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Descripcion del metodo de MullerProgramacion y ejemplos del metodo de Muller
BibliografaPreguntas
Metodo de Muller
Diego F. Chavez Henao
Estudiante de EstadsticaUniversidad de Antioquia
25 de noviembre de 2014
Diego F. Chavez Henao Metodo de Muller
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BibliografaPreguntas
PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el metodo de Muller
Contenidos
1 Descripcion del metodo de MullerPreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el metodo de Muller
2 Programacion y ejemplos del metodo de MullerCodigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del metodo de Muller
3 Bibliografa
4 Preguntas
Diego F. Chavez Henao Metodo de Muller
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el metodo de Muller
Preliminares
Un problema que se presenta al aplicar los metodos Secante,Posicion Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad de que elpolinomio contenga races complejas, aun cuando todos loscoeficientes son numeros reales.
El metodo presentado por D.E. Muller puede ser usado paraencontrar ceros de una funcion cualquiera, pero resulta de granutilidad sobre todo al aproximar las races de polinomios (reales ocomplejas).
Cerca a una raz simple el metodo de Muller converge mucho masrapido que el metodo de la Secante y alcanza a ser tan rapido comoel metodo de Newton.
Ademas, el metodo de Muller puede ser programado para usararitmetica compleja.
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Preliminares
Un problema que se presenta al aplicar los metodos Secante,Posicion Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad de que elpolinomio contenga races complejas, aun cuando todos loscoeficientes son numeros reales.
El metodo presentado por D.E. Muller puede ser usado paraencontrar ceros de una funcion cualquiera, pero resulta de granutilidad sobre todo al aproximar las races de polinomios (reales ocomplejas).
Cerca a una raz simple el metodo de Muller converge mucho masrapido que el metodo de la Secante y alcanza a ser tan rapido comoel metodo de Newton.
Ademas, el metodo de Muller puede ser programado para usararitmetica compleja.
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Preliminares
Un problema que se presenta al aplicar los metodos Secante,Posicion Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad de que elpolinomio contenga races complejas, aun cuando todos loscoeficientes son numeros reales.
El metodo presentado por D.E. Muller puede ser usado paraencontrar ceros de una funcion cualquiera, pero resulta de granutilidad sobre todo al aproximar las races de polinomios (reales ocomplejas).
Cerca a una raz simple el metodo de Muller converge mucho masrapido que el metodo de la Secante y alcanza a ser tan rapido comoel metodo de Newton.
Ademas, el metodo de Muller puede ser programado para usararitmetica compleja.
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el metodo de Muller
Preliminares
Un problema que se presenta al aplicar los metodos Secante,Posicion Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad de que elpolinomio contenga races complejas, aun cuando todos loscoeficientes son numeros reales.
El metodo presentado por D.E. Muller puede ser usado paraencontrar ceros de una funcion cualquiera, pero resulta de granutilidad sobre todo al aproximar las races de polinomios (reales ocomplejas).
Cerca a una raz simple el metodo de Muller converge mucho masrapido que el metodo de la Secante y alcanza a ser tan rapido comoel metodo de Newton.
Ademas, el metodo de Muller puede ser programado para usararitmetica compleja.
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Secante vs Muller
El metodo de Muller es unageneralizacion del metodo de lasecante, en el sentido de que norequiere la derivada de lafuncion.
Secante: comienza con dosaproximaciones iniciales ydetermina la siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con la lnea que cruzalos dos puntos
Muller: comienza con tresaproximaciones iniciales ydetermina la siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con una parabola quecruza los tres puntos.
Figura 1: Comparacion entre dos
metodos relacionados para encontrar
races: a) el metodo de la Secante, y b)
el metodo de Muller.
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Secante vs Muller
El metodo de Muller es unageneralizacion del metodo de lasecante, en el sentido de que norequiere la derivada de lafuncion.
Secante: comienza con dosaproximaciones iniciales ydetermina la siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con la lnea que cruzalos dos puntos
Muller: comienza con tresaproximaciones iniciales ydetermina la siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con una parabola quecruza los tres puntos.
Figura 1: Comparacion entre dos
metodos relacionados para encontrar
races: a) el metodo de la Secante, y b)
el metodo de Muller.
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Secante vs Muller
El metodo de Muller es unageneralizacion del metodo de lasecante, en el sentido de que norequiere la derivada de lafuncion.
Secante: comienza con dosaproximaciones iniciales ydetermina la siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con la lnea que cruzalos dos puntos
Muller: comienza con tresaproximaciones iniciales ydetermina la siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con una parabola quecruza los tres puntos.
Figura 1: Comparacion entre dos
metodos relacionados para encontrar
races: a) el metodo de la Secante, y b)
el metodo de Muller.
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En que consiste el metodo de Muller?
El metodo consiste en obtener los coeficientes de la parabola (a, b yc) que pasa por los tres puntos. Dichos coeficientes se sustituyen enla formula cuadratica para obtener el valor donde la parabolainterseca al eje x, es decir, la raz estimada.
Sin perdida de generalidad asumimos que x2 es la mejoraproximacion a la raz, y por ello escribimos la ecuacion de laparabola en una forma conveniente:
f(x) = a(x x2)2 + b(x x2) + c (1)
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En que consiste el metodo de Muller?
El metodo consiste en obtener los coeficientes de la parabola (a, b yc) que pasa por los tres puntos. Dichos coeficientes se sustituyen enla formula cuadratica para obtener el valor donde la parabolainterseca al eje x, es decir, la raz estimada.
Sin perdida de generalidad asumimos que x2 es la mejoraproximacion a la raz, y por ello escribimos la ecuacion de laparabola en una forma conveniente:
f(x) = a(x x2)2 + b(x x2) + c (1)
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En que consiste el metodo de Muller?
Queremos que esta parabola pase por los tres puntos (x0, f(x0)),(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)). Sustituyendo cada uno de esos trespuntos en la ecuacion (1) obtenemos el sistema (2) formado por tresecuaciones con tres incognitas (a, b y c):
f(x0) = a(x0 x2)2 + b(x0 x2) + cf(x1) = a(x1 x2)2 + b(x1 x2) + cf(x2) = a(x2 x2)2 + b(x2 x2) + c
(2)El libro de Burden y Faires [1] propone como solucion al sistema (2)la siguiente:
c = f(x2)
b = (x0x2)2[f(x1)f(x2)](x1x2)2[f(x0)f(x2)]
(x0x2)(x1x2)(x0x1)a = (x1x2)[f(x0)f(x2)](x0x2)[f(x1)f(x2)](x0x2)(x1x2)(x0x1)
(3)
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En que consiste el metodo de Muller?
Queremos que esta parabola pase por los tres puntos (x0, f(x0)),(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)). Sustituyendo cada uno de esos trespuntos en la ecuacion (1) obtenemos el sistema (2) formado por tresecuaciones con tres incognitas (a, b y c):
f(x0) = a(x0 x2)2 + b(x0 x2) + cf(x1) = a(x1 x2)2 + b(x1 x2) + cf(x2) = a(x2 x2)2 + b(x2 x2) + c
(2)El libro de Burden y Faires [1] propone como solucion al sistema (2)la siguiente:
c = f(x2)
b = (x0x2)2[f(x1)f(x2)](x1x2)2[f(x0)f(x2)]
(x0x2)(x1x2)(x0x1)a = (x1x2)[f(x0)f(x2)](x0x2)[f(x1)f(x2)](x0x2)(x1x2)(x0x1)
(3)
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En que consiste el metodo de Muller?
El libro de Chapra y Canale [2] propone como solucion al sistema (2)la siguiente (en terminos de diferencias):
c = f(x2)
a = 10h1h0b = ah1 + 1
(4)en donde
h0 = x1 x0h1 = x2 x10 =
f(x1)f(x0)x1x0
1 =f(x2)f(x1)
x2x1
(5)
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En que consiste el metodo de Muller?
El libro de Mathews y Fink [3] propone como solucion al sistema (2)la siguiente:
c = f(x2)
a = e0h1e1h0h1h20h0h21
b =e1h
20e0h21
h1h20h0h21
(6)en donde
h0 = x1 x0h1 = x2 x1e0 = f(x0) f(x2)e1 = f(x1) f(x2)
(7)
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
Reemplazamos a, b y c en (1), y para determinar x = x3 (elsiguiente cero de f(x)) usamos la formula cuadratica mejorada parasolucionar f(x) = 0:
a(x x2)2 + b(x x2) + c = 0 x x2 = 2cbb2 4ac
x = x2 + 2cbb2 4ac(8)
(Se utiliza la formula cuadratica mejorada para evitar problemas delerror de redondeo ocasionados por la sustraccion de numeros casiiguales).
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
Reemplazamos a, b y c en (1), y para determinar x = x3 (elsiguiente cero de f(x)) usamos la formula cuadratica mejorada parasolucionar f(x) = 0:
a(x x2)2 + b(x x2) + c = 0 x x2 = 2cbb2 4ac
x = x2 + 2cbb2 4ac(8)
(Se utiliza la formula cuadratica mejorada para evitar problemas delerror de redondeo ocasionados por la sustraccion de numeros casiiguales).
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
La formula (8) da dos posibilidades para x = x3, dependiendo de elsigno que precede al termino radical. En el metodo de Muller elsigno se elige para coincidir con el signo de b, de manera que eldenominador sea el de mayor magnitud, con lo cual resultara que x3sea seleccionada como la raz de f(x) que esta mas cercana a x2:
x3 = x2 +2c
b+ sgn(b)b2 4ac (9)
Notese que al usar la formula (9) es posible localizar tanto las racesreales como las complejas. Esta es la mayor ventaja del metodo!
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En que consiste el metodo de Muller?
La formula (8) da dos posibilidades para x = x3, dependiendo de elsigno que precede al termino radical. En el metodo de Muller elsigno se elige para coincidir con el signo de b, de manera que eldenominador sea el de mayor magnitud, con lo cual resultara que x3sea seleccionada como la raz de f(x) que esta mas cercana a x2:
x3 = x2 +2c
b+ sgn(b)b2 4ac (9)
Notese que al usar la formula (9) es posible localizar tanto las racesreales como las complejas. Esta es la mayor ventaja del metodo!
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
Una vez que se determino x3, el proceso se repite. Esto trae elproblema de que un valor es descartado. En general dos estrategiasson usadas:
1 Si solo se localizan races reales, elegimos los dos valores originalesmas cercanos a la nueva raz estimada, x3.
2 Si se localizan races reales y complejas, se emplea un metodosecuencial. Es decir, como en el metodo de la secante, x1, x2 y x3toman el lugar de x0, x1 y x2.
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En que consiste el metodo de Muller?
Una vez que se determino x3, el proceso se repite. Esto trae elproblema de que un valor es descartado. En general dos estrategiasson usadas:
1 Si solo se localizan races reales, elegimos los dos valores originalesmas cercanos a la nueva raz estimada, x3.
2 Si se localizan races reales y complejas, se emplea un metodosecuencial. Es decir, como en el metodo de la secante, x1, x2 y x3toman el lugar de x0, x1 y x2.
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En que consiste el metodo de Muller?
Una vez que se determino x3, el proceso se repite. Esto trae elproblema de que un valor es descartado. En general dos estrategiasson usadas:
1 Si solo se localizan races reales, elegimos los dos valores originalesmas cercanos a la nueva raz estimada, x3.
2 Si se localizan races reales y complejas, se emplea un metodosecuencial. Es decir, como en el metodo de la secante, x1, x2 y x3toman el lugar de x0, x1 y x2.
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Medida del error en el metodo de Muller
La formula cuadratica para x3 x2 proporciona una forma direcatapara determinar el error de aproximacion, debido a que su ladoizquierdo representa la diferencia entre la raz estimada actual (x3) yla raz estimada anterior (x2):
x3 x2 = 2cb+ sgn(b)
b2 4ac a =
x3 x2x3 100% (10)
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Codigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del metodo de Muller
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Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
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Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
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Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
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Enunciado
Considere el polinomio f(x) = x4 3x3 + x2 + x+ 1. Utilize elmetodo de Muller para hallar sus cuatro races.
Figura 2: Grafica del polinomio f(x) = x4 3x3 + x2 + x+ 1.Diego F. Chavez Henao Metodo de Muller
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Codigo Matlab usado para correr la funcion muller.m
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Consola de Matlab con resultados
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Resultados organizados: Races reales
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Resultados organizados: Races complejas
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Bibliografa
Burden, R.L. and Faires, J.D., Numerical Analysis, 9th Ed.,CENGAGE Learning, Boston, 2011.
Chapra, S.C. y Canale, R.P., Metodos numericos para ingenieros, 5taEd., McGraw-Hill, Mexico, 2007.
Mathews, J.H. and Fink, K.D., Numerical Methods Using MATLAB,3th Ed., Prentice Hall, New Jersey, 1999.
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Si hay preguntas, por favorhacerlas. Si no,
MUCHAS GRACIASPOR LA ATENCION.
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