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VBV
LA INTEGRAL DEFINIDA
NAUDY HERNANDEZ UNIVERSIDAD FERMIN TORO
1
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Derivada Recta tangente
Integral Área
Entendemos:
Área de una función f : región comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.
2
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3
Pensemos en como obtener el área bajo la función f
f(x)
Sabemos calcular el área de polígonos…
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4
Podríamos …
x0 x1x
f(x)
x2 x3 x4
Nosotros construiremos rectangulos!!!
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5
En realidad…
Este es un problema muyantiguo (Arquimedes se plantea esto, pero son Newton y Leibniz los quelo resuelven).
Idea: Construirrectangulos “bajo” la curva f(x), encontrar el área de todos estos
rectangulos.
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Sea [a,b] un intervalo cerrado. Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos
no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que:
x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn
Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de [a,b]
6
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Denotemos por Δxi la longitud de cada sub-intervalo tal que:
Δx1 = x1 – x0Δx2 = x2 – x1…Δxi = xi – xi-1…Δxn-1 = xn-1 – xn-2Δxn = xn – xn-1
Notar que Δxi corresponderá a la base de cada rectangulo.
7
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A la longitud del sub-intervalo (o sub-
intervalos) más largo de la partición P se
llama norma de la partición y se le denota
||P||.
Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}
8
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Ejemplo:
Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.
9
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Pensar en una partición para [a,b] Geométrica:
a, ar, ar2,… arm, donde r 0
Aritmética:
a, a+d, a+2d, … a+md
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PARTICIÓN GEOMÉTRICA
Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a
Se tiene: xi= x0*rn
Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi NO es constante .
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PARTICIÓN ARITMÉTICA
Se define d=(b-a)/n
Se tiene: xi= x0+id
Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.
Por esto, denotamos Δx=d.
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Pensemos en la altura de cada rectángulo…
Sea f : [a,b] una función acotada
P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b]
Para i = 1, . . . ,n denotamos:
mi = inf { f (x) : x [xi-1 , xi ] }
Mi = sup { f (x) : x [xi-1 , xi ] }
Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.
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14
DEF:SUMA INFERIOR de f asociada a P
i
n
1i
iΔxm),( Pfs
x1x2 … xn-1 b=xn
a=x0
f
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15
DEF:SUMA SUPERIOR de f asociada a P
i
n
1i
iΔxM),( PfS
x1x2 … xn-1 b=xn
a=x0
f
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Ejemplo:
Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2
Usando una partición con n=4.
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Proposición:
Para cada partición, se verifica:
s(f,P) ≤ S(f,P)
Dem:
mi ≤ Mi mi Δxi ≤ Mi Δxi
mi Δxi ≤ Mi Δxi
s(f,P) ≤ S(f,P)
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Proposición:
P1 P2 s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)
Dem:
Pensar en agregar puntos (de a uno a la partición P1).
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Corolario:
Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces:
m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)
Además, si P= P1 P2 , entonces:
s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)
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DEF:INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]
b]}[a, de sparticione P:P), sup{s(f)(
b
a
dxxf
20
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DEF:INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]
b
a
dxxf b]}[a, sparticione P:P), inf{S(f)(
21
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OBS:
b
a
dxxf )(
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
22
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DEF:
f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si:
Se escribe:
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
b
a
dxxf )(
23
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Pensar en…
Alguna función que NO sea Riemannintegrable.
24
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Ejemplo:
Calcular la integral de Riemann para f(x)=x en [a,b].
Considerando las particiones aritméticas:
Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n}
Se tiene que:
25
n
ababPfs n
2
)(
2),(
222
n
ababPfS n
2
)(
2),(
222
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Pensar…
¿qué debe suceder para que …
??????26
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
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Teorema
27
),(lim),(lim0||||0||||
nP
nP
PfSPfsnn
Si la norma de la partición Pn se aproxime a cero, la suma inferior y superior coinciden.
Esto es
Notar que es equivalente a decir:
),(lim),(lim||
nn
nn
PfSPfs
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OBS:
28
Si hacemos que la norma de la partición Pn se aproxime a cero.
Entonces, la suma de Riemann se aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.
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n = 3 rectángulos
Veamos esto geometricamente…
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n = 6 rectángulos
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n = 12 rectángulos
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n = 24 rectángulos
![Page 33: Naudy hernandez](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022051015/556d5e73d8b42a6b4d8b4e68/html5/thumbnails/33.jpg)
n = 48 rectángulos
![Page 34: Naudy hernandez](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022051015/556d5e73d8b42a6b4d8b4e68/html5/thumbnails/34.jpg)
n = 99 rectángulos
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La integral definida plantea el límite de una
suma de áreas.
b
a
dxxfÁrea )(
Interpretación …
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Teorema Considere una sucesión de particiones Pn de
un intervalo [a,b] tales que:
y,
Entonces, f es Riemann integrable,
0||||lim Pnn
0)},(),({lim PnfsPnfSn
b
ann
dxxfPnfsPnfS )(),(lim),(lim
36
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Ejercicios:
1. Construir 10 sub-intervalos para [0,1] usando la partición:
2. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo. Encontrar las sumas de riemann.
37
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Definición:
Sea f : [a,b] una función acotada
P una partición de [a,b]
Una SUMA DE RIEMANN para la función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:
38
],[;Δx)(),,( 1i
n
1i
i iiii xxfPfS
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39
En la grafica hemos considerado el punto medio de cada sub-intervalo.
x1x2 … xn-1 b=xn
a=x0
f
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0
y
x
y = f(x)
x0=a xn=bx1 x2 xn-1xixi-1
• • • • • • • • • •
Δ1x Δ2x Δix ΔnxΔn-1x… …
•
••
•
•
••
•
••
w1 w2 wi wn-1 wn
Otra grafica…
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Ejemplo:
Calcular la suma de riemann en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2
Usando una partición con n=4.
41
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OBS:
Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann.
Escribimos:
Para denotar que:
42
LPfS in
),,(lim
|),,(|||||..,0,0 LPfSPqt i
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Propiedades:
Sean f,g : [a,b] acotadas e integrables.
Se cumple:
43
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
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Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.
44
Rdxxfdxxf
b
a
b
a
,)()(
0)(0)(
b
a
dxxfxf
b
a
b
a
dxxgdxxfbaxxgxf )()(],[),()(
b
a
b
a
dxxfdxxf |)(|)(
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Proposición(Aditividad):
Si f : [a,b] es acotada e integrable, y para todo c [a , b] .
Se cumple:
f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b].
Además se verifica el reciproco.
45
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
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Ejercicio
Sea f una función continua en 1, 5 , si:
5
1
3
17)(4)( dxxfydxxf
Determine el valor de:
5
3)( dxxf
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Definición:
Sea f : [a,b] acotada e integrable.
Definimos:
47
0)(
a
a
dxxf
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
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Teorema:
S f : [a,b] es monótona entonces f es integrable.
48
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Observación
Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en cálculo son monótonas por intervalos.
Por la propiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prácticamente todas las funciones
elementales como por ejemplo ex , lnx,arctanx,etc.
49
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Teorema:
S f : [a,b] es continua entonces f es integrable.
50
![Page 51: Naudy hernandez](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022051015/556d5e73d8b42a6b4d8b4e68/html5/thumbnails/51.jpg)
Teorema:
Si f : [a,b] es continua en [a , b] excepto
en x0 , x1 , x2 , …, xn
Entonces, f es integrable en [a,b].
Además, se verifica:
51
o
o n
x
a
x
x
b
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf1
)(...)()()(