Procesos EstocásticosProcesos Estocásticos
1 I t d ió t bá i1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán1
Procesos EstocásticosReferencias:
Procesos Estocásticos
Capítulo 8 de Introducción a los Sistemas de Comunicación. Stremler, C.G. (1993)Apuntes de la Universidad de Vigo (página Web)Capítulo 6 de Principios de Probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias
Al final del tema el alumno será capaz de:
Capítulo 6 de Principios de Probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias
Entender el concepto de proceso estocástico
Interpretar y calcular los estadísticos de los procesos estocásticos: t i t l ióesperanza, autocovarianza y autocorrelación
Interpretar y comprobar la estacionariedad de los procesos estocásticosestocásticos
Interpretar y determinar si un proceso es ergódico
Saber calcular probabilidades en procesos estocásticos formados a
Estadística. Profesora María Durbán2
Saber calcular probabilidades en procesos estocásticos formados a través de distribuciones estudiadas en los temas anteriores
Procesos Estocásticos
1 I t d ió t bá i
Procesos Estocásticos
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán3
1 Introducción y conceptos básicos
En los temas anteriores hemos estudiado procesos que no varían con el
1 Introducción y conceptos básicos
p qtiempo o sólo dependen de una variable.
Por ejemplo estudiamos el número de llamadas que se producen en unaPor ejemplo, estudiamos el número de llamadas que se producen en una central telefónica.
Si definimos X como el número de llamadas que se reciben en una horaSi definimos X como el número de llamadas que se reciben en una hora, podemos decir que X sigue una distribución de Poisson de media λ.
¿Pero, qué pasa si queremos definir ahora otra variable que corresponda al número de llamadas recibidas en la misma centralita
durante todo el día de trabajo (8 horas)?j ( )
Podríamos definir una nueva X’, variable que seguiría una distribución de Poisson definida como número de llamadas recibidas en la centralita
Estadística. Profesora María Durbán4
Poisson, definida como número de llamadas recibidas en la centralita durante 8 horas, con una nueva λ’ que sería igual a 8·λ.
1 Introducción y conceptos básicosLas representaciones serían (si λ=2, por ejemplo):
1 Introducción y conceptos básicos
λ=2
λ’=16
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1 Introducción y conceptos básicos
Definición
1 Introducción y conceptos básicos
Así, para cada tiempo que fijemos, tendríamos una variable aleatoria.
Se define entonces una familia de variables aleatorias que dependen de una variable determinista, (en este caso el tiempo).
PROCESO ESTOCÁSTICO
Se define el proceso estocástico X(t) como el número de llamadas d l t lit l ti (0 t)que se producen en la centralita en el tiempo (0,t).
Así, para cada valor de t que se elija, tendremos una variable aleatoria distinta con forma similar pero distinto valordistinta, con forma similar pero distinto valor.
En los temas anteriores definimos X(x), en este caso X(λ).Ahora debemos representar X(x t) en este caso X(λ t)
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Ahora debemos representar X(x,t), en este caso, X(λ,t).En general, diremos X(t) igual que antes llamábamos X y no X(λ).
1 Introducción y conceptos básicos1 Introducción y conceptos básicos
EjemplosEn los sistemas de comunicaciones aparecen señales aleatorias como:
La señal de información tiene pulsos de voz de duraciónLa señal de información, tiene pulsos de voz de duraciónaleatoria y posición aleatoria.
Una interferencia en el canal que es debida a la presenciacercana de otros sistemas de comunicacionescercana de otros sistemas de comunicaciones.
El ruido en un receptor es debido al ruido térmico enresistencias y componentes del receptor.
Así, la señal recibida va ser una señal con varias componentes aleatorias.Aunque no es posible describir este tipo de señales con una expresiónmatemática se pueden utilizar sus propiedades estadísticasmatemática, se pueden utilizar sus propiedades estadísticas
Son señales aleatorias en el sentido de que antes de realizar eli t ibl d ibi f t
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experimento no es posible describir su forma exacta
1 Introducción y conceptos básicos1 Introducción y conceptos básicos
Proceso EstocásticoEs una función de dos variables, t y x, una determinista y otra aleatoria
a) X(x t) es una familia de funciones temporalesa) X(x,t) es una familia de funciones temporales.
b) Si se fija x, tenemos una función temporal X(t) llamada realización del procesodel proceso.
c) Si se fija t, tenemos una Variable Aleatoria.
d) Si se fijan t y x, tenemos un número real o complejo (muy normal en teoría de la señal).
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1 Introducción y conceptos básicosEspacio de tiempos, T
1 Introducción y conceptos básicos
Conjunto de los posibles valores de tiempo que puede tomar el proceso estocástico.
Espacio de estados, S
Conjunto de los posibles valores del proceso estocástico (resultadoConjunto de los posibles valores del proceso estocástico (resultado numérico, real o complejo).
TDiscreto
Continuo
Proceso discreto en el tiempo.
Proceso continuo en el tiempo.
SDiscreto Proceso discreto en el espacio de estados.
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SContinuo Proceso continuo en el espacio de estados.
1 Introducción y conceptos básicosEjemplo 1
1 Introducción y conceptos básicos
Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π), respectivamente.
Estadística. Profesora María Durbán10
1 Introducción y conceptos básicos1 Introducción y conceptos básicos
En general:
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1 Introducción y conceptos básicosEjemplo 2
1 Introducción y conceptos básicos
Caracterice la continuidad del número de llamadas que llegan a lacentralita.
Es continuo en el tiempo, porque puede tomar cualquier valor real:p p q p qt =1 horat =1,67 horast = 8 horast 8 horast = 35 horas, etc.
Es discreto en el espacio de estadosX(λ t t ) i ú tX(λ, t=t0) es siempre un número entero
Ejemplo 3El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una VA Y~Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se construye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que resta para completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.
Estadística. Profesora María Durbán12
pa a co p eta a ta ea sab e do que ya a co su do t utos
Dibuje una realización del proceso y especifique los espacios T y S.
1 Introducción y conceptos básicos1 Introducción y conceptos básicos
6
λ=1/36
4
x
2
0 20 40 60
0
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tiempo
1 Introducción y conceptos básicosFunción de distribución
1 Introducción y conceptos básicos
Dado un proceso estocástico cualquiera, si fijamos un tiempo t=t0tendremos una V.A. X(t0) que tendrá una función de distribuciónasociadaasociada.
Si, para el mismo proceso, fijamos otro instante t=t1 tendremosotra VA, en principio, distinta a la anterior, con una función deotra VA, en principio, distinta a la anterior, con una función dedistribución diferente.
Se define la función de distribución de primer orden delSe define la función de distribución de primer orden delproceso X(t) como
))((),( xtXPtxFX ≤= ))((),(X
Y, por tanto, se tiene también lafunción de densidad de primer txdFf X ),()(
Estadística. Profesora María Durbán14
función de densidad de primerorden derivando la función dedistribución respecto a x
dxtxf X ),(),( =
1 Introducción y conceptos básicosFunción de distribución de segundo orden
1 Introducción y conceptos básicos
De igual modo:
Se define la función de distribución de segundo ordenSe de e a u c ó de d st buc ó de segu do o dedel proceso X(t) como
))()(()( xtXxtXPttxxF ≤∩≤=
Se puede obtener la función de densidad de segundo
))()((),,,( 22112121 xtXxtXPttxxF ≤∩≤=
orden derivando la función de distribución parcialmenterespecto a x1 y a x2
21
21212
2121),,,(),,,(
xxttxxFttxxf
∂∂∂
=
Estadística. Profesora María Durbán15
21∂∂
1 Introducción y conceptos básicosAplicación de la función de distribución y función de densidad
1 Introducción y conceptos básicos
Realización de un proceso continuo en el tiempo con función de densidad de primer orden gaussiana.
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Procesos EstocásticosProcesos Estocásticos
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
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2 Estadísticos de un proceso estocásticoMedia
2 Estadísticos de un proceso estocástico
La media de un proceso estocástico corresponde a:
En el caso real: [ ] ∫+∞
⋅== dxtxfxttXE )()()( μEn el caso real: [ ] ∫∞−
== dxtxfxttXE x ),()()( μ
En el caso complejo: [ ] [ ] [ ])()()( tYEjtXEtZE ⋅+=En el caso complejo: [ ] [ ] [ ])()()( tYEjtXEtZE +
Se puede entender gráficamente como el centro de gravedad de la función densidad de probabilidad
Característica:
función densidad de probabilidad
Para cada t, se tiene una VA distinta → una media distinta
La media es en general una función dependiente del tiempo
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La media es, en general, una función dependiente del tiempo
2 Estadísticos de un proceso estocásticoEjemplo 4
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Considere la oscilación aleatoria X(t) = cos (2Π·f·t + B·Φ), donde f es unaconstante real, Φ es una variable aleatoria uniforme en [− Π/2, Π/2], y B es unavariable aleatoria discreta, independiente de Φ, tal que P(B=0)=p y P(B=1)=q.
Defina y calcule la esperanza de la variable aleatoria X(t).
[ ] [ ]( ) cos(2 )E X t E ft Bπ φ= +[ ] [ ]( ) ( )f φ
[ ] [ ][ ]
cos(2 ) | 0 Pr( 0) cos(2 ) | 1 Pr( 1)
(2 ) (2 )
E ft B B B E ft B B B
f E ft
π φ π φ
φ
= + = = + + = =
+ +t
Para cada t, cos (2Π·f·t+Φ) es una variable aleatoria función de φ. Podemos escribir:
[ ]cos(2 ) cos(2 )p f qE ftπ π φ= + +t
escribir:
[ ]/ 2
/ 2
1 2cos(2 ) cos(2 ) cos(2 )E ft ft ftπ
ππ φ π φ φ π
π π−+ = + ∂ =∫
⎛ ⎞
Estadística. Profesora María Durbán19
( )2( ) cos 2x t p q f tμ ππ
⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
2 Estadísticos de un proceso estocásticoEjercicio 1
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Un transmisor envía pulsos rectangulares de altura y posiciónaleatorias. Cada pulso transmitido corresponde a una realización delproceso estocásticop
X(t) = V·h(t − T), t > 0,
Donde la altura V del pulso es una variable aleatoria uniforme en [0,v0],Donde la altura V del pulso es una variable aleatoria uniforme en [0,v0],y T es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ,independiente de V, y la función determinista h(t) es
1, 0<t<1,h(t)=
0, en el resto.
Calcule la función valor medio del proceso estocástico X(t)
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2 Estadísticos de un proceso estocásticoVarianza
2 Estadísticos de un proceso estocástico
La media de un proceso estocástico corresponde a:
En el caso real: [ ] ( )∫+∞
⋅−== dxtxftxttXVar )()()()( 22 μσ[ ] ( )22( ) ( ) ( ) ( )Var X t t x t f x t dxσ μ+∞
= = − ⋅∫Recordamos:
En el caso real: [ ] ( )∫∞−
⋅== dxtxftxttXVar xx ),()()()( μσ[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( , )x xVar X t t x t f x t dxσ μ−∞
= = − ⋅∫
[ ] [ ]( )22V X E X E X⎡ ⎤⎣ ⎦[ ] [ ]( )2Var X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ] [ ]22222 )()()()()( ttXEtXEtXEt xx μσ −=−=
En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero, lavarianza y el valor cuadrático medio coincidirían.
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y
2 Estadísticos de un proceso estocásticoCorrelación
2 Estadísticos de un proceso estocástico
O esperanza del producto de Variables Aleatorias como función de dos variables temporales tk y ti dada por:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 212121212121 dd,;,, xxttxxfxxtXtXEttRX ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−==
En el caso de que t1 = t2 se tiene el valor cuadrático medio del proceso estocástico que es una función de una variable temporal:
( ) ( )( )[ ] ( ) xtxfxtXEttRX d;, 22 ∫∞
∞−==
Estadística. Profesora María Durbán22
Potencia del proceso
2 Estadísticos de un proceso estocásticoCovarianza
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Covarianza del proceso X(t) como una función de dos variablestemporales tk y ti dada por:
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )∫ ∫∞+ ∞+
=
=−⋅−=
dxdyyxftytx
ttXttXEttC xxX
)()()(
)()()()(),( 221121
μμ
μμ
E l d t t ti l i d l t á ti
( ) ( )∫ ∫∞− ∞−
−⋅−= dxdyyxftytxtXtXXX ),()()(
)2(),1(21 μμ
En el caso de que tk = ti se tiene la varianza del proceso estocástico.
De las definiciones de correlación y covarianza, se puede obtener:
)()(),(),( 212121 ttttRttC xxXx μμ ⋅−=
Estadística. Profesora María Durbán23
En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero,la función de correlación y la de covarianza coincidirían.
2 Estadísticos de un proceso estocásticoMatriz de Correlación de dos procesos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Dados dos procesos X(t) e Y(t). Todas las propiedades de correlación sepueden colocar de forma matricial según una matriz de funciones de dosdimensiones temporalesdimensiones temporales.
( , ) ( , )( , ) X XYR t u R t u
R t u ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ [ ]( , ) ( ) ( )XYR t u E X t Y u=( , )
( , ) ( , )YX Y
R t uR t u R t u⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]( , ) ( ) ( )XY
En el caso de que t=u la matriz de correlación tiene la expresión siguiente,siendo una matriz de funciones de una variable temporal y simétrica.
⎡ ⎤[ ][ ]
2
2
( ) ( ) ( )( , )
( ) ( ) ( )
E X t E X t Y tR t t
E Y t X t E Y t
⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥=⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
Estadística. Profesora María Durbán24
[ ]( ) ( ) ( )E Y t X t E Y t⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
2 Estadísticos de un proceso estocásticoEjemplo 4
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Si X(t) representa un proceso estocástico de media μx(t) = 3 y función decorrelación RX(t1, t2) = 9 + 4exp{−0,2·|t1−t2|}. Calcule la esperanza, lavarianza y la covarianza de las variables aleatorias Z = X(5) y T = X(8)varianza y la covarianza de las variables aleatorias Z X(5) y T X(8).
1) Esperanzas E(Z) = E(X(5)) = μx(5) = 3E(T ) = E(X(8)) = μ (8) = 3E(T ) E(X(8)) μx(8) 3
2) Varianzas E(Z2) = E(X(5)·X(5)) = RX(5,5) = 13E(T2) = E(X(8)·X(8)) = RX(8 8) = 13E(T ) E(X(8) X(8)) RX(8,8) 13Var(Z) = E(Z2) − (E(Z))2 = 4Var(T) = E(T2) − (E(T))2 = 4
3) Covarianzas E(ZT) = E(X(5)X(8)) = RX(5, 8) = 9+4e−0.6
Cov(Z,T) = E(ZT) − E(Z)E(T ) = 4·e−0.6
Estadística. Profesora María Durbán25
( , ) ( ) ( ) ( )
O también como, Cov (Z,T) = CX(5, 8) = RX(5, 8) −μx(5)·μx(8) = 4·e−0.6
2 Estadísticos de un proceso estocásticoIndependencia
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Dos procesos X(t) e Y(t) son independientes si su función de densidadconjunta de cualquier orden se puede descomponer como el producto dedos funciones de densidad marginales una conteniendo términos sólodos funciones de densidad marginales, una conteniendo términos sólodependientes del proceso X(t) y la otra dependientes de Y(t).
[ ] [ ] [ ])()()()( tYEtXEtYtXE ⋅=⋅Incorrelación
Dos procesos X(t) e Y(t) son incorrelados si CXY(t1, t2) = 0 para cualquier
[ ] [ ] [ ])()()()( tYEtXEtYtXE
valor de t1 y t2. )()(),( 2121 ttttR YXXY μμ ⋅=
OrtogonalidadDos procesos X(t) e Y(t) son ortogonales si RXY(t1, t2)=0 para cualquier valorde t y t
Estadística. Profesora María Durbán26
de t1 y t2. )()(),( 2121 ttttC YXXY μμ ⋅−=
2 Estadísticos de un proceso estocásticoEjercicio
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Calcule la función de correlación del proceso X(t) = A·cos (2Π·f·t+Φ), donde A y Φ son variables aleatorias independientes, siendo Φ una variable aleatoria uniforme en [− Π Π] y A exponencial de parámetro λvariable aleatoria uniforme en [ Π, Π], y A exponencial de parámetro λ.
EjercicioEl tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una v.a. Y ~Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema seconstruye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que restaconstruye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que restapara completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.
a) Determine E[X(t)] Var[X(t)] E[X(t)2]a) Determine E[X(t)], Var[X(t)], E[X(t)2].b) Indique si cada una de las funciones del aparatado anterior
depende del tiempo o no e interprete el resultado.
Estadística. Profesora María Durbán27
Procesos EstocásticosProcesos Estocásticos
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán28
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Cuando utilizamos un modelo estocástico, generalmente vamos a estar
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
, ginteresados en predecir el comportamiento del proceso en el futuro y paraello nos basamos en la historia del proceso. Estas predicciones no serán correctas a menos que las condiciones futuras sean análogas a lascorrectas a menos que las condiciones futuras sean análogas a las pasadas
Un proceso estocástico es estacionario si sus propiedades estadísticasUn proceso estocástico es estacionario si sus propiedades estadísticas son invariantes ante una traslación del tiempo
El mecanismo físico que genera el experimento no cambia con el tiempo
Estadística. Profesora María Durbán29
3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjemplo 5
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
El número de llamadas que llegan a una centralita hasta el instante t
20
25x2x1
El número medio de
15
El número medio dellamadas no esconstante, depended t
10de t
0
5
No estacionario
Estadística. Profesora María Durbán30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20tiempo
3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjemplo 6
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π) respectivamente.
Estadística. Profesora María Durbán31
La media del proceso se mantiene constante puede serestacionario
3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEstacionariedad (en sentido estricto o fuerte)
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Un proceso X(t) es estacionario en sentido estricto si la función de densidad de densidad conjunta, de cualesquiera de sus n v.a. medidas en instantes t1 t permanece constante cuandomedidas en instantes t1,…,tn, permanece constante cuando transcurre cualquier intervalo de tiempo ε
( ; ) ( ; )f x x t t f x x t tε ε= + +
Esta es una condición muy fuerte ya que implicaría estudiar
1 1 1 1( ,.... ; ,..., ) ( ,.... ; ,..., )n n n nf x x t t f x x t tε ε= + +
Esta es una condición muy fuerte ya que implicaría estudiar infinitas funciones de densidad conjunta
Estacionariedad en sentido débil o amplioEstacionariedad en sentido débil o amplio
Estadística. Profesora María Durbán32
pp
3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEstacionariedad (en sentido débil)
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:
[ ]( ) E X t μ= (independiente del tiempo)
1 2( , ) ( ) X XR t t R τ=
[ ]( ) μ
2 1 (depende solo de la distancia t tτ = −
( p p )
Propiedades:
entre los tiempos considerados)
Propiedades:
La potencia no depende de t
ya que
2( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦2( ) (0)E X t R⎡ ⎤⎣ ⎦ya que
a q e
( ) (0)XE X t R⎡ ⎤ =⎣ ⎦( ) ( )X XR Rτ τ= −
Estadística. Profesora María Durbán33
ya que [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X XR E X t X t E X t X t Rτ τ τ τ= − = − = −
3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEstacionariedad (en sentido débil)
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:
[ ]( ) E X t μ= (independiente del tiempo)
1 2( , ) ( ) X XR t t R τ=
[ ]( ) μ
2 1 (depende solo de la distancia t tτ = −
( p p )
Propiedades:
entre los tiempos considerados)
Propiedades:
Estacionario en sentido estricto débil
Si el proceso es gaussiano: estricto = débil
Estadística. Profesora María Durbán34
3 Estacionariedad de un proceso estocástico3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjemplo 7
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?¿Es X(t) débilmente estacionario?
105
0-5
Estadística. Profesora María Durbán350 20 40 60
tiempo
-10
3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjemplo 7
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?¿Es X(t) débilmente estacionario?
[ ] [ ] 1( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 0E X t AE t A t dπ
π φ π φ φ+ +∫[ ] [ ]( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 02
E X t AE t A t dπ
π φ π φ φπ−
= + = + =∫
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )( )[ ]φτπφπττ +++=+=+ ttEAtXtXEttR 24/2cos24/2cos2
Utilizando:( ) ( ) ( ) ( ) ( )β β β± m
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )( )[ ]φτπφπττ +++=+=+ ttEAtXtXEttRX 24/2cos24/2cos,
cos( ) cos( )cos( ) sen( )sen( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
α β α β α β
β β β
± =
⇓+ +
m
Estadística. Profesora María Durbán36
2cos( ) cos( ) cos( ) cos( )α β α β α β= + + −
3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjemplo 7
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?¿Es X(t) débilmente estacionario?
[ ] [ ] 1( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 0E X t AE t A t dπ
π φ π φ φ+ +∫
2cos( )cos( ) cos( ) cos( )α β α β α β= + + −
[ ] [ ]( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 02
E X t AE t A t dπ
π φ π φ φπ−
= + = + =∫( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )( )[ ]φτπφπττ 24/2cos24/2cos, 2 ttEAtXtXEttRX +++=+=+
( )( )( ) ( )( )[ ]τπφτπ 24/2cos2224/2cos2
2
2
A
tEA+++=
( )( )τπ 24/2cos2
2A=
Estadística. Profesora María Durbán37Es débilmente estacionario
3 Estacionariedad de un proceso estocásticoEjercicio
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Sea U una VA uniforme en [0,1], a partir de ella se construye el procesoX(t)=exp(-Ut)
a) Para cada valor de t, determine el rango de X(t)b) Calcule E[X(t)] y Rx(t1,t2)c) Estudie la estacionariedad en sentido amplio (es decir en sentidoc) Estudie la estacionariedad en sentido amplio (es decir, en sentido
débil)
Si X Y VA l i d di t di 0 i 1Ejercicio
Si X e Y son VA normales, independientes, con media 0 y varianza 1, se define el proceso Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
a) Determine la función de probabilidad conjunta de Z(t1) y Z(t2)b) Calcule la media y la autocovarianza del proceso Z(t)c) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto
Estadística. Profesora María Durbán38
c) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto
Procesos EstocásticosProcesos Estocásticos
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán39
3 Ergodicidad de un proceso estocástico3 Ergodicidad de un proceso estocástico
En muchas ocasiones, sólo disponemos de una realización del proceso (es decir, disponemos de una función temporal), en este caso, para conocer el proceso calculamos sus promedios temporalesconocer el proceso calculamos sus promedios temporales.
Sea X(t) un proceso estocásticoLa media temporal o valor medio en el tiempo se define como:La media temporal o valor medio en el tiempo se define como:
1lim ( ) lim2
T
X T T TTM X t dt
Tμ∞ ∞−
= =∫uuur uuur
La autocorrelación temporal se define como:2 TT
1 T
∫Ambas son VA ya que toman valores distintos para cada realización del
1lim ( ) ( )2
T
X T TA X t X t dt
Tτ∞ −
= +∫uuur
Estadística. Profesora María Durbán40
y q pproceso.
3 Ergodicidad de un proceso estocástico3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Diremos que un proceso es ergódico si sus promedios estadísticos coinciden con los temporales sólo necesitamos una realización del proceso para conocer los promedios estadísticosdel proceso para conocer los promedios estadísticos
Ergodicidad en media : Dado que la media temporal μT no depende del tiempo para que un proceso sea ergódico en media es necesario que latiempo, para que un proceso sea ergódico en media, es necesario que la media del proceso μX sea constante, esto se cumple si el proceso es estacionario
Ejemplo 8Sea A una VA N(0,1), definimos el proceso X(t)=A. ¿Es ergódico en media?
No es ergódico en media[ ] 0
1X
T
E Aμ = =
Estadística. Profesora María Durbán41
g1 02
T
T TA t A
Tμ
−= ∂ = ≠∫
3 Ergodicidad de un proceso estocástico3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Ergodicidad en autocorrelación : Sea . Si construimos el proceso , entonces , por lo tanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media
[ ]( ) ( ) ( )XR E X t X tτ τ= +( ) ( ) ( )Z t X t X tτ τ= + [ ]( ) ( )XE Z t Rτ τ=
( )Z t( )X ttanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media
Ejemplo 7Se considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt) donde a y b son dos VA
( )Z tτ( )X t
Se considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt), donde a y b son dos VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudie la ergodicidad en media y autocorrelación.
[ ] ( ) [ ] ( )
( ) ( )( ) ( ) 0limsinsincos21
000sincos
=→=+=
=+=+=
∞→∫ TT
T
T
X
wTadtwtbwta
wtbEwtaE
μμ
μ
[ ] 1( ) ( ) ( ) cos( )3XR E X t X t wτ τ τ= + =
Es ergódico en media
( ) ( )( )2 ∞→−∫ TTTT wTT
μμ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )βββ iii
Estadística. Profesora María Durbán42
31 ( ) ( )
2T
TX t X t t
Tτ
−+ ∂∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )βαβαβα sincoscossinsin ±=±
3 Ergodicidad de un proceso estocástico3 Ergodicidad de un proceso estocástico
( ) ( ) ( )Z t X t X tτ τ= + [ ]( ) ( )XE Z t Rτ τ=
( )Z t( )X t
Ergodicidad en autocorrelación : Sea . Si construimos el proceso , entonces , por lo tanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media
[ ]( ) ( ) ( )XR E X t X tτ τ= +
( )Z tτ( )X ttanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media
Ejemplo 7Ejemplo 7Sea considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt), donde a y b son dos VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudiar la
di id d di t l ióergodicidad en media y autocorrelación.
[ ] ( ) [ ] ( )( )sin1
000sincos =+=+=T
X
wTawtbEwtaEμ
[ ] 1( ) ( ) ( ) cos( )3XR E X t X t wτ τ τ= + =
N ódi
( ) ( )( ) ( ) 0limsinsincos21
=→=+= ∞→−∫ TT
T
TT wTwTadtwtbwta
Tμμ
Estadística. Profesora María Durbán43
[ ]
2 2
( ) ( ) ( ) ( )3
1 1lim ( ) ( ) ( ) cos( )2 2
X
T
T TX t X t t a b w
Tτ τ∞ −
+ ∂ = +∫uuur
No es ergódico en autocorrelación
Procesos Estocásticos
1 I t d ió t bá i
Procesos Estocásticos
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán44
5 EjemplosProceso de Poisson
5 Ejemplos
Es un proceso de tiempo continuo y estado discreto.X(t)= número de sucesos en [0,t]X(t)~P(λt)X(t) P(λt)μX=λtCX(t1,t2)=λmin{t1,t2}
“Ruido”= señales indeseables que constituyen una interferencia en un i t d i i H d ti d id id t l
Ruido
sistema de comunicaciones. Hay dos tipos de ruido: ruido externo al sistema (atmosférico), ruido interno al sistema (fluctuaciones aleatorias debidas a dispositivos). Generalmente se representan las interferencias mediante un ruido blanco.Ruido blanco: Un proceso es un ruido blanco si las variables X(t1), X(t2) están incorreladas para todo t.
Estadística. Profesora María Durbán45
pSi las variables son gaussianas, incorreladas = independientes
5 EjemplosProcesos Gaussianos
5 Ejemplos
Diremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del proceso tiene distribución conjunta gaussianaEl proceso está totalmente descrito si conocemos su función media y suEl proceso está totalmente descrito si conocemos su función media y su autocovarianza (o auticorrelación)
Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estrictoUn proceso es independiente C(ti,tj)=0 Ej i i F b 2003
Sean X e Y dos VA independientes y normales con media 0 y varianza 1, se define el proceso gaussiano:
Ejercicio. Febrero 2003
2
Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
01
x1
Estadística. Profesora María Durbán46
-3 -2 -1 0 1 2 3
tiempo
-2-1
5 EjemplosProcesos Gaussianos
5 Ejemplos
Diremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del proceso tiene distribución conjunta gaussianaEl proceso está totalmente descrito si conocemos sufunción media y suEl proceso está totalmente descrito si conocemos sufunción media y su autocovarianza (o auticorrelación)
Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estrictoUn proceso es independiente C(ti,tj)=0 Ej i i F b 2003
Sean X e Y dos VA independientes y normales con media 0 y varianza 1, se define el proceso gaussiano:
Ejercicio. Febrero 2003
Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
a) Determine la función de probabilidad conjunta de Z(t1) y Z(t2).
Estadística. Profesora María Durbán47
) p j ( 1) y ( 2)b) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto.
5 EjemplosProcesos Autorregresivos
5 Ejemplos
Un proceso autorregresivo de orden 1, AR(1), tiene la siguiente forma:2( ) ( 1) ~ (0, )t tX t c X t Nα ε ε σ= + − +
( )[ ] ( )[ ] ( ) 2
2
2
2
11Var
1 ασατ
ασ
α
τ
−=
−=
−= XCtXctXE
-20
2 α = 0 . 7
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0-4
-10
12
3 α − 0 . 5
Estadística. Profesora María Durbán48
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
-3-2