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Crecimiento Asintótico de una Función ƒ(x) y su relación con el rendimiento de la programación
Ing. Juan Ignacio Zamora MSc | Ulacit 2012.
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• Sean X y Y dos conjuntos de números reales.
• Una función “ƒ” de una variable real “X” de X a Y es una correspondencia que asigna a cada numero {x} de X a un numero {y} de Y
Función Real de Una Variable Real
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• Al conjunto “X” se le llama dominio de “ƒ”. • El valor {y} se le llama “imagen” de {x} por f y se denota
por ƒ(x).
– X = { 1, 2, 3 ….. n} – Y = {… 1, 2, 3, …}
• El recorrido “ƒ” se denomina como el subconjunto de “Y” formado por todas las imágenes de los números de “X”
Función Real de Una Variable Real
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Dominio de {x}
Recorrido y = ƒ(x)
ƒ Y
X = {1,2,3}
Y = {1,2,3,4}
Recorrido de una Función
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• Una función X a Y es “Inyectiva” si a cada valor {y} perteneciente al recorrido le corresponde exactamente un valor del dominio.
• Se dice que una función es “Suprayectiva” o “Biyectiva” si su recorrido es todo “Y”
• Sobreyectiva: para cada imagen (y) existe un elemento en el dominio.
Dominio y Pertenencia
Pre Imagen {dominio}
Imagen {codominio}
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• La variable {x} es la variable independiente.
• La variable {y} es la variable dependiente. – Podemos decir que el área “A” de un círculo
está en función de su radio y denota como
Variables Involucradas y su relación…
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Funciones Con dominio Explícito
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Función Implícita y Explícita
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• Una relación entre 2 conjuntos “X” y “Y” es un conjunto de pares ordenados de la forma (x , y) donde {x} es un elemento de “X” y {y} es un elemento de “Y”.
Notación de Funciones
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• Los puntos de la gráfica están dados por los puntos (x, ƒ(x) ), donde {x} pertenece al dominio de ƒ.
– {x} : es la distancia al eje Y – ƒ(x) : es la distancia al eje X
Gráfica de una Función
El término ƒ(x) fue definido por el matemático Leohnard Euler
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• Funciones Algebraicas (polinómicas, radicales, racionales)
• Funciones Trigonométricas (sen, cos, tan) • Exponenciales y Logarítmicas
Funciones Elementales Y su clasificación
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• n: es el grado de la función • ai: es el coeficiente y an es el coeficiente
dominante • a0: es el término constante
Grado de una Función Y sus componentes
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• Grado Cero (constante)
• Grado Uno (Lineal)
• Grado Dos (Cuadrática)
• Grado Tres (Cúbica)
Grados de una Función
Coeficiente Dominante
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• Se da por la combinación de 2 funciones • Sean f y g dos funciones.
– La combinación dada por f * g(x) = f(g(x)) – El dominio de f * g es el conjunto de todos los
{x} del dominio de {g} tales que el dominio de g(x) pertenece a “f”….
Función Compuesta
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Dominio de la Función Compuesta
{x}
g(x)
f(g(x))
ƒ g
Dominio f
Dominio g
ƒ * g
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• La composición ƒ * g suele ser distinta a la composición g *ƒ – f(x) = 2x – 3 – g(x) = cos x
Composición ƒ * g
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Notación “Big O” Para la determinación del crecimiento en algoritmos programados
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• Se usa para representar consumo a través del tiempo (recursos, memoria, etc)
• Permite cuantificar rendimientos de funciones con base a su estructura
• Define la correlacion del crecimiento del tiempo de ejecución de un algoritmo en función de las operaciones a ejecutar.
Notación Asintótica
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Comportamiento Asintótico
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Posibles Comportamientos De una función
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• Para una determinada función g(n) se denota
• g(n) define los límites asintóticos de la función ƒ(n).
• Existen funciones asintóticas positivas y asintóticas no negativas para valores grandes de n.
• Por tanto es asintótica no negativa
Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento
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Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento
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• Una función cuadrática por tanto es para a>0
• Es más, para cualquier polinomio
• Como una constante es un polinomio grado cero
Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento
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• La notación define los límites para el peor y el mejor caso
• “Big - O”, define solamente el límite del peor caso. – Regla: – O(cg(n)) = { f(n) donde existe una constante c
positiva y 0 <= f(n) <= cg(n) para todo n0 >= n }
Notación “Big - O” El peor caso
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Notación “Big - O” El peor caso Demostración
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• La notación “Big Omega” funciona inversamente al “Big O” al identificar el límite inferior de rendimiento. – Regla: – Ω(cg(n)) = { f(n) donde existe una constante c
positiva y 0 <= cg(n) <= f(n) para todo n0 >= n }
Notación “Big - Omega” Ω” El mejor caso
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Para 2 funciones Tenemos que Sí y solo sí
Notación TEOREMA para ambos límites
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• O – Notación: f(n) puede alcanzar el límite superior…
• o – Notación (“little o”): f(n) tiende al tratar de alcanzar el límite, pero no llega.
Otras Notaciones Little – o : cuando tiende al límite superior
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• ω – Notación es a Ω – Notación como o – Notación es a O Notación.
• “ω” denota por tanto la tendencia al límite inferior, pero no lo alcanza. f(n) = ω(cg(n))
Otras Notaciones Little – omega ω : cuando tiende al límite inferior
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Relación entre las Notaciones Tendencias
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Análisis de Código Fuente Ejemplo 1
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Análisis de Código Fuente Ejemplo 2
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Análisis de Código Fuente Ejemplo 3
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Ejemplo 4 Mejor y Peor Caso
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Órdenes de Complejidad Tiempos Aproximados de Resolución ( n muy grande)