Método da Triangularização
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Dados:
• Tamanho do sistema: n;• Matriz de coeficientes: A[i,j];• Vetor de termos independentes: B[i].
Resultados:
• Vetor solução: X[i].
Algoritmo:
Leia (n)Para i ← 1 até nFaça
Para j ← 1 até nFaça
Leia (A[i,j])Fim paraLeia (B[i])
Fim paraPara k ← 1 até (n-1)Faça
Para i ← (k+1) até n(passo negativo) Faça
m ← A[i,k] ÷ A [k,k]A[i,k]← 0Para j ← (k+1) até n(passo negativo) Faça
A[i,j]← A[i,j] – m× A[k,j]Fim paraB[i]← B[i] – m× B[k]
Fim paraFim paraX[n]← B[n] ÷ A[n,n]Para k ← (n+1) até 1(passo negativo)Faça
S ← 0Para j ← (k+1) até n(passo negativo) Faça
S ← S + A[k,j]× X[j]Fim paraX[k]← (B[k] – S) ÷ A[k,k]Imprime(X[k])
Fim para
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ANEXO 3
Características Físicas das Principais Figuras Planas
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