Modelos de regresion beta mixtos
Olga Cecilia Usuga Manco
Departamento de Ingenierıa IndustrialFacultad de Ingenierıa
Universidad de Antioquia
Septiembre 23 de 2013
Olga Cecilia Usuga Manco Modelos de regresion beta mixtos
Modelos de regresion beta mixtos
Olga Cecilia Usuga Manco
Departamento de Ingenierıa IndustrialFacultad de Ingenierıa
Universidad de Antioquia
Septiembre 23 de 2013
Olga Cecilia Usuga Manco Modelos de regresion beta mixtos
IntroduccionModelos de regresion beta con efectos aleatorios
Seleccion del modelo y analisis de residuosAplicacion
Paquete BLMMConclusiones
Resumen
1 Introduccion
2 Modelos de regresion beta con efectos aleatoriosModelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
5 Paquete BLMM
6 Conclusiones
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IntroduccionModelos de regresion beta con efectos aleatorios
Seleccion del modelo y analisis de residuosAplicacion
Paquete BLMMConclusiones
1 Introduccion
2 Modelos de regresion beta con efectos aleatorios
3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
5 Paquete BLMM
6 Conclusiones
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IntroduccionModelos de regresion beta con efectos aleatorios
Seleccion del modelo y analisis de residuosAplicacion
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Motivacion
Analisis de datos longitudinales.
• Naturaleza de la variable respuesta.
• Naturaleza de las observaciones repetidas.
• Flexibilidad en la suposicion de normalidadd de la distribucion delos efectos aleatorios.
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Estudio oftalmologico
• Individuos: 29 pacientes.
• Variable respuesta: Porcentaje de gas presente en los ojos delpaciente i en el tiempo j, con i = 1, . . . , 29 y j = 1, . . . , ni.
• Tiempo: Dias despues de la cirugıa (3, 4, . . . , 15).
• Variable regresora: Concentracion de gas intraocular (15 %, 20 %, 25 %).
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Grafico de perfil
Dias
Por
cent
agem
de
gás
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0●
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Concentração 15
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0●●●
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Concentração 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 20 40 60
●●●
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Concentração 25
Figura 1: Grafico de perfil del porcentaje de gas presente en los ojos de lospacientes segun los niveles de concentracion de gas.
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Modelo de regresion beta
• Paolino (2001)
• Kieschnick y McCullough (2003)
• Ferrari y Cribari-Neto (2004)
• Rigby y Stasinopoulos (2005)
• Simas, Barreto-Souza y Rocha (2010)
• Ospina y Ferrari (2012)
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Distribucion betaParametrizacion de la distribucion beta propuesta por Ferrari y Cribari-Neto (2004).
La funcion de densidad de probabilidad de la distribucion beta deno-tada por Be(µ, φ) es definida como
f (y | µ, φ) =Γ(φ)
Γ(µφ)Γ((1− µ)φ)yµφ−1(1− y)(1−µ)φ−1, 0 < y < 1 (1)
con 0 < µ < 1 y φ > 0.
La media y la varianza de Y estan dadas por
E(Y) = µ,
Var(Y) =µ(1− µ)
1 + φ.
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Distribucion betaLa funcao de densidad de probabilidad de la distribucion beta, deno-tada por Be(µ, σ), se define como
f (y | µ, σ) =1
B(α, β)yα−1(1− y)β−1, 0 < y < 1 (2)
donde
α =µ(1− σ2)
σ2 ,
β =(1− µ)(1− σ2)
σ2 ,
con 0 < µ < 1 y 0 < σ < 1.
La media y la varianza de Y estan dadas por
E(Y) = µ,
Var(Y) = σ2µ(1− µ).
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
1 Introduccion
2 Modelos de regresion beta con efectos aleatorios
3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
5 Paquete BLMM
6 Conclusiones
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
DistribuciónDistribuciónCoeficientes
aleatorios
Coeficientes
aleatorios
Modelo
general
Modelo
general
Intercepto
Normal*
No normal
Log-gama
t-Student
Modelo de
regresión beta
No normal t-Student
Exponencial
potencia
Intercepto y
pendiente
Normal
No normal
t-Student
Exponencial
potencia
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
1 Introduccion
2 Modelos de regresion beta con efectos aleatoriosModelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
5 Paquete BLMM
6 Conclusiones
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Modelo de regresion beta con interceptoaleatorio normal
En los modelos de regresion beta con interceptos aleatoriosnormales se asume que
• La distribucion condicional de yij dados los efectos aleatorios si-gue una distribucion beta con funcao de densidad de probabilidaddada en (2),
• dados los efectos aleatorios, los yi1, yi2, . . . , yini son independien-tes, y
• los efectos aleatorios γi1 e γi2 son independientes e identicamentedistribuidos con distribuciones N(0, λ1) y N(0, λ2), respectivamen-te.
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Modelo de regresion beta con interceptoaleatorio normal
La formulacion del modelo es
yij | γi1, γi2ind∼ Be(µij, σij),
γi1i.i.d∼ N(0, λ1),
γi2i.i.d∼ N(0, λ2),
g1(µij) = ηij1 = xTij1β1 + γi1,
g2(σij) = ηij2 = xTij2β2 + γi2.
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Funciones de enlace
Cuadro 1: Funciones de enlace.
Funcion de enlace g1(µ) µ
logit log {µ/(1− µ)} exp(η1)/ {1 + exp(η1)}
probit Φ−1(µ) Φ(η1)
conplemento log-log log {− log(1− µ)} 1− exp {− exp(η1)}
log-log − log {− log(µ)} exp {− exp(−η1)}
Cauchy tan {π(µ− 0, 5)} {arctan(η1)/π}+ 0, 5
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Maxima verosimilitud aproximadaAsumiendo que los N individuos son independientes la funcion de ve-rosimilitud toma la forma
L(θ) =
N∏i=1
∫ ∫R2
ni∏j=1
f (yij | γi1, γi2;β1,β2) · f (γi1;λ1)f (γi2;λ2) dγi1dγi2,
Las integrales de L(θ) son evaluadas por medio de cuadratura deGauss-Hermite.
Logaritmo de la funcion de verosimilitud aproximada
`(θ) ∼=N∑
i=1
log
Q1∑k1=1
Q2∑k2=1
ni∏j=1
f (yij |√
2λ1zk1 ,√
2λ2zk2 ;β1,β2)wk1 wk2
π
.
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Prediccion de los efectos aleatoriosMejor predictor empırico de Bayes
γi1 =
∫ ∫R2 γi1
ni∏j=1
f (yij | γi1, γi2; β1, β2)f (γi1; λ1)f (γi2; λ2) dγi1dγi2
∫ ∫R2
ni∏j=1
f (yij | γi1, γi2; β1, β2)f (γi1; λ1)f (γi2; λ2) dγi1dγi2
,
γi2 =
∫ ∫R2 γi2
ni∏j=1
f (yij | γi1, γi2; β1, β2)f (γi1; λ1)f (γi2; λ2) dγi1dγi2
∫ ∫R2
ni∏j=1
f (yij | γi1, γi2; β1, β2)f (γi1; λ1)f (γi2; λ2) dγi1dγi2
,
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
1 Introduccion
2 Modelos de regresion beta con efectos aleatoriosModelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
5 Paquete BLMM
6 Conclusiones
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Seleccion del modelo y analisis de residuosAplicacion
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Modelo de regresion beta con intercepto aleatoriono normal
En los modelos de regresion beta con interceptos aleatorios nonormales se asume que
• La distribucion condicional de yij dados los efectos aleatorios si-gue uma distribuicao beta con funcion de densidad de probabili-dad dada en (2),
• dados los efectos aleatorios, los yi1, yi2, . . . , yini son independien-tes, y
• los efectos aleatorios γi1 y γi2 son independientes e identicamentedistribuidos con funcoes densidades de probabilidad f (γi1;λ1) yf (γi2;λ2), respectivamente.
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Modelo de regresion beta con intercepto aleatoriono normal
La formulacion del modelo es
yij | γi1, γi2ind∼ Be(µij, σij),
γi1i.i.d∼ f (γi1;λ1),
γi2i.i.d∼ f (γi2;λ2),
(3)
g1(µij) = ηij1 = xTij1β1 + γi1,
g2(σij) = ηij2 = xTij2β2 + γi2,
(4)
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Distribuciones de los interceptos aleatorios
• Distribucion log-gama
• Distribucion t-Student
• Distribucion exponencial potencia
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Maxima verosimilitud aproximadaEl metodo de estimacion usado es maxima verosimilitud aproximaday esta basado en el trabajo de Liu y Yu (2008).
Funcion de verosimilitud
L(θ) =N∏
i=1
∫ ∫R2
ni∏j=1
f (yij | γi1, γi2;β1,β2) · f (γi1;λ1)f (γi2;λ2) dγi1dγi2
Funcion de verosimilitud reformulada
L(θ) =N∏
i=1
∫ ∫R2
ni∏j=1
f (yij | γi1, γi2;β1,β2)·f (γi1;λ1)
φ(γi1)
f (γi2;λ2)
φ(γi2)φ(γi1)φ(γi2) dγi1dγi2
Funcion de log-verosimilitud aproximada
`(θ) ∼=N∑
i=1
log
Q1∑k1=1
Q2∑k2=1
ni∏j=1
f (yij | zk1 , zk2 ;β1,β2) ·f (zk1 ;λ1)
φ(zk1)
f (zk2 ;λ2)
φ(zk2)wk1 wk2
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
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3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
5 Paquete BLMM
6 Conclusiones
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Modelos de regresion beta con intercepto ypendinete aleatoria
En los modelos de regresion beta con intercepto y pendientealeatoria se asume que
• La distribucion condicional de yij dados los efectos aleatorios si-gue una distribucion beta con funcion de densidad de probabili-dad dada en (2),
• dados los efectos aleatorios, los yi1, yi2, . . . , yini son independen-tes, y
• los efectos aleatorios γ i1 y γ i2 son independientes e identicamen-te distribuidos con distribuciones elipticas bivariadas El2(0,Σ1) yEl2(0,Σ2), respectivamente.
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Modelos de regresion beta con intercepto ypendiente aleatoria
La formulacion del modelo es
yij | γ i1,γ i2ind∼ Be(µij, σij),
γ i1i.i.d∼ El2(0,Σ1),
γ i2i.i.d∼ El2(0,Σ2),
(5)
g1(µij) = ηij1 = xTij1β1 + zT
ij1γ i1,
g2(σij) = ηij2 = xTij2β2 + zT
ij2γ i2,(6)
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Estructuras de varianza-covarianza
Cuadro 2: Estructuras de varianza-covarianza
Estructura Ejemplo Numero de parametros
S(λ 00 λ
)1
CV(λ1 00 λ2
)2
AR(1)(
λ ρλρλ λ
)2
SCH(
λ1 ρ√λ1√λ2
ρ√λ1√λ2 λ2
)3
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Distribuciones de los efectos aleatorios
• Distribucion normal
• Distribucion t-Student
• Distribucion exponencial potencia
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Modelo de regresion beta con intercepto aleatorio normalModelos de regresion beta con intercepto aleatorio no normalModelos de regresion beta con intercepto y pendiente aleatoria
Maxima verosimilitud aproximada
Funcion de verosimilitud
L(θ) =N∏
i=1
∫R4
ni∏j=1
f (yij | γ i1,γ i2;β1,β2) · f (γ i1;Σ1)f (γ i2;Σ2) dγ i1dγ i2.
Funcion de verosimilitud reformulada
L(θ) =N∏
i=1
∫R4
ni∏j=1
f (yij | γ i1,γ i2;β1,β2)·f (γ i1;Σ1)
φ(γ i1)
f (γ i2;Σ2)
φ(γ i2)φ(γ i1)φ(γ i2) dγ i1dγ i2,
Logaritmo de la funcion de verosimilitud
`(θ) =N∑
i=1
log
∫R4
ni∏j=1
f (yij | γ i1,γ i2;β1,β2) ·f (γ i1;Σ1)
φ(γ i1)
f (γ i2;Σ2)
φ(γ i2)φ(γ i1)φ(γ i2) dγ i1dγ i2
.
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1 Introduccion
2 Modelos de regresion beta con efectos aleatorios
3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
5 Paquete BLMM
6 Conclusiones
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Seleccion del modelo
El metodo de seleccion propuesto de los modelos de regresion betacon efectos aleatorios para datos longitudinales esta basado en losmetodos de seleccion de los modelos
• Aditivos generalizados para posicion, escala y forma, Stasinopou-los, et.al (2012)
• Modelos lineales mixtos para datos longitudinales, Ryoo(2010)
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Seleccion del modelo y analisis de residuosAplicacion
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Seleccion del modelo1. Asumiendo σ constantey desconocida seleccionar
modelo para µ (M1)
2. Fijar modelo deµ y seleccionar
modelo para σ (M2)
3. Fijar modelo deσ y seleccionar
modelo para µ (M3)
AICM3 < AICM2? Modelo final M3Si
Modelo final M2
No
I
Ajustar modelo deintercepto aleatorio
Adicionar el tiempo
Adicionar varia-bles regresoras
Adicionar in-teracciones
Adicionarefectos aleatorios
IIAjustar
modelo de interceptoaleatorio saturado
Eliminar o tempo
Adicionar varia-bles regresoras
Adicionar in-teracciones
Adicionarefectos aleatorios
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Analisis de residuos
• Residuo cuantil aleatorizado
• Residuo condicional
• Residuo marginal
• Residuo aleatorio
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Analisis de residuos
• Residuo cuantil aleatorizado propuesto por Dunn y Smyth (1996)
rqij = Φ−1 (F(yij; µij, σij)) ,
donde µij = g−11 (xT
ij1β1 + γi1) y σij = g−12 (xT
ij2β2 + γi2).
• Residuo condicional
rcij =yij − E (yij | γi1, γi2)√
Var (yij | γi1, γi2),
donde E (yij | γi1, γi2) = µij y Var (yij | γi1, γi2) = σ2ijµij(1− µij).
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Analisis de residuos
• Residuo marginal
rmij =yij − E (yij)√
Var (yij),
donde
E(yij) =E(µij),
Var(yij) =E(µ2ij)− (E(µij))
2+ E(σ2
ij) · E (µij(1− µij)) .
E(yij) =1 − E(
11 + aeγi1
),
Var (yij) =E(
1(1 + aeγi1 )2
)−[
E(
11 + aeγi1
)]2
+ ab2E
(e2γi2
(1 + beγi2 )2
)E(
eγi1
(1 + aeγi1 )2
).
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Analisis de residuos
• Residuo aleatorioraµ =
γi1√Var(γi1)
,
raσ =γi2√
Var(γi2).
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Estudios de simulacion
1 Evaluar el desempeno del proceso de estimacion.
2 Estudiar el comportamiento de las distribuciones empiricas de losresiduos propuestos.
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Estudios de simulacion
Los datos fueron generados de acuerdo con el modelo
yij | γi1, γi2ind∼ Be(µij, σij),
γi1i.i.d∼ f (γi1;λ1),
γi2i.i.d∼ f (γi2;λ2),
logit (µij) = β11 + β21xij + β31tij + γi1,
logit (σij) = β12 + β22xij + β32tij + γi2,
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Estudios de simulacion
• β1 = β2 = (−0, 15; 0, 15;−0, 15)T
• N = 20, 40, 60, 100, 150 y ni = 3, 5, 8, 12.
• λ1 = λ2 = 0, 5; 1, 0; 1, 5.
• λ1 = λ2 = 0, 22; 0, 70; 1, 22.
• ν = 3, 4.
• λ = 0, 44; 0, 89; 1, 33 y ν = 1, 5.
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Estudios de simulacion
El desempeno del proceso de estimacion fue evaluado por medio de laraız del error cuadratico medio (REQM) propuesta por Wissel (2009)y definida cono
REQM = (traza(Σ(θ)) + (θ − θ)T(θ − θ))1/2.
Valores de la REQM proximos de cero indican buen desempeno en elproceso de estimacion.
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Estudios de simulacion
Los datos fueron generados de acuerdo con el modelo
yij|γ i1ind∼ Be(µij, σij),
γ i1i.i.d∼ N2(0,Σ1),
(7)
con
logit (µij) = (β11 + γi11) + (β21 + γi21)tij1, (8)
• β1 = (−0, 3; 0, 6)T , λ1 = (0, 5; 0, 3)T y ρ1 = −0, 5.• β12 = −2, 0.• Numero de individuos N = 15, 20, 30.• Numero de observaciones por individuo ni = 4, 6, 8, 10.
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IntroduccionModelos de regresion beta con efectos aleatorios
Seleccion del modelo y analisis de residuosAplicacion
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Estudo de simulacao
El proceso de estimacion mejora su desempeno en la medida que
• La cantidad de informacion por individuo aumenta.
• La cantidade de individuos en el estudio longitudinal aumenta.
• La variabilidad de la distribucion de los interceptos aleatoriosasociados a µ y σ disminuye.
• Las estructuras de varianza-covarianza son simples.
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Distribucion empırica de los residuos
• La distribucion empırica del residuo cuantil aleatorizado sigueuna distribucion aproximadamente normal.
• Las distribuciones empıricas de los residuos condicional, margi-nal y aleatorios presentan asimetria.
• Se recomienda el residuo cuantil aleatorizado para realizar anali-sisi de residuos de los modelos propuestos.
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1 Introduccion
2 Modelos de regresion beta con efectos aleatorios
3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
5 Paquete BLMM
6 Conclusiones
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Estudio oftalmologico
• Individuos: 29 pacientes.
• Variable respuesta: yij: Porcentaje de gas presente en los ojosdel paciente i en el tiempo j, con i = 1, . . . , 29 y j = 1, . . . , ni.
• Tiempo: Dias despues de la cirugia (3, 4, . . . , 15).
• Variable regresora: Concentracion estandar de gas
xij =Cij − 20
5=
−1 si la concentracion de gas es 15 %
0 si la concentracion de gas es 20 %1 si la concentracion de gas es 25 %.
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Estudio oftalmologico
El modelo ajustado a los datos fue
yij | γi1, γi2ind∼ Be(µij, σij),
γi1i.i.d∼ N(0, λ2
1),
γi2i.i.d∼ N(0, λ2
2),
con
logit (µij) = β11 + β31log2(tij) + β41xij + γi1,
logit (σij) = β12 + γi2.
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Estudio oftalmologico
Cuadro 3: Estimaciones, errores estandar y valores-p del modelo betanormal ajustado a los datos de pocentaje de gas presente en los ojos.
Parametro Estimacion Error valor-pµ β11 1,673 0,120 2,00e-16
β31 -0,262 0,015 2,00e-16β41 0,314 0,080 9,31e-05
σ β12 -1,166 0,119 2,00e-16µ λ1 1,109 0,093σ λ2 0,322 0,156
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Estudio oftalmologico
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●
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
Valor esperado da estatística de ordem meio−normal
Val
or a
bsol
uto
orde
nado
do
resí
duo
quan
til a
leat
oriz
ado
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6
7
Valor esperado da estatística de ordem meio−normal
Val
or a
bsol
uto
orde
nado
do
resí
duo
cond
icio
nal p
adro
niza
do
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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
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6
Valor esperado da estatística de ordem meio−normal
Val
or a
bsol
uto
orde
nado
do
resí
duo
mar
gina
l pad
roni
zado
Figura 2: Graficos de probabilidad medio-normal del residuo cuantilaleatorizado, condicional y marginal del modelo beta normal ajustado a losdatos del porcentaje de gas presente en los ojos de los pacientes.
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3 Seleccion del modelo y analisis de residuos
4 Aplicacion
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Paquete BLMM
El objetivo principal del paquete BLMM es ajustar modelos deregresion beta con efectos aleatorios.
• blmmML• print.blmmML• summary.blmmML
• GHQ (pruning)
• re.prediction
• residuals.blmmML• halfnorm
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Funcion blmmML
blmmML(formula, sigma.formula, data,param = "BE_DISP",link.mu = "logit", link.sigma = "logit",re.dist.mu = "NORMAL",re.dist.sigma = "NORMAL",varcov = "CSH", method = "GHQ",n.points = 10,optimizer = "nlminb",optim.method = "Nelder-Mead",control = list(), A = NULL,transf.par.disp = FALSE)
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Conclusoes
• Los modelos con intercepto aleatorio son versatiles debido a suflexibilidad para capturar comportamientos normales, no norma-les y asimetricos que pueden ocurrir al nivel de los efectos alea-torios.
• La inclusion de intercepto y pendiente aleatoria en la estructurade regresion del modelo enrriquece la clase de modelos de re-gresion beta con efectos aleatorios dado que la correlacion entreobservaciones del mismo individuo es acomodada de forma sis-tematica por medio de las estructuras de varianza-covarianza.
• La metodologia presentada es una herramienta completa y fle-xible para el analisis de datos longitudinales y correlacionadosrestrictos a un intervalo con heterogeneidad entre individuos enlos coeficientes de regresion como el intercepto y la pendientealeatoria.
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Principais referencias bibliograficas
• Dunn, P. K. y Smyth, G. K. (1996). Randomized quantile residuals.Journal of Computational and Graphical Statistics, 5(3), 236-244.
• Ferrari, S.L.P. y Cribari-Neto, F. (2004). Beta regression for mode-ling rates and proportions. Journal of Statistical Computation andSimulation, 31(7), 799-815.
• Kieschnick, R. y McCullough, B.D. (2003). Regression analysis ofvariates observed on (0,1): percentages, proportions, and frac-tions. Statistical Modelling, 3(3), 193-213.
• Liu, L. y Yu, Z. (2008). A likelihood reformulation method in non-normal random effects models. Statistics in medicine, 27(16), 3105-3124.
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Principais referencias bibliograficas
• Meyers, S.M., Ambler, J.S., Tan, M., Werner, J.C. y Huang, S.S.(1992). Variation of perfluorproane disappearance after vitrectomy.Retina, 12, 359-363.
• Ospina, R. y Ferrari, S.L.P. (2012). A general class of zero-or-one inflated beta regression models. Computational Statistics andData Analysis, 56(6), 1609-1623.
• Paolino, P. (2001). Maximum Likelihood Estimation of Models withBeta-Distributed Dependent Variables. Political Analysis, 9(4), 325-346.
• Rigby, R.A. e Stasinopoulos, D.M. (2005). Generalized additivemodels for location, scale and shape. Applied Statistical, 54(3),507-554.
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Principais referencias bibliograficas
• Ryoo, J.H. (2010). Model Selection with the Linear Mixed EffectsModel for Longitudinal Data. Tese de Doutorado, University ofMinnesota, USA.
• Simas, A.B., Barreto-Souza, W. y Rocha, A.V. (2010). Improvedestimators for a general class of beta regression models. Compu-tational Statistics and Data Analysis, 54(2), 348-366.
• Stasinopoulos, M., Rigby, B. y Akantziliotou, C. (2012). Instruc-tions on how to use the gamlss package in R, second edicao,2012. URL http://www.R-project.org/.
• Wissel, J. (2009). A new biased estimator for multivariate regres-sion models with highly collinear variables. Tese de Doutorado,Institut fur Mathematik, Universitat Wurzburg, Germany.
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Olga Cecilia Usuga Manco
Departamento de Ingenierıa IndustrialFacultad de Ingenierıa
Universidad de Antioquia
Septiembre 23 de 2013
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