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Módulo 4Factorización de trinomios de la
forma ax2 + bx + c con a, b, c reales, a ≠ 1
Por Prof. Federico Mejía
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2x2 - 3x + 1 2x2 - 7x + 3 3x2 + 13x + 4 4x2 - 4x + 1 6x2 + 7x + 2
Factorice cada trinomio:
Pre-prueba
6x2 – 7x + 2 2x2 + 5x + 10 4y2 – 9y – 2 8y2 – 2x – 15 3x2 + x + 6
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Soluciones a los problemas
2x2 - 3x + 12x2 - 7x + 33x2 + 13x + 44x2 - 4x + 16x2 + 7x + 2 6x2 – 7x + 22x2 + 5x + 104y2 – 9y – 28y2 – 2x – 153x2 + x + 6
Solución
(2x - 1) (x - 1)(2x - 1) (x - 3)(3x + 1) (x + 4)(2x - 1) (2x – 1)(3x + 2) (2x + 2)(3x – 2) (2x – 1)Primo(4y – 1) (y – 2)(2y – 3) (4y + 5)Primo
Problema
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Introducción
• Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, con a, b, c números reales, a ≠ 1, utilizaremos el método de agrupación.
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Procedimiento
Primer Paso
• Identificamos los coeficientes a, b, c.
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Procedimiento (cont.)
Segundo Paso
• Calculamos el producto ac
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Procedimiento (cont.)
Tercer Paso
• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac y cuya suma es b, es decir:
b1b2 = ac
b1 + b2 = b
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Procedimiento (cont.)
Cuarto Paso
• Escribimos el trinomio ax2 + bx + c en la forma ax2 + b1x + b2x + c
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Procedimiento (cont.)
Quinto Paso
• Factorizamos al polinomio ax2 + b1x + b2x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2)
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Procedimiento (cont.)
Sexto Paso
• Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.
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Ejemplo 1
Factorizar el trinomio 3x2 + 13x + 4.
Primer Paso
• Identificamos los coeficientes a, b, c.
a = 3 b = 13 c = 4
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Ejemplo 1 (cont.)
Segundo Paso
• Calculamos el producto ac
ac = (3)(4) = 12
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Ejemplo 1 (cont.)
Tercer Paso
• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac (12) y cuya suma es b (13), es decir:
b1b2 = 12
b1 + b2 = 13
b1 = 12
b2 = 1
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Ejemplo 1 (cont.)
Cuarto Paso
• Escribimos el trinomio ax2 + bx + c en la forma ax2 + b1x + b2x + c, es decir:
3x2 + 13x + 4 = 3x2 + 12x + 1x + 4
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Ejemplo 1 (cont.)
Quinto Paso
• Factorizamos al polinomio ax2 + b1x + b2x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2)
3x2 + 12x + 1x + 4 = (3x2 + 12x) + (1x + 4)
= 3x (x + 4) + 1(x +4)
= (x + 4)(3x + 1) Respuesta
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Ejemplo 1 (cont.)
Sexto Paso
• Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.
(x + 4)(3x + 1) = 3x2 + x + 12x + 4
= 3x2 + 13x + 4 Trinomio original
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Ejemplo 2
Factorizar el trinomio 2x2 + 5x - 12.
Primer Paso
• Identificamos los coeficientes a, b, c.
a = 2 b = 5 c = -12
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Ejemplo 2 (cont.)
Segundo Paso
• Calculamos el producto ac
ac = (2)(-12) = -24
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Ejemplo 2 (cont.)
Tercer Paso
• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac (-24) y cuya suma es b (5), es decir:
b1b2 = -24
b1 + b2 = 5
b1 = +8
b2 = -3
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Ejemplo 2 (cont.)
Cuarto Paso
• Escribimos el trinomio ax2 + bx + c en la forma ax2 + b1x + b2x + c, es decir:
2x2 + 5x - 12 = 2x2 + 8x - 3x - 12
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Ejemplo 2 (cont.)
Quinto Paso
• Factorizamos al polinomio ax2 + b1x + b2x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2) 2x2 + 8x - 3x - 12 = (2x2 + 8x) + (-3x - 12)
= 2x (x + 4) - 3(x + 4)= (x + 4)(2x - 3)
Respuesta
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Ejemplo 2 (cont.)
Sexto Paso
• Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.
(x + 4)(2x - 3) = 2x2 - 3x + 8x - 12
= 2x2 + 5x - 12 Trinomio original
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Ejemplo 3
Factorizar el trinomio 2x2 + 5x + 10.
Primer Paso
• Identificamos los coeficientes a, b, c.
a = 2 b = 5 c = 10
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Ejemplo 3 (cont.)
Segundo Paso
• Calculamos el producto ac
ac = (2)(10) = 20
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Ejemplo 3 (cont.)
Tercer Paso
• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac (20) y cuya suma es b (5).
Después de buscar todas las posibles combinaciones de enteros concluimos que no existen dos enteros b1, b2 cuyo producto es (20) y cuya suma es (5).
Por esta razón el polinomio 2x2 + 5x + 10 no se puede factorizar y decimos que es un polinomio primo.
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Ejemplo 4
Factorizar el trinomio 6x2 - 7x + 2.
Primer Paso
• Identificamos los coeficientes a, b, c.
a = 6 b = -7 c = 2
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Ejemplo 4 (cont.)
Segundo Paso
• Calculamos el producto ac
ac = (6)(2) = 12
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Ejemplo 4 (cont.)
Tercer Paso
• Hallamos dos enteros b1, b2 cuyo producto es ac (12) y cuya suma es b (-7), es decir:
b1b2 = +12
b1 + b2 = -7
b1 = -4
b2 = -3
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Ejemplo 4 (cont.)
Cuarto Paso
• Escribimos el trinomio ax2 + bx + c en la forma ax2 + b1x + b2x + c, es decir:
6x2 - 7x + 2 = 6x2 - 4x - 3x + 2
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Ejemplo 4 (cont.)
Quinto Paso
• Factorizamos al polinomio ax2 + b1x + b2x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2)
6x2 - 4x - 3x + 2 = (6x2 - 4x) + (-3x + 2)= 2x (3x - 2) - 1(3x - 2)= (3x - 2)(2x - 1)
Respuesta
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Ejemplo 4 (cont.)
Sexto Paso
• Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.
(3x - 2)(2x - 1) = 6x2 - 3x - 4x + 2
= 6x2 - 7x + 2 Trinomio original
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2x2 - 3x + 1 2x2 - 7x + 3 3x2 + 13x + 4 4x2 - 4x + 1 6x2 + 7x + 2
Factorice cada trinomio:
Post-prueba
6x2 – 7x + 2 2x2 + 5x + 10 4y2 – 9y – 2 8y2 – 2x – 15 3x2 + x + 6
Oprime aquí para ver todas las respuestas
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Soluciones a los problemas
2x2 - 3x + 12x2 - 7x + 33x2 + 13x + 44x2 - 4x + 16x2 + 7x + 2 6x2 – 7x + 22x2 + 5x + 104y2 – 9y – 28y2 – 2x – 153x2 + x + 6
Solución
(2x - 1) (x - 1)(2x - 1) (x - 3)(3x + 1) (x + 4)(2x - 1) (2x – 1)(3x + 2) (2x + 2)(3x – 2) (2x – 1)Primo(4y – 1) (y – 2)(2y – 3) (4y + 5)Primo
Problema