Modelo Matricial para el Cálculo de Pórticos de Inercia Variable y Estudio del Pandeo por Flexión
para Elementos de Sección Variable
Tesis presentada para optar al Titulo de Ingeniero Civil en Obras Civiles
Profesor Patrocinante
Sr. Julio Lopetegui Torres Ingeniero Civil, Dr. en Ingenieria
Profesor Patrocinante Sr. Alejandro Niño Solis
Ingeniero Civil, M. Sc. de la Ingenieria
Profesor Informante Sr. Adolfo Castro Bustamante
Ingeniero Civil, M. Sc de la Ingenieria
Luis Franklin Antonio Stuardo Alarcón Valdivia – Chile
2010
Y así, después de esperar tanto, un día como cualquier otro decidí triunfar... Decidí no esperar a las oportunidades, sino yo mismo buscarlas
Decidí ver cada problema como la oportunidad de encontrar una solución Decidí ver cada noche como un misterio a resolver
Decidí ver cada día como una nueva oportunidad de ser feliz. Aquel día descubrí que mi único rival no eran más que mis propias debilidades,
y que en éstas está la única y la mejor forma de superarnos. Descubrí que no era yo el mejor, y que quizás nunca lo fuí.
Me dejó de importar quién ganara o perdiera. Ahora me importa simplemente saberme mejor que ayer.
Aprendí que lo difícil no es no llegar a la cima, sino jamás dejar de subir. Aprendí que el mejor triunfo que puedo tener es tener el derecho de llamar a alguien amigo.
Descubrí que el amor es más que un simple estado de enamoramiento, "el amor es una filosofía de vida".
Aquel día dejé de ser un reflejo de mis escasos triunfos pasados y empecé a ser mi propia tenue luz de este presente.
Aprendí que de nada sirve ser luz si no vas a iluminar el camino de los demás. Aquel día decidí cambiar tantas cosas.
Aquel día aprendí que los sueños son solamente para hacerse realidad. Desde aquel día yo ya no duermo para descansar... ahora simplemente duermo para soñar.
Walt Disney
Si piensas que estas vencido, lo estas.
Si piensas que no te atreves, así es. Si te gusta ganar, pero piensas que no puedes,
es casi seguro: no ganarás. Si piensas que perderás, estas perdido,
pues el mundo nos enseña que el éxito empieza en la voluntad del hombre...
Todo esta en el estado de ánimo. Si piensas que eres superior, lo eres.
Has tenido que pensar alto para ascender. Has tenido que estar seguro de ti mismo
antes de ganar ningún premio. Las batallas de la vida no siempre favorecen
al hombre mas fuerte o al mas rápido, pero tarde o temprano el hombre que gana
¡es el hombre que PIENSA QUE PUEDE! Napoleón Hill
Padres, he aquí un objetivo cumplido, un sueño hecho realidad, una meta alcanzada…no ha sido fácil…
pero siempre he sentido su apoyo y preocupación, Hermanos, unidos hemos superado grandes peligros y
dificultadas, y aquí estamos, juntos nuevamente, Amor, gracias por aparecer en mi vida, por darle
sentido a muchas cosas alentándome a ser cada vez mejor, Familia, esto es para ustedes con el afán de seguir soñando,
con la ambición de seguir creyendo que con esfuerzo todo se consigue y que los sueños están
para nunca dejar de soñar… Franklin Stuardo
Índice General
i
Índice General i
Índice de Tablas iii
Índice de Figuras vi
Resumen . ix
Summary . ix
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN 1
1.1 Antecedentes Generales 1
1.2 Revisión Bibliográfica 3
1.3 Objetivos y Alcances 5
1.3.1 Objetivo General 5
1.3.2 Objetivos Específicos 5
1.4 Metodología y Materiales Empelados 6
1.4.1 Metodología 6
1.4.2 Materiales 7
CAPÍTULO II
LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINÚA 8
2.1. Antecedentes Generales 8
2.2. Consideraciones e Hipótesis a Utilizar 14
2.3. Columna de Inercia Variable Biarticulada 16
2.4. Columna de Inercia Variable Empotrada – Libre 22
2.4.1 Caso A: Empotrada – Libre 22
2.4.2 Caso B: Libre – Empotrada 31
2.5. Columna de Inercia Variable Biempotrada 38
2.6. Columna de Inercia Variable Biempotrada con
Posibilidades de Desplazamiento Lateral Relativo
entre sus Extremos 45
2.7. Columna de Inercia Variable Empotrada en un
Extremo y Articulada en el otro 52
2.7.1 Caso A: Empotrada – Articulada 52
2.7.2 Caso B: Articulada – Empotrada 60
Índice General
ii
CAPÍTULO III
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO NO PRISMÁTICO 66
3.1. Antecedentes Generales 66
3.2. Matriz de Rigidez para Elementos No Prismáticos 66
3.3. Transformación de Rigideces al Cambiar de Sistema
de Coordenadas 70
3.4. Resolución de las integrales de flexibilidad 74
CAPÍTULO IV
CONCLUSIONES 76
Bibliografía 78
Anexo A Cálculo de la Carga de Pandeo para un elemento
de sección constante con el Programa SAP2000 80
Anexo B Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento
No Prismático con el Programa Sap2000 96
Anexo C Ejemplo de Aplicación del Análisis Matricial de un
Marco Compuesto por Elementos de Sección
Variable (Resuelto en el Programa MathCad) 106
Anexo D Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación 118
Índice de Tablas
iii
INDICE DE TABLAS
Capítulo II: La Barra de sección Variable Continua.
Página
Tabla 2.1: Valores del factor m de Ec.2.23 para � � 2 13
Tabla 2.2: Coeficientes de longitud de Pandeo para una columna de
sección constate (Valores Teóricos y Recomendados).
13
Tabla 2.3: Parámetro m para la barra biarticulada no prismática. 18
Tabla 2.4: Coeficiente de esbeltez, � , para la barra biarticulada no
prismática.
21
Tabla 2.5: Coeficientes δ para la barra biarticulada no prismática 26
Tabla 2.6: Parámetro m para la barra empotrada - libre no prismática. 28
Tabla 2.7: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra empotrada libre
no prismática.
30
Tabla 2.8: Coeficientes � para la barra Libre Empotrada no
prismática.
33
Tabla 2.9: Parámetro m para la barra libre – empotrada no
prismática.
35
Tabla 2.10: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra libre - empotrada
no prismática.
37
Tabla 2.11: Parámetro m para la barra biempotrada no prismática 42
Tabla 2.12: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra biempotrada no
prismática
44
Tabla 2.13: Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática con
desplazamiento lateral relativo entre sus extremos.
48
Tabla 2.14: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra Biempotrada no
prismática con desplazamiento lateral relativo entre sus
extremos
51
Tabla 2.15: Coeficientes � para la barra no prismática empotrada en
un extremo y articulada en el otro
55
Tabla 2.16: Parámetro m para la barra no prismática empotrada en un
extremo y articulada en el otro.
56
Índice de Tablas
iv
Página
Tabla 2.17: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra no prismática
empotrada en un extremo y articulada en el otro.
59
Tabla 2.18: Parámetro m para la barra no prismática articulada en un
extremo y empotrada en el otro.
63
Tabla 2.19: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra no prismática
articulada en un extremo y empotrada en el otro.
65
Anexo A: Cálculo de la Carga de Pandeo con el Programa SAP2000
Página
Tabla A.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un
elemento sección constante
95
Anexo B: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no
Prismático con el Programa Sap2000
Página
Tabla B.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un
elemento sección variable (no prismático)
105
Tabla B.2: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un
elemento con variación de inercia lineal y otro con
variación parabólica
105
Anexo D: Resumen formulación de los Parámetros que definen:
Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una
Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.
Página
Tabla C.1: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,
Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no
Prismática Biempotrada y Empotrada – Articulada,
respectivamente.
118
Índice de Tablas
v
Página
Tabla C.2: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,
Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no
Prismática Articulada – Empotrada y Empotrada – Libre,
respectivamente.
119
Tabla C 3: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,
Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no
Prismática Libre – Empotrado y Biarticulado,
respectivamente
120
Tabla C.4: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,
Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no
Prismática Biempotrada con Desplazamiento Lateral
Relativo.
121
Índice de Figuras
vi
INDICE DE FIGURAS
CAPITULO II La Barra de sección Variable continua.
Página
Figura 2.1: Barra de sección variable modeladas con � � 2. 9
Figura 2.2: Esquema de la barra usada por Timoshenko. 10
Figura 2.3: Esquema de la Columna Tipo de inercia Variable. 15
Figura 2.4: Columna de inercia Variable Biarticulada en sus
extremos.
16
Figura 2.5: Deformada de la Columna de inercia Variable Biarticulada
en sus extremos.
20
Figura 2.6: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y
libre en el otro.
22
Figura 2.7a: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el
Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento
igual a 0.2 y aproximación inicial 1.
25
Figura 2.7b: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el
Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento
igual a 0.2 y aproximación inicial 5
25
Figura 2.7c: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el
Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento
igual a 0.2 y aproximación inicial 8
26
Figura 2.8: Deformadas de la Columna de inercia Variable
empotrada en un extremo y libre en el otro, con diferentes
desplazamientos laterales.
29
Figura 2.9: Columna de inercia Variable libre en un extremo y
empotrada en el otro.
31
Figura 2.10: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.113 por el
Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento
igual a 0.2 y aproximación inicial 9
33
Índice de Figuras
vii
Página
Figura 2.11: Deformadas de la Columna de inercia Variable
empotrada en un extremo y libre en el otro, con diferentes
desplazamientos
36
Figura 2.12: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus
extremos
38
Figura 2.13: Deformada de la Barra de inercia Variable Biempotrada
en sus extremos.
43
Figura 2.14: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus
extremos con posibilidades de desplazamiento relativo
entre sus nudos.
45
Figura 2.15: Deformada de la Columna de inercia Variable
Biempotrada con desplazamiento relativo entre sus
extremos
49
Figura 2.16: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y
articulada en el otro.
52
Figura 2.17: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.237 por el
Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento
igual a 0.2 y aproximación inicial 25.
55
Figura 2.18: Deformada de la Columna de inercia Variable empotrada
en un extremo y articulada en el otro.
58
Figura 2.19: Columna de inercia Variable articulada en un extremo y
empotrada en el otro.
60
Figura 2.20: Deformada de la Columna de inercia Variable articulada
en un extremo y empotrada en el otro.
64
Índice de Figuras
viii
CAPITULO III Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático.
Página
Figura 3.1: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático 67
Figura 3.3: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático 67
Figura 3.2: Elementos de sección variable más comunes: (a) Sección
T; (b) Sección Rectangular; (c) Sección Circular;
(d) Sección Cuadrada
68
Figura 3.4: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático 74
Figura 3.6: Resolución en MathCad de la integral definida en
ecuación 3.2
75
ix
Resumen
Este estudio es desarrollado para contribuir al análisis de los elementos de
sección variable, generalizando el método matricial para este tipo de elementos,
definiendo y resolviendo claramente cada una de las integrales de flexibilidad, con las
cuales se obtienen los coeficientes de rigidez y así definir la matriz característica para
un elemento no prismático. Además se muestra la resolución de un pórtico compuesto
por elementos de sección constante y sección variable, resolviendo el problema en una
hoja de cálculo en el programa MathCad.
También se estudia el pandeo por flexión para un elemento aislado de sección
variables con variadas condiciones de sustentación (Biempotrada, Biarticulada,
Empotrado – Libre con y sin desplazamiento Lateral, Articulado – Empotrado) de donde
se deducen: la ecuación para la deformada, la carga crítica de pandeo, la longitud de
pandeo y el coeficiente de esbeltez para cada uno de los casos analizados.
Las formulaciones desarrolladas se comparan con los resultados que se obtienen
al modelar los elementos en el programa SAP2000, para lo cual se entrega un práctico
manual de este programa para análisis y calculo de estructuras, que explica la forma y
parámetros necesarios para modelar elementos de sección variable, y cómo conseguir
que el programa determine la carga critica de pandeo para un elemento cualquiera.
Summary
This study was developed to help analyze the elements of the variable section,
generalizing the matrix method for these elements, clearly defining and solving each of
the integrals of flexibility, which yields the stiffness coefficients and define the feature
matrix for a non-prismatic element.
It also shows the resolution of a frame composed of elements of constant section
and section variable, solving the problem in a MathCard¨s spreadsheet program.
We also studied the flexural buckling for a single element of the variable section with
various conditions of support (fixed-ended, bi-articulated, Built - Free movement with or
without Lateral, Articulated - Built) from which it is deducted: the equation for the
deformed, the critical buckling load, the buckling length and the slenderness coefficient
for each of the cases analyzed.
The developed formulations are compared with the results obtained by SAP2000
modeling program. A practical manual of this program is included for the analysis and
calculation of structures, which explains the form and parameters necessary to model
elements of the variable section, and how to get the program to determine the critical
buckling load for any element.
Capítulo I: Introducción
1
CAPITULO I
INTRODUCCION
1.1. ANTECEDENTES GENERALES
Los métodos clásicos de análisis estructural que se desarrollaron a fines del siglo
XIX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática.
Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se
aplicaban en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto. Por esta
razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de reducir el conjunto
de cálculo. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo
(Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicables solo a determinados
tipos de estructuras.
La aparición del computador a comienzos del siglo XX, hizo posible la resolución
de los enormes sistemas de ecuaciones lineales que planteaban los primeros métodos
de análisis. En donde el análisis matricial saco amplia ventaja debido a los siguientes
hechos: primero, proporciona un medio matemático muy cómodo para expresar la
teoría; segundo, la solución que expresa la teoría puede obtenerse fácilmente mediante
una secuencia de operadores matriciales, secuencias que el computador pudo resolver
fácilmente.
En el mundo de la ingeniería, cada vez causan más atracción los elementos de
sección variable, ya que permiten una mejor optimización de la estructura y un
consecuente ahorro de material, sobre todo en pórticos donde las luces a salvar son
muy elevadas. Estos cambios de geometría que se producen en una estructura o
elemento estructural suelen traducirse en una disminución de su capacidad para
soportar cargas, de manera que el colapso se produce para cargas inferiores a las
teóricamente necesarias, fenómeno conocido como inestabilidad del equilibrio elástico
(pandeo por flexión).
Para enfrentar el diseño de los elementos de sección variable, los ingenieros
recurren a métodos aproximados basados en considerar al elemento de inercia variable
como un número finito de elementos de inercia constante que pueden proporcionar
soluciones adecuadamente exactas, ya que el cálculo por ordenador ha hecho posible
dividir la pieza de una manera eficiente; pero no aportan soluciones generales que
permitan definir la forma general del comportamiento estructural. De esta manera,
Capítulo I: Introducción
2
parámetros fundamentales como la esbeltez no encuentran, si se recurre a una
discretización, una definición adecuada en nuestra opinión, ya que vendrá siempre
referida a elementos parciales y no al elemento global.
Al momento del calcular y diseñar estructuras, es frecuente el
sobredimensionamiento de los elementos de sección variable, para tener la seguridad
de que el pandeo no será un problema. Esta es una práctica que va en contra de la
filosofía de la barra de inercia variable, ya que son elementos fabricados para optimizar.
A esto se suma que la información disponible en la bibliografía sobre elementos
de sección variable referente a su matriz de rigidez y, más aún, al pandeo por flexión es
bastante escasa y tal vez se deba a la enorme proliferación de aplicaciones informáticas
que realizan el cálculo de estos elementos con métodos aproximados, lo que ha dado
lugar al abandono de este tema por parte de los investigadores.
Por tanto se abordará el problema haciendo un análisis cualitativo completo de la
barra de inercia variable, obteniendo sus diferentes rigideces, abarcando el fenómeno
del pandeo por flexión, para así poder abordar modelos de cálculos válidos y fiables.
Para esto, se seguirá la vía analítica para la resolución de las condiciones de equilibrio,
ecuaciones de la curva elástica, cargas de pandeo y otros parámetros de interés, ya
que es la única manera de conocer cómo se comporta la barra de inercia variable en un
sistema estructural global, teniendo presente que el abandono de la simplicidad y
potencia de los modelos numéricos, será una tarea difícil de llevar.
Para dar un uso práctico al estudio, se comparará la metodología propuesta con
los resultados obtenidos usando las herramientas para el cálculo de estructuras que
están implementadas en el Programa SAP2000, tanto para obtener la carga critica
como para calculo de elementos de sección variable.
Capítulo I: Introducción
3
(Ec. 1.1)
(Ec. 1.2)
(Ec. 1.3
(Ec. 1.4)
(Ec. 1.5)
(Ec. 1.6)
(Ec. 1.7)
1.2. REVISION BIBLIOGRAFICA
Para el estudio del pandeo en barras de inercia variable, Timoshenko et al (1961)
estudio por el método de bifurcación, elementos con variación de inercia según la ley:
���� � �� ��
�
Particularizada para n=2 y n=4, empotrados en su base, y libres en su extremo
superior, sometidos a un esfuerzo de compresión axial constate a lo largo de toda su
longitud
La ecuación diferencial de la elástica de esta pieza es:
�� ��
������ � �� � 0
Cuya solucion es
���� � �� �� sin �� ln �
� � cos �� ln �
Con
� � ��!"# $ �
%
Aplicando las condiciones de contorno y los principios propios de la teoría de
bifurcación del equilibrio, se obtiene la ecuación:
tan �� ln �() � 2� � 0
Donde conociendo los valores de + � -, puede deducirse el menor valor de � que
satisface la ecuación 1.5. Así el valor de la carga critica puede calculares por medio de
la ecuación 1.4 al ser conocidos +, �, �� � �.
Para el mismo caso, y aplicando los mismos principios V. Cudos y F. Quinteros
(1988) afirman que la carga critica de un voladizo con inercia variable según la ley
cuadrática, es igual a la de otro de inercia constante de valor:
�/0 � 1 �
Donde:
1 � 4 �3�(4, 5�6� �1 $ 8� , 19: 8 �
()
Siendo � la solución de la ecuación 1.5 para + � - conocidos.
Capítulo I: Introducción
4
(Ec. 1.8)
(Ec. 1.9)
(Ec. 1.10)
(Ec. 1.11)
Estos autores consideran que la aplicación de la ley de inercia propuesta por
Timoshenko se puede hacer extensiva al caso de perfiles en Doble T de ala constante y
alma de canto variable linealmente, si se desprecia la aportación del alma en la
definición del momento de inercia.
Balli y Mazzolani (1983) proponen el siguiente valor para el coeficiente c de la
ecuación 1.6, en piezas biarticuladas:
1 � 0,08 � 0,92=
Dentro del mismo contexto, pero con un enfoque ligeramente diferente Galambos
(1987) considera que el cálculo de vigas ahusadas biarticuladas puede reducirse al
cálculo de vigas de inercia constante igual a la inercia mínima de la viga �/0 � �� y
longitud
-/0 � > -, 19: > � 1 $ 0,375 � ) � 0,08 � )
�1 $ 0,0775 � )
Por otra parte, Belluzi (1967) propone emplear el método energético para abordar
el problema de la barra de inercia variable, de tal maneta que la carga de pandeo se
ajusta a una expresión del tipo:
�B/�C � D E FGHI ������E J�K��
L�K� ��HI
O bien:
�BM�C � D E N���FGGHI ������E FGHI ������
Dependiendo de si se usa el momento externo o interno en el cálculo del trabajo
de deformación, se usa una u otra expresión.
La dificultad del método energético radica en la estimación de una ley de la
deformada =���, que se ajuste bien al problema. No obstante, basta con que la
ecuación cumpla con las condiciones de contorno de la barra para obtener una buena
aproximación de la carga de pandeo. Además, siempre se puede seguir afinar en la
ecuación de la deformada por iteraciones sucesivas.
Capítulo I: Introducción
5
1.3. OBJETIVOS Y ALCANCES
1.3.1. OBJETIVO GENERAL
Calcular pórticos compuestos por elementos de Inercia Variable y estudiar el
Pandeo por Flexión en elementos de sección variable.
1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
a. Generalizar el método matricial para la barra de sección variable, obteniendo
cada una de sus rigideces (Rigidez Axial, al Desplazamiento y al Giro).
b. Obtener la matriz de rigidez necesaria para analizar un pórtico conformado por
elementos de sección variable.
c. Estudiar el pandeo por flexión en las barras de inercia variable con base en los
trabajos realizados por Timoshenko.
d. Análisis sistemático del fenómeno de pandeo por flexión en la barra aislada de
inercia variable mediante el uso de la vía analítica. Observando cómo se
comporta bajo diferentes condiciones de sustentación.
e. Resolución de algunos problemas prácticos para verificar la metodología
propuesta frente a resultados de otros métodos recogidos en la bibliografía.
f. Uso del Programa Sap2000 para modelar elementos tipo frame de sección
variable y obtener la carga de pandeo
g. Aportar al estudio de los problemas de inestabilidad en pórticos de elementos de
sección variable. Concepto existente en casi todas las normas de cálculo y
diseño a nivel mundial.
Capítulo I: Introducción
6
1.4. METODOLOGIA Y MATERIALES EMPLEADOS
1.4.1. METODOLOGIA
Para cumplir con los objetivos y fines del presente trabajo de titulación, es
necesario emplear un conjunto de métodos físicos y matemáticos, así como una gran
cantidad de medios instrumentales, que permitan dar sustento a las conclusiones
obtenidas.
Para lograr completar el análisis matricial de los pórticos de inercia variable y el
pandeo por flexión en los elementos de sección variable, el presente trabajo se divide
en 3 grandes partes:
La primera parte se encarga de estudiar el pandeo por flexión en la barra ideal de
inercia variable rescatando los trabajos realizados por Timoshenko.
La segunda parte tiene por objeto la obtención de la matriz de rigidez para un
elemento viga-columna de inercia variable y su aplicación en el cálculo y análisis de un
pórtico conformado por elementos de inercia variable.
Y la última parte, consta de 2 anexos que prácticamente forman un básico tutorial
del programa SAP2000 v14 que pretende orientar sobre la modelación de elementos y
sistemas estructurales, de sección constante y/o sección variable, así como las
metodologías y procedimientos que se deben usar en el programa para determinar la
carga de pandeo de estos elementos.
Dado que la literatura es bastante deficiente respecto a la sección variable, ha
sido difícil contar con ejemplos y ejercicios que permitan validar las formulaciones
planteadas en este trabajo de titulación, por lo cual se ha escogido el programa
SAP2000 v14 para la comprobación de los problemas a resolver aplicando las
formulaciones desarrolladas en los siguientes capítulos.
Así el Anexo 1 se centra en explicar cómo calcular la carga de pandeo en un
elemento de sección constante y el resultado obtenido se comprueba con las fórmulas
para el pandeo de Euler de un elemento de sección constante, ampliamente usadas y
estudiadas en la literatura actual. Y el Anexo 2, emplea el procedimiento expuesto en el
Anexo 1 pero aplicado al cálculo de la carga de pandeo para un elemento no prismático
modelado en el programa SAP2000, así se puede dar sustento a los objetivos
planteados en este trabajo de titulación.
Se pretende que el presente trabajo sea una herramienta útil en el conocimiento
y estudio de los elementos de sección variable y una muestra de los beneficios que se
obtienen al complementar los métodos tradicionales de análisis estructural con los
avances computacionales existentes en la actualidad.
Capítulo I: Introducción
7
1.4.2. MATERIALES
A continuación se describen los medios instrumentales y métodos no propios
empleados en la elaboración de este trabajo de titulación, necesarios para dar solución
a los objetivos planteados:
a. Computador Personal HP EliteBook 8530w:
- Procesador Inter® Core™ 2 Duo, CPU
- CPU T9400 @ 2.53GHz
- 2 GB en memoria RAM
b. Impresora Multifuncional Epson
c. Conexión a Internet
d. Programas Informáticos:
- Microsoft Word: Editor de texto
- Microsoft Excel: Editor hojas de calculo
- MathCad 14: Programa algebraico con prestaciones de cálculo
numérico y simbólico, herramientas de programación y trabajo de
matrices.
- AutoCad MAP 2010: Programa de diseño asistido por ordenador para
dibujos en 2D y 3D.
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
8
CAPITULO II
LA BARRA DE SECCION VARIABLE CONTINUA
2.1. ANTECEDENTES GENERALES
A continuación se revisará la teoría propuesta por Timoshenko & Gere en su libro
Theory of Elastic Stability, formulación que servirá de base para el desarrollo del
presente capítulo.
Timoshenko et al. (1961) plantea que para estudiar el pandeo en una barra de
inercia variable con eje centroidal idealmente recto, lo primero es definir una geometría,
para lo que propuso la siguiente Ley General de Variación de Inercia:
���� � �� ���
Donde:
�: Longitud de la barra
I�: Momento de inercia menor de la barra
a: Longitud ficticia que resulta de prolongar las aristas de la barra hasta su concurrencia
(Fig. 2.1)
n: corresponde al tipo de variación a usar, pudiendo obtenerse una variación lineal,
parabólica, cubica, etc., según sea el valor a indicar.
Cuando n � 1 se obtiene el caso de una columna con la forma de una placa de
espesor constante t y ancho variable (Fig. 2.1). El exponente n � 2, representa bastante
bien la mayoría de las secciones empeladas en la construcción, en especial las
secciones rectangulares, secciones en I o doble T y columnas de celosía (por ejemplo
una columna formada por 4 ángulos conectados por diagonales)
(Ec. 2.1)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
9
(Ec. 2.5)
Figura 2.1: Barras de sección variable modeladas con � � 2
En la Fig. 2.1 también se definen el puntos inicial ��� y final �� � �� de la barra, y
es posible asociar a cada extremo los parámetros de Momento de Inercia de la sección
respecto aje centroidal ��� � �����, Área de la sección transversal ��� � ����� y Canto
de la sección (�� � ����). En base a estos parámetros se puede establecer el llamado
coeficiente de ahusamiento de la barra, denominado con la letra griega γγγγ.
(Timoshenko et al. 1961)
� � ��
Según lo planteado anteriormente es posible obtener una relación directa entre
los momentos de inercia para los extremos de la barra:
Momento de inercia nudo inicial:
���� � �� ���� � ��
Momento de inercia nudo final:
��� � �� � �� ����� � � ���1 � ��� � ���� !� � � ��
Luego de reescribir la ecuación anterior, se obtiene la relación buscada:
"#$%"# � "#�&�'�("# � �1 � ���
(Ec. 2.2)
(Ec. 2.3)
(Ec. 2.4)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
10
(Ec. 2.6)
(Ec. 2.7)
Una vez definida la geometría de la barra Timoshenko et al. (1961) basado en el
método estático estudió una barra Empotrada - Libre sometida a una carga axial P
en ambos extremos (Fig. 2.2).
Figura. 2.2: Esquema de la barra usada por Timoshenko
La carga critica según la teoría de bifurcación del equilibro considerando
pequeñas deformación resulta de la resolución de la siguiente ecuación diferencial:
)�� ���� *(+*�( � ,- . ,∆� 0
Y al aplicar las condiciones de contorno es posible conseguir una solución no
trivial. Esta es una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde al tipo de
ecuación de Euler y se transforma en una ecuación diferencial lineal de coeficientes
constantes al realizar el siguiente cambio de variable:
�� � 12
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
11
(Ec. 2.8)
(Ec. 2.9)
(Ec. 2.10)
(Ec. 2.11)
(Ec. 2.12)
(Ec. 2.13)
(Ec. 2.14)
(Ec. 2.15)
(Ec. 2.16)
(Ec. 2.17)
De donde se obtiene que *2*� � &� y por lo tanto:
*+*2 � *+*2 *2*� � &� *+*2
3�-3�� � 33� 41� 3-356 � 1� 33� 43-356 � 3-35 33� 41�6 � 1�� 3�-35� . 1�� 3-35
Reescribiendo la ecuación 2.8 resulta
�� 3�-3�� � 3�-35� . 3-35
Y sustituyendo la ecuación 2.9 en la ecuación 2.6 queda:
*(+*2( . *+*2 � 7�(8"# - . ∆�(8"# � 0
-"��� . -´��� � :���-��� . :���∆� 0, !� :� � ,)��
Esta ecuación de coeficientes constantes tiene la siguiente solución general:
-�5� � √12�= sin @5 � A cos @5� � ∆
donde A y B son constantes de integración y
@ � D,��)�� . 14 � D�:��� . 14 � D4:�� 6� . 14
Desasiendo el cambio de variable, la ecuación 2.12 queda
-��� � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ∆
y las condiciones de contorno para el problema planteado son:
-��� � ∆ ; -�� � �� � 0 ; -´�� � �� � 0
Usando la primera condición, se tiene que:
-��� � ∆� F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ∆ , !� ln �� � 0
-��� � 0 � L= sin�0� � A cos�0�M , NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1
P A � 0 Para obtener la constante A, se usa la segunda condición considerando el valor
ya obtenido para la constante A � 0 :
-�� � �� � 0 � F���� G= sin �@ ln ���� I � ∆ , NO��3! � � ��
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
12
(Ec. 2.18)
(Ec. 2.19)
(Ec. 2.20)
(Ec. 2.21)
(Ec. 2.22)
(Ec. 2.23)
(Ec. 2.24)
(Ec. 2.25)
-�� � �� � 0 � Q�1 � ��L= sin�@ ln�1 � ���M � ∆
P = � . ∆Q�1 � ��Lsin�@ ln�1 � ���M Así la ecuación de la deformada queda:
-��� � .F�� R ∆Q�1 � ��Lsin�@ ln�1 � ���M sin �@ ln ��S � ∆
Y sus derivadas son:
-´��� � .∆ @ cos �@ ln �� . ∆2 sin �@ ln ��� sin�@ ln�1 � ���Q1 � �F��
-"��� � ∆ sin �@ ln �� �4@� � 1�4�� sin�@ ln�1 � ���Q1 � � ���T�
Finalmente aplicando la última condición es posible obtener los parámetros que
definen a la carga de pandeo crítica:
-´�� � �� � 0 � .∆ @ cos �@ ln � � �� . ∆2 sin �@ ln � � �� � sin�@ ln�1 � ���Q1 � �F� � �� , !� � � ��
-´�� � �� � 0 � ∆ @ cos�@ ln�1 � ��� . ∆� sin�@ ln�1 � ��� P tanL@ ln�1 � ��M � .2@
Esta relación es una ecuación trigonométrica de difícil solución, en donde
conociendo los parámetros � - � (o su grado de ahusamiento, �) es posible obtener el
coeficiente @ que satisface ésta ecuación. Luego se podrá calcular el valor para la carga
de pandeo al trabajar con la siguiente expresión en función de los parámetros @ - �,
obtenida a partir de la ecuación 2.23, asi:
@ � D,��)�� . 14 V @� � 14 � ,WX ����)��
P ,WX � �� �@� � 14)���� � Y)���� !� Y � �� 4@� � 146
Para subsanar esta dificultad Timoshenko et al. (1961) propone resolver la
ecuación en forma numérica, valores entregados en Tabla 2.1 que demuestran la
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
13
(Ec. 2.26)
convergencia de la ecuación 2.25 hacia la carga de pandeo de Euler para una barra
Empotrada - Libre de inercia constante a medida que la inercia del punto inicial (inercia
mínima) se aproxima a la inercia del punto final (inercia máxima), es decir, la barra se
transforma en un elemento de inercia constante: "#"#$% Z 1
Tabla 2.1: Valores del factor m de Ec.2.23 para n=2 ��/���� 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
m 0,250 1,350 1,593 1,763 1,904 2,023 2,128 2,223 2,311 2,392 \]/^
Se aprecia claramente cuando las inercias de los extremos se igualan, el valor
del coeficiente m es el valor de la carga critica de Euler para vigas de inercia constante
de una barra Empotrada - Libre ampliamente descrita en la bibliografía. Este hecho
nos permite afirmar que la formulación expresada en la ecuación 2.25 representa un
enfoque más general del valor de la carga critica que el descrito para vigas de inercia
constante y nos determina un modo de trabajo en el todo análogo a los descritos por los
métodos clásicos para las vigas de inercia constate, las cuales solo representan un
caso particular de la formulación aquí descrita.
,WX � _�4 )����
Basados en esta demostración y en los trabajos realizados por Timoshenko et al.
(1961), se desarrollarán en los siguientes apartados los 5 casos del pandeo de Euler
para una columna de inercia constante tratados ampliamente en la literatura (ver tabla
2.2), pero teniendo en cuenta que la inercia es variable, obteniendo la ecuación
diferencial para el equilibrio de momentos en cada caso, y trabajando las expresiones
de la misma forma que se hizo anteriormente se conseguirá la carga de pandeo,
longitud de pandeo y ecuación de la deformada para casa situación.
Tabla 2.2: Coeficientes de longitud de Pandeo para una columna de sección constante (Valores Teóricos y Recomendados)
Fuente Libro diseño de estructuras en acero, ICHA
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
14
(Ec. 2.27)
(Ec. 2.28)
(Ec. 2.29)
(Ec. 2.30)
2.2. CONSIDERACIONES E HIPOTESIS A UTILIZAR
La barra a estudiar tendrá las siguientes características (Fig 2.3):
� Longitud de la barra: �
� Longitud de convergencia de aristas: �
� Canto mínimo: `�
� Canto máximo `���
� Área mínima: =�
� Área máxima: =���
� Momento de inercia mínimo: ��
� Momento de inercia máximo: ����
� Coeficiente de ahusamiento:
� � ��
� Peso propio del elemento despreciable
� Inercia variable según la ley de Timoshenko:
���� � �� ����
De donde se obtienen las siguientes relaciones:
- Relación entre las inercias extremas (�� - �����: ���� � ���1 � ��� V � � D������ . 1
- Relación entre los cantos extremos para una barra de sección rectangular
(`� - `����: ���� � �� ���� V a`���T12 � a`�T12 ����
P `��� � `� ���(b
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
15
Figura 2.3: Esquema de la Columna Tipo de inercia Variable
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
16
2.3. COLUMNA DE INERCIA VARIABLE BIARTICULADA
Figura 2.4: Columna de inercia Variable Biarticulada en sus extremos.
Análisis Estático
Momento externo: cd�e � , · -��� Momento interno: cge � .)���� · -"��� � .)�� ���� · -"���
Igualando ambos momentos se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio para la
barra:
)�� ���� -" � ,- � 0
Haciendo el cambio de variable �� � 12 y operando de la misma forma descrita en
el punto 2.1 resulta la siguiente ecuación diferencial:
-"�5� � :���-�5� � 0, !� :� � ,)��
(Ec. 2.31)
(Ec. 2.32)
(Ec. 2.33)
(Ec. 2.34)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
17
Ecuación diferencial que tiene una solución general del tipo:
-��� � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I !� @ � F�h�' � . &i Las condiciones de contorno para el problema planteado son:
-��� � 0 ; -�� � �� � 0 ; -´��� � 0 ; -´�� � �� � 0 De la primera condición, se tiene:
-��� � 0 � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I , �jkl ��3! ln �� � 0
-��� � 0 � = sin�0� � A cos�0� , NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1
P A � 0
Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor ya obtenido
para la constante A � 0 :
-�� � �� � 0 � F���� G= sin �@ ln ���� I , NO��3! � � ��
-�� � �� � 0 � Q�1 � ��L= sin�@ ln�1 � ���M Por lo que la constante A tiene infinitas soluciones.
Carga de Pandeo
Recordando que según la teoría de bifurcación del equilibrio para , � ,WX
la viga puede permanecer recta o bien curvarse, la obtención de la carga critica para la
pieza objeto de estudio es igual a:
0 � sin�@ ln�1 � ��� , 3�3! mN1 � n 0 - = o 0
Cuya solución general es:
@ ln�1 � �� � �_ , !� � � 1,2,3…. El menor valor de @ compatible con la configuración deformada se obtiene sin
más que hacer � � 1 en la ecuación anterior, lo cual conduce a:
@ � _ln�1 � ��
Sustituyendo @ por el valor indicado en la ecuación 2.24 y operando
adecuadamente se deduce que el valor para la carga crítica de la barra es:
(Ec. 2.35)
(Ec. 2.36)
(Ec. 2.37)
(Ec. 2.38)
(Ec. 2.39)
(Ec. 2.40)
(Ec. 2.41)
(Ec. 2.42)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
18
4:�� 6� . 14 � s _ln�1 � ��t� , 3!�31 :� � ,WX)�� ,WX)�� ���� . 14 � _�ln��1 � ��
,WX � �� R4_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S)����
Este resultado permite reescribir la ecuación 2.44 de la siguiente manera:
,WX � Y)���� !� Y � �� R4_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S
Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de
ahusamiento de la barra (�). Tomando límite de m para � tendiendo a cero, que
representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene:
lim'Vv R4_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S �� � _�
lim'VvY � _�
Así, la carga de pandeo queda:
,WX � _� )����
Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra biarticulada
con inercia constante ��.
Tabla 2.3: Parámetro m para la barra biarticulada no prismática
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
m 9.87 11.89 13.99 16.17 18.44 20.79 23.22 25.73 28.31 30.97 33.71 36.52 39.40 42.35 45.38 48.47
De las ecuaciones 2.37 y 2.42 se deduce que cuando la carga axial compresora
es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de expresión:
-��� � =F�� sin 4 _ln�1 � �� ln ��6
(Ec. 2.43)
(Ec. 2.44)
(Ec. 2.45)
(Ec. 2.46)
(Ec. 2.47)
(Ec. 2.48)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
19
Y sus derivadas son:
-´��� � =F�� w 2_ !O x _ ln ��ln�1 � ��y � ln�1 � �� Ol� x _ ln �� ln�1 � ��yz2 � ln�1 � ��
-"��� � = Ol� x _ ln �� ln�1 � ��y � ln��1 � �� � 4_��4 � � ln��1 � ��F��
Longitud de pandeo
Recordando que la longitud de pandeo, �h, de una pieza ideal coincide con la
distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener
dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la
deformada de la barra (Timoshenko et al. 1961)
En la Figura 2.5 se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del
Programa MathCad, en donde se han supuesto valores para las constantes con el
objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente:
- La constante A amplifica a la grafica en el sentido vertical (observar las graficas roja
y azul que corresponde a los valores para = � 1 - = � 2 respectivamente)
- El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión
aumente a medida que se avanza en el eje X.
- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.
(Ec. 2.49)
(Ec. 2.50)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
20
Figura 2.5: Deformada de la Columna de inercia Variable
Biarticulada en sus extremos.
Para obtener los puntos de inflexión se tiene que:
-"��� � 0 � = Ol� x _ ln �� ln�1 � ��y � ln��1 � �� � 4_��4 � � ln��1 � ��F��
Como δ o 0, � o 0 y � o 0 la solución para la ecuación anterior es:
Ol� } _ ln �� ln�1 � ��~ � 0
Cuya solución es:
_ ln �� ln�1 � �� � �_ , !� � � 0,1,2, ….
(Ec. 2.51)
(Ec. 2.52)
(Ec. 2.53)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
21
ln �� � � ln�1 � �� ln �� � ln 41 � ��6 1klYl���3! ��� �
�� � 41 � ��6
Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, debemos
encontrar � tal que � � � - � � � � �
�l � � 0: �� � 1 V �v � �
�l � � 1: �� � 1 � �� V �& � � � �
Así:
�h � ∆� � �� . �� � �� � �� . � � �
Por lo tanto la longitud de pandeo es igual a la longitud real de la barra, L, al
igual que en el caso de la barra de inercia constante, con lo que el coeficiente de
esbeltez es � � 1. Esto nos permite afirmar que la longitud de pandeo de una columna
biarticulada no prismática es siempre igual a su propia longitud, independientemente de
su grado de ahusamiento.
Tabla 2.4: Coeficiente de esbeltez, � , para la barra biarticulada no prismática
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
β 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
(Ec. 2.54)
(Ec. 2.55)
(Ec. 2.56)
(Ec. 2.57)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
22
2.4. Columna de inercia variable Empotrada - Libre
2.4.1. Caso A: Empotrada – Libre
Figura 2.6: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y libre en el otro.
Análisis estático
Momento externo: cd�e � , · -��� . , · ∆
Momento interno: cge � .)�� ���� · -"��� Igualando ambos momentos llegamos a la siguiente ecuación de equilibrio:
)�� ���� -" � ,- . , · ∆� 0
Haciendo el cambio de variable �� � 12 y operando de la misma forma descrita en
el capitulo anterior resulta la siguiente ecuación diferencial:
-"�5� . -´�5� � :���- . :���∆� 0, !� :� � ,)��
(Ec. 2.58)
(Ec. 2.59)
(Ec. 2.60)
(Ec. 2.61)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
23
Ecuación diferencial con una solución general del tipo:
-��� � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ∆ !� @ � F�h�' � . &i Las condiciones de contorno para el problema planteado son:
-��� � 0 ; -�� � �� � ∆ ; -´��� � 0
De la primera condición, se tiene:
-��� � 0 � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ∆, �jkl ��3! ln �� � 0
-��� � 0 � 1L= sin�0� � A cos�0�M � ∆, NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1
-��� � 0 � A � ∆ P A � .∆
Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor obtenido
para la constante A � .∆ :
La primera derivada de la ecuación 2.62 es:
-´��� � = sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��2�F�� � F��}=@ cos �@ ln �� . A@ sin �@ ln ��� ~
Luego
-´��� � 0 � � ����� ��##�� ����� ��##��F## � F�� ��� ����� ��##��� ����� ��##� �
-´��� � 0 � = sin�0� � A cos�0�2� � �=@ cos�0� . A@ sin�0�� � NO��3! ln�1� � 0 -´��� � 0 � A2� � =@� NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1
P = � ∆�� NO��3! A � .∆
De las ecuaciones 2.65 y 2.69 se deduce que cuando la carga axial compresora
es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de expresión:
-��� � F�� G ∆�� sin �@ ln �� . ∆ cos �@ ln ��I � ∆
(Ec. 2.62)
(Ec. 2.65)
(Ec. 2.66)
(Ec. 2.67)
(Ec. 2.68)
(Ec. 2.69)
(Ec. 2.70)
(Ec. 2.64)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
24
Y sus derivadas:
-´��� � ∆ sin �@ ln �� �4@� � 1�4�@F��
-"��� � .∆�4@� � 1� Gsin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln ��I8��@ ���T�
Carga de pandeo
Aplicando la segunda condición de contorno
-�� � �� � ∆� F���� G ∆�� sin �@ ln ���� . ∆ cos �@ ln ���� I � ∆
∆2@ sin�@ ln�1 � ��� . ∆ cos�@ ln�1 � ��� � 0 �jkl ��3! � � �� sin�@ ln�1 � ���cos�@ ln�1 � ��� � 2@ tanL@ ln�1 � ��M � 2@
Esta ecuación trigonométrica es de difícil solución, por lo cual se usará el método
de Newton-Rhapson programado en MathCad para buscar las soluciones de cada
grado de ahusamiento que se han abarcado, � � { L0,3M Con el método programado, resulta sencillo modificar el punto de partida para la
iteración según los valores que va encontrando el método. A continuación se muestra
este proceso para el grado de ahusamiento � � 0.2 (ver imagen 2.7a al 2.7c). Se
observa que con un punto de partida igual a 1, el método entrega valores cero o muy
cercano al cero (ver imagen 2.7b), para un valor 5, hay más valores de respuesta pero
no se parecía convergencia de la solución (ver imagen 2.7b), finalmente para un valor
de partida igual a 8 (ver imagen 2.7c), se obtiene una solución convergente hacia el
valor 8.284916066889.
(Ec. 2.71)
(Ec. 2.72)
(Ec. 2.73)
(Ec. 2.75)
(Ec. 2.74)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
25
Figura 2.7a: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 1
Figura 2.7b: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 5
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
26
Figura 2.7c: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 8
Al resolver la ecuación 2.75 para cada grado de ahusamiento de la viga
empotrada libre, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento
comprendidos entre 0 y 3.
Tabla 2.5: Coeficientes @ para la barra biarticulada no prismática
γ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ 8.28 4.37 3.04 2.36 1.94 1.65 1.44 1.28 1.15 1.04 0.94 0.86 0.79 0.73 0.67
Con estos resultados es posible obtener una ecuación aproximada para @,
ecuación que tendrá la siguiente forma:
@ � _ln�1 � �� �= � � A� Remplazando el punto (0.2, 8.285) en la ecuación 2.76 se obtiene la constante B
en función de A: 8.285 � ����&�'� �0.2= � A� A � 0.4808179 . 0.2=
(Ec. 2.76)
(Ec. 2.77)
(Ec. 2.78)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
27
Remplazando el punto (4, 0.466) en la ecuación 2.76 y usando la constante B, se
obtiene la constante A:
0.466 � _ln�1 � �� �3= � 0.4808179 . 0.2=� = � .0.063707
Luego la constante B se obtiene al reemplazar la el valor de la constante A en la
ecuación 2.78:
A � 0.4808179 . 0.2�.0.063707� � 0.493559
Asi la ecuación 2.76 queda:
@ � _ln�1 � �� �.0.063707� � 0.493559� Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @ � 1.94,
valor semejante al obtenido usando Newton-Rhapson
@ � D4:�� 6� . 14 � _ln�1 � �� �0.493559 . 0.063707�� Y despejando ::
: � ��D _�ln��1 � �� �0.493559 . 0.063707��� � 14 Anteriormente se demostró que:
:� � ,)��
Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:
,WX � ��� R _�ln��1 � �� �0.493559 . 0.063707��� � 14S� )���� Es decir:
,WX � Y)���� !� Y � �� R _�ln��1 � �� �0.493559 . 0.063707��� � 14S Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de
ahusamiento de la barra (�). Tomando límite de m para � tendiendo a cero, que
representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene:
lim'VvY � 0.2436 _� Z _�4
(Ec. 2.85)
(Ec. 2.86)
(Ec. 2.87)
(Ec. 2.79)
(Ec. 2.80)
(Ec. 2.81)
(Ec. 2.82)
(Ec. 2.83)
(Ec. 2.84)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
28
La carga de pandeo queda:
,WX � _�4 )����
Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Empotrada-
Libre con inercia constante ��.
Tabla 2.6: Parámetro m para la barra Empotrada - Libre no prismática
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
m 2.47 2.76 3.10 3.42 3.74 4.05 4.34 4.62 4.88 5.14 5.39 5.62 5.85 6.06 6.27 6.48
Longitud de pandeo
Recordando que la longitud de pandeo, �h, de una pieza ideal coincide con la
distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener
dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la
deformada de la barra.
A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del
Programa MathCad (ver figura 2.8), en donde se han supuesto valores para las
constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir
lo siguiente:
- La grafica es de tipo senoidal
- La constante ∆ desplaza el eje de las ordenas y amplifica la grafica en el sentido
vertical (observar las graficas roja y azul que corresponde a los valores para ∆� 1 - ∆� 2 respectivamente)
- El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión
aumente a medida que se avanza por el eje x.
- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M y
se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.
(Ec. 2.88)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
29
Figura 2.8: Deformadas de la Columna de inercia Variable empotrada en un
extremo y libre en el otro, con diferentes desplazamientos laterales.
Para obtener los puntos de inflexión se tiene que:
-"��� � 0 � . ∆�i�(�&�G����� ���#��� ����� ���#I��(���#b(
Como � o 0 - � o 0 se tiene:
sin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln �� � 0
tan �@ ln �� � 2@
(Ec. 2.89)
(Ec. 2.90)
(Ec. 2.91)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
30
Resolviendo para �:
� � �1s������������ t � �� 1s������������ t
La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de � entre � - � � 1 en el entorno del intervalo � { L�, � � �M siendo en este caso � � .1 - � � 0
�l � � .1: ��& � �' 1s������(��� � t
�l � � 0: �v � �� 1s���������� t
Así,
�h � ∆� � �v . ��& � �' 1s������(��� t . �' 1s������(��� � t
P �h � �' G1 . 1� �I 14������(��� 6
Se observa que la longitud de pandeo si depende del coeficiente de
ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez (�) también sea variable y
dependiente de �, es decir:
�h � �+� , !� �+ � 1� s1 . 1���� t 14���������� 6
- @ � _ln�1 � �� �0.493559 . 0.063707�� Tomando límite de �+ para � tendiendo a cero, que representa el caso de viga de
inercia constante, se obtiene:
lim'Vv�+ � 2
Que es justamente le valor de � para una barra Empotrada-Libre de inercias
constante, cuya longitud de pandeo es �h � 2�
Tabla 2.7: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra empotrada libre no prismática
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ #### 8.28 4.37 3.04 2.37 1.95 1.66 1.45 1.29 1.16 1.05 0.95 0.87 0.80 0.74 0.69
β 2.00 1.89 1.79 1.70 1.63 1.58 1.53 1.49 1.45 1.42 1.39 1.37 1.35 1.33 1.32 1.30
(Ec. 2.93)
(Ec. 2.94)
(Ec. 2.95)
(Ec. 2.96)
(Ec. 2.98)
(Ec. 2.92)
(Ec. 2.97)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
31
(Ec. 2.101)
(Ec. 2.102)
2.4.2. Caso B: Libre – Empotrada
Figura 2.9: Columna de inercia Variable libre en un extremo y empotrada en el otro.
Análisis estático
Este caso es similar al caso A, con la única diferencia que la barra esta invertida
y también sus condiciones de borde. La Ecuación diferencial tiene una solución general
del tipo:
-��� � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ∆ !� @ � F�h�' � . &i Las condiciones de contorno para el problema planteado son:
-��� � ∆ ; -�� � �� � 0 ; -´�� � �� � 0
De la primera condición, se obtiene:
-��� � ∆� F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ∆ , NO��3! ln �� � 0
-��� � ∆� 1L= sin�0� � A cos�0�M � ∆, !� sin�0� � 0 - cos�0� � 1
(Ec. 2.99)
(Ec. 2.100)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
32
(Ec. 2.111)
-��� � ∆� A � ∆ P A � 0
Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor ya obtenido
para la constante A � 0 :
-�� � �� � 0 � F���� G= sin �@ ln ���� I � ∆ , NO��3! � � �� -�� � �� � 0 � Q�1 � ��L= sin�@ ln�1 � ���M � ∆
P = � . ∆Q�1 � ��Lsin�@ ln�1 � ���M De las ecuaciones 2.103 y 2.106 se deduce que cuando la carga axial
compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de
expresión:
-��� � . ∆Q�1 � ��Lsin�@ ln�1 � ���MF�� sin �@ ln �� � ∆ Y sus derivadas son:
-´��� � .∆@ cos �@ ln �� � ∆ sin �@ ln ��2� sin�@ ln�1 � ���Q�1 � ��F��
-"��� � ∆ sin �@ ln �� �4@� � 1�� sin�@ ln�1 � ���Q�1 � �� ���T��
Aplicando la tercera condición de contorno:
-´�� � �� � 0 � .∆@ cos �@ ln � � �� � ∆ sin �@ ln � � �� 2� sin�@ ln�1 � ���Q�1 � ��F� � ��
-´�� � �� � 0 � .∆@ cos�@ ln�1 � ��� � ∆ sin�@ ln�1 � ���2� sin�@ ln�1 � ���Q�1 � ��Q�1 � �� !� � � ��
(Ec. 2.103)
(Ec. 2.104)
(Ec. 2.106)
(Ec. 2.107)
(Ec. 2.108)
(Ec. 2.109)
(Ec. 2.110)
(Ec. 2.105)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
33
0 � @ cos�@ ln�1 � ��� � sin�@ ln�1 � ���2
tanL@ ln�1 � ��M � .2@
Expresión similar al caso A y para la cual se ha obtenido una expresión analítica
aproximada para despejar @ operando de forma similar a la ecuación 2.75 del caso
anterior, se consigue:
Figura 2.10: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.113 por el Método Newton-
Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 9
Al resolver la ecuación 2.113 para cada grado de ahusamiento de la viga libre
empotrada, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento comprendidos
entre de 0 a 3.
Tabla 2.8: Coeficiente @ para la barra libre empotrada no prismática
γ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ 8.92 4.90 3.55 2.87 2.47 2.19 2.00 1.85 1.74 1.65 1.58 1.52 1.46 1.42 1.38
(Ec. 2.112)
(Ec. 2.113)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
34
Con estos resultados es posible obtener una ecuación aproximada para @,
ecuación que tendrá la siguiente forma:
@ � _ln�1 � �� �= � � A� Remplazando el punto (0.2, 8.922) en la ecuación 2.144 se obtiene la constante
B en función de A:
8.922 � _ln�1 � �� �0.2= � A� A � 0.517844 . 0.2=
Remplazando el punto (3, 1.3832) en la ecuación 2.114 y usando la constante B,
se obtiene la constante A:
1.3832 � _ln�1 � �� �3= � 0.517844 . 0.2=� = � 0.0330121
Luego la constante B se obtiene al reemplazar la el valor de la constante A en la
ecuación 2.116:
A � 0.517844 . 0.2�0.0330121� � 0.5112416
Asi la ecuación 2.114 queda:
@ � _ln�1 � �� �0.0330121 � � 0.5112416� Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @ � 2.5,
valor semejante al obtenido usando Newton-Rhapson
@ � D4:�� 6� . 14 � _ln�1 � �� �0.0330121 � � 0.5112416� Y despejando ::
: � ��D _�ln��1 � �� �0.0330121 � � 0.5112416�� � 14 Se sabe que:
:� � ,)��
(Ec.2.114)
(Ec. 2.115)
(Ec. 2.116)
(Ec. 2.117)
(Ec. 2.118)
(Ec. 2.119)
(Ec. 2.120)
(Ec. 2.121)
(Ec. 2.122)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
35
(Ec. 2.124)
Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:
,WX � ��� R _�ln��1 � �� �0.0330121 � � 0.5112416�� � 14S�)���� Es decir:
,WX � Y)���� !� Y � �� R _�ln��1 � �� �0.0330121 � � 0.5112416�� � 14S Tomando límite de m para � tendiendo a cero, que representa el caso de viga de
inercia constante, se obtiene:
lim'Vv Y � 0.261367973_� Z �(i
Así, la carga de pandeo queda:
,WX � _�4 )����
Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Libre –
Empotrada con inercia constante ��.
Tabla 2.9: Parámetro m para la barra Libre – Empotrada no prismática
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
m 2.47 3.19 3.88 4.63 5.44 6.33 7.30 8.33 9.44 10.63 11.90 13.25 14.67 16.19 17.78 19.46
Longitud de pandeo
Recordando que la longitud de pandeo, �h, de una pieza ideal coincide con la
distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener
dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la
deformada de la barra.
A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del
Programa MathCad (ver figura 2.11), en donde se han supuesto valores para las
constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir
lo siguiente:
- La grafica es del tipo senoidal, similar al caso anterior (empotrada libre) pero
desfasada un longitud L respecto a la anterior.
(Ec. 2.123)
(Ec. 2.125)
(Ec. 2.126)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
36
- La constante A amplifica a la grafica en el sentido vertical (observar las graficas roja
y azul que corresponde a los valores para = � 1 - = � 2 respectivamente)
- El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión
aumente a medida que se avanza por el eje x.
- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M y
se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.
Figura 2.11: Deformadas de la Columna de inercia Variable empotrada en un
extremo y libre en el otro, con diferentes desplazamientos.
Para obtener los puntos de inflexión se tiene que:
-"��� � 0 � ∆ sin �@ ln �� �4@� � 1�� sin�@ ln�1 � ���Q�1 � �����T�� (Ec. 2.127)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
37
(Ec. 2.134)
Como � o 0 - � o 0 se tiene que:
@ ln �� � �_
Resolviendo para �:
� � �1G�� I � �� 1G�� I La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de � entre � - � � 1 en el entorno del intervalo � { L�, � � �M siendo en este caso � � 0 - � � 1
�l � � 0: �v � �' � �
�l � � 1: �& � �' 1� � Así, �h � ∆� � �v . �& � �' 1� � . �' � �' s1� � . 1t Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de
ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez (�) también sea variable y
dependiente de �, es decir:
�h � �+� , !� �+ � &' G1� � . 1I !� @ � _ln�1 � �� �0.0330121 � � 0.5112416�
Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:}
lim'Vv�+ � 2
Que es justamente le valor de � para una barra Libre - Empotrada de inercias
constante, cuya longitud de pandeo es �h � 2�
Tabla 2.10: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra Libre - Empotrada no prismática
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ #### 8.92 4.90 3.55 2.87 2.47 2.19 2.00 1.85 1.74 1.65 1.58 1.52 1.46 1.42 1.38
β 2.00 2.11 2.25 2.37 2.48 2.57 2.65 2.72 2.78 2.82 2.85 2.88 2.89 2.90 2.90 2.90
(Ec. 2.129)
(Ec. 2.130)
(Ec. 2.132)
(Ec. 2.131)
(Ec. 2.133)
(Ec. 2.128)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
38
(Ec. 2.138)
2.5. COLUMAN DE INERCIA VARIABLE BIEMPOTRADA
Figura 2.12: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus extremos
Análisis estático
Momento externo: cd�e � , · -��� . c� . ¡�� . �� Momento interno: cge � .)�� ���� · -"���
Igualando ambos momentos se consigue la siguiente ecuación de equilibrio:
)�� ���� -" � , · -��� . c� . ¡�� . �� � 0
Haciendo el cambio de variable �� � 12 Y operando de igual forma que en el caso de una barra biarticulada, se obtiene la
siguiente ecuación:
-"�5� � :���-�5� . c�:���, . ¡:���, �� . �� � 0 !� :� � ,)��
(Ec. 2.136)
(Ec. 2.137)
(Ec. 2.135)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
39
(Ec. 2.141)
(Ec. 2.147)
(Ec. 2.144)
(Ec. 2.145)
(Ec. 2.146)
Ecuación diferencial con una solución general del tipo:
-��� � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � c�, � ¡, �� . �� !� @ � D4:�� 6� . 14
Las condiciones de contorno para el problema planteado son:
-��� � 0 ; -�� � �� � ∆ ; -´��� � 0 ; -´�� � �� � 0 De la primera condición, se tiene que:
-��� � 0 � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ¢#7 � £7 �� . �� Aplicando ln �� � 0 se tiene:
-��� � 0 � L= sin�0� � A cos�0�M � ¢#7 , !� sin�0� � 0 - cos�0� � 1
-��� � 0 � A �c�, P A � .¢#7
De la tercera condición y considerando A � .¢#7 se tiene:
La primera derivada (con ayuda de MathCad) es:
-´��� � =, sin �@ ln �� . c� cos �@ ln �� � 2c�@ sin �@ ln �� � 2¡�F�� � 2=,@ cos �@ ln ��2,�F��
Luego
-´��� � 0 � =, sin �@ ln �� .c� cos �@ ln �� � 2c�@ sin �@ ln �� � 2¡�F�� � 2=,@ cos �@ ln ��2,�F��
=jkl ��3! ln�1� � 0 se tiene:
-´��� � 0 � =, sin�0� . c� cos�0� � 2c�@ sin�0� � 2¡� � 2=,@ cos�0�2,�
-´��� � 0 � .c� � 2¡� � 2=,@2,� �jkl ��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1
P = � c� . 2¡� 2,@
(Ec. 2.139)
(Ec. 2.140)
(Ec. 2.142)
(Ec. 2.143)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
40
(Ec. 2.150)
(Ec. 2.151)
(Ec. 2.152)
(Ec. 2.153)
De las ecuaciones 2.143 y 2.147 se deduce que cuando la carga axial
compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de
expresión:
-��� � F�� G�¢#��£� �7� sin �@ ln �� . ¢#7 cos �@ ln ��I � ¢#7 � £7 �� . �� Y sus derivabas:
-´��� � �c� . 2¡� � 4c�@�� sin �@ ln �� � 4¡�@F�� . 4=,@ cos �@ ln ��4,�@F��
-"��� � �4@� � 1� G2c�@ cos �@ ln �� .c� sin �@ ln �� � 2¡� sin �@ ln ��I8,��@ ���T�
Carga de pandeo
-�� � �� � 0 � D� � �� s4c� . 2¡� 2,@ 6 sin 4@ ln � � �� 6 .c�, cos 4@ ln � � �� 6t � c�, � ¡, �� � � . �� ¤O��3! � � �� , O1 ¥l1�1: -�� � �� � 0 � D1 � �� s4c� . 2¡� 2,@ 6 sin�@ ln�1 � ��� . c�, cos�@ ln�1 � ���t � c�, � ¡, ���
Aplicando la cuarta condición de contorno, se obtiene:
-´�� � �� � 0 � c� sin �@ ln � � �� . 2¡� sin �@ ln � � �� � 4c�@� sin �@ ln � � �� � 4¡�@F� � �� . 4=,@ cos �@ ln � � ��
4,�@F� � ��
¤O��3! � � �� se tiene:
c� sin�@ ln�1 � ��� . 2¡� sin�@ ln�1 � ��� � 4c�@� sin�@ ln�1 � ��� � 4¡�@Q1 � �. 4=,@ cos�@ ln ln�1 � ��� � 0
Así se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, c� y ¡ tenemos
las siguientes condiciones para que el sistema tenga solución no trivial:
sin �@ ln�1 � ��2 � � 0
(Ec. 2.148)
(Ec. 2.149)
(Ec. 2.154)
(Ec. 2.155)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
41
(Ec. 2.156)
(Ec. 2.164)
(Ec. 2.162)
(Ec. 2.163)
R��4@� . 1�4@ S cos �@ ln�1 � ��2 � . �� � 2� sin �@ ln�1 � ��2 � � 0
La primera entrega la carga de pandeo simétrica y la segunda la carga de
pandeo antisimétrica. Es sabido que la carga de pandeo simétrica es menor que la
antisimétrica. Por lo cual se determinará la carga de pandeo simétrica para dar solución
a este problema.
sin �@ ln�1 � ��2 � � 0
@ ln�1 � ��2 � �_ !� � � 1,2,3…
La carga de pandeo se obtiene para � � 1
@ � 2_ln�1 � �� Igualando a la expresión conocida para @ :
@ � D4:�� 6� . 14 � 2_ln�1 � �� Y despejando ::
: � DL16_� � ln��1 � ��M��4�� ln��1 � ��
Sabemos que
:� � ,)��
Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:
,WX � �L16_� � ln��1 � ��M��4�� ln��1 � �� �)���� Es decir:
,WX � Y)���� !� Y � �� R16_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S Calculando el límite de m cuando � tiende a cero (barra de inercia constante) lim'VvY � 4_�
(Ec. 2.160)
(Ec. 2.161)
(Ec. 2.159)
(Ec. 2.158)
(Ec. 2.157)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
42
(Ec. 2.165)
La carga de pandeo queda:
,WX � 4_�)����
Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Biempotrada
con inercia constante ��.
Tabla 2.11: Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
m 39.4 47.5 55.8 64.4 73.2 82.4 91.8 101.4 111.3 121.4 131.8 142.4 153.2 164.3 175.6 187.1
Longitud de pandeo
Recordando que la longitud de pandeo, �h, de una pieza ideal coincide con la
distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener
dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la
deformada de la barra.
A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del
Programa MathCad (ver figura 2.13), en donde se han supuesto valores para las
constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir
lo siguiente:
- La grafica es del tipo sinusoidal
- La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la
grafica en el sentido vertical
- El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión
aumente a medida que se avanza por el eje x.
- La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente £7
- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
43
(Ec. 2.166)
Figura 2.13: Deformada de la Barra de inercia Variable Biempotrada
en sus extremos.
Para obtener los puntos de inflexión se tiene que:
-"��� � 0 � �4@� � 1� G2c�@ cos �@ ln �� .c� sin �@ ln �� � 2¡� sin �@ ln ��I8,��@ ���T�
Como � o 0 - � o 0 resulta: 2c�@ cos �@ ln �� . c� sin �@ ln �� � 2¡� sin �@ ln �� � 0
tan �@ ln �� � 2@c�c� . 2¡�
(Ec. 2.167)
(Ec. 2.168)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
44
(Ec. 2.172)
(Ec. 2.170)
(Ec. 2.171)
(Ec. 2.173)
(Ec. 2.174)
Resolviendo para �:
� � �1¦�����4 ��¢#¢#��£�6��� § � �� 1¦�����4� ��¢#¢#��£�6��� §
La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de � entre � - � � 1 en el entorno del intervalo � { L�, � � �M siendo para este caso � �.1 - � � 0:
�l � � 0: V �v � �' 1¨�����4 (�©#©#�(ª#6� «
�l � � 1: V �& � �' 1¨�����4 (�©#©#�(ª#6$ � «
Así,
�h � ∆� � �& . �v � �� 1¦�����4 ��¢#¢#��£�6��� § . �� 1¦�����4 ��¢#¢#��£�6� §
P �h � �' s1� � . 1t 1¨�����4 (�©#©#�(ª#6� «
Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de
ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez (�) también sea variable y
dependiente de �, es decir:
�h � �+� , !� �+ � &' G1� � . 1I 1¨�����4 (�©#©#�(ª#6� « - @ � �����&�'� Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:
lim'Vv �+ � &�
Que es justamente le valor de � para una barra Biempotrada de inercia
constante, cuya longitud de pandeo es �h � �/2
Tabla 2.12: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra Biempotrada no prismática
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ #### 34.5 18.7 13.4 10.7 9.1 8.0 7.2 6.6 6.1 5.7 5.4 5.1 4.9 4.7 4.5
β 0.50 0.48 0.46 0.44 0.43 0.41 0.40 0.39 0.38 0.37 0.37 0.36 0.35 0.35 0.34 0.33
(Ec. 2.169)
(Ec. 2.175)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
45
2.6. COLUMNA DE INERCIA VARIABLE BIEMPOTRADA CON POSIBILIDADES
DE DESPLAZAMIENTO LATERAL RALATIVO ENTRE SUS EXTREMOS
Figura 2.14: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus extremos con
posibilidades de desplazamiento relativo entre sus nudos.
Análisis estático
Momento externo: cd�e � , · -��� . c�
Momento interno: cge � .)�� ���� · -"��� Igualando ambos momentos se consigue la siguiente ecuación de equilibrio:
)�� ���� -" � , · -��� . c� � 0
Haciendo el cambio de variable �� � 12 Y operando de igual forma que en el caso de una barra biarticulada, se tiene la
siguiente ecuación
(Ec. 2.176)
(Ec. 2.177)
(Ec. 2.178)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
46
(Ec. 2.182)
(Ec. 2.179)
(Ec. 2.190)
(Ec. 2.183)
(Ec. 2.184)
��-"��� � :���-��� . c�:���, � 0, !� :� � ,)��
Ecuación diferencial con una solución general del tipo:
-��� � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ¢#7 !� @ � F�h�' � . &i Las condiciones de contorno para el problema planteado son:
-��� � 0 ; -�� � �� � ∆ ; -´��� � 0 ; -´�� � �� � 0 De la primera condición, tenemos:
-��� � 0 � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � c�, , NO��3! ln �� � 0
-��� � 0 � L= sin�0� � A cos�0�M � ¢#7 , !� sin�0� � 0 - cos�0� � 1
-��� � 0 � A � ¢#7 P A � .c�,
La primera derivada (con ayuda de MathCad) es:
-´��� � =, sin �@ ln �� . c� cos �@ ln �� � 2c�@ sin �@ ln �� � 2=,@ cos �@ ln ��2,�F��
De la tercera condición y considerando A � .¢#7 se tiene que:
-´��� � 0 � =, sin �@ ln �� .c� cos �@ ln �� � 2c�@ sin �@ ln �� � 2=,@ cos �@ ln ��2,�F��
�jkl ��3! ln�1� � 0
-´��� � 0 � =, sin�0� . c� cos�0� � 2c�@ sin�0� � 2=,@ cos�0�2,� -´��� � 0 � �¢#���7��7� �jkl ��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1
P = � c� 2,@ De las ecuaciones 2.185 y 2.190 se deduce que cuando la carga axial
compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de
expresión:
-��� � F�� sc� 2,@ sin �@ ln �� . c�, cos �@ ln ��t � c�,
(Ec. 2.180)
(Ec. 2.181)
(Ec. 2.185)
(Ec. 2.186)
(Ec. 2.191)
(Ec. 2.187)
(Ec. 2.188)
(Ec. 2.189)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
47
(Ec. 2.197)
(Ec. 2.196)
(Ec. 2.198)
Y sus derivabas:
-´��� � c� sin �@ ln �� �4@� � 1�4,�@F��
-"��� � c��4@� � 1� Gsin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln ��I8,��@ ���T�
Carga de pandeo
Aplicando la segunda condición de contorno
-�� � �� � 0 � c� sin �@ ln � � �� �4@� � 1�4,�@F� � ��
¤O��3! � � �� se tiene:
-�� � �� � 0 � c� sin�@ ln�1 � ��� �4@� � 1�4,�@Q�1 � �� Cuya solución es
sin�@ ln�1 � ��� � 0
@ ln�1 � �� � �_ !� � � 1,2,3…
La carga de pandeo se obtiene para � � 1
@ � _ln�1 � �� Igualando a la expresión conocida para @ :
@ � D4:�� 6� . 14 � _ln�1 � �� Y despejando ::
: � DL4_� � ln��1 � ��M��4�� ln��1 � ��
(Ec. 2.192)
(Ec. 2.193)
(Ec. 2.195)
(Ec. 2.199)
(Ec. 2.200)
(Ec. 2.194)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
48
(Ec. 2.203)
(Ec. 2.202)
(Ec. 2.204)
Sabemos que
:� � ,)��
Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:
,WX � �L4_� � ln��1 � ��M��4�� ln��1 � �� �)���� Es decir:
,WX � Y)���� !� Y � �� R4_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S Calculando el límite de m cuando � tiende a cero (barra de inercia constante)
lim'VvY � _�
La carga de pandeo queda:
,WX � _�)����
Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra biempotrada
con desplazamiento relativo entre sus extremos de inercia constante ��.
Tabla 2.13: Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática con desplazamiento
relativo entre sus extremos
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
m 9.87 11.89 13.99 16.17 18.44 20.79 23.22 25.73 28.31 30.97 33.71 36.52 39.40 42.35 45.38 48.47
Longitud de pandeo
Recordando que la longitud de pandeo, �h, de una pieza ideal coincide con la
distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener
dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la
deformada de la barra.
A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del
Programa MathCad (ver figura 2.12) , en donde se han supuesto valores para las
constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir
lo siguiente:
- La grafica es del tipo sinusoidal
- La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la
grafica en el sentido vertical.
(Ec. 2.201)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
49
(Ec. 2.205)
- El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión
aumente a medida que se avanza por el eje x.
- La curva oscila sobre un eje horizontal con origen ¢#7
- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.
Figura 2.15: Deformada de la Columna de inercia Variable Biempotrada con
desplazamiento relativo entre sus extremos
Para obtener los puntos de inflexión se tiene que
-"��� � 0 � c��4@� � 1� Gsin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln ��I8,��@ ���T�
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
50
(Ec. 2.211)
(Ec. 2.209)
(Ec. 2.212)
(Ec. 2.210)
Como � o 0 - � o 0 tenemos:
sin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln �� � 0
tan �@ ln �� � 2@
Resolviendo para �:
� � �1s������������ t � �� 1s������������ t La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de � entre � - � � 1 en el entorno del intervalo � { L�, � � �M . En este caso tenemos dos puntos
de inflexión, ��& � ��� � .1� - �& � ��� � 1� fuera del intervalo real de la barra y un
punto de inflexión �v � ��� � 0� perteneciente al intervalo real. Esto hace que existan
dos posibles longitudes de pandeo para la barra.
�h& � ∆�& � �v . ��& � �' 1s������(��� t . �' 1s������(��� � t
P �h& � �' �1s������(��� t . 1s������(��� � t�
�h� � ∆�� � �& . �v � �' 1s������(��$ � t . �' 1s������(��� t
P �h� � �� �1s������������ t . 1s���������� t� , Ol1�3! �h� n �h& � �
Es posible suponer que la barra está compuesta por dos barras ficticias tipo
empotrada-libre, cuyos extremos son respectivamente � � � - � � � � �, y el extremo
libre es el punto de inflexión real, �v, para ambas barras. Así se obtiene una longitud de
pandeo para cada barra ficticia, que al ser sumadas, darían la longitud de pandeo de la
barra real, por lo anterior es posible usar la media ponderada de las dos longitudes de
pandeo obtenidas anteriormente, para obtener la longitud de pandeo para la barra real.
�h � �h&��v . �� � �h&L�� � �� . �vM�
�h � �h& ��v . �� � �h& G��� � � . �vI�
�h � �'( �1s������(��� t . 1s������(��� � t� �1s������(��� t . 1� �
��� �1s������������ t . 1s���������� t� ��1 � �� . 1s���������� t�
(Ec. 2.206)
(Ec. 2.207)
(Ec. 2.208)
(Ec. 2.213)
(Ec. 2.214)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
51
Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de
ahusamiento y al igual que el coeficiente de esbeltez (�)
�h � �+�
!� �+ � 1�� �1s���������� t . 1s������������ t� �1s���������� t . 1�� 1�� �1s������������ t . 1s���������� t� ��1 � �� . 1s���������� t�
- @ � _ln�1 � �� Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:
lim'Vv�+ � 1
Que es justamente le valor de � para una barra con desplazamiento relativo
entre sus extremos de inercias constante, cuya longitud de pandeo es �h � �
Tabla 2.14: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra Biempotrada no prismática con
desplazamiento lateral relativo entre sus extremos
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ #### 17.2 9.3 6.7 5.3 4.5 4.0 3.6 3.3 3.1 2.9 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3
β 1.00 1.01 1.03 1.05 1.09 1.12 1.15 1.19 1.22 1.25 1.29 1.32 1.35 1.38 1.42 1.45
(Ec. 2.215)
(Ec. 2.216)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
52
2.7. COLUMNA DE INERCIA VARIABLE EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y
ARTICULADA EN EL OTRO
2.7.1. Caso A: Empotrada – Articulada
Figura 2.16: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y
articulada en el otro.
Análisis estático
Momento externo: cd�e � , · -��� . c � ¡�� . �� Momento interno: cge � .)�� ���� · -"��� Además ¡ � ¢�
Igualando ambos momentos se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio:
)�� ���� -" � , · -��� . c � ¡�� . �� � 0
Haciendo el cambio de variable �� � 12 y operando de la misma forma descrita en
el capitulo anterior resulta la siguiente ecuación diferencial:
-"��� . -´��� � :���-��� . ¢h(�(7 � ¢h(�(�7 �� . �� � 0 !� :� � 78"#
(Ec. 2.217)
(Ec. 2.218)
(Ec. 2.219)
(Ec. 2.220)
(Ec. 2.221)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
53
(Ec. 2.223)
(Ec. 2.222)
(Ec. 2.227)
(Ec. 2.226)
Ecuación diferencial que tiene una solución general del tipo:
-��� � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ¢7 . ¢�7 �� . �� !� @ � D4:�� 6� . 14
Las condiciones de contorno para el problema planteado son: -��� � 0 ; -�� � �� � 0 ; -´��� � 0 ; -´�� � �� � 0 De la primera condición, se tiene:
-��� � 0 � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ¢7 . ¢�7 �� . �� �jkl ��3! ln �� � 0:
-��� � 0 � = sin�0� � A cos�0� �c, , NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1
-��� � 0 � A � ¢7
P A � .c,
Para obtener la constante A, se usará la tercera condición y el valor ya obtenido
para la constante A � .c, :
La primera derivada (con ayuda de MathCad) es:
-´��� � =�, sin �@ ln �� . 2c�F�� . �c !O �@ ln �� � 2�c@ sin �@ ln �� � 2=�,@ !O �@ ln ��2�,�F�� Luego
-´��� � 0 � =�, sin �@ ln �� . 2c�F�� . �c !O �@ ln �� � 2�c@ sin �@ ln �� � 2=�,@ !O �@ ln ��2�,�F�� Aplicando ln �� � 0 se obtine:
-´��� � 0 � =�, sin�0� . 2c� . �c !O�0� � 2�c@ sin�0� � 2=�,@ !O�0�2�,�
Usando sin�0� � 0 - cos�0� � 1, O1 ¥l1�1
-´��� � 0 � .2c� . �c � 2=�,@
P = � 2c� � �c2�,@
(Ec. 2.224)
(Ec. 2.228)
(Ec. 2.229)
(Ec. 2.230)
(Ec. 2.225)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
54
(Ec. 2.232)
(Ec. 2.233)
(Ec. 2.235)
(Ec. 2.236)
(Ec. 2.237)
De las ecuaciones 2.225 y 2.230 se deduce que cuando la carga axial
compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de
expresión:
-��� � F�� R42c� � �c2�,@ 6 sin �@ ln �� .c, cos �@ ln ��S �c, . c�, �� . �� Y sus derivadas son:
-´��� � �4�c@� � �c � 2c�� sin �@ ln �� � 4c�@ !O �@ ln �� . 4c�@F��4�,�@F��
-"��� � c�4@� � 1� G� sin �@ ln �� � 2� sin �@ ln �� . 2�@ !O �@ ln ��I8�,��@ ���T�
Carga de pandeo
Aplicando la segunda condición de contorno
-�� � �� � 0 � D� � �� s42c� � �c2�,@ 6 sin 4@ ln � � �� 6 . c, cos 4@ ln � � �� 6t � c,. c�, �� � � . ��
Usando la siguiente expresión � � ��:
-�� � �� � Q�1 � �� s42c� � �c2�,@ 6 sin�@ ln�1 � ��� . c, cos�@ ln�1 � ���t Como δ o 0, c o 0, , o 0, � o 0, � o 0 y � o 0 la solución de la ecuación
anterior es:
42c� � �c2�,@ 6 sin�@ ln�1 � ��� . c, cos�@ ln�1 � ��� � 0
tan�@ ln�1 � ��� � c,2c� � �c2�,@ � 2�@� � 2�
Reemplazando � � �� tan�@ ln�1 � ��� � 2�@� � 2
(Ec. 2.231)
(Ec. 2.234)
(Ec. 2.236)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
55
Expresión similar al caso A y para la cual se ha obtenido una expresión analítica
aproximada para despejar @ operando de forma similar a la ecuación 2.74 del caso
anterior, se consigue:
Figura 2.17: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.237 por el Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 25
Al resolver la ecuación 2.237 para cada grado de ahusamiento de la viga
empotrada libre, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento
comprendidos entre de 0 a 3
Tabla 2.15: Coeficientes @ para la barra no prismática empotrada en un extremo y articulada en el otro
γ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ 24.64 13.35 9.55 7.63 6.47 5.68 5.12 4.68 4.34 4.07 3.84 3.65 3.49 3.34 3.22
Con estos resultados es posible obtener una ecuación aproximada para @,
ecuación que tendrá la siguiente forma:
@ � _ln�1 � �� �= � � A� (Ec.2.238)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
56
(Ec. 2.247)
(Ec. 2.248)
Remplazando el punto (0.2, 24.642139) en la ecuación 2.238 se obtiene la
constante B en función de A:
24.642139 � _ln�1 � �� �0.2= � A� A � 1.430092 . 0.2=
Remplazando el punto (3, 3.21639) en la ecuación 2.238 y usando la constante
B, se obtiene la constante A:
3.21639 � _ln�1 � �� �3= � 1.430092 . 0.2=� = � .0.00391579
Luego la constante B se obtiene al reemplazar la el valor de la constante A en la
ecuación 2.238:
A � 1.430092 . 0.2�.0.00391579� � 1.4308755
Asi la ecuación 2.238 queda:
@ � _ln�1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755� Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @ � 6.5,
valor semejante al obtenido usando Newton-Rhapson
@ � F�h�' � . &i � ����&�'� �.0.00391579 � � 1.4308755� Y despejando ::
: � ��D _�ln��1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755�� � 14 Se sabe que:
:� � ,)��
Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:
,WX � ��� R _�ln��1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755�� � 14S�)���� Es decir: ,WX � Y 8"#�(
!� Y � �� R _�ln��1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755�� � 14S
(Ec. 2.239)
(Ec. 2.240)
(Ec. 2.241)
(Ec. 2.242)
(Ec. 2.243)
(Ec. 2.244)
(Ec. 2.245)
(Ec. 2.246)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
57
(Ec. 2.249)
Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de
ahusamiento de la barra (�). Tomando límite de M para � tendiendo a cero, que
representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene:
lim'VvY � 20,21
La carga de pandeo queda:
,WX � 20,21)����
Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra empotrada en
un extremo y articulada en el otro con inercia constante ��.
Tabla 2.16: Parámetro m para la barra no prismática empotrada en un extremo y articulada en el otro.
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
m 20.21 24.30 28.54 32.92 37.43 42.08 46.87 51.78 56.82 61.98 67.26 72.65 78.17 83.79 89.53 95.37
Longitud de pandeo
Recordando que la longitud de pandeo, �h, de una pieza ideal coincide con la
distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener
dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la
deformada de la barra.
A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del
Programa MathCad (ver figura 2.18), en donde se han supuesto valores para las
constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir
lo siguiente:
- grafica es del tipo sinusoidal
- La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la
grafica en el sentido vertical
- El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión
aumente a medida que se avanza por el eje x.
- La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente negativa - £7
- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.
(Ec. 2.250)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
58
(Ec. 2.251)
Figura 2.18: Deformada de la Columna de inercia Variable empotrada en un
extremo y articulada en el otro.
Para obtener los puntos de inflexión se tiene que
-"��� � 0 � c�4@� � 1� G� sin �@ ln �� � 2� sin �@ ln �� . 2�@ !O �@ ln ��I8�,��@ ���T�
Como δ o 0 y � o 0 la solución de la ecuación anterior es:
� sin �@ ln �� � 2� sin �@ ln �� . 2�@ !O �@ ln �� � 0
tan �@ ln �� � 2�@2� � � � 2�@�� 2
(Ec. 2.252)
(Ec. 2.253)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
59
(Ec. 2.254)
(Ec. 2.255)
(Ec. 2.257)
(Ec. 2.260)
(Ec. 2.256)
(Ec. 2.258)
Resolviendo para �:
� � �1¦�����4��@���6��@ § � �� 1¦�����4��@���6��@ §
Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, debemos
encontrar � tal que � � � - � � � � k. �l � � 0 V �v � �� 1¦�����4��@���6@ §
�l � � 1: V �& � �� 1¨�����4(�@�$(6$ @ «
Así: �h � ∆� � �& . �v � �� 1¨�����4(�@�$(6$ @ « . �� 1¨�����4(�@�$(6@ «
�h � �� �1 � . 1 1¨�����4(�@�$(6@ «
Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de
ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez (�) también sea variable y
dependiente de �, es decir:
�h � ��� , 3!�31 �� � &� �1 � . 1 1¨�����4(�@�$(6@ « - @ � _ln�1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755�
Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:
lim�Vv�� � 0,7
Que es justamente le valor de � para una barra empotrada en un extremo y
articulada en el otro de inercias constante, cuya longitud de pandeo es �h � 0,7�
Tabla 2.17: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra no prismática empotrada
en un extremo y articulada en el otro.
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ #### 24.64 13.35 9.55 7.63 6.47 5.68 5.12 4.68 4.34 4.07 3.84 3.65 3.49 3.34 3.22
β 0.70 0.72 0.73 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.79 0.80 0.81 0.81 0.82 0.82 0.83 0.83
(Ec. 2.259)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
60
(Ec. 2.261)
2.7.2. Caso A: Articulada – Empotrada
Figura 2.19: Columna de inercia Variable articulada en un extremo y
empotrada en el otro.
Análisis estático
Este caso es similar al caso A, con la única diferencia que la barra esta invertido
y también sus condiciones de contorno.
Así la Ecuación diferencial tiene una solución general del tipo:
-��� � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ¢7 . ¢�7 �� � � . �� !� @ � D4:�� 6� . 14
Las condiciones de contorno son:
-��� � 0 ; -�� � �� � 0 ; -´��� � 0 ; -´�� � �� � 0
(Ec. 2.262)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
61
(Ec. 2.263)
(Ec. 2.264)
(Ec. 2.265)
(Ec. 2.266)
(Ec. 2.267)
(Ec. 2.269)
(Ec. 2.270)
De la primera condición, se tiene:
-��� � 0 � F�� G= sin �@ ln �� � A cos �@ ln ��I � ¢7 . ¢�7 �� � � . �� Aplicando ln �� � 0, se obtiene:
-��� � 0 � = sin�0� � A cos�0� , NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1
-��� � 0 � A
P A � 0
Para obtener la constante A, se usará la segunda condición y el valor ya obtenido
para la constante A � 0 :
-�� � �� � 0 � = sin 4@ ln � � �� 6√� � � �c, . c�, �� � � . � . ��
Usando la siguiente expresión � � ��
-�� � �� � 0 � = sin�@ ln�1 � ���Q�1 � �� � c,
P = � . c , sin�@ ln�1 � ���Q�1 � �� De las ecuaciones 2.264 y 2.267 se deduce que cuando la carga axial
compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de
expresión:
-��� � �. c , sin�@ ln�1 � ���Q�1 � ��� sin �@ ln ��F�� �c, . c�, �� � � . ��
Y sus derivadas son:
-´��� � c� sin�@ ln�1 � ���F��1 � ��� . �c sin �@ ln ��2 . �c@ !O �@ ln ���,� sin�@ ln�1 � ���Q1 � �F��
-"��� � c�4@� � 1� sin �@ ln ��4,�� sin�@ ln�1 � ���Q1 � � ���T�
(Ec. 2.268)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
62
(Ec. 2.272)
(Ec. 2.271)
(Ec. 2.275)
(Ec. 2.273)
(Ec. 2.276)
(Ec. 2.277)
(Ec. 2.278)
Carga de pandeo
Aplicando la cuarta condición de contorno
-´�� � �� � c� sin�@ ln�1 � ���F�� � ���1 � ��� . �c sin �@ ln � � �� 2 . �c@ cos �@ ln � � �� �,� sin�@ ln�1 � ���Q1 � �F� � ��
Usando la siguiente expresión � � ��:
-´�� � �� � c� sin�@ ln�1 � ���Q�1 � ���1 � �� . �c sin�@ ln�1 � ���2 . �c@ cos�@ ln�1 � ����,� sin�@ ln�1 � ���Q1 � �Q1 � �
Como δ o 0, c o 0, , o 0, � o 0, � o 0 y � o 0 la solución de la ecuación anterior
es:
G��1 � �� . ��I sin�@ ln�1 � ��� . �@ cos�@ ln�1 � ��� � 0
tan�@ ln�1 � ��� � �@��1 � �� . �2
Reemplazando � � �� tan�@ ln�1 � ��� � 2�@� � 2
Ecuación trigonométrica idéntica a la del caso A (empotrada articulada). Esto
permite afirmar que la carga de pandeo de una barra articulada-empotrada de inercia
variable es igual a la carga de pandeo de una barra empotrada-articulada de inercia
variable, es decir, la posición relativa de los extremos no influye en la resistencia a
pandeo
Continuando de igual forma que en caso A
@ � _ln�1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755� Igualando a la expresión conocida para @ :
@ � F�h�' � . &i � ����&�'� �.0.00391579 � � 1.4308755� Y despejando ::
: � ��D _�ln��1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755�� � 14
(Ec. 2.274)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
63
(Ec. 2.280)
(Ec. 2.282)
Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:
,WX � ��� R _�ln��1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755�� � 14S�)���� Es decir:
,WX � Y)���� !� Y � �� R _�ln��1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755�� � 14S Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de
ahusamiento de la barra (�). Tomando límite de M para � tendiendo a cero, que
representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene:
lim'VvY � 20,21
La carga de pandeo queda:
,WX � 20,21)����
Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra articulada en
un extremo y empotrada en el otro con inercia constante ��.
Tabla 2.18: Parámetro m para la barra no prismática articulada en un
extremo y empotrada en el otro
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
m 20.21 24.31 28.55 32.93 37.44 42.10 46.88 51.80 56.84 62.00 67.28 72.68 78.19 83.82 89.56 95.41
Longitud de pandeo
Recordando que la longitud de pandeo,�h, de una pieza ideal coincide con la
distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener
dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la
deformada de la barra.
A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del
Programa MathCad (ver figura 2.20), en donde se han supuesto valores para las
constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir
lo siguiente:
- grafica es del tipo sinusoidal
- La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la
grafica en el sentido vertical
(Ec. 2.279)
(Ec. 2.281)
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
64
(Ec. 2.283)
- El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión
aumente a medida que se avanza por el eje x.
- La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente positiva £7
- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.
Figura 2.20: Deformada de la Columna de inercia Variable articulada en un
extremo y empotrada en el otro
. Para obtener los puntos de inflexión se tiene que
-"��� � 0 � c�4@� � 1� sin �@ ln ��4,�� sin�@ ln�1 � ���Q1 � � ���T�
CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA
65
(Ec. 2.286)
(Ec. 2.287)
(Ec. 2.289)
Como δ o 0, c o 0, , o 0, � o 0, � o 0 y � o 0 la solución de la ecuación
anterior es:
sin �@ ln �� � 0
Resolviendo para �:
� � �� 1��� Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, se debe
encontrar � tal que � � � - � � � � �
�l � � 0: V �v � �'
�l � � 1: V �& � �' �1 �
Así,
�h � ∆� � �& . �v � �� �1�� . �� � �� G1�� . 1I Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de
ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez (�) también sea variable y
dependiente de @, es decir:
�h � �'� , 3!�31 �' � &' G1 � . 1I - @ � _ln�1 � �� �.0.00391579 � � 1.4308755�
Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:
lim'Vv�' � 0,7
Que es justamente le valor de � para una barra articulada en un extremo y
empotrada en el otro de inercia constante, cuya longitud de pandeo es �h � 0,7�.
Tabla 2.19: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra no prismática articulada
en un extremo y empotrada en el otro.
γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
δ #### 24.6 13.3 9.6 7.6 6.5 5.7 5.1 4.7 4.3 4.1 3.8 3.7 3.5 3.3 3.2
β 0.70 0.68 0.66 0.65 0.64 0.63 0.61 0.61 0.60 0.59 0.58 0.57 0.57 0.56 0.56 0.55
(Ec. 2.285)
(Ec. 2.284)
(Ec. 2.288)
(Ec. 2.290)
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
66
(Ec. 3.2)
CAPITULO III
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO NO
PRISMATICO
3.1. ANTECEDENTES GENERALES
Hace más de 35 años se desarrollaron varias ayudas de diseño, como las
presentadas por Guldan (1956), y las más conocidas tablas publicadas por la Portlan
Cement Association (PCA) donde se presentan contratantes de rigideces y momentos
de empotramiento de elementos no prismáticos (“Handbook 1958) en dicha publicación
se usan varias hipótesis que permiten simplificar el problema debido a las limitantes
para hacer los cálculos extensivos en esa época. Una de las hipótesis más importantes
fue considerar la variación de la rigidez de las cartelas (lineal o parabólica, según sea el
caso de la geometría a estudiar) en función del momento de inercia principal en flexión,
considerándolo independiente de la sección transversal, lo que se demostró que no es
así (Tena-Colunga 1996)
3.2. MATRIZ DE RIGIDEZ PARA ELEMENTOS NO PRISMÁTICOS
Utilizando el método de las flexibilidades es sencillo dar definición a un elemento
tipo Viga-Columna de sección variable, ya que debido al gran desarrollo que han tenido
las computadoras en los últimos años, es fácil resolver las integrales que definen la
matriz de rigidez
La matriz básica de flexibilidad para elementos bidimensionales de sección
variable sin considerar la deformación por cortante, tiene la siguiente forma (Tena-
Colunga 1996):
��� � ���� 0 00 ��� ��0 �� � Donde: ��� � � � ��� ���
(Ec. 3.1)
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
67
(Ec. 3.3)
(Ec. 3.4)
(Ec. 3.5)
(Ec. 3.6)
��� � � �� ���� ���
�� � � � ���� ��� � ��
� � � � ���� ���
Estos coeficientes de flexibilidad deben ser obtenidos por integración numérica,
por ejemplo aplicando la regla de Simpson.
Figura 3.1: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático
La matriz de rigidez se obtiene invirtiendo la matriz de flexibilidad, sin embargo
resulta más sencillo invertir submatrices de flexibilidad dada la complejidad y
desacoplamiento en los coeficientes de flexibilidad. La matriz de rigidez global en
coordenadas locales de un elemento viga-columna de dos nodos como los mostrados
en las figuras 3.2 se expresan como:
��� � ������ ���������� ������ Figura 3.2: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
68
(Ec. 3.7)
(Ec. 3.8)
(Ec. 3.9)
(Ec. 3.10)
Figura 3.3: Elementos de sección variable más comunes: (a) Sección T;
(b) Sección Rectangular; (c) Sección Circular; (d) Sección Cuadrada
Fuente Publicacion Stiffness Formulation for nonprismatic beam elements, Tena-Colunga 1996
Las submatrices de rigidez se calculan de la siguiente manera (Tena-Colunga
1996):
:
����� � ��� 0 00 ���� ����0 ���� ���� ����� � �!�� 0 00 !���� ����0 !���� ���� ����� � ��� 0 00 ���� !����0 !���� ���� ����� � �����"
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
69
(Ec. 3.11)
(Ec. 3.12)
(Ec. 3.13)
(Ec. 3.14)
(Ec. 3.15)
(Ec. 3.16)
(Ec. 3.17)
(Ec. 3.18)
(Ec. 3.19)
(Ec. 3.20)
(Ec. 3.21)
Donde: �� � �#$$
%&'� � ���� ! ���
���� � #��()*� ���� � #�+,-#��()*�
���� � #++,�-�#�+,.#��()*�
���� � /$$�./���.�/$��,�
���� � /$$�./$��,
���� � ���� 0 ����1
El sistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales es de la forma:
������ ���������� ������ 345�645�67 � 348�648�67 Donde se tiene:
45�6 � 95� 5�:;��< 45�6 � 95� 5�:;��< 48�6 � =8� 8�:>��
? 48�6 � =8� 8�:>��?
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
70
(Ec. 3.22)
(Ec. 3.23)
(Ec. 3.24)
(Ec. 3.25)
3.3. TRANSFORMACIÓN DE RIGIDECES AL CAMBIAR DE SISTEMA DE
COORDENADAS
Una vez obtenidas las matrices de rigidez en coordenadas locales de cada
elemento es necesario transformar esta rigideces a un sistema de coordenadas global,
para luego poder obtener los esfuerzos y deformaciones de cada elemento a partir de
las deformaciones globales de la estructura transformando nuevamente al sistema local
de cada elemento. Por lo tanto es necesario de una matriz de transformación que
permita permutar entre un sistema y otro.
Comenzando con el estudio de la rotación de los ejes en el plano cartesiano,
como ilustra la Fig. 3.4. El sistema coordenado original esta dado por el plano XY, y al
experimentar este sistema una rotación @, con respecto al origen O, pasa a un nuevo
sistema coordenado X’Y’. Si las coordenadas que definen la posición del punto P en el
sistema coordenado original XY (antes de la rotación) se denominan (x,y) y referidas en
el nuevo sistema coordenado X’Y’ (después de la rotación) se denomina (x’,y’) y de la
figura se define como r al segmento recto OP se tiene que a partir de las relaciones
trigonométricas que: A � BC � � cos �; 0 G� H � CI � � sin �; 0 G� A′ � BC′ � � cos �G� H′ � C′I � � sin �G�
Figura 3.4: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
71
(Ec. 3.27)
(Ec. 3.26)
(Ec. 3.28)
(Ec. 3.29)
(Ec. 3.30)
(Ec. 3.32)
(Ec. 3.31)
(Ec. 3.33)
(Ec. 3.34)
A partir de las relaciones trigonométricas se tiene que la ecuación también puede
escribirse como (Anfosi, 1974) A � � cos�; 0 G� � � cos�;� cos�G� ! � sin�;� sin�G� Sustituyendo las ecuaciones 3.24 y 3.25 en la ecuación 3.26 se tiene: A � A ′ cos�;� ! H′ sin�;� De manera análoga, a partir de la ecuación 3.23 se tiene: H � � sin�; 0 G� � � sin�;� sin�G� ! � cos�;� cos�G� Sustituyendo las ecuaciones 3.24 y 3.25 en la ecuación 3.28 se tiene: H � A ′ sin�;� 0 H′ cos�;�
Por lo tanto la transformación de coordenadas de un punto P cualquiera en el
plano como consecuencia de rotar los ejes de referencia un ángulo ; dado, es posible
expresarla a partir de las ecuaciones 3.26 y 3.29 que pueden reescribirse en forma
matricial como:
LAHM � �cos�;� !sin�;�sin�;� cos�;� � 3A′H′7
O escribiendo de manera compacta
4C6 � �N�-�4C′6, PQRP& �N�-� � �cos�;� !sin�;�sin�;� cos�;� � Para el análisis estructuras es más necesario conocer la transformación inversa,
es decir, conociendo la posición del punto P con respecto al sistema rotado (x’,y’) poder
referir ese punto al sistema global (x,y). Esto se logra multiplicando la ecuación 3.30 por
la inversa de la matriz �N�-�: 4C′6 � �N�4C6
A partir de las propiedades para matrices de orden dos, se sabe que (Damy, 1986)
�S� � Ta bc dX H �S�-� � ���-Y� T d !b!c a X Por lo tanto la ecuación_ queda:
�N� � 1cos�;�� 0 sin�;�� � cos�;� sin�;�! sin�;� cos�;� a� � � cos�;� sin�;�! sin�;� cos�;� a�
Con lo que se comprueba que la matriz de transformación en el plano es
ortogonal dado que su inversa es igual a su transpuesta �N�-� � �N�"
A continuación se referirán las propiedades del elemento viga-columna
bidimensional con ejes coincidentes con el plano Y’Z’, según el sistema global de
referencia XZ:
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
72
(Ec. 3.36)
(Ec. 3.35)
(Ec. 3.37)
(Ec. 3.38)
(Ec. 3.39)
(Ec. 3.40)
(Ec. 3.41)
(Ec. 3.42)
A partir del equilibrio se tiene que las fuerzas actuantes en el elemento según el
sistema local 48′6 o según el sistema global 486 tienen las siguientes relaciones: 48′6 � �[�486 486 � �[�"48′6
Y a partir de la ecuación de continuidad en coordenadas locales: 48′6 � ��′�45′6 Además las relaciones entre las deformaciones en el elemento según el sistema
local 45′6 o el golbal 456 estan dadas por: 45′6 � �[�456
Por lo tanto a partir de las ecuaciones 3.37 y 3.38 se llega a: 486 � �[�"��′��[�456 � ���456 \QR ��� � �[�"��′��[� Donde: ���: Matriz de rigidez del elemento según el sistema global de referencia ��′�: Matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales �[�: Matriz de transformación del sistema local al sistema global
De la figura 3.34 se observa que, al rotar el plano YZ al Y’Z’, el eje X permanece
en la misma posición, por lo tanto, los giros y momentos que se aplican en ese plano no
sufren transformación alguna. Entones a partir de la figura y de lo expuesto
anteriormente, se obtiene que:
=8� ′8�:′>��′? � � cos�;� sin�;� 0! sin�;� cos�;� 00 0 1 =
8� 8�:>��?
=8� ′8�:′>��′? � � cos�;� sin�;� 0! sin�;� cos�;� 00 0 1 =
8� 8�:>��?
Por lo que:
]_^ 8� ′8�:′>��′8� ′8�:′>��′a
bc
�deeeef cos�;� sin�;� 0 0 0 0!sin�;� cos�;� 0 0 0 00000
00001000
0cos�;�!sin�;�00sin�;�cos�;�0
0001ghhhhi �
]_^ 8� ′8�:′>��′8� ′8�:′>��′a
bc
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
73
(Ec. 3.43)
(Ec. 3.44)
(Ec. 3.47)
(Ec. 3.46)
(Ec. 3.48)
(Ec. 3.49)
Y es claro que la matriz de transformación �[� &j:
�[� �deeeef cos�;� sin�;� 0 0 0 0!sin�;� cos�;� 0 0 0 00000
00001000
0cos�;�!sin�;�00sin�;�cos�;�0
0001ghhhhi
Escribiendo en forma compacta:
�[� � ��N� �0��0� �N�� PQRP&: �0� � �0 0 00 0 00 0 0 H �N� � � cos�;� sin�;� 0! sin�;� cos�;� 00 0 1 La matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales puede escribirse de la
siguiente forma:
��′� � ���′��� ��′�����′��� ��′���� Donde cada una de las submatrices de rigidez del elemento viga-columna de la
figura 3.33 tiene la siguiente forma:
l�′mno � �C 0 00 S %0 p q
Donde i y j son los subíndices correspondientes a los extremos y A, B, C, D y E
son los respectivos coeficientes de rigidez de cada una de las submatrices y se han
cambiado para fines prácticos. A partir de la ecuación 3.39 se puede decir que:
��� � �[�"l�′mno�[� Por lo que sustituyendo las ecuaciones 3.44 y 3.46 en la ecuación se tiene que
cada submatriz del elemento expresada en coordenadas globales l�mno esta dada por:
l�mno � �C \Qj�; 0 S jrR�; �C 0 S�\Qj;j&R; !% j&R;�C ! S�\Qj;j&R; C \Qj�; 0 SjrR�; % \Qj;!p j&R; p \Qj; q
A modo de aplicación de las formulaciones aquí planteadas, en el anexo C del
presente trabajo se resuelve en una hoja de cálculo MathCad un pórtico de sección
variable.
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
74
(Ec. 3.2)
(Ec. 3.3)
(Ec. 3.4)
(Ec. 3.5)
3.4. RESOLUCION DE LAS INTEGRALES DE FLEXIBILIDAD
A continuación se resolverán las integrales que definen los coeficientes de
flexibilidad para un elemento de sección variable rectangular con ayuda del programa
MathCad, estas integrales pueden ser resueltas para otras formas geométricas,
haciendo los cambios de sección correspondiente, que se traduce en buscar las
funciones que rigen la inercia y el área de la sección.
Anteriormente se indicó que la matriz básica de flexibilidad para elementos
bidimensionales de sección variable sin considerar la deformación por cortante es:
��� � ���� 0 00 ��� ��0 �� � Donde: ��� � � � ��� ���
��� � � �� ���� ���
�� � � � ���� ��� � ��
� � � � ���� ���
Para una sección rectangular similar a la descrita en la figura 3.3b, es posible
definir la siguiente función para la variación de su canto (altura) a medida que se recorre
por su eje longitudinal
Figura 3.5: Elemento de sección rectangular bidimensional no prismático
(Ec. 3.1)
Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático
75
(Ec. 3.50)
(Ec. 3.51)
(Ec. 3.52)
(Ec. 3.53)
(Ec. 3.54)
(Ec. 3.55)
s�t� � s� ! s�1 �1 ! t� 0 s�
Así, para obtener la función del área de la sección rectangular de inercia variable,
basta con multiplicar la ecuación 3.50 por el ancho de la sección (b), obteniéndose:
C�t� � s�t� u � �s� ! s�1 �1 ! t� 0 s�� u
Finalmente al resolver en MathCad la ecuación 3.2, con E constante, se obtiene:
Figura 3.6: resolución en MathCad de la integral definida en ecuación 3.2
Reescribiendo la respuesta, queda:
��� � v PtpC�t��� � 1pus� w s�s� ! s�x ln ws�s�x De igual forma es posible obtener la respuesta de las demás ecuaciones que
definen los coeficientes de flexibilidad para la matriz de la ecuación 3.1,
consiguiéndose:
��� � � �� ���� ��� � ,z��{$z |}{${�~� ! } {${�-{$~� �{�{$ ! {${� ! 2�R }{�{$~�� �� � � � ���� ��� � 612
pus13 } s1s2!s1~2 �1 0 }s1s2~2 ! 2�R }s1s2~� � ��
� � � � ���� ��� � 61pus13 } s1s2!s1~ �1 ! }s1s2~2� Ecuaciones que corresponden exactamente a las entregadas por Tena-Colunga
en su publicación “Stiffness Formulation for nonprismatic beam elements”, 1996
0
L
z1
A z( )
⌠⌡
d asumir h1 h2>, L 0>, L ln h1−( ) ln h2−( )−( )⋅
b h1 h2−( )⋅0
L h1⋅
h1 h2−> 0
L h1⋅
h1 h2−≥∨
L h1⋅
h1 h2−L≥∨if
undefined otherwise
→
Capítulo IV: Conclusiones
76
CAPITULO IV
CONCLUSIONES
1. En el Capítulo III, se han formulado las integrales que expresan cada uno de los
coeficientes de flexibilidad y posterior matriz de rigidez para un elemento no
prismático (sección variable), y con ayuda de las herramientas de cálculo y
computadores existentes en la actualidad, se muestra cómo es posible resolver
estas integrales de manera simple y exacta.
2. Lo desarrollado en el Capítulo II, entrega un análisis sistemático para la obtención
de la deformada para cada uno de los elemento de sección variable estudiados,
ecuación de la cual es posible obtener la carga de pandeo por flexión, mostrando
claramente cuál es la carga critica para el elemento, así como también su coeficiente
de esbeltez y longitud de pandeo, parámetros de gran necesidad e importancia para
los ingenieros a la hora de diseñar estructuras con este tipo de elementos.
3. Queda demostrado que para el estudio del pandeo en barras de sección variable se
requiere del conocimiento de la ley que representa la variación de ciertos valores
estáticos de su sección transversal recata a lo largo de su directriz. Entre los cuales
destaca las funciones matemáticas para el momento de inercia ����, el área de cada
sección ���� y el grado de ahusamiento �.
4. El análisis del pandeo para una barra aislada de inercia variable puede ser abordado
en forma análoga a lo establecido en la teoría clásica para el caso de la barra de
inercia constante.
5. Con el objetivo de buscar resultados en otras metodologías referidas a los
elementos de sección variable que permitan validar las formulaciones de esta tesis,
se ha optado por usar el programa SAP2000 para poder verificar algunos ejemplos a
desarrollar con los planteamientos expuestos en el presente trabajo de titulación. Así
del Anexo A y de sus resultados resumidos en Tabla A.1, puede concluirse que el
software SAP2000 determina correctamente la carga de pandeo para un elemento
cualquiera, y a medida que se aumenta la discretización del elemento (mesh)
modelado, el resultado converge al valor real de la carga critica de pandeo que se
puede obtener de la Ecuación de Euler, para el caso de un elemento de sección
constate. Con esto se da por aprobado este procedimiento para obtener la carga de
pandeo modelando una barra de sección constante en el programa SAP2000, y
procediendo de forma similar, en el anexo B se obtendrá la carga de pandeo para un
Capítulo IV: Conclusiones
77
elementos de sección variable, situación que permitirá comprobar la metodología
propuesta en el Capítulo II del presente trabajo de titulación (ver anexo B).
6. Según lo expuesto en Anexo B y resumido en Tabla B.1, los resultados obtenidos
con la metodología propuesta en este trabajo de titulación, basada en las
formulaciones de Timoshenko & Gere en su libro Theory of Elastic Stability, son
aceptables pues a medida que se aumenta la discretización del elemento modelado
en SAP2000, los resultados del programa convergen al valor de la metodología, al
igual que ocurre con un elemento de sección constante.
7. En el Anexo C, se resuelve un ejercicio de un marco Biempotrado compuesto por
una viga de sección variable y dos pilares de sección constante. Este ejercicio se
desarrolla detalladamente en una hoja de cálculo del programa MathCad, donde es
posible apreciar las ventajas de este programa y la simplicidad en los cálculo de la
metodología propuesta en el Capítulo III del presente trabajo, para la determinación
de los coeficientes de flexibilidad y rigidez, las matrices de rigidez de cada elemento,
la matriz de rigidez global, la ecuación matricial que gobierna el problema, la
obtención del vector desplazamientos para el marco en estudio, la determinación de
los giros y desplazamientos en cada nudo, así como la obtención de las fuerzas y
momentos en cada elemento. En los diagramas de esfuerzos de cada barra es
posible corroborar el equilibrio que existe en cada nodo, lo cual es suficiente para
establecer para que la resolución matricial del problema ha sido correcta.
Bibliografía
78
BIBLIOGRAFIA
1 Argüelles, R 1975. La estructura metálica hoy. Ed. Librería técnica
Ballisco, Madrid
2 Argüelles, R. 1996. Análisis de estructuras: Teoría, problemas y
programas. Ed. Fundación Conde del Valle de Salazar. Madrid
3 Ballio, G y Mazzolani, F.M. 1983. Theory and design of steel
structures. Ed. Chapman and Hall. London
4 Belluzi, o. 1967. Ciencia de la construcción. Ed. Aguilar. Madrid
5 Chen, W.F.; Lui, E. M. 1987. Structural Stability. Theory and
implementation. Ed. Elsevier. New York
6 Cudos, V. y Quinteros, F. 1988. Estructuras metálicas. La pieza
aislada. Inestabilidad. Ed. Elservier. New York
7 Edwards, C.H, Penney, D.E. 2001. Ecuaciones diferenciales. Ed.
Person. México
8 Ermopoulos, J.C; 1999. Buckling of teraped bars under stepped
axial loads. Journal of Structural Engineering. Vol 122
9 Galambos, T.N. 1987. Guide to stability design criteria for metal
structures. Ed. Wiley. New York
10 Lambe, C.G; Tranter, C.J. 1964. Ecuaciones diferenciales: para
ingenieros y científicos. Ed. UTEHA. México
11 Lopez, M.1993. Análisis de segundo orden de pórticos a dos aguas
con elementos de inercia variable. TPFC (ETSIAM, Córdoba)
12 Manual of steel construction. 1986, AISC. Chicago
13 Manual Software SAP2000 v14
<http://www.csiberkeley.com/products_SAP.html>
Bibliografía
79
14 Manual Software MathCad 14
<http://www.ptc.com/products/mathcad/>
15 Rodriguez, N. 1976. Estructuras para grandes claros. Ed. SOP.
UNAM. México
16 Tena – Colunga. 1996. Stiffness Formulation for Nonprismatic
Beam Elements. Journal of structural Engineering. Vol 122
17 Timoshenko, S.P. y Gere, J.M. 1961. Theory of elastic stability. Ed.
McGraw-Hill. New York
18 Wang, C.M.; Wang, C. Y.; Reddy, J.N. 2005. Exact solutions for
buckling of structural member. Ed. CRC Press LLC. Florida
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
80
ANEXO A
CALCULO DE LA CARGA DE PANDEO PARA UN
ELEMENTO DE SECCION CONSTANTE CON EL
PROGRAMA SAP2000
Para realizar este tutorial se desarrollará el siguiente
problema:
• Columna de Acero (E = 2.100.000 kgf/cm^2)
• Condición de sustentación: Empotrada -Libre
• Longitud, L= 300 cm
• Propiedades de la sección: W10x12, A = 22,84 cm2 y
Ixx = 2240 cm^4
• Análisis en 2D (plano X-Z)
1. GENERACIÓN DE LA PLANTILLA PARA TRABAJO
1.1. Click en menú File ���� New Model (Ctrl+N)
1.2. Seleccionar unidades de medida para trabajar 1.3. Seleccionar alguna de las plantilla
predeterminadas que ofrece el programa.
Para modelar la columna del problema existen
varias alternativas (Blank, Grid Only y 2d Template),
esta vez se usará la plantilla grilla (Grid Only), pues es
mas general y se ajusta de mejor forma al problema.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
81
1.4 Configurar Grilla.
La Grilla servirá de referencia para modelar la barra del
problema, para esto se definen 2 líneas en la dirección Z
distantes 300 cm (longitud del elemento a analizar), los demás
valores pueden quedar tal cual vienen en el programa o como
muestra la imagen.
Se crea la red indicada y el programa ofrece dos
ventanas, una del plano XY y otra
de una vista en 3D, dejar sólo una
ventana y hacer click en el botón del
menú vista XZ para que la ventana
muestre el plano XZ.
2. DEFINICION DEL MATERIAL A USAR Click en menú Define ���� Materials Con el botón agregar nuevo material (“Add
New Material”) se ingresa a la ventana de
propiedades de materiales en donde se indica un
nombre para el material (ACERO para este
caso) hay que revisar que el módulo de
elasticidad sea el indicado en el problema
(E=2.100.000 kgf/cm^2), de lo contrario hay que
ingresarlo, verificando que las unidades sean las
correctas.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
82
3. DEFINICION DE LA SECCION A USAR
Define ���� Section Properties ���� Frame Section
Agregar nueva sección
Click en “Add New Property”
Luego sobre “I/W Wide Flange”
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
83
También es posible importar la sección
desde la librería.
Click en “Import New Property”
Seleccionar el tipo de sección a agregar
Click en “I/W Wide
Flange”
indicar el material para este elemento (“ACERO”, creado anteriormente, ver punto 2) y
seleccionar el perfil W10x12 en la lista.
Al hacer click en el botón OK, se abre la ventana con las propiedades del perfil
seleccionado anteriormente.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
84
En el botón Propiedades de la sección (“Section Propertiers”) se pueden revisar
las propiedades de este perfil, como son el área
transversal, momentos de inercia, radio de giro, etc.
Y en el botón “Set Modifier” es posible modificar los factores que alteran las
propiedades del perfil usadas para el análisis
Por defecto todos tienen un valor unitario. En el
problema planteado solo se consideran las
deformaciones por flexión, ignorando las
deformaciones axiales y de corte. Para conseguir
esto, es necesario modificar los factores del corte a
cero e introducir un valor alto en el factor del área
(se usará 100000).
Haciendo click en los botones ok hasta
llegar a la ventana de “Frame
Propertiers” se puede observar que se
ha agregado el perfil W10x12.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
85
4. MODELAMIENTO DE LA BARRA
4.1. Click en el botón Draw Frame/Cable Element
Seleccionar el perfil creado anteriormente para la
barra
Posicionar el puntero en el nudo inicial de la grilla, punto que será el extremo
inicial de la barra, luego mover el puntero hasta el nudo superior, punto que será el
extremo final de la barra.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
86
Y al hacer click en este último punto, el programa genera el elemento barra entre los
puntos seleccionados anteriormente
Luego al hacer click en el icono, “Set
Select Mode”, el puntero cambia al modo
selección
4.2. Condiciones de sustentación
Seleccionar el nudo inferior (0, 0, 0)
En el menú Assign ���� Joint ���� Restraints
hacer click en el icono de empotramiento para dar la condición de columna empotrada
libre que nos indica el problema
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
87
Luego al hacer click en botón OK, se observa que el programa muestra un icono en el
punto seleccionado anteriormente, similar a un cajón que representa la condición de
empotramiento.
5. VISUALIZACIÓN DE LA SECCIÓN INTRODUCIDA
Es posible ver como es el elemento introducido, para esto hay que ir a “Set
Display Option” (Ctrl+E) en el menú y seleccionar el cajo Extrude View
Al hacer click en ok, el programa muestra una
nueva vista del elemento
5.1. Vista 3D
Para visualizar más claramente el elemento modelado, hacer
click en el botón 3D del menú barra de herramientas rápida.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
88
En esta vista es posible rotar libremente el punto de vista y obtener una mejor
visualización (“Rotate 3D view”).
5.2. Realizar ZOOM
Para esto hacer click en botón
“Rubber Band Zoom (F2)” y
seleccionar la zona para aplicar el
zoom.
Asi es posible ver claramente la sección del elemento W modelado.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
89
6. DEFINCION DE CARGAS EXTERNAS
6.1. Carga externa
En el menú Define ���� Load Patterns
Aparece la venta de cargas
Modificar el nombre de la carga a Pcr y
colocar un cero en el coeficiente que
multiplica al peso, así se consigue
despreciar el peso propio del elemento.
Luego al pinchar en “Modify Load Pattern”
se actualiza lo realizado.
6.2. Combinaciones o casos de carga
El menú Define ���� Load Cases
entrega la ventana de las combinaciones de carga que está
considerando el programa para el análisis, y al hacer click en
agregar nueva carga (“Add
New Load Case”)…
Se ingresa a la siguiente ventana, donde es necesario seleccionar Buckling
(pandeo) en el tipo de caso (“Load Case Type”), para indica al programa que analice
el pandeo en el elemento
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
90
A continuación es necesario agregar la carga Pcr a
las cargas a considerar y modificar a dos modos el
número de modos de pandeo a revisar.
Luego de hacer click en OK, hay que eliminar las otras
combinaciones que trae el programa por defecto
dejando solo la combinación creada anteriormente.
6.3. Introducción de la carga externa
Para que el programa pueda hacer el análisis es necesario
introducir una carga unitaria, para esto, hay que seleccionar el
nudo sobre el cual estará aplicada la carga (nudo superior para
este caso).
Luego en Assign ���� Joint Loads ���� Forces
se abre la ventana para las cargas (fuerzas) a
aplicar sobre el nudo seleccionado
Introducir una carga unitaria vertical de gravedad, es
decir el número -1 en la posición Z.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
91
El programa muestra la carga introducida
7. CALCULO Y ANALISIS
7.1. Análisis en el Plano
Es necesario que el análisis se desarrolle solo
en el plano, para lo cual hay que modificar las
opciones de análisis en el menú Analyse ���� Create
Analysis Model
Al hacer click en “Plane Frame”, se le indica al programa
que realice un análisis en el plano, situación que se
expresa dejando activo solo los grados de libertad UX –
UZ – RY
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
92
7.2. Discretización del elemento (MESH)
SAP2000 usa elementos finitos, estos se definen para una barra de nodo a nodo
en forma predeterminada, para verificar y modificar esto en caso de ser necesario, se
debe seleccionar la barra e ir al menú Analyse ���� Frame ���� Automatic Frame Mesh.
Aquí se observan las opciones predeterminadas que se no se modificara por el
momento.
.
7.3. Ejecución del Análisis
Ya se ha indicado todo lo necesario, solo faltando hacer el análisis.
Ir a Menú Analyze ���� Run Analysis (F5)
Aparece la siguiente ventana en donde hay que
hacer click en el botón correr hora (“Run Now”)
El programa realiza el análisis y muestra un
resumen si se marco la opción Alwoys Show
(mostrar siempre) en la ventana anterior.
7.4. Resultados
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
93
Como el análisis realizado busca la carga de pandeo, en la esquina superior
izquierda aparece un valor que el programa denomina “Factor” que es un factor de
amplificación para la carga externa en el primer modo de pandeo del elemento, en
nuestro caso, se ha introducido una carga externa unitaria por lo cual el factor que
entrega el programa es directamente la carga critica del pandeo de Euler para el primer
modo de pandeo del elemento empotrado libre que se ha modelado. Es posible
visualizar más claramente las cargas de pandeo para todos los modos indicados.
Ir a Menú Display ���� Show Tables
buscar la siguiente ruta
Así se consigue una tabla que muestra
los factores de pandeo (Buckling
Factor) para cada modo, como ya se
mención, acertadamente la carga
externa introducida fue unitaria, así los
valores que se observan en la tabla
corresponden a los valores de la carga
de pandeo de esta columna para cada
uno de sus modos analizados, y el
menor de ellos es el valor de la carga
critica de pandeo buscada.
La carga de pandeo obtenida del programa SAP2000 es: 129.893,78 kgf
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
94
8. COMPROBACION DE LOS RESULTADOS
Se sabe que la carga crítica de Euler para una barra Empotrada - Libre se
obtiene de la siguiente ecuación:
��� � ����4�
Para la columna del problema se tiene que:
• E= 2.100.000 kgf/cm2
• L= 300 cm
• A= 22,84 cm2
• I= 2239,325 cm4
Reemplazando en la ecuación anterior, se obtiene que:
��� ��� �2.100.000 kgf
cm� � 2239,325cm�
4�300���� � 128.923,97 "#$
Es fácil apreciar que existe una pequeña diferencia entre el resultado entregado
por SAP2000 y el resultado obtenido teóricamente mediante la ecuación de Euler, esta
diferencia se debe a la discretización que hace el programa SAP2000. Para corroborar
lo anterior, se mostrará como forzar al programa que divida al objeto en más elementos
(una mayor discretización) antes de ejecutar el análisis nuevamente.
Para continuar con el problema se correrá el análisis nuevamente para una
discretización de 2 y 4 partes respectivamente.
ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección
Constante con el Programa SAP2000
95
9. MODIFICACION DE LA DISCRETIZACION DEL ELEMENTO
Esto se consigue indicando un número mínimo de segmentos en la ventana
Frame Automatic Mesh, (revisar punto 7.2 de este anexo).
Al Introducir el valor 2 en la casilla Minimun Number of Segments, y ejecutar el
análisis se obtiene un factor de 128,989.99 kgf
Al Introducir el valor de 4 en la casilla Minimun Number of Segments, y ejecutar
el análisis se obtiene el factor de 128,923.97kgf
Los resultados anteriores se resumen en la siguiente tabla comparativa
Tabla A.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un elemento sección constante
Modelo Sap2000 (kgf) Euler (kgf) Diferencia (%)
A 1 elemento por objeto 129,893.7798 128,923.97 0.75
B 2 elemento por objeto 128,989.9987 128,923.97 0.05
C 4 elemento por objeto 128,928.1958 128,923.97 0.00
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
96
ANEXO B
CALCULO DE LA CARGA DE PANDEO PARA UN ELEMENTO NO PRISMATICO CON EL PROGRAMA SAP2000
A continuación se describirá
como obtener la carga de pandeo para
una barra de sección variable
Empotrada - Libre usando las formulas
entregadas en el Capítulo 1 del presente
trabajo de titulación, y se comprobará
con los resultados que entrega el
programa SAP2000 al modelar un
elemento de sección variable con las
siguientes características y propiedades.
Para realizar esta demostración se
desarrollará el siguiente problema:
• Columna de Acero (E=2.100.000 kgf/cm^2)
• Condición de sustentación: Empotrada - Libre
• Longitud, L=400 cm, a=100cm
• Propiedades de la sección: Rectangular, �� � 20��
• Análisis en el plano (plano X-Z), planteando como hipótesis que la columna esta
arriostrada en su eje débil por lo cual solo pandea en el plano de análisis.
p
1. USANDO LA METODOLOGIA PROPUESTA
1.1. Calculo dimensiones del elemento
Recordando que el análisis a realizar se basa en una relación de inercia
especifica propuesta por Timoshenko, una vez indicada la forma del elemento y las
dimensiones del la sección en el nodo inicial, a, se deben obtener las dimensiones para
el nodo final, a+L.
De la Ley de variación de inercia, se obtiene una relación entre los cantos inicial
y final de la barra.
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
97
�� � �� � �� � ������
12 � ����12 �
�� � ���� � �� � �
��
Así para el nudo final se tiene:
� � � � 400�� � 100�� � 500��
���� � 20�� �500��100���
�� � 58,48��
Se sabe que la Inercia para una sección rectangular respecto a su eje centroidal es:
� � ���12
Así, para el punto inicial a y para el punto final a+L, se tienen las siguientes inercias:
�� � 20��20����12 � 13.333,33��!
���� � 20��58,48����12 � 333.333,33��!
Comprobación:
Para el elemento del problema se tiene un grado de ahusamiento de:
" � � � 400��
100�� � 4
Usando la 2.4 se obtiene:
���� � ��1 � "�� � 13.333,33��!1 � 4�� � 333.333,33��! � #$
En pagina 27, se deduce que la carga de pandeo para una barra de inercia
variable con condiciones de sustentación empotrada-libre, se rige por la ecuación 2.86:
%&' � � (���� �)* � � "� + ,�ln�1 � "� 0.493559 0 0.063707"�� � 1
43
Calculando con ayuda de MathCad el valor m para el valor de " � 4, se tiene que:
� � "� + ,�ln�1 � "� 0.493559 0 0.063707"�� � 1
43 � 7,474
Así, la carga de pandeo para la barra del problema usando la metodología
propuesta en presente trabajo de titulación es:
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
98
%&' � � (���� � 7,474 �2.100.000 kgfcm�� 13.333,33��!�400���� � 1,308,036.77 9:;
2. CALCULANDO CON SAP2000
2.1. Modelamiento de la sección variable
Para modelar una barra se sección variable se procede de igual manera que para
una barra de sección constante (anexo A) salvo que al momento de indicar sección de
la barra (revisar punto 3, Anexo A) se debe proceder de la siguiente:
2.1.1. Creación de las secciones que forman el elemento
En un primer paso se deben crear las secciones extremas de la barra de sección
variable
Como el problema plantea secciones
rectangulares, se puede usar la plantilla de
sección rectangular que entrega el menú
para secciones de hormigón y modificar
sus propiedades según se necesita para
problema a analizar.
Al hacer click sobre el botón sección
rectangular, muestra la siguiente ventana:
Se selecciona el material a usar, que será el material denominado ACERO (ver
pag 81 Anexo A)
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
99
Se cambian los factores de modificación para las propiedades
Y se verifica que las propiedades de la
sección son las obtenidas anteriormente, por
ejemplo el momento de inercia mayor es
exactamente el momento de inercia ��
Como la segunda sección es similar a la sección ya creada, se puede agregar una
sección con las mismas propiedades de
alguna de las secciones ya creadas, en este
caso seleccionar la sección 20/20 y hacer
click sobre el botón add copy property.
Se introducen los nuevos valores de la
sección (nombre y dimensiones)
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
100
Se verifican que los coeficientes de modificación para las propiedades sean los
correspondientes al problema
Se verifican las propiedades de la sección y se
aprecia que existe una pequeña diferencia en el
momento de inercia en SAP2000 respecto al
momento de inercia ����, esto se debe a los
decimales omitidos en el canto final cuyo valor
con 10 decimales es: <=�> � ?@, A@BC?ADEACFG
2.1.2 Creación de la sección variable
El paso siguiente es la creación de la
sección variable y para esto se debe hacer un
click en Add New Property.
Seleccionar Other en Frame Section Property
Type:
Y hacer click sobre Nonprismatic
Aparece la venta de creación de sección variable
en donde hay que definir las secciones iniciales y
finales del elemento a modelar.
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
101
Indicar la sección inicial (20/20), la sección final (58.48/20), como la variación
de sección, la que se desarrollará durante toda la longitud del elemento, por lo que se
usa el valor 1 (100%) dado que el programa permite modelar una barra con mayor
cantidad de secciones, y por último se indica una variación de inercia parabólica ya
que se requiere un moldeamiento lo mas similar al problema para poder comparar la
metodología propuesta. Se hace click en agregar (“Add”) y se carga la configuración
creada.
Nota: al final del anexo se muestra la diferencia que existe al escoger una variación lineal o una variación
parabólica
Luego de clickear los botones Ok hasta llegar a
la ventana de trabajo, hay que seleccionar la
barra y proceder a asignar la sección variable
creada recientemente
Seleccionar la sección creada 20/20_58/20 y hacer
click en ok
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
102
Aparece la sección sobre la barra
Es posible ver la sección de una forma más real, siguiendo el procedimiento planteado
en Punto 5 del Anexo A
Y la vista en 3D queda de la siguiente forma:
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
103
2.2. ANALISIS Y RESULTADO
Luego de proceder con la introducción de cargas y puntos restantes indicados en
Anexo A, se debe ejecutar el análisis de la barra. Considerando la discretización
estándar que trae el programa sap2000 (1 solo elemento por objeto), se obtienen los
siguientes resultados
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
104
Para una discretización de 2 elementos, se obtiene: 1,292,110.58 kgf
Para una discretización 6 elementos, se obtiene: 1,308,551.88 kgf
La siguiente tabla muestra la comparación de los resultados obtenidos en
SAP2000 para diferentes discretizaciones del objeto (barra) respecto al resultado que
entrega la metodología propuesta.
ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000
105
Tabla B.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un
Elemento sección variable (no prismatico)
Modelo Sap2000 (kgf) Metodología (kgf) Diferencia (%)
A 1 elemento por objeto 1,227,991.71 1,308,036.77 6.09
B 2 elemento por objeto 1,292,110.58 1,308,036.77 1.22
C 6 elemento por objeto 1,308,551.88 1,307,658.75 -0.04
2.3. VARIACION LINEAL O VARIACION PARABOLICA.
A continuación se muestran los diferentes resultados que entrega el programa
SAP2000 al modelar un elemento no prismático con una variación de inercia parabólica
o con una variación de inercial lineal.
Tabla B.2: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un elemento
con variación de inercia lineal y otro con variación parabólica
Modelo Sap2000 (kgf)
variación parabólica de
la inercia
Sap2000 (kgf)
variación lineal de la
inercia
Diferencia (%)
A
1 elemento por objeto 1,227,991.7140 1,866,426.51 34.21
B
2 elementos por objeto 1,292,110.5800 1,970,681.49 34.43
C
6 elementos por objeto 1,308,551.8880 2,006,618.30 34.79
Se observa que la diferencia es considerable para este caso de elemento
rectangular Libre - Empotrado (sobre 30%), es decir, al estudiar un elemento no
prismático con variación de inercia lineal como un elemento no prismático con variación
de inercia parabólica (ley de inercia planteada por Timoshenko), se obtiene una carga
critica de pandeo un 30% menor a la carga critica real del elemento en estudio, por lo
tanto la metodología propuesta aborda un diseño por el lado de la seguridad para los
elementos con variación de inercia lineal, que son los elementos de mayor fabricación y
de mayor uso en la construcción debido a su simplicidad y método de fabricación.
EJEMPLO DE APLICACION DEL ANALISIS MATRICIAL DE UN MARCO COMPUESTO POR ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE
(RESUELTO EN EL PROGRAMA MATHCAD)
Obtener los desplazamientos y giros en los nodos, las reacciones en los apoyos, así como loselementos mecánicos y sus diagramas de momento M del marco simple sujeto al sistema de cargasque se indica en la siguiente figura. Todos los elementos son tipo Viga-Columna bidimensionales, cuyaspropiedades se indican a continuación.
modulo elasticidad E 2100:= ton
cm2
elemento 1
ELEMENTOS SECCION RECTANGULAR CONSTANTE
seccion h1 60:=
b1 30:=
longitud L1 300:=
Area de la Sección A1 h1 b1⋅ 1800=:=
Momento de Inercia Mayor de la seccionIx1
b1 h13
⋅
12540000=:=
106
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
CALCULO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
renombre variables Ix Ix1 5.4 105×=:=
L L1 300=:=
A A1 1.8 103×=:=
razE A⋅L
1.26 104×=:=
raax12E Ix⋅
L3504=:=
rabx6 E⋅ Ix⋅
L27.56 104
×=:=
rbax rabx 7.56 104×=:=
r11x4 E⋅ Ix⋅
L1.512 107
×=:=
r22x r11x 1.512 107×=:=
r12x2 E⋅ Ix⋅
L7.56 106
×=:=
r21x r12x 7.56 106×=:=
SUBMATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES Kk11
k21
k12
k22
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
k´11
raz
0
0
0
raax
rabx
0
rabx
r11x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:= k´12
raz−
0
0
0
raax−
rabx−
0
rbax
r12x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k´21
raz−
0
0
0
raax−
rabx−
0
rbax
r12x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
T
:= k´22
raz
0
0
0
raax
rbax−
0
rbax−
r22x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k´11
1.26 104×
0
0
0
504
7.56 104×
0
7.56 104×
1.512 107×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= k´12
1.26− 104×
0
0
0
504−
7.56− 104×
0
7.56 104×
7.56 106×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
k´21
1.26− 104×
0
0
0
504−
7.56 104×
0
7.56− 104×
7.56 106×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= k´22
1.26 104×
0
0
0
504
7.56− 104×
0
7.56− 104×
1.512 107×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
kelem1 stack augment k´11 k´12, ( ) augment k´21 k´22, ( ), ( ):=
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 107
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
kelem1
12600
0
0
12600−
0
0
0
504
75600
0
504−
75600
0
75600
15120000
0
75600−
7560000
12600−
0
0
12600
0
0
0
504−
75600−
0
504
75600−
0
75600
7560000
0
75600−
15120000
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES
α1 90°:=Matriz cambiocoordenadas T
cos α1( )sin α1( )−
0
sin α1( )cos α1( )
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k111 TT k´11⋅ T⋅
504
0
75600−
0
12600
0
75600−
0
15120000
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:= k112 TT k´12⋅ T⋅
504−
0−
75600
0−
12600−
0−
75600−
0
7560000
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
k121 TT k´21⋅ T⋅
504−
0−
75600−
0−
12600−
0
75600
0−
7560000
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:= k122 TT k´22⋅ T⋅
504
0
75600
0
12600
0−
75600
0−
15120000
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
K1 stack augment k111 k112, ( ) augment k121 k122, ( ), ( ):=
K1
504
0
75600−
504−
0−
75600−
0
12600
0
0−
12600−
0
75600−
0
15120000
75600
0−
7560000
504−
0−
75600
504
0
75600
0−
12600−
0−
0
12600
0−
75600−
0
7560000
75600
0−
15120000
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
elemento 1
elemento 2
ELEMENTOS SECCION RECTANGULAR CONSTANTE
seccion h2 50:=
b2 40:=
longitud L2 300:=
Area de la Sección A2 h2 b2⋅ 2000=:=
Momento de Inercia Mayor de la seccionIx2
b2 h23
⋅
12416666.67=:=
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 108
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
CALCULO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
renombre variablesIx Ix2 416666.67=:=
L L2 300=:=
A A2 2000=:=
razE A⋅L
1.4 104×=:=
raax12E Ix⋅
L3388.889=:=
rabx6 E⋅ Ix⋅
L25.833 104
×=:=
rbax rabx 5.833 104×=:=
r11x4 E⋅ Ix⋅
L1.167 107
×=:=
r22x r11x 1.167 107×=:=
r12x2 E⋅ Ix⋅
L5.833 106
×=:=
r21x r12x 5.833 106×=:=
SUBMATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALESK
k11
k21
k12
k22
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
k´11
raz
0
0
0
raax
rabx
0
rabx
r11x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:= k´12
raz−
0
0
0
raax−
rabx−
0
rbax
r12x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k´21
raz−
0
0
0
raax−
rabx−
0
rbax
r12x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
T
:= k´22
raz
0
0
0
raax
rbax−
0
rbax−
r22x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k´11
1.4 104×
0
0
0
388.889
5.833 104×
0
5.833 104×
1.167 107×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= k´12
1.4− 104×
0
0
0
388.889−
5.833− 104×
0
5.833 104×
5.833 106×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
k´21
1.4− 104×
0
0
0
388.889−
5.833 104×
0
5.833− 104×
5.833 106×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= k´22
1.4 104×
0
0
0
388.889
5.833− 104×
0
5.833− 104×
1.167 107×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 109
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
kelem2 stack augment k´11 k´12, ( ) augment k´21 k´22, ( ), ( ):=
kelem2
14000
0
0
14000−
0
0
0
388.888889
58333.333333
0
388.888889−
58333.333333
0
58333.333333
11666666.666667
0
58333.333333−
5833333.333333
14000−
0
0
14000
0
0
0
388.888889−
58333.333333−
0
388.888889
58333.333333−
0
58333.333333
5833333.333333
0
58333.333333−
11666666.666667
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES
α1 90°:=Matriz cambiocoordenadas T
cos α1( )sin α1( )−
0
sin α1( )cos α1( )
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k211 TT k´11⋅ T⋅
388.889
0
58333.333−
0
14000
0
58333.333−
0
11666666.667
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
k212 TT k´12⋅ T⋅
388.889−
0−
58333.333
0−
14000−
0−
58333.333−
0
5833333.333
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
k221 TT k´21⋅ T⋅
388.889−
0−
58333.333−
0−
14000−
0
58333.333
0−
5833333.333
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
k222 TT k´22⋅ T⋅
388.889
0
58333.333
0
14000
0−
58333.333
0−
11666666.667
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
K2 stack augment k211 k212, ( ) augment k221 k222, ( ), ( ):=
K2
388.888889
0
58333.333333−
388.888889−
0−
58333.333333−
0
14000
0
0−
14000−
0
58333.333333−
0
11666666.666667
58333.333333
0−
5833333.333333
388.888889−
0−
58333.333333
388.888889
0
58333.333333
0−
14000−
0−
0
14000
0−
58333.333333−
0
5833333.333333
58333.333333
0−
11666666.666667
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
elemento 2
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 110
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
elemento 3
ELEMENTOS SECCION RECTANGULA VARIABLE
seccion h1 80:=
h2 30:=
b 30:=
longitud L31 300:= L32 200:= L33 300:= Lt L31 L32+ L33+ 800=:=
TRAMO a-b: Seccion Varible de 80cm a 30cm
Lab L31 300=:=
el peralte del alma varia de la siguiente forma
hab z( )h1 h2−
LabLab z−( )⋅ h2+:=
asi el area axial varia segun:
Aab z( ) b hab z( )⋅ flotante 4, 5.0− z⋅ 2400.0+→:=
El momento de inercia
Iab z( )b hab z( )3⋅
12flotante 4, 2.5− 0.1667 z⋅ 80.0−( )3⋅→:=
TRAMO b-c: Seccion Constante de 30cm
Lbc L32 200=:=
Abc h2 b⋅ 1.5 103×=:=
Ibcb h2
3⋅
123.125 105
×=:=
TRAMO c-d: Seccion Variable de 30cm a 80cm
Lcd L33 300=:=
el peralte del tramo varia
hcd z( )h2 h1−
Lcdz Lab− Lbc−( )⋅ h1+:=
asi el area axial varia segun:
Acd z( ) b hcd z( )⋅ flotante 4, 5.0− z⋅ 4900.0+→:=
El momento de inercia
Icd z( )b hcd z( )3⋅
12flotante 4, 2.5− 0.1667 z⋅ 163.3−( )3⋅→:=
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 111
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
Determinacion de los coeficientes de flexibilidad
f 1 1,
0
Labz
1E Aab z( )⋅
⌠⎮⎮⌡
d
Lab
Lab Lbc+
z1
E Abc⋅
⌠⎮⎮⌡
d+
Lab Lbc+
Lab Lbc+ Lcd+
z1
E Acd z( )⋅
⌠⎮⎮⌡
d+ flotante 5, 0.00025032→:=
f 6 6,
0
Labz
1E Iab z( )⋅
⌠⎮⎮⌡
d
Lab
Lab Lbc+
z1
E Ibc⋅
⌠⎮⎮⌡
d+
Lab Lbc+
Lab Lbc+ Lcd+
z1
E Icd z( )⋅
⌠⎮⎮⌡
d+ flotante 5, 0.0000013987→:=
f 2 2,
0
Lab
zz2
E Iab z( )⋅
⌠⎮⎮⎮⌡
d
Lab
Lab Lbc+
zz2
E Ibc⋅
⌠⎮⎮⎮⌡
d+
Lab Lbc+
Lab Lbc+ Lcd+
zz2
E Icd z( )⋅
⌠⎮⎮⎮⌡
d+ flotante 5, 0.36438→:=
f 2 6,
0
Labz
zE Iab z( )⋅
⌠⎮⎮⌡
d
Lab
Lab Lbc+
zz
E Ibc⋅
⌠⎮⎮⌡
d+
Lab Lbc+
Lab Lbc+ Lcd+
zz
E Icd z( )⋅
⌠⎮⎮⌡
d+ flotante 5, 0.00063461→:=
Determinacion de los coeficientes de rigidez
L Lt 800=:=
raz1
f1 1, 3.995 103
×=:=
Detx f2 2, f 6 6, ⋅ f 2 6, ( )2− 1.069 10 7−×=:=
r11xf2 2,
Detx3.408 106
×=:=
r12xf2 6, L⋅ f 2 2, −
Detx1.34 106
×=:=
r22xf6 6, L2
⋅ 2 f2 6, ⋅ L⋅− f 2 2, +
Detx2.284 106
×=:=
raaxr11x r22x+ 2 r12x⋅+
L213.081=:=
rabxr11x r12x+
L5.935 103
×=:=
rbaxr22x r12x+
L4.53 103
×=:=
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 112
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
submatrices de rigidez en coordenadas locales Kk11
k21
k12
k22
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
k11
raz
0
0
0
raax
rabx
0
rabx
r11x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:= k12
raz−
0
0
0
raax−
rabx−
0
rbax
r12x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k21
raz−
0
0
0
raax−
rabx−
0
rbax
r12x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
T
:= k22
raz
0
0
0
raax
rbax−
0
rbax−
r22x
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k11
3.995 103×
0
0
0
13.081
5.935 103×
0
5.935 103×
3.408 106×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= k12
3.995− 103×
0
0
0
13.081−
5.935− 103×
0
4.53 103×
1.34 106×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
k21
3.995− 103×
0
0
0
13.081−
4.53 103×
0
5.935− 103×
1.34 106×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= k22
3.995 103×
0
0
0
13.081
4.53− 103×
0
4.53− 103×
2.284 106×
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
kelem3 stack augment k11 k12, ( ) augment k21 k22, ( ), ( ):=
kelem3
3994.886545
0
0
3994.886545−
0
0
0
13.080709
5934.902983
0
13.080709−
4529.664297
0
5934.902983
3407699.136291
0
5934.902983−
1340223.249969
3994.886545−
0
0
3994.886545
0
0
0
13.080709−
5934.902983−
0
13.080709
4529.664297−
0
4529.664297
1340223.249969
0
4529.664297−
2283508.187899
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
submatrices de rigidez en coordeanas globales
α3 0°:=
cambio coordenadas T
cos α3( )sin α3( )−
0
sin α3( )cos α3( )
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
k311 TT k11⋅ T⋅
3994.887
0
0
0
13.081
5934.903
0
5934.903
3407699.136
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
k312 TT k12⋅ T⋅
3994.887−
0
0
0
13.081−
5934.903−
0
4529.664
1340223.25
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
k321 TT k21⋅ T⋅
3994.887−
0
0
0
13.081−
4529.664
0
5934.903−
1340223.25
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 113
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
k322 TT k22⋅ T⋅
3994.887
0
0
0
13.081
4529.664−
0
4529.664−
2283508.188
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=:=
K3 stack augment k311 k312, ( ) augment k321 k322, ( ), ( ):=
K3
3994.886545
0
0
3994.886545−
0
0
0
13.080709
5934.902983
0
13.080709−
4529.664297
0
5934.902983
3407699.136291
0
5934.902983−
1340223.249969
3994.886545−
0
0
3994.886545
0
0
0
13.080709−
5934.902983−
0
13.080709
4529.664297−
0
4529.664297
1340223.249969
0
4529.664297−
2283508.187899
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
elemento 3
Ensamble de la matriz de rigidez Global
Usando la regla del ensamble, se obtendrá la matriz de rigidez global a partir de las submatricesglobales de rigidez de los elementos que aporten a los nudos 1 y 2:
KGral stack augment k122 k311+ k312, ( ) augment k321 k222 k322+, ( ), ( ):=
KGral
4498.89
0
75600
3994.89−
0
0
0
12613.08
5934.9
0
13.08−
4529.66
75600
5934.9
18527699.14
0
5934.9−
1340223.25
3994.89−
0
0
4383.78
0
58333.33
0
13.08−
5934.9−
0
14013.08
4529.66−
0
4529.66
1340223.25
58333.33
4529.66−
13950174.85
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Las fuerzas externas para cada nudo son:
F1
15
0
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:= F2
15
0
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=F stack F1 F2, ( )
15
0
0
15
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:=
con lo cual, es posible resolver el sistema, obteniendo el siguiente vector de desplazamientos global:
cm
cm
cm/radX lsolve KGral F, ( )
0.07823
0.00025
0.0003−
0.07872
0.00022−
0.0003−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:= cm
cm
cm/rad
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 114
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
a continuacion se generan los vetores de desplazamientos globales para cada nodo:
Δ1 submatrix X 1, 3, 1, 1, ( )
0.078
2.478 10 4−×
2.976− 10 4−×
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
=:=Δa
0
0
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=
Δb
0
0
0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=Δ2 submatrix X 4, 6, 1, 1, ( )
0.079
2.23− 10 4−×
3.007− 10 4−×
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
=:=
la matriz de cambio de coordenadas es:
T α( )
cos α( )
sin α( )−
0
0
0
0
sin α( )
cos α( )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos α( )
sin α( )−
0
0
0
0
sin α( )
cos α( )
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Cálculo de deformacines en coordenalas locales y de elementos Mecánicos
ELEMENTO 1 (nodo inicial: a____nodo final: 1)
U1 stack Δa Δ1, ( )
0
0
0
0.0782
0.0002
0.0003−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:= u1 T α1( ) U1⋅
0
0
0
0.00025
0.07823−
0.0003−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:=
kelem1
12600
0
0
12600−
0
0
0
504
75600
0
504−
75600
0
75600
15120000
0
75600−
7560000
12600−
0
0
12600
0
0
0
504−
75600−
0
504
75600−
0
75600
7560000
0
75600−
15120000
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Ton
Ton
Ton-cmFelem1 kelem1 u1⋅
3.1224−
16.9297
3664.4725
3.1224
16.9297−
1414.4452
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:= Ton
Ton
Ton-cm
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 115
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
ELEMENTO 2 (nodo inial: b___nodo final: 2)
U2 stack Δb Δ2, ( )
0
0
0
0.078717
0.000223−
0.000301−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:= u2 T α1( ) U2⋅
0
0
0
0.000223−
0.078717−
0.000301−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:=
kelem2
14000
0
0
14000−
0
0
0
388.888889
58333.333333
0
388.888889−
58333.333333
0
58333.333333
11666666.666667
0
58333.333333−
5833333.333333
14000−
0
0
14000
0
0
0
388.888889−
58333.333333−
0
388.888889
58333.333333−
0
58333.333333
5833333.333333
0
58333.333333−
11666666.666667
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Ton
Ton
Ton-cmFelem2 kelem2 u2⋅
3.1224
13.0703
2837.6392
3.1224−
13.0703−
1083.4431
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:= Ton
Ton
Ton-cm
ELEMENTO 3 (nodo inicial: 1___nodo final: 2)
U3 stack Δ1 Δ2, ( )
0.07823
0.00025
0.0003−
0.07872
0.00022−
0.0003−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:= u3 T α3( ) U3⋅
0.07823
0.00025
0.0003−
0.07872
0.00022−
0.0003−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:=
kelem3
3994.886545
0
0
3994.886545−
0
0
0
13.080709
5934.902983
0
13.080709−
4529.664297
0
5934.902983
3407699.136291
0
5934.902983−
1340223.249969
3994.886545−
0
0
3994.886545
0
0
0
13.080709−
5934.902983−
0
13.080709
4529.664297−
0
4529.664297
1340223.249969
0
4529.664297−
2283508.187899
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Ton
Ton
Ton-cmFelem3 kelem3 u3⋅
1.9297−
3.1224−
1414.4452−
1.9297
3.1224
1083.4431−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=:= Ton
Ton
Ton-cm
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 116
Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable
Diagrama de cuerpo libre con las fuerzas y momentos en las barras:
Diagramas de momentos flectores (Ton-cm)
Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 117
ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.
118
Tabla C.1: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Biempotrada y Empotrada – Articulada, respectivamente.
ESQUEMA
BIEMPOTRADA EMPOTRADA - ARTICULADA
CARGA CRITICA
DEFORMADA
COEFICIENTE DELTA
LONGITUD DE PANDEO
ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.
119
Tabla C.2: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Articulada – Empotrada y Empotrada – Libre, respectivamente.
ESQUEMA
ARTICULADA - EMPOTRADA EMPOTRADO – LIBRE
CARGA CRITICA
DEFORMADA
COEFICIENTE DELTA
LONGITUD DE PANDEO
ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.
120
Tabla C.3: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Libre – Empotrado y Biarticulado, respectivamente.
ESQUEMA
LIBRE - EMPOTRADO BIARTICULADO
CARGA CRITICA
DEFORMADA
COEFICIENTE DELTA
LONGITUD DE PANDEO
ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.
121
Tabla C.4: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Biempotrada con Desplazamiento Lateral Relativo.
ESQUEMA
BIEMPOTRADO CON DESPLAZAMIENTO LATERAL
CARGA CRITICA
DEFORMADA
COEFICIENTE DELTA
LONGITUD DE PANDEO