MUESTREO
Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-
paciados. A partir de estos valores existen señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda
limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede
extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).
MUESTREO IDEAL
s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo)
n
nTtts )()( s
-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0
0.5
1
1.5
tiempo
p(t)
xs(t) = x(t) · s(t)
SXX s )(21
)(
k
ss kXT
X )(1
)(s
k
skT
S )(2
)(s
s = 2/Ts = 2fs
La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) x(t) xs(t)
s(t)
X()
S()
Xs()
Xs()
MUESTREO
Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-
paciados. A partir de estos valores existen señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda
limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede
extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).
si s < 2m existe solapamiento (ALIASING). Si s 2m se puede recuperar X() con un LPF ideal de ganancia Ts
MUESTREO IDEAL
s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo)
n
nTtts )()( s
-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0
0.5
1
1.5
tiempo
p(t)
xs(t) = x(t) · s(t)
SXX s )(21
)(
k
ss kXT
X )(1
)(s
k
skT
S )(2
)(s
s = 2/Ts = 2fs
fs = frecuencia de Nyquist
La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) x(t) xs(t)
s(t)
X()
S()
Xs()
Xs()
MUESTREO
Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-
paciados. A partir de estos valores existen señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda
limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede
extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).
si s < 2m existe solapamiento (ALIASING). Si s 2m se puede recuperar X() con un LPF ideal de ganancia Ts
MUESTREO IDEAL
Teorema de Nyquist: si una señal de banda limitada es muestreada a una frecuencia de
por lo menos el doble de su máxima componente, ENTONCES es posible recuperarla
unívocamente (a partir de sus puntos muestra) con un filtro pasabajos ideal.
s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo)
n
nTtts )()( s
-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0
0.5
1
1.5
tiempo
p(t)
xs(t) = x(t) · s(t)
SXX s )(21
)(
k
ss kXT
X )(1
)(s
k
skT
S )(2
)(s
s = 2/Ts = 2fs
fs = frecuencia de Nyquist
La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) x(t) xs(t)
s(t)
MUESTREO PRACTICO
Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold S&H) Retenedor Orden Cero
P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores efecto de apertura. Si el
efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).
La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.
Los mensajes son limitados en tiempo no pueden ser limitados en banda.
Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).
x[t]ROC
xp[t]
)()()()()()( s
nss
nsp nTtnTxtpnTtpnTxtx )()()()()( fXfPkffXffPfX s
kssp
x(t) xs(t)
s(t)
xp(t)p(t)
Ts t
1
X()
Xp()Xs()
P()
Para el ROC: p(t)
Ts t
1
t
Tttp s
0
0 1)(
2/ sin2
)( 2/
sTj T
eP s
)( 1)( PHeq
1
s /2-s /2
Heq()
MUESTREO PRACTICO
Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold S&H) Retenedor Orden Cero
Filtros de reconstrucción reales: se recurre al empleo de bandas de seguridad incrementar ωs
P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores efecto de apertura. Si el
efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).
La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.
Los mensajes son limitados en tiempo no pueden ser limitados en banda.
Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).
Señal NO limitada en banda: se debe asegurar que la señal no tenga componentes superiores a s/2 se aplica un
filtro pasabajos en la entrada Filtro anti-aliasing (es el peor inconveniente porque modifica la información).
x[t]ROC
xp[t]
)()()()()()( s
nss
nsp nTtnTxtpnTtpnTxtx )()()()()( fXfPkffXffPfX s
kssp
x(t) xs(t)
s(t)
xp(t)p(t)
Ts t
1
Submuestreo
Sea la señal x(t) = cos(0t)
muestreada a S constante
(S < 20). Se analiza que
sucede a medida que 0
Para 0 > S/2 se produce el
traslape y la frecuencia original
original asume la identidad de
una frecuencia inferior (S - 0).
Para S/2 < 0 < S , a medida
que 0 la frecuencia de salida
(S-0) efecto estroboscópico
(uso: osciloscopio de muestreo,
voltímetro vectorial).
INTERPOLACION
Interpolación reconstrucción (aproximada ó exacta) de una función a partir de sus muestras.
600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
-1
-0.5
0
0.5
1
Señal muestreada
tiempo
Am
plit
ud
Retenedor de Orden Cero:
retiene el valor de la muestra
hasta la próxima. Es el más
simple.
600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
-1
-0.5
0
0.5
1
Interpolación Orden Cero
tiempo
Am
plit
ud
600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
-1
-0.5
0
0.5
1
Interpolación Primer Orden
tiempo
Am
plit
ud
Interpolación Lineal: los
puntos adyacentes se conectan
con una línea recta.
Interpolación de mayor Orden:
los puntos se unen mediante
polinomios de grado mayor u
otras funciones matemáticas.
600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
-1
-0.5
0
0.5
1
Interpolación Sinc
tiempo
Am
plit
ud
Interpolación Sinc: cada muestra
corresponde al peso de una sinc
centrada en el instante de muestreo,
y los valores intermedios se otienen sumando las contribuciones de cada una de estas funciones.
INTERPOLACION SINC
Xs()Xr()
H()
Para reconstruir espectralmente la señal se emplea un LPF ideal
Xr(f) = Xs(f)·H(f) con H(f) = rect [f /( 2fc)] y fc = fs/2
nss
nss
str
nTthnTx
nTtnTxth
thtxx
)()(
)()()(
)()()(
tT
th ccsr sinc)(
)(
sinc)()( sccs
nsr
nTtTnTxtx
considerando fc = fs/2:
ntfnTxtx sn
sr sinc)()(-0.5
0
0.5
1
tiempo
CALCULO DE LA INTERPOLACION SINC
Cantidad de muestras por ciclo de la máxima componente de la señal n_muestras
Cantidad de valores a intercalar entre dos valores muestra consecutivos n_puntos
Cantidad de muestras a considerar como “historia” (valores pasados y futuros) de la señal n_historia
Para la implementación de la expresión deben fijarse parámetros para sustiruir la variable
contínua t por su equivalente discreta:
ntfnTxtx sn
sr sinc)()(
Comparando con los osciloscopios comerciales, se obtienen valores de: n_muestras = 2.5 ~ 4 y n_historia = 10. Para
n_puntos se considera que en la pantalla del instrumento siempre deben presentarse 500 puntos para cualquier ajuste de
la Base de Tiempo. El TDS320 (fs = 500 Ms/s) tiene una velocidad de barrido máxima de 5 ns/div, por lo que tendría que
muestrear a (5 ns/50 muestras) = 0.1 ns/s (10 Gs/s !) deben generarse 20 puntos entre muestras reales.
En el caso del TDS220 (fs = 1 Gs/s), para 5 ns/div se interpolan 10 nuevos valores entre valores adquiridos.
Cada intervalo de muestreo debe dividirse en (n_puntos + 1) intervalos: Ts = (n_puntos+1)·t x • • • x • t
Ts
n_historia
1n_historia 1n_puntossinc)()(
n
nk
nTxtkx srReemplazando t por k·t (1 k n_puntos):
Debe agregarse otro índice para el desplazamiento
dentro del registro de valores adquiridos (j)
n_historia
1n_historia 1n_puntossinc))(()(
n
nk
TnjxtkjTx ssr
CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO
Ejemplo: si s = 4 max , el máximo diezmado para no tener solapamiento es M = 2
La señal de tiempo contínuo xc(t) puede representarse por una secuencia x[n] = xc[nTs]. Se quiere cambiar fs obteniendo
una nueva secuencia x’[n] = xc[nTs’]. El método indirecto sería: (complejo!!)
x[n] xc(t) x’[n]
fs fs’
DAC +Filtro Interp. ADC
DIEZMADO por un factor entero: se disminuye la frecuencia de muestreo (“muestreándola” cada M valores).
xd[n] = x[nM] = xc[nMTs] compresor de frecuencia de muestreo
xd[n] es la que se obtendría muestreando xc(t) con período Ts’= M·Ts
x[n] xd[n]
Ts Ts’= M·Ts
M
kk
s T
kX
TkX
TX )
2(
1)(
1)(
sss
Recordando el espectro X() de la secuencia x[n] (valores muestra):
análogamente puede escribirse el espectro Xd() para xd[n] : r
s
sr ssd M
rX
MTT
rX
TX )
(
1)
2(
1)(
''
para que no exista solapamiento (s/M) max la frecuencia de Nyquist original debe ser M veces mayor !!
Si se quiere utilizar un M superior habrá que garantizar
que la señal no tenga un contenido espectral mayor que
s/M mediante el empleo de un filtro pasabajos digital .
Diezmado con M = 2.
Se verifica que no existe
solapamiento.
x[n]
Ts Ts Ts’= M·TM
LPF
G =1
c=/M
][~ nx ][~][~ nMxnxd
Sistema para reducir la frecuencia de muestreo en M
Diezmado con M = 3.
Aparece solapamiento.
Diezmado con M = 3 y
filtrado previo para evitar
el solapamiento.
La Transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en frecuencia de la T.F. de la entrada.
INTERPOLACION por un factor entero: se aumenta la frecuencia de muestreo (insertando L valores entre muestras).
los valores intermedios se generan mediante una función de reconstrucción LPF de ganancia L y c = /L
resto elen 0
2, ,0 ]/[][
LLnLnxnxe
ke kLnkxnx ][][][
El análisis en el dominio de la frecuencia se realiza mediante el cálculo de la Transformada de Fourier (TF), definida por:
)(][][][)( LXekxekLnkxXu
Luj
u
nj
ke
n
njenxX ][)(
x[n] xe[n] xi[n]
Ts Ts’= Ts/L Ts’= Ts/LL
LPF
G =L
c=/L
Sistema para incrementar la frecuencia de muestreo en L
xi[n] = x[n/L] = xc[nTs/L] expansor de frecuencia demuestreo
La fórmula de interpolación para xi[n] en función de x[n] es: Ln
Lnsennhi /
)/(][
En algunos casos se pueden utilizar funciones más simples, como la lineal:
resto 0
/1][
LnLnnhi
Interpolación en el dominio de la frecuencia
CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO POR UN FACTOR NO ENTERO
Es una combinación de las técnicas de diezmado e interpolación.
Funciones utilizadas en Matlab®:
DECIMATE: Resample data at a lower rate after lowpass filtering.
INTERP: Resample data at a higher rate using lowpass interpolation
RESAMPLE: Change the sampling rate of a signal.
L
LPF
G =L
c=/L M
LPF
G =1
c=/M
][~ nxi ][~ nxdxc[n]
Interpolador
x[n] xi[n]
TsTs/L TsM/LTs/L Ts/L
Diezmador
Ts
LPFG =L
c=min(/L, /M) L M
x[n]
TsM/L
][~ nxd