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MODELACIÓN POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF), MEDIANTE EL
SOFTWARE ANSYS DEL ELEMENTO PLACA
EDWARD ESTID RUIZ GALEANO
CHRISTIAN CAMILO ARIAS GIRÓN
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD TECNOLÓGICA
INGENIERÍA CIVIL
BOGOTÁ D.C
2019
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MODELACIÓN POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF), MEDIANTE EL
SOFTWARE ANSYS DEL ELEMENTO PLACA
EDWARD ESTID RUIZ GALEANO
CHRISTIAN CAMILO ARIAS GIRÓN
MONOGRAFÍA PARA OPTAR POR EL TITULO DE INGENIERO CIVIL
DIRECTOR DEL PROYECTO DE GRADO
PAULO MARCELO LÓPEZ PALOMINO
INGENIERO CIVIL- MAGISTER EN INGENIERÍA CIVIL ÉNFASIS ESTRUCTURAS DOCENTE DE TIEMPO COMPLETO OCASIONAL
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD TECNOLÓGICA
INGENIERÍA CIVIL
BOGOTÁ D.C
2019
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Nota de aceptación
Firma del Jurado
Firma del Jurado
BOGOTÁ D.C ,2019
4
DEDICATORIA
En las palabras de Sr. Isaac Newton “Si he podido ver un poco más allá que algunos
otros, ha sido por estar parado en hombros de gigantes”. Esta monografía esta
dedica a todas aquellas personas que han hecho de la ingeniería la mejor herramienta
de discernimiento y desarrollo de la sociedad.
5
AGRADECIMIENTOS
Un proyecto sin importar su finalidad u orientación es un conjunto de conocimientos
compartidos por distintas partes, donde se requiere acompañamiento, constancia, y un
gran desempeño de los involucrados; para así generar un producto educativo de
excelente calidad con miras al fortalecimiento de los saberes de la humanidad.
Agradecemos la colaboración de familiares y amigos que nos brindan su cariño e
incondicional compañía durante no solo el camino académico sino también de la vida
misma. De la misma manera a la Universidad Distrital por los años que nos otorgaron
en nuestra formación profesional y personal.
Agradecemos la revisión, seguimiento y conocimiento continúo entregado por nuestro
tutor, El Ingeniero Paulo Marcelo López Palomino, Docente de tiempo completo
ocasional del área de estructuras de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas
– Facultad Tecnológica del Proyecto Curricular de Ingeniería Civil.
Por ultimo a todas aquellas personas e instituciones que de una u otra manera
contribuyeron en la creación y conocimiento requerido para el desarrollo y finalización
de esta producción intelectual.
6
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
RESUMEN
INTRODUCCIÓN
1 OBJETIVOS .......................................................................................................... 18
1.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................... 18
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................... 18
2 MARCO TEÓRICO ............................................................................................... 19
2.1 DESCRIPCIÓN GENERAL ............................................................................ 19
2.2 HISTORIA ...................................................................................................... 19
2.3 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO ................................................. 22
2.3.1 Tipos de Elementos de modelación ......................................................... 23
3 DESARROLLO DEL ELEMENTO VIGA ............................................................... 27
3.1 RIGIDEZ DE LA VIGA .................................................................................... 27
3.1.1 Ejemplo comparativo ............................................................................... 30
4 DESARROLLO DEL ELEMENTO PLACA ............................................................ 34
4.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PLACA A FLEXIÓN .................................... 35
4.1.1 Suposiciones básicas de geometría y deformación ................................. 35
4.1.2 Suposiciones de Kirchhoff ....................................................................... 36
4.1.3 Rotaciones Esfuerzos/Deformaciones ..................................................... 38
4.2 DEDUCCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y ECUACIONES DEL
ELEMENTO PLACA A FLEXIÓN ............................................................................. 39
4.3 ALGUNAS COMPARACIONES NUMÉRICAS DEL ELEMENTO PLACA ...... 44
4.4 SOLUCIÓN POR COMPUTADORA A UN PROBLEMA DE PLACA A
FLEXIÓN .................................................................................................................. 46
4.4.1 Ejemplo .................................................................................................... 47
5 DESARROLLO DE ESFUERZOS PLANOS Y DEFORMACIÓN PLANA
(ECUACIÓN DE RIGIDEZ) .......................................................................................... 50
5.1 EJEMPLO DE ESFUERZOS PLANOS Y DEFORMACIONES PLANAS ....... 51
6 MALLAS APLICADAS A MODELACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS .................. 58
7
6.1 OBTENCIÓN DE LA MALLA. ......................................................................... 59
7 MODELACIÓN DEL ELEMENTO PLACA ............................................................ 61
7.1 MODELO A .................................................................................................... 64
7.1.1 CARGA PUNTUAL, MODELACIÓN EN SAP 2000 (MANUAL DE USO) 64
7.1.2 CARGA PUNTUAL, MODELACIÓN EN ANSYS (MANUAL DE USO) .... 77
Introducción. ....................................................................................................... 77
Consideraciones: ................................................................................................ 77
7.2 MODELO B .................................................................................................... 99
7.2.1 CARGA DISTRIBUIDA, MODELACIÓN EN SAP 2000 ........................... 99
7.3 CARGA DISTRIBUIDA, MODELACIÓN EN ANSYS .................................... 103
8 ANÁLISIS DE RESULTADOS ............................................................................ 109
9 CONCLUSIONES ............................................................................................... 112
10 RECOMENDACIONES ................................................................................... 114
11 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 115
8
LISTA DE FIGURAS
Pág.
Figura 1.Cigüeñal montado en el bloque motor ..................................................... 21
Figura 2. Modelación del cigüeñal ......................................................................... 22
Figura 3. Discretización del cigüeñal ..................................................................... 22
Figura 4. Elemento tipo barra ................................................................................ 23
Figura 5. Forma alternativa del elemento viga. Orientación del Nodo K ............... 24
Figura 6. Elementos Membrana. Triangulares ...................................................... 25
Figura 7. Elementos Membrana. Cuadrados ......................................................... 25
Figura 8. Elementos tipo ladrillo o bloque.............................................................. 26
Figura 9. Elemento viga con desplazamientos nodales positivos, rotaciones, fuerzas y
momentos .............................................................................................................. 28
Figura 10.Sentido de orientación de los momentos flectores y fuerzas cortantes . 28
Figura 11.Curva flexionada de la viga ................................................................... 29
Figura 12. Sección de una chimenea modelada como Elemento Finito (Vista rotada de
45º) (584 vigas y 252 placas planas son los elementos) ....................................... 35
Figura 13.Placa delgada básica que muestra carga transversal y dimensiones ... 36
Figura 14.Corte diferencial de placa de espesor t (a) Antes de ser cargada y (b)
Desplazamientos del punto P después de ser cargada, basada en la teoría de
Kirchhoff ................................................................................................................ 37
Figura 15.Elemento diferencial de una placa con (a) Esfuerzos mostrados en los
bordes de una placa y (b) Diferenciales de momentos y fuerzas .......................... 39
Figura 16.Elemento rectangular placa básico con nodos y grados de libertad...... 40
Figura 17. Comparaciones Numéricas: Formulaciones del Elemento placa cuadrada
.............................................................................................................................. 45
Figura 18.Comparaciones numéricas para una placa cuadrada simplemente
soportada sujeta a la carga central. Formulaciones de elementos triangulares .... 46
Figura 19. Placa de evaluación ............................................................................. 47
Figura 20.Desplazamientos de la placa de ejemplo .............................................. 48
Figura 21. Modelo de elementos viga y placa combinados en el centro de línea de los
elementos .............................................................................................................. 49
Figura 22. Deflexión vertical para una parte del modelo ....................................... 49
Figura 23. Modelo que muestra elementos de viga desplazada para el elemento placa
.............................................................................................................................. 50
Figura 24. Esfuerzos en el plano (a) Placa perforada (b) placa extendida ............ 51
9
Figura 25.Plano de esfuerzos (a) carga horizontal en una presa (b) carga vertical en
un tubo .................................................................................................................. 51
Figura 26. Elemento placa, sujeta a esfuerzos de tensión .................................... 52
Figura 27. Discretización de la placa ..................................................................... 52
Figura 28. Elemento 1 de la placa discretizada ..................................................... 53
Figura 29. Elemento 2 de la placa discretizada ..................................................... 55
Figura 30. Elemento área tipo Shell ...................................................................... 64
Figura 31. Selección del Elemento y sistema de unidades ................................... 65
Figura 32. Asignación de propiedades geométricas .............................................. 66
Figura 33. Definición del material .......................................................................... 67
Figura 34. Definición del material, Concreto 3000Psi ............................................ 67
Figura 35. Definición de las áreas ......................................................................... 68
Figura 36. Elemento área Tipo Shell Thin ............................................................. 68
Figura 37. Elemento área Tipo Shell Thin, característica ...................................... 69
Figura 38. Elemento placa, SAP 2000................................................................... 70
Figura 39. Selección de tipos de apoyos ............................................................... 70
Figura 40. Apoyos Empotrados ............................................................................. 71
Figura 41. Patrón de carga .................................................................................... 72
Figura 42. Carga Puntual (Dirección eje Z, negativo) ............................................ 73
Figura 43. Carga Puntual (Dirección eje Z, negativo) ............................................ 74
Figura 44. División de la placa en elementos finitos .............................................. 74
Figura 45.Analisis de carga ................................................................................... 75
Figura 46. Deformación en función del número de elementos finitos .................... 75
Figura 47. Deformación de una placa de 400 elementos finitos ............................ 76
Figura 48. Análisis de resultados, tabulación de SAP 2000 .................................. 76
Figura 49. Interfase de modelación de ANSYS ..................................................... 78
Figura 50. Interfase Estructural de ANSYS ........................................................... 79
Figura 51. Interfase de requerimientos generales de ANSYS ............................... 80
Figura 52. Interfase de geometría de ANSYS ....................................................... 80
Figura 53.Contorno del elemento .......................................................................... 81
Figura 54.Dimensionamiento del elemento ........................................................... 82
Figura 55.Atributos geométricos ............................................................................ 82
Figura 56.Generación del solido .................................................................... 83
Figura 57.Evaluación de la geometría ................................................................... 83
Figura 58.Aceptación de la geometría ................................................................... 84
Figura 59.Interfase del mallado ............................................................................. 84
Figura 60.Resolución del mallado ......................................................................... 85
Figura 61.Controles de tamaño ............................................................................. 85
Figura 62.Tamaño del elemento ............................................................................ 86
Figura 63.Verificación del mallado ........................................................................ 87
Figura 64.Generación del mallado ........................................................................ 87
10
Figura 65.Visualización del mallado ...................................................................... 88
Figura 66.Verificación del mallado ........................................................................ 88
Figura 67.Interfase de parámetros físicos ............................................................. 89
Figura 68.Vinculación de atributos ........................................................................ 89
Figura 69.Asignación y creación de materiales ..................................................... 90
Figura 70.Validación de materiales ....................................................................... 90
Figura 71.Condiciones de borde o de contorno ..................................................... 91
Figura 72.Designación de apoyos ......................................................................... 91
Figura 73.Asignación de la carga .......................................................................... 92
Figura 74.Punto de origen de la carga .................................................................. 92
Figura 75.Aceptación de la carga .......................................................................... 93
Figura 76.Fijación de los apoyos ........................................................................... 93
Figura 77.Apoyos de tercer grado; empotrados .................................................... 94
Figura 78.Visualización de los apoyos .................................................................. 95
Figura 79.Opciones de solución ............................................................................ 95
Figura 80.Resolver Física...................................................................................... 96
Figura 81.Verificación de los parámetros físicas ................................................... 96
Figura 82.Evaluación estructural ........................................................................... 97
Figura 83.Evaluación estructural ........................................................................... 98
Figura 84.Esfuerzos equivalentes ......................................................................... 98
Figura 85.Esfuerzos equivalentes ......................................................................... 99
Figura 86. Patrón de carga distribuida, SAP 2000 .............................................. 100
Figura 87. Carga de área, uniforme Shell, SAP 2000 ......................................... 100
Figura 88. Configuración de la carga por área, SAP 2000 .................................. 101
Figura 89. Elementos finitos, carga distribuida, SAP 2000 .................................. 101
Figura 90.Deformaciones debido a la carga distribuida, SAP 2000 .................... 102
Figura 91.Esfuerzos debido a la carga distribuida, SAP 2000............................. 102
Figura 92.Definición de carga Distribuida, ANSYS .............................................. 103
Figura 93.Condiciones de borde, carga Distribuida, ANSYS............................... 103
Figura 94.Opciones de solución, ANSYS ............................................................ 104
Figura 95 .Atributos físicos, ANSYS .................................................................... 105
Figura 96 .Fuerzas de reacción, ANSYS ............................................................. 105
Figura 97 .Reacción en los apoyos, ANSYS ....................................................... 106
Figura 98 .Esfuerzos equivalentes, ANSYS ........................................................ 107
Figura 99 .Esfuerzos en los apoyos, ANSYS ...................................................... 107
Figura 100 .Deformación de elemento, ANSYS .................................................. 108
11
LISTA DE ILUSTRACIONES
Pág.
Ilustración 1.Esquema general del Elemento Finito .................................................... 23
Ilustración 2. Viga de ejemplo comparativo ................................................................. 30
Ilustración 3. Viga compuesta de un solo elemento .................................................... 31
Ilustración 4. Reacciones de la viga, método matricial ................................................ 32
Ilustración 5. Elementos de la viga, Método MEF ....................................................... 32
Ilustración 6. Convergencia de los desplazamientos ................................................... 34
Ilustración 7.Discretización adecuada ......................................................................... 59
Ilustración 8.Triangulación del dominio de una superficie ........................................... 60
Ilustración 9.Mallado de elemento solido (3D) ............................................................. 60
Ilustración 10.Placa bajo carga Puntual, Modelo A .................................................... 62
Ilustración 11.Placa bajo carga Distribuida, Modelo B................................................ 63
Ilustración 12. Convergencia de la carga Puntual ..................................................... 111
Ilustración 13. Convergencia de la carga distribuida ................................................. 111
12
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1. Desplazamientos nodales de la viga ............................................................. 33
Tabla 2. Momentos flectores de la viga en los nodos .................................................. 34
Tabla 3. Comparativo de análisis .............................................................................. 110
13
GLOSARIO
ANSYS: (Swanson Analysis System) Es utilizada en la experiencia de elemento finito y
dinámica de fluido computacional. El software se enfoca en la simulación, bajo la teoría
de elemento finito para estructuras y volúmenes para fluidos. (Cubo Perez, 2010)
ASIMETRÍA: Es la carencia de simetría de un elemento u objeto. No existe
correspondencia en cuanto a las dimensiones, las formas y las ubicaciones de diversos
componentes que conforman un todo. (Beltrán, 1998-99)
CONTORNO - CONDICIONES DE FRONTERA: También denominadas en
matemáticas como problemas de valor o condición, de borde o contorno, indican las
soluciones de una ecuación diferencial. Son los parámetros mínimos que se deben
cumplir describir y obtener las soluciones deseadas a un comportamiento. (Logan,
2007)
DEFORMACIÓN: Indica la inconsistencia de un material, objeto o elemento frente a la
imposición de cargas externas, donde dejan su forma natural o habitual. En resistencia
de materiales las deformaciones son desviaciones de un punto con respecto a su
posición original, indicando trasformaciones permanentes o reversibles en cuanto a su
forma. (Vargaz Felix, 2010)
DOMINIO: Es el conjunto de existencia de la función, en términos generales son los
valores para los cuales la función está definida. Además, considera el conjunto de todos
los objetos que puede transformar. (Logan, 2007)
ELEMENTO: Parte del dominio del problema, se define como un segmento de la
geometría que está sujeta al estudio, sus formas típicas se definen como, triangulo o
rectángulo, en 2D o un tetraedro o solido rectangular, en 3D. (Frias Valero, 2004)
14
ENERGÍA POTENCIAL: Es la energía mecánica asociada a la localización de un
cuerpo dentro de un campo de fuerzas o a la existencia de un campo de fuerzas en el
interior de un cuerpo. Esta es una consecuencia de que el sistema de fuerzas que actúa
sobre el mismo sea conservativo. (Periago Esparza, 2011)
ESFUERZO: Aplicación de una fuerza por unidad de área. En análisis estructural nos
referimos a las deformaciones unitarias debido a las cargas que actúan sobre ellos, los
esfuerzos normales son perpendiculares a la cara de análisis. (Periago Esparza, 2011)
GRADO DE LIBERTAD: Número mínimo de coordenadas independientes necesarias
para definir completamente el estado deformado de la estructura en cualquier instante.
(Otero Pereiro, Novo Soto, & Fernandez Salgado, Junio 1997)
MALLA: Se define como la unión de elementos y nodos que se convierte en la
estructura central para el Análisis por Elementos Finitos. (Frias Valero, 2004)
MATRIZ DE RIGIDEZ: El significado físico de la matriz de rigidez indica las fuerzas
unitarias necesarias para producir un desplazamiento unitario. Desde el punto de vista
operativo relaciona los desplazamientos incógnita de una estructura con las fuerzas
conocidas, lo cual permite encontrar las reacciones, esfuerzos internos y tensiones en
cualquier punto de la estructura. (Logan, 2007)
MEF: Acrónimo del término Método de Elementos Finitos, método numérico
ampliamente utilizado para la solución de problemas de Ingeniería y física, dado que
permite resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, las cuales se dificultan
analíticamente o con modelos matemáticos simples. (Beltrán, 1998-99)
MODELACIÓN: Es el proceso mediante el cual se crea una representación o modelo
para investigar la realidad. El modelo científico es un instrumento de la investigación de
carácter material o teórico, creado para reproducir el objeto que se está estudiando.
(Frias Valero, 2004)
15
MODULO DE ELASTICIDAD: También conocido como módulo de Young es un
parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección
en la que se aplica la fuerza axial. Para un material elástico lineal e isotrópico, el módulo
tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión. (Beltrán, 1998-99)
NODO: Es un punto determinado del dominio, posee características de lo localización,
dentro de un plano cartesiano, a menudo, el vértice de muchos elementos, llamado
también como punto nodal. (Beltrán, 1998-99)
TRABAJO VIRTUAL: Es un método utilizado en resistencia de materiales para el
cálculo de desplazamientos reales en estructuras isostáticas e hiperestáticas, y para el
cálculo de incógnitas que no podemos abordar con el equilibrio en estructuras
hiperestáticas. Es un método energético, que indica el trabajo realizado por todas las
fuerzas externas en trabajo interno o energía de deformación. (Logan, 2007)
TEOREMA DE GREEN: Es la relación entre una integral de línea alrededor de una
curva cerrada simple y una doble integral sobre la región plana limitada por la curva.
Este es un caso especial del más general teorema de Stokes. (Beltrán, 1998-99)
16
RESUMEN
El Método de Elementos Finitos (MEF) es un método numérico ampliamente utilizado
para la solución de problemas de Ingeniería y física, dado que permite resolver sistemas
de ecuaciones diferenciales parciales, las cuales se dificultan analíticamente o con
modelos matemáticos simples. Este método se fundamenta en la discretización de un
medio continuo, es decir dividir la estructura de estudio en una serie de subdominios
“Elementos Finitos” con determinadas condiciones de vínculo entre los mismos, con
el fin de generar sistemas lineales, que permitan la evaluación del medio, con la ayuda
de herramientas computacionales, debido a que el número de incógnitas es
directamente proporcional al número de nodos generados en la discretizacion.
En el campo de la Ingeniería Civil es indispensable la determinación de
desplazamientos, deformaciones y esfuerzos que se generan en los distintos elementos
estructurales cuando interactúan con cualquier tipo de excitación externa. Métodos de
análisis como el matricial poseen limitaciones de solución debida a su naturaleza
puramente discreta.
Esta propuesta tiene como fin la generación de bases teóricas y computacionales del
MEF, permitiendo la simulación del Elemento Placa y generación de datos relevantes
en un análisis estructural como son las deformaciones, y esfuerzos producidos en este,
al aplicarle una carga externa. Cabe anotar que la modelación se comparará con el
comportamiento real de tal elemento, tratando de predecir el comportamiento de dicho
elemento.
17
INTRODUCCIÓN
La determinación de las características de resistencia frente a solicitaciones externas de una estructura es de suma importancia, en campos como la Ingeniería Civil, la Aeronáutica, la Mecánica de sólidos, la Mecánica de fluidos y los relacionados con la transferencia de calor entre otros. Mediante las simulaciones se logra una agilización continua en el proceso de ingeniería básica de un proyecto, al reducir la cantidad de prototipos, permitiendo la predicción de las concentraciones de esfuerzos, deformaciones, frecuencias naturales y modos de vibración de las partes específicas de la estructura analizada. La articulación del MEF y del software de modelación permitirá realizar un análisis estructural del Elemento Placa, determinando las características anteriormente mencionadas, teniendo en cuenta que los programas de modelación estructural actuales concentran su desarrollo en los conceptos del MEF es de gran relevancia desarrollar el concepto, su justificación y su adecuada utilización en el campo de estudio para posteriores proyecciones. Debido a que gran parte de los métodos clásicos de análisis estructural se basan en el estudio de elementos propiamente discretos como el caso del análisis matricial, dejando a un lado estructuras de carácter continúo es necesario hondar en las bases teóricas del Método de Elementos Finitos, empleando los conceptos de elasticidad bidimensional desarrollo para tal fin en la primera mitad del siglo XX. Para el desarrollo de la simulación de elemento de estudio es imperante abordar los conceptos fundamentales del MEF, dada la naturaleza del mismo se estimará los errores asociados a los resultados obtenidos en el estudio. Esta modelación y sus fundamentos teóricos brindarán soporte a construcciones futuras en el mismo campo de ejecución estructural, además de ser una guía de conocimiento para aquellos interesados en el área de estructuras en la UD. ¿Con la modelación del Elemento Placa en el software ANSYS, bajo los conceptos del Método de Elementos Finitos (MEF) se logra una predicción adecuada del comportamiento del elemento frente a solicitaciones externas?
18
1 OBJETIVOS
1.1 OBJETIVO GENERAL
Simular el comportamiento del Elemento Placa en el software ANSYS bajo el fundamento del Método de Elementos Finitos (MEF)
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Establecer el tipo de mallado a utilizar en la modelación en ANSYS 17.0
Modelar el elemento placa en SAP 2000
Determinar las deformaciones y esfuerzos que sufre la placa bajo las cargas impuesta en ambos modeladores
Generar un manual de uso e instrucciones para modelación de futuros elementos estructurales en el ambiente de ANSYS 17.0
Comparar resultados entre la modelación por ANSYS y SAP 200 para las dos situaciones del elemento placa.
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2 MARCO TEÓRICO
2.1 DESCRIPCIÓN GENERAL
El método de Elementos Finitos (MEF) o por sus siglas en ingles FEM, es un método
de carácter numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales e integrales,
utilizados en diversos problemas de Ingeniería y física. Se basa en la división de un
cuerpo, estructura u objeto en una serie de subdominios (Elementos Finitos); donde
se cuenta con ecuaciones integrales de cada uno. El conjunto de estos elementos se
llama discretización. Dicha discretización genera (n) elementos; los cuales adquieren
nodos o puntos de interés de adyacencia con los otros elementos, las agrupaciones de
nodos forman elementos, y estos a su vez adquieren un subdominio del campo original.
Finalmente se genera un proceso de mallado para la unión de los elementos generados.
(Vargaz Felix, 2010)
Los cálculos se realizan sobre el mallado; involucrando relaciones de adyacencia entre
los nodos, siendo estos últimos puntos representativos que conforman cada elemento.
Cada nodo cuenta con grados de libertad “Conjunto de Variables o incógnitas definidas
“Dada la complejidad de solución analítica de las ecuaciones generadas es
indispensable del uso de ordenadores para calcular inicialmente los desplazamientos,
luego las deformaciones y tensiones mediante relaciones cinemáticas o constitutivas
de cada elemento y globalmente. El error asociado a este método difiere de la
convergencia generada, es decir; entre mayor sea el número de elementos finitos
generados, mayor será el número de incógnitas desarrolladas pero mayor proximidad
para la solución numérica.
En conclusión, el MEF se basa en la discretización de un continuo con infinitos grados
de libertad transformándolo en un problema discreto con un número de grados de
libertad finitos. Las ventajas de este método con respecto a otros “Diferencias Finitas”,
radica en el tratamiento de geométricas de alta complejidad, la generación de
condiciones generales de borde o contorno, fundamentos teóricos sólidos y la
posibilidad de estimación del error; lo cual genera alta confiabilidad en el mismo.
2.2 HISTORIA
Inicialmente las armaduras se solucionaban por el método de equilibrio en los nodos,
posteriormente Maxwell (1881) desarrollo el método de las secciones “Diagrama de
Maxwell “(Pereiro, 1997), dada la expansión de la construcción con nuevos materiales
como el acero estructural fue necesario la implementación de un método más profundo
para efectos de cálculo. Mohr propuso la aplicación del principio de los
20
desplazamientos virtuales para tales sistemas, uno de los principales problemas
radicaba en el cálculo de los puentes sometidos a cargas en movimiento “Líneas de
influencia”, dado el efecto del movimiento de la carga sobre los esfuerzos. En el diseño
de estructuras es necesario conocer las deflexiones o los desplazamientos en solo
algunas uniones de tal manera se desarrolló el “Teorema de Castigliano”, u otros
métodos para la solución de armaduras o estructuras estáticamente indeterminadas.
De lo anterior se deduce que el MEF no constituye un descubrimiento dentro del campo
de Resistencia de materiales y de la teoría de la elasticidad, si no que sienta sus bases
sobre estos.
Arquímedes utilizo un método similar para determinar el área y volumen de algunos
sólidos, por ejemplo, dividió los objetos en elementos geométricos más sencillos. Esta
fue un aproximación vana al concepto actual del método donde se premisa que “la
energía del sistema, es igual a la suma de la energía de cada elemento”, y para tal
afirmación él necesitaba la definición de derivadas, no concebidas en ese entonces,
sino siglos después (Gallagher, 1975, pág. 78). La primera aparición del método o
concepto del mismo en la Ingeniería Estructural data entre los años 50 al 60; para la
solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en el campo elástico;
durante el año de 1941 se desarrollaron las bases del método con la solución de
problemas bajo el método de trabajo del marco [Hrenikoff], años más tarde Courant
contribuyó con la interpolación polinomial por partes, para subregiones de carácter
triangular en problemas de torsión.
Las ideas básicas del MEF se originaron en el análisis estructural de las Aeronaves.
Para la primera mitad del siglo XX se involucra el método por rigidez directo formulado
y perfeccionado por Turner, dichas matrices aplicadas para armaduras, vigas y otros
elementos. No fue sino hasta 1960 que el término de Elemento Finito fue incorporado
por Clough, utilizado en ese entonces para el análisis de esfuerzos, flujo de fluidos y
transferencia de calor. El primer libro de elementos finitos fue publicado por
Zienkiewicz y Cheng en 1967, donde se abordan temas del campo elástico, plástico y
elásto-plástico en solidos continuos, homogéneos, isotrópicos y aniso trópicos.
Las aplicaciones del MEF son variadas; concentradas en campos como la ingeniería
estructural, resistencia de materiales, mecánica de fluidos, ingeniería nuclear,
electromagnetismo, campos eléctricos, propagación de ondas y conducción de calor
entre muchos más Actualmente existe una infinidad de software de modelación, entre
los más representativos se encuentran: Msc NASTRAN, Msc PATRAN, ANSYS, DYNA
3D Y ABAQUS. Existen instituciones dedicadas plenamente al desarrollo e
implementación del MEF como el Colegio de Aeronáutica, el centro de impacto y la
escuela de Ingeniería Mecánica en Crandfield Inglaterra. Además de organizaciones
del más alto nivel como la NASA, que incorporó dicho método en programas espaciales
21
como “Cosmos” para el análisis de las estructuras de los trasbordadores. (Vargaz Felix,
2010)
En la actualidad existen métodos más avanzados que el MEF como lo es el Método de
Elementos de Contorno (MEC) desarrollado en la década de los 60 con la misma
finalidad, pero cuya principal ventaja radica en la reducción de la magnitud de los datos
a manipular, lo que ocasiona una reducción en la capacidad de almacenamiento y
operación de los ordenadores. La solución por este método se realiza a partir de una
ecuación integral que relacione las variables del contorno.
Un ejemplo claro de la importancia del MEF y su relación con la simulación de un medio
continuo se puede evidenciar en la Ingeniería Naval. Consideremos el estudio y diseño
del cigüeñal (Figura 1), donde se aprecia la complejidad y robustez de la estructura,
casi imposible de solucionar analíticamente. El estudio sobre este elemento permite
predecir las concentraciones de tensiones, deformaciones, frecuencias y los modos de
vibración en puntos específicos de la estructura, además de lograr una agilización en
el proceso de ingeniería básica del proyecto.
Figura 1.Cigüeñal montado en el bloque motor
Fuente: UCA, Universidad de Cádiz
En conclusión, permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más
fácil y económico de modificar que un prototipo de este; no obstante, no deja de ser un
método aproximado dado de las hipótesis de las que parte.
22
Figura 2. Modelación del cigüeñal
Figura 3. Discretización del cigüeñal
Fuente: (Cubo Perez, 2010)
La figura 2 muestra el proceso de modelamiento que se debe realizar en cual sea el
tipo de software empleado, en este caso se uso el CATIA , para posteriormente
discretizar dicho elemento continuo como se representa en la figura 3. Lo anterior
expuesto es una idea basica del estudio a realizar del Elemento Placa mediante el
sftware ANSYS.
2.3 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO
La idea general del MEF como se ha expuesto en los apartados anteriores es la división
de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie
de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el continuo también lo hacen en
23
el elemento, por ende, generar grados de libertad finitos a partir de infinitos; en cualquier
elemento que se desee analizar por este método podemos distinguir lo siguiente
(Ilustración 1)
Ilustración 1.Esquema general del Elemento Finito
Fuente: (Logan, 2007)
2.3.1 Tipos de Elementos de modelación
Los elementos dependen de las restricciones de frontera, tipo de carga y de la
geometría del elemento original.
2.3.1.1 Barra tipo armazón: Se utilizan para modelar torres, puentes y edificios.
Generan tres grados de libertad (𝑢, 𝑣,𝑤) con respecto a los desplazamientos,
y poseen dos nodos. Pueden emplearse en las siguientes situaciones:
La longitud del elemento con respecto a su ancho esta entre 8 y 10 veces
Las uniones del elemento no transmiten momentos
Las fuerzas externas son aplicadas únicamente en los nodos o en las
articulaciones.
Figura 4. Elemento tipo barra
Fuente: (Olmedo Salazar, 2015)
24
2.3.1.2 Elementos de Viga: Este tipo de elemento ofrece resistencia a fuerzas y
momentos, usados para modelar torres de transmisión, puentes y pórticos.
Además, soportan momentos flectores y de torsión.
Los elementos básicos de las vigas son las fuerzas de inercia, los
empotramientos y las cargas intermedia o en los vanos. Poseen 3 nodos
(𝑥, 𝑦, 𝑧) en el campo tridimensional, el nodo con respecto al eje “z” específica
los ejes fuertes o débiles (inercia); la implementación de vigas se hace cuando:
La longitud del elemento es mayor a su ancho.
La sección transversal y sus propiedades son constantes
Poseen la capacidad de transferir momentos
Tiene la capacidad de distribuir de cargas en su longitud
Figura 5. Forma alternativa del elemento viga. Orientación del Nodo K
Fuente: (Olmedo Salazar, 2015)
2.3.1.3 Elemento de membrana: Simulan solidos de poco grosor que no tiene
afectación de esfuerzos normales. Las membranas no tienen grados de libertad
de rotación, pero si los necesarios de traslación. Formado por tres o cuatro
nodos, permitiendo la modelación de redes y tejidos; y son empleados cuando:
El espesor del elemento es muy pequeño comparado con la longitud o
su ancho.
El elemento no tiene ningún esfuerzo normal al grosor.
25
Figura 6. Elementos Membrana. Triangulares
Fuente: (Olmedo Salazar, 2015)
Figura 7. Elementos Membrana. Cuadrados
Fuente: (Olmedo Salazar, 2015)
26
2.3.1.4 Elementos elásticos de dos dimensiones: Se utilizan para analizar objetos
como rodamientos y empaques o estructuras como presas. Poseen grados de
libertad en traslación, mas no en rotación; además de estar formados por tres
o cuatro nodos paralelos al eje YZ. Se emplean cuando. (Se utilizan los mismos
elementos de la figura 6 y 7)
Para modelar la sección transversal de un componente
Dibujar el modelo en el plano YZ
Cuando no existe deformación en el sentido del eje X, pero pueden
existir esfuerzos en dicha dirección, por ejemplo, en el caso de las
presas.
2.3.1.5 Elementos tipo ladrillo o bloque: Empleados para modelar ruedas y aspas de
turbinas (en el caso de los bloques básicos), poseen seis u ocho nodos para
formar caras en 3D. Dichos bloques generan tres grados de libertad de
traslación, pero ninguno de rotación, y se emplean cuando:
Se desea conocer el resultado de esfuerzos alineados al grosor del
elemento
Solo hay fuerzas aplicadas y no momentos
El modelo tiene una fuerza hidrostática aplicada
Figura 8. Elementos tipo ladrillo o bloque
27
Fuente: (Olmedo Salazar, 2015)
2.3.1.6 Elemento tipo placa: Permiten modelar placas automotrices y contenedores de
pared delgada, poseen tres o cuatro nodos. Se pueden emplear grados de
libertad de rotación, desplazamiento, fuerzas nodales, momentos, presión
normal, gravedad, fuerzas centrifugas entre otros, y se emplean cuando:
Relación entre ancho y largo es de 1 a 10
Desplazamientos relativamente pequeños
El elemento permanece plano
Distribución de esfuerzos es lineal
No hay rotación en la dirección normal del elemento
La selección adecuada del tipo de elemento y el método empleado de resolución
incrementan o simplifican generación de resultados claros y confiables.
3 DESARROLLO DEL ELEMENTO VIGA
Se ejemplifica el elemento viga debido a que el comportamiento a nivel estructural, en
comparación con un elemento placa, difiere en sus principios en el análisis
bidimensional que se desarrolla, para ser más claros; un elemento viga se analiza
estructuralmente desde una dimensión, generando reacciones, giros y momentos
torsores, por el contrario una placa se analiza en toda su extensión de área, por lo tanto
el número de fuerzas resultantes será mayor al del análisis de la viga pero con
condiciones estructurales similares. Es por esta razón que se desarrolla inicialmente el
análisis MEF de la viga, para posteriormente extrapolar el mencionado análisis al
elemento placa.
En este capítulo se desarrolla la matriz de rigidez para el elemento viga, esta es la más
común de todos los elementos estructurales como se evidencia en las edificaciones,
puentes, torres, y en muchas otras estructuras. El elemento viga se considera recto y
con una sección transversal constante. Primero deduciremos la matriz de rigidez
usando los principios para la teoría de la una viga simple bajo la determinación de las
funciones de forma y los coeficientes asociados.
Se presenta un ejemplo simple que ilustra el ensamblaje de la matriz de rigidez del
elemento viga con la deducción de la ecuación de la curvatura.
3.1 RIGIDEZ DE LA VIGA
Considerar el elemento viga mostrado en la figura 9. La viga es de longitud L con una
coordenada local axial en el eje 𝑥 y transversal ala coordenada 𝑦. Los desplazamientos
28
transversales a los nodos locales están dados por 𝑑1�̂� y las rotaciones por ∅1̂. Las
fuerzas del nudo local están dadas por 𝑓1�̂� y los momentos flectores por 𝑚1̂ como se
muestra. Inicialmente despreciamos todos los efectos axiales.
Para todos los nodos se debe seguir la siguiente convención de signos:
1. Los momentos son positivos en sentido opuesto a las manecillas del reloj
2. Las rotaciones son positivas en el sentido opuesto de las manecillas del reloj
3. Las fuerzas son positivas en la dirección positiva de 𝑦
4. Los desplazamientos son positivos en el sentido positivo de 𝑦
Figura 9. Elemento viga con desplazamientos nodales positivos, rotaciones, fuerzas y momentos
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
La figura 10 indica la convención de los signos usada en la teoría simple de una viga
para las fuerzas cortantes positivas 𝑣 y los momentos flectores �̂�.
Figura 10.Sentido de orientación de los momentos flectores y fuerzas cortantes
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
29
Cuando la viga se deforma a causa de una carga, dicha deformación puede ser descrita
de forma analítica, como se muestra en la siguiente figura
Figura 11.Curva flexionada de la viga
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
La ecuación de la curvatura permite relacionar el momento con el radio de curvatura
mediante:
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2=𝑀
𝐸𝐼
Resolviendo la ecuación para 𝑀 y sustituyendo el resultado se obtiene
𝑑2
𝑑𝑥2(𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2) = −𝑤(𝑥)
Para la constante 𝐸𝐼 y solo una fuerza nodal y momentos, llegamos a
(𝐸𝐼𝑑4𝑣
𝑑𝑥4) = 0
A continuación, se presenta la matriz de rigidez general del elemento viga (sin
deformación debida al corte transversal)
{
𝑓1𝑦𝑚1
𝑓2𝑦𝑚2
} =𝐸𝐼
𝐿3[
12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2
−126𝐿
−6𝐿2𝐿2
−12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2
12−6𝐿
−6𝐿4𝐿2
]
{
𝑑1𝑦∅1𝑑2𝑦∅2 }
Donde la matriz de rigidez es entonces:
30
𝑘 =
|
|
|
12𝐸𝐼
𝐿36𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿24𝐸𝐼
𝐿−12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
−6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−12𝐸𝐼
𝐿36𝐸𝐼
𝐿2
−6𝐸𝐼
𝐿22𝐸𝐼
𝐿12𝐸𝐼
𝐿3
−6𝐸𝐼
𝐿2
−6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
|
|
|
La forma matricial indica que 𝑘 relaciona las fuerzas transversales y los momentos
flectores con los desplazamientos transversales y rotaciones, sin embrago los efectos
axiales son despreciables.
3.1.1 Ejemplo comparativo
El siguiente ejemplo busca comparar el método matricial, tradicionalmente utilizado
para el cálculo estructural y el MEF, para la solución de la viga en voladizo propuesta,
para denotar además la convergencia entre ambos en cuanto a la estimación de las
reacciones.
Ilustración 2. Viga de ejemplo comparativo
Fuente: Propia
Inicialmente lo desarrollaremos mediante el método matricial o método directo de matriz
de rigidez, suponemos una inercia constante al igual que el módulo de elasticidad de la
viga. Recordando que en análisis matricial los nodos de cada elemento se presentan
en los apoyos existentes y bajo la teoría de las pequeñas deformaciones con unas de
las hipótesis básicas.
31
Ilustración 3. Viga compuesta de un solo elemento
Fuente: Propia
Se evidencia que existe dos grados de libertad, y se debe al desplazamiento y a la
rotación en el nudo 2 por consiguiente, puesto que el nodo 1 está totalmente restringido,
𝑣1 = ∅1 = 0
Además 𝐸𝐼 es
𝐸𝐼 = 20 ∗ 106 ∗0.3 ∗ 0.43
12= 32000𝑘𝑁 ∗ 𝑚2
El elemento 1-2 matricialmente estaría dado por
{
𝑓12𝑚12
𝑓21𝑚21
} =𝐸𝐼
𝐿3[
⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮⋮
⋮⋮
−12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2
12−6𝐿
−6𝐿4𝐿2
] {
𝑣1∅1𝑣2∅2
}
Reorganizando la matriz ensamblada se tiene
{
−300𝑦1𝑀1
} = [
6000 −12000−12000 320006000−12000
1200016000
] {
𝑣2∅2
𝑣1 = 0∅1 = 0
}
La rotación en el nudo 2 es
[𝑣2∅2] = [
−6000 −12000−12000 32000
]−1
[−300] = [
−0.02−7.5 ∗ 10−3
]𝑚𝑟𝑎𝑑
Finalmente, el vector de fuerzas está dado por
[𝑦1𝑀1] = [
−6000 12000−12000 16000
] [ −0.02−7.5 ∗ 10−3
] = [30120
] 𝑘𝑁𝑘𝑁 ∗ 𝑚
La siguiente ilustración muestra las reacciones del elemento determinadas mediante el
método directo.
32
Ilustración 4. Reacciones de la viga, método matricial
Fuente: Propia
Ahora analizaremos la misma viga, pero desde el punto de vista del Método de
Elemento Finitos. En la ilustración 5 se evidencia la cantidad de elementos que
dispondremos para analizar en comparación con el método anterior, entonces la gran
diferencia entre los mismos, dado que a mayor cantidad de elementos en que se
descomponga la estructura la convergencia del análisis es mayor. En el ejemplo actual
mediante el método directo solo analizamos un elemento, mientras que por MEF
analizamos 4, cabe aclarar que podemos generar muchos más elementos con el fin de
establecer una mayor proximidad a datos más idóneos frente a las solicitaciones, pero
se hace con base a una simple comparación de los métodos.
Ilustración 5. Elementos de la viga, Método MEF
Fuente: Propia
Suponemos inicialmente un elemento finito de un solo elemento, es decir nodo 1 y nodo
5. Partiendo de la afirmación que 𝑑1𝑦 = ∅1 = 0, determinamos los desplazamientos y
rotaciones en el nodo 5, mediante el uso de la función cubica de desplazamiento que
se ha asumido
𝑣 = [2
𝐿3(𝑑1𝑦 − 𝑑2𝑦) +
1
𝐿2(∅1 − ∅2)] 𝑥
3 + [−3
𝐿2(𝑑1𝑦 − 𝑑2𝑦) +
1
𝐿(∅1 − ∅2)] 𝑥
2 + ∅1𝑥 + 𝑑1𝑦
33
𝑣(𝑥) =1
𝐿3(−2𝑥3 + 3𝑥2𝐿)𝑑2𝑦 +
1
𝐿3(𝑥3𝐿 − 𝑥2𝐿2)∅2
Evaluando en 𝑥 = 1𝑚 obtenemos una función de desplazamientos y rotaciones en el
nodo 2, resaltando que los valores de 𝑑5𝑦 y ∅5 , son los obtenidos por el método
matricial por que suponen una solución exacta en el extremo libre de la viga, de igual
manera se alcanza dichos valores por el método de doble integración.
𝑣(1𝑚) =1
43(−2(1)3 + 3(1)2(4))(−0.02) +
1
43((1)3(4) − (1)2(4)2)(−7.5 ∗ 10−3)
𝑣(1𝑚) = 1.718 × 10−3𝑚
De la misma manera se determina los desplazamientos para los nodos restantes. La
siguiente tabla
Tabla 1. Desplazamientos nodales de la viga
Fuente: Propia
El método de elementos finitos permite establecer los momentos en los puntos nodales
a partir de los desplazamientos de dicho elemento.
𝑀 = 𝐸𝐼𝑣𝑛 = 𝐸𝐼𝑑2(𝑁 𝑑)
𝑑𝑥2= 𝐸𝐼
𝑑2(𝑁)
𝑑𝑥2𝑑
Donde 𝑑 nos es una función de 𝑥. En términos de la matriz gradiente 𝑩 tenemos
𝑀 = 𝐸𝐼𝐵𝑑
Donde
𝐵 =𝑑2𝑁
𝑑𝑥2= [(
−6
𝐿2+12𝑥
𝐿3) (−4
𝐿+6𝑥
𝐿2) (6
𝐿2−12𝑥
𝐿3)(−2
𝐿+6𝑥
𝐿2)]
Para una solución simple de un elemento, el momento flector está dado por
𝑀(𝑥) = 𝐸𝐼 [(−6
𝐿2+12𝑥
𝐿3)𝑑1𝑦 + (
−4
𝐿+6𝑥
𝐿2)∅1 + (
6
𝐿2−12𝑥
𝐿3)𝑑5𝑦 + (
−2
𝐿+6𝑥
𝐿2)∅5]
Evaluando el momento en 𝑥 = 0, donde 𝑑1𝑦 = ∅1 = 0 , y con los valores del nodo en el
extremo libre determinamos los momentos de cada nodo
34
𝑀(0) = 32000 [(6
42−12(0)
43) (−0.02) + (
−2
4+6(0)
42) (−7.5 × 10−3)]
𝑀(0) = −120 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
La siguiente tabla muestra los momentos en función de 𝑥 = 0, para cada nodo
Tabla 2. Momentos flectores de la viga en los nodos
Fuente: Propia
La siguiente ilustración muestra la convergencia en la curvatura del elemento, se
evidencia que a mayor número de elementos finitos se disponga la proximidad de los
valores de los desplazamientos será mayor entre los métodos utilizados.
Ilustración 6. Convergencia de los desplazamientos
Fuente: Propia
4 DESARROLLO DEL ELEMENTO PLACA
El elemento placa es uno de los elementos estructurales más importantes y es usado
para modelar y analizar estructuras como entrepisos, losas de cimentación, recipientes
de presión, (Figura 12), y partes de automóviles. Esta descripción de placa es seguida
por una discusión de algunos elementos finitos comúnmente usados como placas.
NODO X (m) M(x)
1 0 -120
2 1 -90
3 2 -60
4 3 -30
5 4 0
35
Figura 12. Sección de una chimenea modelada como Elemento Finito (Vista rotada de 45º) (584 vigas y 252 placas planas son los elementos)
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
4.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PLACA A FLEXIÓN
Una placa puede ser considerada como una extensión de una viga en dos dimensiones.
Vigas y placas ambas soportan cargas transversales o perpendiculares a sus planos a
través de la acción de la flexión. Una placa es delgada (Si esta es curva, esta podría
ser un cascaron). Una viga tiene un momento de resistencia simple a la flexión; mientras
una placa resiste flexión sobre dos ejes y tiene un momento de torsión.
Nosotros podríamos considerar la teoría clásica de placa delgada o teoría de placa de
Kirchhoff. Muchos de las suposiciones de esta teoría son analogías con la teoría clásica
para vigas o teorías de Euler- Bernoulli para vigas.
4.1.1 Suposiciones básicas de geometría y deformación
Empezaremos con la deducción de las ecuaciones básicas de la placa delgada,
considerando la placa en el plano x-y y de espesor t en la dirección del eje z, mostrado
en la figura 17
36
Figura 13.Placa delgada básica que muestra carga transversal y dimensiones
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
Las superficies de la placa son 𝑧 = ±𝑡/2 , y su punto medio esta en 𝑧 = 0. La geometría
básica de la placa asumida es la siguiente: (1) El espesor de la placa es mucho más
pequeña que sus dimensiones b y c (es decir 𝑡 ≪ 𝑏 𝑜 𝑐 ). (Si t es mayor que un décimo
de la extensión dela losa, entonces la deformación transversal de la sección podría
ocurrir para la placa y entonces decimos que es el espesor). (2) La deflexión w es
mucho menor que el espesor t (es decir, 𝑤/𝑡 ≪ 1 ).
4.1.2 Suposiciones de Kirchhoff
Considerar un diferencial de un corte de una franja de la placa, al plano perpendicular
al eje x como se muestra en la figura 14 (a). La deformación lateral causada por la carga
q hacia arriba en la dirección de z, y la deflexión w en el punto P es asumida solamente
en función de X y Y, es decir 𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑦) y la placa no se deforma en la dirección z. se
dibuja una línea a-b perpendicular a la superficie antes de la carga permanente (Figura
14 (b)) Esta es consistente con las siguientes suposiciones de Kirchhoff:
1. Las normales permanecen normales. Esto implica que los esfuerzos cortantes
transversales ϒ𝑦𝑧 = 0 de la misma manera ϒ𝑥𝑧 = 0. Sin embargo ϒ𝑥𝑦 no es igual
a cero, ángulos rectos en el plano de la placa no podrían permanecer restos
después de la carga. La placa puede doblarse en el plano.
2. El cambio del espesor podría despreciarse y no someterse a extensiones
normales. Esto significa deformación normal Ɛ𝑧 = 0.
3. El esfuerzo normal 𝜎𝑧 no tiene efecto sobre las deformaciones Ɛ𝑥 y Ɛ𝑦 en las
ecuaciones de esfuerzo cortante y es considerado despreciable.
37
4. Las fuerzas de membrana o en el plano son despreciables aquí, y la resistencia
a los esfuerzos puede ser superpuesta después (es decir, las deformaciones
permanentes del comportamiento del triángulo del Capítulo 6 pueden ser súper
puestas con la resistencia básica del elemento placa a flexión). Es decir, las
deformaciones en las direcciones x y y son asumidas como cero en la mitad de
la superficie: 𝑢(𝑥, 𝑦, 0) = 0 y 𝑣(𝑥, 𝑦, 0) = 0.
Figura 14.Corte diferencial de placa de espesor t (a) Antes de ser cargada y (b) Desplazamientos del punto P después de ser cargada, basada en la teoría de Kirchhoff
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
Basados en las suposiciones de Kirchhoff, ningún punto P en la figura 18 tiene
desplazamiento en la dirección x debido a una pequeña rotación α
𝒖 = −𝒛𝜶 = −𝒛(𝜹𝒘
𝜹𝒙)
Sucede lo mismo con el punto que tiene desplazamiento en la dirección y
𝒗 = −𝒛(𝜹𝒘
𝜹𝒚)
Las curvaturas de la placa están dadas como la razón de cambio del desplazamiento
angular de las normales y estas están definidas como:
𝑲𝒙 =𝝏𝟐𝒘
𝝏𝒙𝟐 𝑲𝒚 =
𝝏𝟐𝒘
𝝏𝒚𝟐 𝑲𝒙𝒚 =
𝟐𝝏𝟐𝒘
𝝏𝒙𝝏𝒚
38
La primera de las ecuaciones es usada en la teoría de vigas. Usando las definiciones
para las deformaciones en el plano, y las ecuaciones de desplazamiento se obtiene
que:
𝜺𝒙 = −𝒛𝝏𝟐𝒘
𝝏𝒙𝟐 𝜺𝒚 =
𝝏𝟐𝒘
𝝏𝒚𝟐 𝜸𝒙𝒚 = −𝟐𝒛
𝝏𝟐𝒘
𝝏𝒙𝝏𝒚
O usando las ecuaciones de razón de cambio tenemos:
𝜺𝒙 = −𝒛𝑲𝒙 𝜺𝒚 = −𝒛𝑲𝒚 𝜸𝒙𝒚 = −𝒛𝑲𝒙𝒚
La primera de las ecuaciones es usa en la teoría de vigas, las otras son nuevas en la
teoría de placas.
4.1.3 Rotaciones Esfuerzos/Deformaciones
Basados en la tercera suposición anteriormente mencionada, las ecuaciones de
esfuerzos planos pueden ser usadas para relacionar las deformaciones planas para un
material isotrópico así
𝝈𝒙 =𝑬
𝟏 − 𝒗𝟐(𝜺𝒙 + 𝒗𝜺𝒚)
𝝈𝒚 =𝑬
𝟏 − 𝒗𝟐(𝜺𝒚 + 𝒗𝜺𝒙)
𝝉𝒙𝒚 = 𝑮𝜸𝒙𝒚
Los esfuerzos normales y los esfuerzos cortantes en el plano son mostrados en los
bordes de la placa en la figura 15 (a). Similar con la variación en una viga, estos
esfuerzos varían linealmente en la dirección z en la mitad de la superficie de la placa.
Los esfuerzos cortantes transversales 𝜏𝑦𝑧 y 𝜏𝑥𝑧 también están presentes, aunque la
deformación transversal cortante es despreciable. Como en la teoría de vigas, estos
esfuerzos transversales varían cuadráticamente a través del espesor de la placa. Los
esfuerzos de las ecuaciones anteriores pueden ser relacionados con los momentos
flectores 𝑀𝑥 y 𝑀𝑦 y los momentos torsores 𝑀𝑥𝑦 actuando a lo largo de los bordes de la
placa como se muestra en la figura 15(b).
39
Figura 15.Elemento diferencial de una placa con (a) Esfuerzos mostrados en los bordes de una placa y (b) Diferenciales de momentos y fuerzas
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
Los momentos actuantes están en función de 𝑥 y 𝑦 son estimados por unidad de
longitud en el plano de la placa. Por lo tanto, los momentos son:
𝑴𝒙 = ∫ 𝒛𝝈𝒙𝒅𝒛 𝒕/𝟐
−𝒕/𝟐
𝑴𝒚 = ∫ 𝒛𝝈𝒚𝒅𝒛 𝒕/𝟐
−𝒕/𝟐
𝑴𝒙𝒚 = ∫ 𝒛𝝉𝒙𝒚𝒅𝒛 𝒕/𝟐
−𝒕/𝟐
Los momentos pueden ser relacionados con las curvaturas sustituyendo las
deformaciones en las ecuaciones de momentos se obtiene
𝑴𝒙 = 𝑫(𝒌𝒙 + 𝒗𝒌𝒚) 𝑴𝒚 = 𝑫(𝒌𝒚 + 𝒗𝒌𝒙) 𝑴𝒙𝒚 =𝑫(𝟏 − 𝒗)
𝟐𝒌𝒙𝒚
Donde 𝑫 =𝑬𝒕𝟑
[𝟏𝟐(𝟏−𝒗𝟐)] es llamada la rigidez debida a la flexión de la placa.
4.2 DEDUCCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y ECUACIONES DEL ELEMENTO
PLACA A FLEXIÓN
La deducción de la matriz de rigidez se realiza basado en lo desarrollado por Daryl
Logan en su libro sobre el “Primer curso sobre elementos finitos”. En esta sección
introduciremos solo una formulación de elemento, un elemento rectangular básico con
12 grados de libertad, como se muestra en la figura 16.
40
Figura 16.Elemento rectangular placa básico con nodos y grados de libertad
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
La formulación puede desarrollarse consecuentemente con la matriz de rigidez y las
ecuaciones del elemento barra, viga, esfuerzos/ deformaciones planas, asimétricos, y
otros elementos sólidos.
Paso 1. Seleccionar el tipo de elemento
Consideraremos el elemento placa-plana de 12 grados de libertad mostrada en la figura
anterior. Cada nodo tiene tres grados de libertad, un desplazamiento transversal en la
dirección z, una rotación 𝜃𝑥 alrededor del eje 𝑥, y una rotación 𝜃𝑦 sobre el eje 𝑦.
La matriz de desplazamiento nodal, en el nodo i está dado por
{𝑑𝑖} = {
𝑤𝑖𝜃𝑥𝑖𝜃𝑦𝑖
}
Donde las rotaciones se relacionan con el desplazamiento transversal por
𝜽𝒙 = +𝜹𝒘
𝜹𝒚 𝜽𝒚 = −
𝜹𝒘
𝜹𝒙
El signo negativo de 𝜃𝑦 se debe al hecho de un desplazamiento negativo w necesario
para producir una rotación positiva sobre el eje y.
La matriz total desplazamientos está dada por
{𝒅} = {𝒅𝒊 𝒅𝒋 𝒅𝒎 𝒅𝒏}𝑻
Paso 2. Seleccionar la función de desplazamiento
41
Porque hay 12 grados de libertad, para el elemento, seleccionaremos 12 términos
polinomiales en 𝑥 y 𝑦 cómo se presenta:
𝒘 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐𝒙 + 𝒂𝟑𝒚 + 𝒂𝟒𝒙𝟐 + 𝒂𝟓𝒙𝒚 + 𝒂𝟔𝒚
𝟐 + 𝒂𝟕𝒙𝟑 + 𝒂𝟖𝒙
𝟐𝒚 + 𝒂𝟗𝒙𝒚𝟐 + 𝒂𝟏𝟎𝒚
𝟑 + 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟑𝒚
+ 𝒂𝟏𝟐𝒙𝒚𝟑
La ecuación anterior es una función incompleta en el contexto del triángulo de Pascal.
La función está completa hasta el tercer orden (diez términos), y una elección de dos
términos más para los cinco términos restantes para completar la función que debemos
hacer. La mejor elección de términos es 𝒙𝟑𝒚 y 𝒙𝒚𝟑 dado que ellos aseguran que habrá
continuidad en los desplazamientos entre los límites. (Los términos 𝒙𝟒 y 𝒚𝟒 producen
discontinuidad en los desplazamientos a lo largo de los límites de los elementos
interconectados, y deben ser rechazados). La función planteada anteriormente solo
satisface la ecuación básica diferencial del comportamiento a flexión de la placa
delgada, sobre la parte descargada de la misma, aunque no es un requerimiento
mínimo en la aproximación de la energía potencial.
Además, la función permite el movimiento para cuerpos rígidos y esfuerzo constante,
están presentes como términos a tener en cuenta para este fenómeno en una
estructura. Sin embargo, es común que en los límites existan las discontinuidades a lo
largo de las pendientes de los elementos relacionados no se puedan asegurar.
Se puede observar dicha discontinuidad en la esquina, evaluaremos el polinomio en
estas esquinas a lo largo de un lado (es decir, al lado de i-j, del eje 𝑥 de la figura 16),
obtenemos
𝑤 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎4𝑥2 + 𝑎7𝑥
3
𝛿𝑤
𝛿𝑥= 𝑎2 + 2𝑎4𝑥 + 3𝑎7𝑥
2
𝛿𝑤
𝛿𝑦= 𝑎3 + 𝑎5𝑥 + 𝑎8𝑥
2 + 𝑎12𝑥3
Los desplazamientos w son cúbicos usados para el elemento viga, mientras la
pendiente 𝛿𝑤/𝛿𝑥 es el mismo en la flexión de viga, basados en el elemento viga,
sustituiremos las cuatro constantes 𝑎1, 𝑎2, 𝑎4 y 𝑎7 podemos definirlas recurriendo a las
condiciones de los puntos terminales (𝑤𝑖, 𝑤𝑗, 𝛳𝑦𝑖, 𝛳𝑦𝑗). Entonces, 𝑤 y 𝛿𝑤/𝛿𝑥
Son completamente definidas a lo largo del borde. La pendiente normal 𝛿𝑤/𝛿𝑦 es una
cubica en 𝑥. Sin embargo, solo dos grados de libertad permanecen por definición en
dicha pendiente, mientras cuatro constantes (𝑎3, 𝑎5, 𝑎8 y 𝑎12) existen. Está pendiente
no tiene una definición únicamente, y una pendiente discontinua ocurre. Así, la función
para 𝑤 se dice que no está conformada. La solución obtenida para el elemento finito de
42
análisis podría no ser una solución mínima de potencial de energía. Sin embargo, estos
elementos proveen resultados aceptables, y la prueba de esta convergencia podría ser
mostrada.
Las constantes 𝑎1 hasta 𝑎12 pueden determinarse por las 12 ecuaciones simultáneas
enlazando los valores de 𝑤 y estas pendientes de los nodos cuando las coordenadas
toman los valores apropiados. Primero escribimos
{
+
𝑤𝛿𝑤
𝛿𝑥
−𝛿𝑤
𝛿𝑦}
= [1 𝑥 𝑦0 0 +10 −1 0
𝑥2 𝑥𝑦 𝑦2
0 +𝑥 +2𝑦−2𝑥 −𝑦 0
𝑥3 𝑥2𝑦 𝑥𝑦2
0 +𝑥2 +2𝑥𝑦
−3𝑥2 −2𝑥𝑦 −𝑦2
𝑦3 𝑥3𝑦 𝑥𝑦3
+3𝑦2 +𝑥3 +3𝑥𝑦2
0 −3𝑥2𝑦 −𝑦3]
× {
𝑎1𝑎2⋮𝑎12
}
O en una matriz simple de los grados de libertad matricialmente
{𝝍} = [𝑷]{𝒂}
Donde P es la primera matriz de la derecha de la ecuación matricial anterior con una
dimensión de 3 x 12. Luego, evaluamos cada punto nodal como sigue
{𝑑} =
{
𝑤𝑖𝜃𝑥𝑖𝜃𝑦𝑖𝑤𝑗⋮ }
=
[ 1 𝑥𝑖 𝑦𝑖0 0 +1⋮⋮
…
…
𝑥𝑖2 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑦𝑖2
0 +𝑥 +2𝑦𝑖 …
…
…
𝑥𝑖3 𝑥𝑖2𝑦𝑖 𝑥𝑖𝑦𝑖2
0 +𝑥𝑖2 +2𝑥𝑖𝑦𝑖 …
…
…
𝑦𝑖3 𝑥𝑖3𝑦𝑖 𝑥𝑖𝑦𝑖3
+3𝑦𝑖2 +𝑥𝑖3 +3𝑥𝑖𝑦𝑖2 …
…
∙∙… ]
× {
𝑎1𝑎2⋮𝑎12
}
La matriz compacta, la expresamos como
{𝒅} = [𝑪]{𝒂}
Donde C es la matriz de la derecha de 12 x 12 de la ecuación matricial anterior. Por lo
tanto, las constantes de a pueden ser resueltas así
{𝒂} = [𝑪]−𝟏{𝒅}
La matriz simple de los grados de libertad puede ser expresada como
43
{𝝍} = [𝑷][𝑪]−𝟏{𝒅}
{𝝍} = [𝑵]{𝒅}
Donde [𝑵] = [𝑷][𝑪]−𝟏 es la matriz de función de forma. Una manera específica de la
función de forma está dada 𝑁𝑖, 𝑁𝑗, 𝑁𝑚 y 𝑁𝑛.
Paso 3. Definir la función de esfuerzos/ Deformaciones y la relación de momentos de
fuerza y curvatura
La matriz de curvatura está dada por
{𝐾} = {
𝐾𝑥𝐾𝑦𝐾𝑥𝑦
} = {
−2𝑎4 − 6𝑎7𝑥 − 2𝑎8𝑦 − 6𝑎11𝑥𝑦−2𝑎6 − 2𝑎9𝑥 − 6𝑎10𝑦 − 6𝑎12𝑥𝑦
−2𝑎5 − 4𝑎8𝑥 − 4𝑎9𝑦 − 6𝑎11𝑥2 − 6𝑎12𝑦
2
}
O expresada en forma matricial, tenemos
{𝒌} = [𝑸]{𝒂}
Donde [𝑄]es la matriz de coeficientes multiplicada por las variables 𝑎, la matriz de
curvatura se puede expresar como
{𝒌} = [𝑩]{𝒅}
Donde
[𝑩] = [𝑸][𝑪]−𝟏
Es la matriz gradiente.
La matriz de momento/ curvatura para una placa está dada por
{𝑴} = {
𝑴𝒙
𝑴𝒚
𝑴𝒙𝒚
} = [𝑫]{
𝒌𝒙𝒌𝒚𝒌𝒙𝒚
} = [𝑫][𝑩]{𝒅}
Donde [𝐷] es la matriz constitutiva dada para materiales isotrópicos
[𝑫] =𝑬𝒕𝟑
𝟏𝟐(𝟏 − 𝒗𝟐)[
𝟏 𝒗 𝟎𝒗 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎𝟏 − 𝒗
𝟐
]
Paso 4. Deducción de la matriz de rigidez y ecuaciones
44
La matriz de rigidez está dada por la forma común
[𝑘] = ∬[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑥𝑑𝑦
Donde [𝐵] y [𝐷] se definieron anteriormente. La matriz de rigidez de un elemento
rectangular de cuatro nodos es de orden 12 x 12. Debido a la matriz de fuerzas de la
carga distribuida 𝑞 sobre la superficie por unidad de área en la dirección de 𝑧 se obtiene
una ecuación estándar.
[𝐹𝑠] = ∬[𝑁𝑠]𝑇𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦
Para una carga uniforme 𝑞 actuando sobre la superficie de un elemento de dimensiones
2𝑏 × 2𝑐 producen momentos y fuerzas en un nodo 𝑖 asi
{
𝒇𝒘𝒊𝒇𝜽𝒙𝒊𝒇𝜽𝒚𝒊
} = 𝟒𝒒𝒄𝒃 {𝟏/𝟒−𝒄/𝟏𝟐𝒃/𝟏𝟐
}
Con una expresión similar los nodos 𝑗,𝑚 y 𝑛. Podemos observar que para una carga
uniforme producen pares aplicados a los nodos como parte del trabajo equivalente
reemplazado, tal como era para el caso del elemento viga. Las ecuaciones del elemento
están dadas por
{
𝑓𝑤𝑖𝑓𝜃𝑥𝑖𝑓𝜃𝑦𝑖⋮
𝑓𝜃𝑦𝑛}
=
[ 𝑘11 𝑘12 … 𝑘1,12𝑘21 𝑘22 … 𝑘2,12𝑘31⋮
𝑘12,1
𝑘32……
… 𝑘3,12… …
… 𝑘12,12]
{
𝑤𝑖𝜃𝑥𝑖𝜃𝑦𝑖⋮𝜃𝑦𝑛}
El resto de los pasos, incluyendo el ensamblaje total de las ecuaciones, incluyendo las
condiciones de frontera (ahora las condiciones de frontera en 𝑤, 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 ) y resolviendo
las ecuaciones para los desplazamientos nodales y pendientes (observar tres grados
de libertad por nodo).
4.3 ALGUNAS COMPARACIONES NUMÉRICAS DEL ELEMENTO PLACA
Ahora presentamos algunas comparaciones numéricas de cuadriláteros en las
formulaciones del elemento placa. Recordando que hay numerosas formulaciones del
elemento placa en la literatura. La figura 17 muestra un número de resultados para
formulaciones de elementos placa como una placa cuadrada simulando soportar una
carga concéntrica aplicada en el centro de la misma.
Los resultados mostrados ilustran el límite superior e inferior del comportamiento de las
soluciones y demostrando la convergencia de estas para varias formulaciones del
45
elemento placa. Estos resultados incluyen 12 términos polinomiales descritos en la
sección anterior. Observemos que los 12 términos polinomiales convergen a la solución
exacta desde arriba. Esto produce una solución de límite superior. Porque la
continuidad entre elementos de las pendientes no se garantiza para los 12 términos
polinomiales, no se obtiene abajo las características clásicas de una formulación de la
mínima energía potencial. Sin embargo, como más elementos se usan, la solución
converge en una solución exacta.
Figura 17. Comparaciones Numéricas: Formulaciones del Elemento placa cuadrada
Fuente: (Gallagher, R. H., Finite Element Analysis Fundamentals, 1975, p. 345. Reprinted by
Permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ.)
La figure 18 muestra la comparación de una formulación triangular para la misma carga
simple centrada que soporta la placa comparada con la formulación cuadrilátera de la
figura anterior. Observamos un número de diferentes formulaciones con resultados que
convergen desde arriba y abajo en las dos figuras. Algunos de estos elementos
producen mejores resultados que otros.
El programa de algoritmos usa 16 grados de libertad “Sub dominios”, los cuales
convergen por abajo, basados en la formulación de compatibilidad de desplazamientos.
46
Figura 18.Comparaciones numéricas para una placa cuadrada simplemente soportada sujeta a la carga central. Formulaciones de elementos triangulares
Fuente: (Gallagher, R. H., Finite Element Analysis Fundamentals, 1975, p. 345. Reprinted by
Permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ.)
4.4 SOLUCIÓN POR COMPUTADORA A UN PROBLEMA DE PLACA A FLEXIÓN
Ahora se ilustra la solución a un problema para una placa a flexión mediante un
programa de computadora. El problema radica en una placa de acero fija a lo largo de
47
cuatro bordes y sujeta a una carga en el centro de esta, como se muestra en la figura
19.
Figura 19. Placa de evaluación
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
El elemento placa es un elemento de tres o cuatro nodos formulado en un espacio
tridimensional. El elemento permite grados de libertad permitidas en las tres
traslaciones (𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤) y rotaciones en el plano (𝜃𝑥 𝑦 𝜃𝑦 ). Los grados de libertad
rotacionales normales en la placa no son definidos y deben ser limitados.
El elemento formulado en el programa de computadora es de 16 términos polinomiales.
La formulación de los 16 nodos converge por debajo del análisis de los
desplazamientos, y es basada en la formulación de la compatibilidad de
desplazamientos. Este también es mostrado en la figura 16 para la placa restringida y
sometida a una carga concentrada.
4.4.1 Ejemplo
Una malla de 2 x 2 fue creada para modelar la placa. Los resultados de los
desplazamientos son mostrados en la figura 20.
La solución exacta para los máximos desplazamientos (los cuales ocurren debajo de la
carga concentrada) dan como:
𝑤 =0,056𝑃𝐿2
𝐷= 0,056
(−445𝑁)(0.50 𝑚)2
576.45𝑁 ∗ 𝑚
𝑤 = −0.002𝑚
48
Donde D es la matriz constitutiva para materiales isotrópicos que relaciona los
esfuerzos y deformaciones
𝐷 =(206843𝑀𝑃𝑎 )(2.54×10−3𝑚)3
[12 (1−0,32)]= 576.45𝑁 ∗ 𝑚
Figura 20.Desplazamientos de la placa de ejemplo
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
Las figuras 21 a 22 muestran los modelos de placa y viga combinados. Las vigas
pueden ser combinadas con las placas al hacerse que coincidan las vigas con la línea
central de las placas como se muestra en la figura 21.
49
Figura 21. Modelo de elementos viga y placa combinados en el centro de línea de los
elementos
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
Esto asegura la compatibilidad entre la placa y los elementos viga. La placa es la misma
que se usó en la figura 21. Los elementos viga refuerzan la placa reduciendo su máxima
deflexión como se muestra en la figura 22.
Figura 22. Deflexión vertical para una parte del modelo
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
Los elementos viga usados en este modelo fueron de 5𝑐𝑚 × 5𝑐𝑚. Secciones
transversales rectangulares utilizadas para rigidizar la placa a través del centro, como
se indica, por las líneas que dividen la placa en cuatro partes.
50
Otra manera de conectar elementos viga y placa se muestra en la figura 23, donde los
elementos viga están compuestos de elementos placa y pequeños elementos viga
usados para conectar los elementos viga y placa a los nodos. En este modelo de 5𝑐𝑚 ×
5𝑐𝑚 por 1
4𝑐𝑚.
Figura 23. Modelo que muestra elementos de viga desplazada para el elemento placa
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
5 DESARROLLO DE ESFUERZOS PLANOS Y DEFORMACIÓN PLANA
(ECUACIÓN DE RIGIDEZ)
El análisis de esfuerzos y deformaciones para elementos bidimensionales (áreas) es
necesario en cuanto a la existencia de irregularidades o cambios en la geometría de los
mismos, tal como agujeros, capas entre otros. Estas arbitrariedades generan
concentraciones de esfuerzos en los elementos y distribución no homogénea de los
mismos.
51
Figura 24. Esfuerzos en el plano (a) Placa perforada (b) placa extendida
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
Los esfuerzos y deformaciones de dichos elementos se pueden predecir mediante la
matriz de rigidez, bajo la hipótesis de tensión constante sobre estos.
Figura 25.Plano de esfuerzos (a) carga horizontal en una presa (b) carga vertical en un tubo
Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan
En la figura anterior se evidencia que para que las tensiones y esfuerzos normales no
sean nulos debe existir un espesor unitario en el eje 𝒁 (Principio de discretización del
elemento).
A continuación, se presenta un ejemplo detallado utilizando el Método de Elementos
Finitos para la obtención de esfuerzos sobre una superficie plana (área).
5.1 EJEMPLO DE ESFUERZOS PLANOS Y DEFORMACIONES PLANAS
Para una placa delgada empotrada, como se ilustra. Determinar los desplazamientos
nodales y los esfuerzos en el elemento, el espesor de la placa es de 10 cm, Modulo
elástico de 200 GPa, y coeficiente de Poisson de 0.3
52
Figura 26. Elemento placa, sujeta a esfuerzos de tensión
Fuente: Propia
El primer paso consiste en discretizar la placa, en este caso manejamos dos elementos,
y a partir de la tensión que sufre la placa en uno de sus extremos determinamos la
resultante de la fuerza a la cual está expuesta.
𝐹 =1
2𝑇𝐴
𝐹 =1
2 (1 𝑀𝑃𝑎)(0.50𝑚 × 0.10𝑚 )
𝑭 = 𝟐𝟓 𝒌𝑵
Figura 27. Discretizacion de la placa
Fuente: Propia
En general podemos convertir en fuerzas nodales los esfuerzos en la superficie,
posteriormente identificamos los grados de libertad y numeramos los nodos y
elementos (se evidencia la generación de superficies planas tipo triangular). La matriz
global de los elementos está dada por:
53
[𝐹] = [𝐾][𝛿]
Expandiendo las matrices, obtenemos
|
|
|
𝐹1𝑋𝐹1𝑦𝐹2𝑋𝐹2𝑦𝐹3𝑋𝐹3𝑦𝐹4𝑋𝐹4𝑦
|
|
|
=
|
|
|
𝑅1𝑋𝑅1𝑦𝑅2𝑋𝑅2𝑦250250
|
|
|
= [𝐾]
|
|
|
𝛿1𝑋𝛿1𝑦𝛿2𝑋𝛿2𝑦𝛿3𝑋𝛿3𝑦𝛿4𝑋𝛿4𝑦
|
|
|
= [𝐾]
|
|
|
0000𝛿3𝑋𝛿3𝑦𝛿4𝑋𝛿4𝑦
|
|
|
Donde la matriz de rigidez tiene una dimensión de 8 x 8(Dos grados de libertad por
nodo), antes interpretando que los nodos 1 y 2 no tienen grados de libertad. El tercer
paso consiste en ensamblar la matriz general, que consiste en la superposición de las
matrices individuales de cada elemento.
[𝑘] = 𝑡𝐴[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]
De la figura 28 (Discretización) podemos establecer las coordenadas para el elemento
1 ( 𝑥𝑖 = 0 , 𝑦𝑖 = 0, 𝑥𝑗 = 1.00 , 𝑦𝑗 = 0.50,𝑚𝑖 = 0,𝑚𝑗 = 0.50). En general el área del
elemento 1 (A) se obtiene:
𝐴 =1
2𝑏ℎ
𝐴 =1
2× 1 × 0.50 = 0.25𝑚2
Figura 28. Elemento 1 de la placa discretizada
Fuente: Propia
Siendo [𝑩] la matriz de desplazamientos nodales tenemos:
[𝐵] =1
2𝐴[𝛽𝑖 0 𝛽𝑗0 𝛾𝑖 0𝛾𝑖 𝛽𝑖 𝛾𝑗
0 𝛽𝑚 0𝛾𝑗 0 𝛾𝑚𝛽𝑗 𝛾𝑚 𝛽𝑚
]
Pasando de forma matricial a ecuación homogénea, se tiene:
54
𝛽𝑖 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑚 = 0.50 − 0.50 = 0
𝛽𝑗 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑖 = 0.50 − 0 = 0.50
𝛽𝑚 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 = 0 − 0.50 = −0.50
𝛾𝑖 = 𝑥𝑚 − 𝑥𝑗 = 0 − 1.00 = −1.00
𝛾𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑚 = 0 − 0 = 0
𝛾𝑚 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 = 1.00 − 0 = 1.00
Entonces, reemplazando en la forma matricial de [𝑩]
[𝐵] =1
2 × 0.25[0.00 0.00 0.500.00 −1.00 0.00−1.00 0.00 0.00
0.00 −0.50 0.000.00 0.00 1.000.50 1.00 −0.50
]1
𝑚
Para esfuerzos planos, la matriz [𝐷] se puede expresar
[𝐷] =𝐸
(1 − 𝑣2)[
1 𝑣 0𝑣 1 0
0 01 − 𝑣
2
]
Sabemos que 𝑣 = 0.3 y 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎
[𝐷] =200 × 106
(1 − 0.32)[
1 0.3 00.3 1 0
0 01 − 0.3
2
] 𝑘𝑃𝑎
Entonces
[𝐵]𝑇[𝐷] =200 × 106
0.50 (1 − 0.32) |
|
0.00 0.00 −1.000.00 −1.00 0.000.500.00−0.500.00
0.000.000.001.00
0.000.501.00−0.50
|
|[
1 0.3 00.3 1 0
0 01 − 0.3
2
]
Simplificando
[𝐵]𝑇[𝐷] =400 × 106
0.91 |
|
0.00 0.00 −0.35−0.30 −1.00 0.000.500.00−0.500.30
0.150.00−0.151.00
0.000.180.35−0.18
|
|
Recordando que la matriz del elemento está dada por:
[𝒌] = 𝒕𝑨[𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]
55
[𝑘] = (0.10)(0.25)400 × 106
0.91 |
|
0.00 0.00 −0.35−0.30 −1.00 0.000.500.00−0.500.30
0.150.00−0.151.00
0.000.180.35−.18
|
|
×1
0.50[0.00 0.00 0.500.00 −1.00 0.00−1.00 0.00 0.00
0.00 −0.50 0.000.00 0.00 1.000.50 1.00 −0.50
]
Finalmente, la matriz de rigidez está dada por:
[𝑘1] =20 × 106
0.91 |
|
𝑢10.35
𝑣10.00
𝑢30.00
0.00 1.00 −0.150.00−.018−0.350.18
−0.150.000.15−1.00
0.250.00−0.250.15
𝑣3−0.18
𝑢2−0.35
𝑣20.18
0.00 0.15 −1.000.000.090.18−0.09
−0.250.180.60−0.33
0.15−0.09−0.331.09
|
|
𝑘𝑁/𝑚
Cada columna de la matriz de rigidez del elemento 1, indica el grado de libertad
asociado en 𝑢 y 𝑣. De la misma manera se procede a generar la matriz del elemento 2.
Figura 29. Elemento 2 de la placa discretizada
Fuente: Propia
De la figura 29 (Discretización) podemos establecer las coordenadas para el elemento
2 ( 𝑥𝑖 = 0 , 𝑦𝑖 = 0, 𝑥𝑗 = 1.00 , 𝑦𝑗 = 0,𝑚𝑖 = 1.00,𝑚𝑗 = 0.50). Resaltando que el área es la
misma que el elemento anterior.
𝛽𝑖 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑚 = 0 − 0.50 = −0.50
𝛽𝑗 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑖 = 0.50 − 0 = 0.50
𝛽𝑚 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 = 0 − 0 = 0
𝛾𝑖 = 𝑥𝑚 − 𝑥𝑗 = 1.00 − 1.00 = 0
𝛾𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑚 = 0 − 1.00 = −1.00
𝛾𝑚 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 = 1.00 − 0 = 1.00
56
Entonces, reemplazando en la forma matricial de [𝑩]
[𝐵] =1
2𝐴[𝛽𝑖 0 𝛽𝑗0 𝛾𝑖 0𝛾𝑖 𝛽𝑖 𝛾𝑗
0 𝛽𝑚 0𝛾𝑗 0 𝛾𝑚𝛽𝑗 𝛾𝑚 𝛽𝑚
]
[𝐵] =1
2 × 0.25[−0.50 0.00 0.500.00 0.00 0.000.00 −0.50 −1.00
0.00 0.00 0.00−1.00 0.00 1.000.50 1.00 0.00
]1
𝑚
Recordando que la matriz [𝑫] es constante, luego [𝑩]𝑻[𝑫]:
[𝐵]𝑇[𝐷] =200 × 106
0.50 (1 − 0.32) |
|
−0.50 0.00 0.000.00 0.00 −0.500.500.000.000.00
0.00−1.000.001.00
−1.000.501.000.00
|
|[
1 0.3 00.3 1 0
0 01 − 0.3
2
]
Simplificando
[𝐵]𝑇[𝐷] =400 × 106
0.91 |
|
−0.50 −0.15 0.000.00 0.00 −0.180.50−0.300.000.30
0.15−1.000.001.00
−0.350.180.350.00
|
|
Recordando que la matriz del elemento está dada por:
[𝒌] = 𝒕𝑨[𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]
[𝑘2] = (0.10)(0.25)400 × 106
0.91×
1
0.50[−0.50 0.00 0.500.00 0.00 0.000.00 −0.50 −1.00
0.00 0.00 0.00−1.00 0.00 1.000.50 1.00 0.00
]
Finalmente, la matriz de rigidez está dada por:
[𝑘] =20 × 106
0.91 |
|
𝑢10.25
𝑣10.00
𝑢4−0.25
0.00 0.09 0.18−0.250.150.00−0.15
0.18−0.09−0.180.00
0.60−0.33−0.350.15
𝑣40.15
𝑢30.00
𝑣3−0.15
−0.09 −0.18 0.00−0.331.090.18−1.00
−0.350.180.350.00
0.15−1.000.001.00
|
|
𝑘𝑁/𝑚
57
De acuerdo a los grados de libertad y ensamblando la matriz general, se tiene:
|
|
250250𝐹1𝑥𝐹1𝑦𝐹2𝑥𝐹2𝑦
|
|
=20 × 106
0.91
|
|
|
𝑢3 𝑣3 𝑢40.60 0.00 −0.350.00 1.09 0.15
𝑣40.18−1.00
𝑢1 𝑣1 𝑢20.00 −0.33 −0.25−0.33 0.00 0.18
−0.35 0.15 0.60 −0.33 −0.25 0.18 0.000.180.00−0.33−0.250.15
−1.00−0.330.000.18−0.09
−0.33−0.250.180.000.00
1.090.15−0.090.000.00
0.150.600.00−0.350.18
−0.090.001.090.15−1.00
0.00−0.350.150.60−0.33
𝑣20.15−0.090.000.000.18−1.00−0.331.09
|
|
|
|
|
|
𝛿3𝑥𝛿3𝑦𝛿4𝑋𝛿4𝑦0000
|
|
|
Resolviendo matricialmente, se obtiene que los desplazamientos (grados de libertad)
son:
|
𝛿3𝑥𝛿3𝑦𝛿4𝑥𝛿4𝑦
| = |
4.560.044.980.07
| × 10−6𝑚
Lo que establece que las reacciones en los apoyos son:
|
𝐹1𝑥
𝐹1𝑦𝐹2𝑥
𝐹2𝑦
| = |
−25.00−15.00−25.0015.00
| 𝑘𝑁
Se determinan los esfuerzos en cada elemento mediante
|𝝈| = |𝑫||𝑩||𝜹|
En general para el primer elemento tenemos
[𝜎] =𝐸
(1 − 𝑣2)[
1 𝑣 0𝑣 1 0
0 01 − 𝑣
2
] ×1
2𝐴[𝛽1 0 𝛽30 𝛾1 0𝛾1 𝛽1 𝛾3
0 𝛽2 0𝛾3 0 𝛾2𝛽3 𝛾2 𝛽2
]
|
|
𝛿1𝑋𝛿1𝑦𝛿3𝑋𝛿3𝑦𝛿2𝑋𝛿2𝑦
|
|
Sustituyendo los valores numéricos anteriormente determinados
[𝜎] =200 × 106
0.50 (0.91)[1 0.3 00.3 1 00 0 0.35
] [0.00 0.00 0.500.00 −1.00 0.00−1.00 0.00 0.00
0.00 −0.50 0.000.00 0.00 1.000.50 1.00 −0.50
]|
|
004.560.0400
|
|× 10−6
Simplificando
|
𝝈𝒙𝝈𝒚𝝉𝒙𝒚
| = |𝟏𝟎𝟎𝟐. 𝟐𝟑𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟑. 𝟎𝟖
| 𝒌𝑵/𝒎𝟐
58
De la misma manera para el segundo elemento los esfuerzos están dados por
[𝜎] =𝐸
(1 − 𝑣2)[
1 𝑣 0𝑣 1 0
0 01 − 𝑣
2
] ×1
2𝐴[𝛽1 0 𝛽40 𝛾1 0𝛾1 𝛽1 𝛾4
0 𝛽3 0𝛾4 0 𝛾3𝛽4 𝛾3 𝛽3
]
|
|
𝛿1𝑋𝛿1𝑦𝛿4𝑋𝛿4𝑦𝛿3𝑋𝛿3𝑦
|
|
[𝜎] =200 × 106
0.50 (0.91)[1 0.3 00.3 1 00 0 0.35
] [−0.50 0.00 0.500.00 0.00 0.000.00 −0.50 −1.00
0.00 0.00 0.00−1.00 0.00 1.000.50 1.00 0.00
]|
|
004.980.074.560.04
|
|× 10−6
Simplificando
|
𝝈𝒙𝝈𝒚𝝉𝒙𝒚
| = |𝟏𝟎𝟗𝟎. 𝟓𝟓𝟑𝟏𝟓. 𝟏𝟔−𝟓𝟗. 𝟐𝟑
| 𝒌𝑵/𝒎𝟐
Ahora los esfuerzos principales se pueden determinar, y el ángulo para uno de estos
con base al ángulo principal, el cual está definido en la dirección normal que es
perpendicular al plano sobre el cual actúan los esfuerzos máximos o mínimos mediante:
𝑇𝑎𝑛 2𝜃 =2𝜏𝑥𝑦𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
𝜎1 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦2
+ [(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦2
)2
+ 𝜏𝑥𝑦2]1/2
Se determina los esfuerzos principales para el elemento 2 (Indicando que para el
elemento 1, es de forma similar)
𝜎2 =1090.55 + 315.16
2+ [(
1090.55 − 315.16
2)2
+ (−59.23)2]
1/2
𝜎2 = 702.85 + 392.19
𝜎2 = 1095.04𝑘𝑁/𝑚2
Se evidencia que el esfuerzo máximo que sufre la placa se genera en el mismo sentido
de aplicación del esfuerzo inicial de tensión de 1MPa (Sentido 𝑥).
6 MALLAS APLICADAS A MODELACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS
La malla se define como el grado de aproximación que tendrá el modelo con la realidad,
de esta forma, cuanto más densa sea la malla, mayor será la aproximación al análisis
real del modelo y así mismo, el error será mínimo (Ilustración 7). El mallado se debe
definir con respecto a la geometría de la figura que será modelada por elementos finitos,
por las propiedades geométricas, algunos elementos presentan mayor adaptabilidad a
59
la forma de los elementos en estudio, sin embargo, la densidad de la malla afectará
directamente el tiempo de modelación en el software; a mayor densidad mayor
consumo de capacidad del procesador.
Otro aspecto que deberá ser tenido en cuenta es el grado del polinomio que modela la
geometría del elemento en estudio. Si se tiene un polinomio de grado lineal, la malla
presentará alta rigidez y no se adaptará de forma adecuada a los movimientos de
flexión, sin embargo, los polinomios de mayor grado se adaptarán mejor a cualquier
tipo de requerimiento en la modelación.
Las mallas pueden o no tener la tendencia de la geometría del elemento expuesto a
análisis, en términos matemáticos, las fronteras de la malla pueden no coincidir con las
fronteras del cuerpo en estudio
Ilustración 7.Discretización adecuada
Fuente: http://www.geociencias.unam.mx/~ramon/mecsol/Tema7.pdf
6.1 OBTENCIÓN DE LA MALLA.
La mayoría del software utilizado para Modelación por Elementos Finitos genera de
forma predeterminada la malla para alcanzar mayor exactitud en los resultados que
arrojan. Para el análisis complejo de Elementos Finitos o problemas de gran escala, es
esencial que automáticamente los programas de tipo CAD generen de forma
predeterminada mallas de elementos finitos, esto facilita el análisis y brinda mayor
exactitud en los resultados, disminuyendo el porcentaje de error al que se ve expuesto
el análisis.
Es importante mencionar que los elementos se pueden configurar para generar un
análisis completo, es decir; se pueden usar en conjunto, generando combinaciones.
60
De forma ilustrativa, se muestra a continuación la discretización de dos elementos; uno
de naturaleza plana y otro volumétrico.
Ilustración 8.Triangulación del dominio de una superficie
Fuente: cuchillas centrales: su optimización, 2002
En este caso puntual la ilustración 9 muestra una región plana, delimitada por los nodos
N1, N2, N3, N5 Y N5 que a su vez conforman los triángulos E1, E2, E3, E4, E5 Y E6
junto con elementos adicionales que conforman la malla de Modelación por Elementos
Finitos.
Como es de esperarse, el contorno delimitado entre los nodos N1 y N5 no se ajusta a
la geometría exacta del elemento sometido a estudio, es allí en donde es de gran
importancia, ajustar la malla en su tamaño y número de elementos para lograr la mayor
precisión en la obtención de datos.
Ilustración 9.Mallado de elemento solido (3D)
Fuente: cuchillas centrales: su optimización, 2002
61
La ilustración 9 muestra la precisión y exactitud de una malla de naturaleza
tridimensional, en este caso puntual para la cuchilla central de un molino azucarero,
haciendo uso de una malla con elementos de tipo tetraedro.
Esta información puede incluir la posición, coordenada, de los nodos, la forma en que
se interconectan, las condiciones de frontera, las cargas y fuerzas aplicadas al
elemento en estudio, las restricciones y el tipo de análisis a realizar, de esta forma el
sistema CAD puede generar las ecuaciones necesarias para resolver el problema y
ejecutar el análisis.
7 MODELACIÓN DEL ELEMENTO PLACA
Se propone la modelación de una placa geométricamente definida (Cuadrada) con
espesor determinado. Tal modelación se realizará inicialmente mediante el programa
SAP 2000 y luego por ANSYS, asumiendo dicho material como concreto de peso
normal y con un esfuerzo máximo a la compresión de 3000 Psi (21 MPa), además se
pretende comparar dicha placa bajo la solicitación de una carga puntual en el centro
(Modelo A) de la misma, y en una segunda situación con una carga distribuida (Modelo
B).
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Ilustración 10.Placa bajo carga Puntual, Modelo A
Fuente: Propia
63
Ilustración 11.Placa bajo carga Distribuida, Modelo B
Fuente: Propia
La finalidad de la comparación de dichos modelos en los dos programas radica en
mostrar que la interfase de ANSYS, dado que incorpora el método de elementos finitos
implícito en la generación de mallas de contorno con funciones de forma establecida
dependientes de la contextura de la misma, genera mayor convergencia en los
resultados de deformaciones, esfuerzos y otros solicitantes con las soluciones exactas
a diferencia de SAP 2000, que aunque simula de manera manual la malla carece de la
formulación de polinomios de alto grado para las funciones de frontera o de contorno.
64
7.1 MODELO A
7.1.1 CARGA PUNTUAL, MODELACIÓN EN SAP 2000 (MANUAL DE USO)
Inicialmente definimos que tipo de elemento se desea modelar, ya sean elementos
áreas tipos Plate, Shell o Membrana. Los elementos tipos Plate se utilizan para
analizar y modelar placas macizas bajo cargas perpendiculares a su plano, a través del
método de elementos finitos.
Lo elementos Shell permiten la modelación, análisis y diseño de placas, muros o losas
sometidas a flexión, cortante o fuerza axial. Estas pueden ser de dos tipos: Shell finos
o gruesos, la diferencia radica en la relación espesor/longitud de la estructura, si dicha
relación es menor al 5% (La longitud es 20 veces el espesor) se dice que el elemento
es tipo Shell Fino, de lo contrario será Grueso. Cabe resaltar que en el empleo de este
tipo de elementos se desprecia la deformación a cortante, debido a que la magnitud de
estos es mínima por lo que es más relevante la debida a la flexión.
Figura 30. Elemento área tipo Shell
Fuente: Diferencia Elementos Membrana, Plate y Shell, PDF
El último tipo de elemento área se puede utilizar para modelar placas simplemente
apoyadas sobre vigas bajo cargas perpendiculares a su plano. Las cargas se transmiten
por área aferente a los apoyos. Además, se pueden emplear para analizar muros
estructurales o placas metálicas sometidas a cargas arbitrarias.
Paso 1. Definición de tipo de elemento y sistema de unidades
El tipo de elemento a utilizar en la modelación será el elemento área tipo Shell en este
caso fino (Thin), dado que es estable de forma independiente ante cargas
perpendiculares y en el plano del elemento. Representan la suma de una membrana
65
con un Plate y en esta se tiene en cuenta la rigidez del elemento; como el caso de las
losas macizas.
Figura 31. Selección del Elemento y sistema de unidades
Fuente: Propia, SAP 2000
Se selecciona las unidades por defecto en Sistema Internacional; Fuerza en Kilo
Newton, Longitud en metros y Temperatura en centígrados. Para la creación de la placa
implementaremos el modelo Grid Only (para diseñar el elemento Shell)
Paso 2. Asignación de características geométricas
Se debe seleccionar el número de líneas de la grilla, en este caso dos por cada eje X,
Y y Z. Además de adicionar el espaciamiento entre los mismos que definirá el
dimensionamiento de la placa, resaltando que se hace bajo un sistema de coordenadas
cartesianas.
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Figura 32. Asignación de propiedades geométricas
Fuente: Propia, SAP 2000
Paso 3. Definición de los materiales
Inicialmente se debe definir el tipo de material, donde podemos modificar un material
existente o por el contrario adicionar un nuevo material. En este caso dado que el
programa tiene por defecto precargado un material con fc de 4000 Psi se debe adicionar
un nuevo material.
67
Figura 33. Definición del material
Fuente: Propia, SAP 2000
Anteriormente se definió que el tipo de material de la losa seria Concreto de 3000 Psi
(21 MPa), esta será la característica de dicho material.
Figura 34. Definición del material, Concreto 3000Psi
Fuente: Propia, SAP 2000
Se selecciona el tipo de material “Concreto”, la región por defecto y el grado o
esfuerzo máximo a la compresión del material.
Paso 4. Definición de las secciones de área
Una vez establecido lo anterior debemos definir las secciones de área que permitirán
vincular las solicitaciones externas al elemento Shell. Nos dirigimos a la barra de
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herramientas en la opción definir “Define” en la pestaña de propiedades de sección-
Secciones de área.
Figura 35. Definición de las áreas
Fuente: Propia, SAP 2000
Se despliega un cuadro de atributos (Figura 36), donde se precarga el tipo de sección.
Con base a la relación de espesor/ Longitud de la placa tenemos que se comporta
como un elemento Shell Thin, por tal razón no consideramos las deformaciones por
cortante, porque el elemento se comporta como un cascarón
Figura 36. Elemento área Tipo Shell Thin
Fuente: Propia, SAP 2000
Debemos seleccionar la opción - “Adicionar nueva sección”
69
Paso 5. Propiedades de la sección tipo Shell
Se debe establecer el espesor de la placa maciza, en este caso de 10 cm “opción-
Espesor”, vinculando la resistencia del concreto deseado (Material anteriormente
creado). De igual manera se puede establecer la visualización del elemento en cuanto
al color- Display Color
Figura 37. Elemento área Tipo Shell Thin, característica
Fuente: Propia, SAP 2000
Paso 6. Delimitación de contorno del elemento
Se define la geometría de la sección antes de incorporar las cargas o solicitaciones
externas, a las que está expuesta el elemento con el objeto de establecer el tipo de
apoyos de la misma.
En la barra de dibujo de la parte derecha del área de trabajo seleccionamos “Punto
interno de área “y damos clic en la parte interna del elemento, y por defecto el
programa asocia el tipo de sección anteriormente cargada – Shell thin con sus
respectivos atributos.
70
Figura 38. Elemento placa, SAP 2000
Fuente: Propia, SAP 2000
Paso 7. Definición de tipos de apoyos
Se establece apoyos de tercer grado, es decir empotrados para restringir
desplazamientos en los tres sentidos al igual que las rotaciones en las esquinas de la
placa. Por lo cual en la barra superior de herramientas seleccionamos “Asignar “>>
“Apoyos”>> “Restringidos”
Figura 39. Selección de tipos de apoyos
Fuente: Propia, SAP 2000
71
Cuando se genera el cuadro de asignación de apoyos restringidos seleccionamos la
restricción rápida como se observa en la figura 40, para cargar dicho atributo al
elemento.
Figura 40. Apoyos Empotrados
Fuente: Propia, SAP 2000
Paso 8. Patrones de Carga
Una vez definidos los apoyos, se debe crear el patrón de carga, para este ejemplo es
indiferente el tipo de carga; podemos asumirla como muerta, viva, sismica u otra. Para
tal caso en la barra superior de herrramientas >> “Difinir “>> “Patrones de cargas” ,
una vez establecido el nuevo nombre de la carga y el tipo de carga debemos seleccionar
“ Adicionar nuevo patrón de carga” con el cual las solicitaciones externas que se
establescan quedan vinculadas.
72
Figura 41. Patrón de carga
Fuente: Propia, SAP 2000
Paso 9. Establecer la carga puntual
Debemos asignar la carga puntual al elemento placa, en este caso 10 kN en el centro
de la misma en dirección del eje Z (Gravitacional). Por consiguiente “Barra de
herramientas” >> “Cargas puntuales”>> “Fuerzas “. En el cuadro emergente de
asignación de fuerzas puntuales en las opciones generales debemos vincular el patrón
73
de carga y el sistema de coordenadas que se desean establecer “Globales”, de la
misma manera adicionar la magnitud de la carga en sentido gravitacional.
Figura 42. Carga Puntual (Dirección eje Z, negativo)
Fuente: Propia, SAP 2000
Cuando se ha establecido las cargas que afectarán la estructura para hacer el análisis,
solamente seleccionamos el patrón de carga anteriormente establecido y desde un
análisis lineal estático
Paso 10. Segmentación del área de contacto en Sub áreas
Para que la carga puntual se distribuya conforme al área de la placa, se debe dividir en
sub áreas, dada la naturalidad de perpendicularidad de la carga aplicada, por lo cual
“Seleccionar el área “>> “Barra de herramientas “>> “Editar “>> “Edición de áreas
“>>” Dividir áreas”.
74
Figura 43. Carga Puntual (Dirección eje Z, negativo)
Fuente: Propia, SAP 2000
El objeto de dividir la placa original en finitas placas con las mismas características y
propiedades es visualizar el método de elementos finitos, además permite evaluar la
deformación que sufre la placa en puntos más específicos. Dado los pasos anteriores
el cuadro emergente (Figura 44) permite establecer las dimensiones de los elementos
finitos.
Figura 44. División de la placa en elementos finitos
Fuente: Propia, SAP 2000
75
Paso 11. Análisis de carga
Establecida la división o número de elementos finitos deseados se realiza el análisis
del programa para el patrón de carga establecido, para así observar los esfuerzos,
deformaciones y reacciones del elemento.
Figura 45.Analisis de carga
Fuente: Propia, SAP 2000
Paso 12. Evaluación de las deformaciones
Realizando una comparación de la deformación que sufre la placa debido a la carga
puntual en un análisis simplificado y mediante un análisis de elementos finitos, se
muestra a continuación. En la figura 46, la imagen izquierda muestra una placa sin
divisiones de área, por lo que no se genera deformaciones, dado la imposibilidad de
interacción de la carga con el contorno, Mientras la otra muestra una división de área
de 100 elementos, evidenciando deformaciones graduales en el elemento.
Figura 46. Deformación en función del número de elementos finitos
Fuente: Propia, SAP 2000
76
Para demostrar la importancia del método de elementos finitos se genera una placa con
400 elementos finitos, donde se observa que la mayor deformación sufrida es en punto
de aplicación de la carga gravitacional.
Figura 47. Deformación de una placa de 400 elementos finitos
Fuente: Propia, SAP 2000
El programa evalúa más eficazmente los resultados de desplazamientos,
deformaciones, esfuerzos y deformaciones mediante la presentación de tablas.
Gráficamente se puede evidenciar que los mayores desplazamientos se generan
alrededor de la carga puntual, y se van disipando a medida que se alejan de esta.
Además, el programa permite la obtención de resultados de manera organizada
mediante tablas dinámicas, que en el caso de las deformaciones muestra los
desplazamientos y los giros respectivos en cada coordenada del llano tridimensional.
Figura 48. Análisis de resultados, tabulación de SAP 2000
Fuente: Propia, SAP 2000
77
7.1.2 CARGA PUNTUAL, MODELACIÓN EN ANSYS (MANUAL DE USO)
Introducción.
En un ambiente de crecimiento tecnológico como el de la actualidad se hace necesario
para la ingeniería, específicamente la ingeniería civil, hacer uso de herramientas
tecnológicas que permitan dar luces de alta precisión a los futuros profesionales, con el
fin de ser asertivos en la interpretación de datos para una buena toma de decisiones a
nivel estructural de proyectos futuros.
El presente manual de uso tiene como fin orientar a la comunidad estudiantil en
ingeniería civil y áreas afines en el uso del programa modelador de estructuras ANSYS
en su versión 17.0.
Para efectos académicos se desarrolla el presente manual para un elemento estructural
de las siguientes características.
Elemento: Placa
Dimensiones: 2.5x2.5 m
Material: Concreto – 3000Psi
Carga puntual: 10kN
Tipo de apoyo: 4 apoyos fijos en las esquinas (tercer grado).
Consideraciones:
El modelador ANSYS 17.0 trabaja sobre geometrías definidas en tres
dimensiones 3D, por lo tanto, el primer paso será definir la geometría que se
desea analizar.
Dado que, el modelador hace uso de elementos finitos para realizar el análisis
de los elementos en estudio, se hace necesario para el segundo ítem definir un
mallado, o red, sobre la geometría que se desea simular.
El tercer ítem consiste en asignar a la geometría todos los atributos físicos
necesarios para realizar la modelación; en este punto se debe definir el material,
las condiciones de frontera, el tipo y la magnitud de carga que se aplica al
elemento.
Para concluir y como paso final se seleccionan los tipos de análisis deseados y
el programa arrojara los datos para interpretación.
Se debe tener en cuenta que el programa presenta cuadros en los que indica mediante
símbolos y colores si los datos cargados satisfacen la modelación o no, en caso de no
hacerlo el programa no permitirá avanzar en ninguna de sus etapas.
78
Paso 1. Generalidades.
Como primer paso, el ambiente de ANSYS muestra las opciones de proceso que se
desea realizar, para este caso puntual será un análisis estructural.
Figura 49. Interfase de modelación de ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
Paso seguido y para este caso puntual, en el que no se ha definido una geometría en
ningún otro programa de tipo CAD, se debe escoger “definir nueva geometría”, como
tipo de cálculo estático, en opciones se selecciona detectar contacto automático con
el fin de que los bordes o zonas de cambio brusco en la superficie de la geometría
queden totalmente definidos, y finalmente se selecciona crear proceso de simulación.
79
Figura 50. Interfase Estructural de ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
Una vez creado el proceso de simulación aparece el menú de tareas que deberán ser
diligenciadas en su totalidad. Nótese que al iniciar las tareas viene acompañadas de
símbolos de alerta, esto se debe a que aún no están cargados los datos necesarios
para correr la simulación
En la parte inferior aparecerá el cuadro de tareas, mensajes y transcripciones, en ese
cuadro aparecerán mensajes en caso de que el programa encuentra alguna
inconsistencia en los datos que se introducen en cada una de las tareas. Para iniciar a
definir cada una de las tareas se debe hacer clic sobre el atributo específico y este lo
llevara a un ambiente determinado para cada uno de ellas.
80
Figura 51. Interfase de requerimientos generales de ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
Paso 2. Definición de la geometría
Una vez dentro del ambiente el segundo paso será crear la geometría, aunque ANSYS
ofrece la opción de importarla de programas tipo CAD, para este manual y con el fin de
ser minuciosos, se dibujará dentro del ambiente grafico del modelador.
Figura 52. Interfase de geometría de ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
81
Una vez seleccionada la opción de crear nueva geometría >> “Barra de herramientas
“>> “Designar”>> “Rectángulo” con el fin de dibujar el contorno de placa que se desea
analizar.
Figura 53.Contorno del elemento
Fuente: Propia, ANSYS
Una vez seleccionada la herramienta se procede a dibujar el contorno del elemento, las
dimensiones son dadas de forma manual para cada uno de los extremos. Se debe tener
en cuenta que las unidades del dibujo esta autodefinidas en milímetros (mm).
82
Figura 54.Dimensionamiento del elemento
Fuente: Propia, ANSYS
Posteriormente se usará la opción Pull para generar el sólido al cual se le atribuirán el
mallado, las condiciones físicas y sobre el cual se calcularán los resultados.
Figura 55.Atributos geométricos
Fuente: Propia, ANSYS
Paso seguido se hace clic sobre el área definida e introduciendo manualmente el
espesor de la placa, se genera el sólido sujeto a estudio.
83
Figura 56.Generación del solido
Fuente: Propia, ANSYS
Una vez definido el sólido, se debe hacer clic sobre el botón azul en la parte superior
del ambiente de dibujo “Edición de geometría”
Figura 57.Evaluación de la geometría
Fuente: Propia, ANSYS
Inmediatamente ANSYS dirigirá el proceso a la barra de tareas y mostrará la geometría
cargada de forma satisfactoria, de esa forma finaliza la tarea de definición de la
geometría.
84
Figura 58.Aceptación de la geometría
Fuente: Propia, ANSYS
Paso 3. Definición del mallado
Finalizada la definición de la geometría se inicia la tarea de definir el mallado sobre el
cual se quiere trabajar para la obtención de resultados. Se debe entrar en la opción
“Mesh” y se entrará al ambiente de definición de la malla aplicada.
Figura 59.Interfase del mallado
Fuente: Propia, ANSYS
85
El primer paso, y para ayuda visual, es aumentar la resolución del mallado, esto con el
fin de evidenciar a la perfección de manera gráfica la cuadricula que se generará.
Figura 60.Resolución del mallado
Fuente: Propia, ANSYS
Paso seguido se debe seleccionar la opción de “controles de tamaño”>>” tamaño de
cara”, lo anterior debido a que se deben realizar varias simulaciones con mallados de
diferentes tamaños para efectuar comparaciones con otros modelos, ya sean teóricos
o experimentales.
Figura 61.Controles de tamaño
Fuente: Propia, ANSYS
86
A continuación, usando la herramienta selección de cara y haciendo clic sobre el
símbolo más (+) del recuadro de localización se cargará la cara sobre la cual se definirá
el mallado, paso seguido se introduce el tamaño, en metros, de las subdivisiones del
mallado en el recuadro de tamaño del elemento.
Figura 62.Tamaño del elemento
Fuente: Propia, ANSYS
Para ejercicio del ejemplo, se selecciona la cara superior de la geometría definida y se
especifica un tamaño de separación de 5cm entre cada división de la malla. Como se
puede ver en la Figura 63, los datos insertados no presentan ningún error y
automáticamente se cargan los criterios definidos.
En el recuadro inferior de tareas se debe volver a la opción de mallado para terminar
con el proceso y poder verificar los datos cargados
87
Figura 63.Verificación del mallado
Fuente: Propia, ANSYS
Una vez en el menú del mallado se debe hacer clic sobre la opción generar malla, allí
el programa mostrará de manera gráfica el mallado generado sobre la geometría.
Figura 64.Generación del mallado
Fuente: Propia, ANSYS
Para finalizar se muestra la tarea de mallado cargada satisfactoriamente y de manera
gráfica la malla cargada sobre la superficie.
88
Figura 65.Visualización del mallado
Fuente: Propia, ANSYS
Paso 4. Definición de atributos físicos
Finalizada la aplicación del mallado sobre la geometría se da inicio a la definición de
las características físicas que tendrá el modelo en estudio. Se debe seleccionar en la
tabla de tareas Physics.
Figura 66.Verificación del mallado
Fuente: Propia, ANSYS
89
Dentro de los atributos físicos se debe definir: Región física, se debe asignar el material,
las condiciones de borde y revisar las opciones de solución.
Figura 67.Interfase de parámetros físicos
Fuente: Propia, ANSYS
Dentro de la región física el programa automáticamente carga el volumen sobre el
cual se está trabajando, se debe activar la opción en tipo físico como estructural.
Figura 68.Vinculación de atributos
Fuente: Propia, ANSYS
90
Dentro de la asignación de material se encontrará acero estructural precargado, sin
embargo, si se desea crear un material, se debe ingresar a la opción crear nuevo. En
este caso se usará un material precargado del programa que presenta descripción
como concreto el cual tiene asignado todas las características que se ajustan al
presente manual.
Figura 69.Asignación y creación de materiales
Fuente: Propia, ANSYS
Una vez seleccionado el material se carga a la geometría definida de manera gráfica
ANSYS muestra que el proceso ha culminado de forma satisfactoria.
Figura 70.Validación de materiales
Fuente: Propia, ANSYS
91
A continuación, se definirán las condiciones de borde y se asignará la carga a la cual
se expondrá la placa.
Figura 71.Condiciones de borde o de contorno
Fuente: Propia, ANSYS
En el recuadro azul se agrega el tipo de carga y las condiciones de borde como los
apoyos, en este caso se agregan apoyos fijos en los cuatro extremos de la placa.
Figura 72.Designación de apoyos
Fuente: Propia, ANSYS
92
Como primera medida se agregará la carga puntual con una magnitud de 10kN en el
centro del elemento. Nuevamente usando la herramienta de seleccionar cara y
haciendo clic en el botón de mas (+) en localización, se agrega la cara en donde se
aplicará la fuerza.
Figura 73.Asignación de la carga
Fuente: Propia, ANSYS
Se selecciona la opción de aplicar remotamente en el origen del punto
Figura 74.Punto de origen de la carga
Fuente: Propia, ANSYS
93
Se indica la magnitud, en Newton, de la carga aplicada y se activa la opción de
dirección contraria debido a que inicialmente indica la dirección de la carga saliendo de
la superficie. De esta forma se define la carga aplicada y se debe volver al menú de
condiciones de frontera para indicar los apoyos de la carga.
Figura 75.Aceptación de la carga
Fuente: Propia, ANSYS
Para agregar los apoyos se ingresa a condiciones de frontera y se selecciona la opción
de soporte, se deben agregar cada uno de los soportes necesarios.
Figura 76.Fijación de los apoyos
94
Fuente: Propia, ANSYS
Para agregar los soportes, dentro de las opciones de la geometría se debe seleccionar
la herramienta mostrar vértices y para seleccionarlos se activa la opción seleccionar
borde, y en la opción de localización. Se deben seleccionar para cada uno de los
soportes una localización en el signo más (+), en este caso puntual en las cuatro
esquinas de la placa.
Figura 77.Apoyos de tercer grado; empotrados
Fuente: Propia, ANSYS
Una vez ubicada la totalidad de soportes y carga que serán objeto de estudio, la tabla
de menú de condiciones de frontera muestra si están cargadas correctamente y el
ambiente grafico muestra el sentido y la posición de cada una de las características
agregadas.
95
Figura 78.Visualización de los apoyos
Fuente: Propia, ANSYS
Una vez cargadas y aceptadas las condiciones de frontera se procede a revisar las
opciones de solución, el programa deberá mostrar todo con simbología verde y sin
mensajes de advertencia, así se sabrá que todos los datos hasta ahora definidos están
correctamente cargados.
Figura 79.Opciones de solución
Fuente: Propia, ANSYS
96
Una vez cargados todos los datos de descripción física del modelo en estudio, se debe
volver al menú principal y hacer clic en el botón azul resolver física de esta forma el
programa revisa todas las condiciones y las carga al modelo propuesto.
Figura 80.Resolver Física
Fuente: Propia, ANSYS
Una vez terminado el proceso de revisión ANSYS muestra cargado de forma
satisfactoria la tarea de atributos físicos del modelo.
Figura 81.Verificación de los parámetros físicas
Fuente: Propia, ANSYS
97
Paso 5. Solución del proceso
Volviendo al menú principal, y como tarea final, se entrarán a evaluar los criterios más
relevantes del modelo estructural.
Figura 82.Evaluación estructural
Fuente: Propia, ANSYS
Dentro del menú principal de resultado se encuentra precargados la magnitud de
desplazamientos y los esfuerzos equivalentes, sin embargo, es posible agregar más
análisis que se deseen. Para efectos del ejercicio se realizará el análisis de los dos
atributos anteriormente nombrados.
98
Figura 83.Evaluación estructural
Fuente: Propia, ANSYS
ANSYS muestra gráficamente los esfuerzos que sufre la placa en los apoyos y en la
parte inferior del menú muestra las magnitudes de los mismos.
Figura 84.Esfuerzos equivalentes
Fuente: Propia, ANSYS
99
De igual forma que para los esfuerzos, ANSYS genera una gráfica de zonas de
influencia de esfuerzos por colorimetría y en la parte inferior del menú los datos
máximos y mínimos obtenidos.
Figura 85.Esfuerzos equivalentes
Fuente: Propia, ANSYS
7.2 MODELO B
7.2.1 CARGA DISTRIBUIDA, MODELACIÓN EN SAP 2000
Para la modelación de la carga distribuida se repiten los pasos del 1 al 7 propuestos en
el numeral 7.1.1
Paso 8. Patrón de carga
La diferencia en modelación con el Modelo A, radica principalmente en la selección del
patrón de carga, que en este caso será una carga distribuida sobre el área de 10 kN/m2
en sentido gravitacional; y las propiedades del material se mantendrán. Se establece
de igual manera que con la carga puntual.
100
Figura 86. Patrón de carga distribuida, SAP 2000
Fuente: Propia, SAP 2000
Paso 9. Establecer la carga distribuida
De la misma manera debemos establecer la carga uniforme sobre el área de afectación
del elemento y su magnitud por metro cuadrado mediante “Barra de herramientas “>>
“Asignar” >> “Cargas de área” >> “Uniforme (Shell)”
Figura 87. Carga de área, uniforme Shell, SAP 2000
Fuente: Propia, SAP 2000
101
Figura 88. Configuración de la carga por área, SAP 2000
Fuente: Propia, SAP 2000
Para generar una mayor aproximación en la evaluación de la respuesta del elemento
frente a la carga, debemos subdividir el área en sub dominios de la misma forma que
el caso del modelo A.
Figura 89. Elementos finitos, carga distribuida, SAP 2000
Fuente: Propia, SAP 2000
102
Se genera el análisis del elemento bajo una carga distribuida en sentido gravitacional
(Dirección del eje z). Dicho análisis muestra que las deformaciones se distribuyen de
manera gradual y en comparación a la carga distribuida es de menor magnitud en el
centro de la placa.
Figura 90.Deformaciones debido a la carga distribuida, SAP 2000
Fuente: Propia, SAP 2000
Los esfuerzos son menores, dada la manera de distribución de la carga, donde la mayor
concentración se genera en los apoyos, dada la transmisión de los mimos.
Figura 91.Esfuerzos debido a la carga distribuida, SAP 2000
Fuente: Propia, SAP 2000
103
7.3 CARGA DISTRIBUIDA, MODELACIÓN EN ANSYS
Figura 92.Definición de carga Distribuida, ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
Para ejecutar la modelación de la placa expuesta a una carga distribuida, se toman los
mismos pasos anterior mente descritos para definir la geometría y el mallado, los
cambios se presentan a partir de las condiciones de borde, en donde se selecciona la
opción de presión y dentro del menú emergente se introducen los datos con los cuales
se realiza el proceso de modelación.
Figura 93.Condiciones de borde, carga Distribuida, ANSYS
104
Fuente: Propia, ANSYS
Posteriormente se define el generador de interfase:
Tipo de interfase: contacto
Especificación de tolerancia: Automática
Creación de comportamiento de contacto: uno compartido a todos los
contactos. Figura 94.Opciones de solución, ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
En las opciones de solución de revisa que todos los ítems estén correctamente
cargados y aprobados por el programa.
105
Figura 95 .Atributos físicos, ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
Posterior a cargar todos los datos asociados a los atributos físicos de hace clic sobre
el botón azul solución física, con el fin de que queden cargados estos datos en el
modelo definido. Si hay inconsistencia, ANSYS no permitirá avanzar y en la parte
inferior de la pantalla aparecen los errores y alertas que se deben corregir.
Para finalizar el proceso de simulación, de elije la opción de resultados y ahí se
indican los análisis que se desean obtener. A continuación, se muestra el análisis
realizado por el programa para las fuerzas de reacción.
Figura 96 .Fuerzas de reacción, ANSYS
106
Fuente: Propia, ANSYS
El diagrama anterior muestra las reacciones en los apoyos que produce la carga
distribuida sobre el elemento en estudio.
Figura 97 .Reacción en los apoyos, ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
Adicionalmente se muestran los diagramas de esfuerzos equivalentes y magnitud
de desplazamiento.
107
Figura 98 .Esfuerzos equivalentes, ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
Para evidenciar los esfuerzos equivalentes producidos por la carga aplicada se debe
cargar el volumen de la geometría definida y posteriormente de hace clic sobre el
botón de evaluar.
Figura 99 .Esfuerzos en los apoyos, ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
El diagrama muestra como resultado el esfuerzo que sufren los apoyos. Finalmente
se muestra el análisis de magnitud de desplazamientos haciendo clic sobre el botón
de evaluar.
108
Figura 100 .Deformación de elemento, ANSYS
Fuente: Propia, ANSYS
ANSYS arroja el diagrama de deformaciones por colorimetría sobre el elemento en
estudio y de esta forma concluye el análisis del comportamiento estructural del
elemento placa expuesta a una carga distribuida.
109
8 ANÁLISIS DE RESULTADOS
Las modelaciones se realizarón bajo el principio de análisis estático lineal, es decir en
el campo elástico de los materiales involucrados del elemento en cuestión. Dado la
evaluación de la placa de concreto de 3000 Psi con dimensiones de 2,5m x 2,5 m, de
espesor de 10 cm, se observó que el análisis estructural en cuanto a deformaciones,
esfuerzos, reacciones y otras solicitaciones varían en su aproximación; esto debido a
los datos de entrada de ingeniería, definición de factores aplicados a materiales usados
con respecto a otros modeladores, en este caso ANSYS 17.0 y SAP 2000, debido a la
manera de interacción de los elementos finitos en cada uno.
En el análisis del modelo A (bajo una carga puntal en la cara superior del elemento de
10kN) mediante SAP 2000 se necesitó la creación de sub áreas del elemento, anotando
que este se comportó como elemento Shell Thin, lo que indica una relación menor del
5 % entre el espesor y la longitud del mismo, por lo que no se hace necesario el análisis
de la deformación por cortante, solo es imperante la generada por la flexión. La
respuesta del elemento está relacionada con la cantidad de sub divisiones de área
realizadas, lo que indica que, a mayor cantidad de elementos finitos generados
manualmente, mayor será la respuesta estructural (figura 47). La mayor deformación
registrada en el punto de acción de la carga fue de 0,00097m en dirección gravitacional.
En el análisis del modelo A bajo el ambiente de ANSYS no fue necesaria la creación
de sub estructuras debido a que en la generación del mallado la geometría propuesta
se subdividió en áreas pequeñas separadas por nodos ordenados para obtener la
mayor aproximación en los resultados de los datos, se indicarón varias densidades de
mallado de manera manual en un rango de desde 5 cm hasta 80cm sobre la superficie
(Figura 63), debido a estos atributos cargados a la geometría se obtuvo una
deformación máxima en el punto de aplicación de la carga de 0.00057 m.
En el modelo B, cuando se incorpora una carga distribuida de 10kN/m2 sobre el
elemento de estudio bajo el análisis efectuado por SAP 2000 a diferencia del primer
modelo la repartición de esfuerzos sobre el área de contacto es más eficiente,
generándose principalmente los menores valores en el centro del elemento, debido a
la trasmisión de los mismos entre los elementos finitos, los mayores registrados en los
apoyos de tercer grado (en un rango de 1.02 a 1.19kN/m2). Dado lo anterior se verifico
que las deformaciones son graduales y que se distribuyen en un rango de 0.0021m a
0,0037m (mayores valores en el centro del elemento) como se muestra en la figura 91
De manera similar el comportamiento en ANSYS 17.0 de la carga distribuida presenta
disminución en los resultados de magnitud de desplazamiento, siendo: 0.0025m y
0.0035m respectivamente.
110
A continuación, se presenta los datos más representativos que son resultado del
análisis comparativo de los dos programas utilizados en los modelos propuestos
Tabla 3. Comparativo de análisis
Fuente: Propia
Se realizó una evaluación de la convergencia con base a la aproximación de la
deformación máxima que sufre el elemento placa bajo las dos cargas propuestas con
respecto a la solución próxima o exacta de la misma. La comparación de la
convergencia se estimó respecto al espaciamiento del mallado utilizado en ANSYS y
SAP 2000, el cual involucra indirectamente el error asociado, A continuación, se
presenta lo anterior.
𝑤 =0,056𝑃𝐿2
𝐷
Donde D es la matriz constitutiva para materiales isotrópicos que relaciona los
esfuerzos y deformaciones
𝐷 =(21538𝑀𝑃𝑎 𝑥 103)(0,10𝑚)3
[12 (1−0,32)]= 1972,34𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑤 =0,056𝑃𝐿2
𝐷= 0,056
(10𝑘𝑁)(2.50 𝑚)2
1972,34𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝒘 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟕𝟕𝟒𝒎(𝑬𝒗𝒂𝒍𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂)
La ilustracion 12 muestra la convergencia o aproximacion de la deformacion máxima
del elemento bajo una carga puntual de 10kN, variando el mallado inicialmente de
0.80m hasta llegar a un valor de 0.05 m (Recordando el mallado de geometria
cuadrada), lo que ocasiona que para el primer caso la deformacion maxima alcanza un
valor de 0.0004m hasta un valor 0.00057m donde el mallado es mas denso en ANSYS,
en comparacion con SAP 2000 para los mismos rangos de densidad de mallado las
magnitudes son 0,00078m y 0,00097m respectivamente. Ahora, la convergencia con
respecto a la ecuacion teorica de la deformacion máxima que tiene una magnitud de
0,001774m.
ANSYS SAP 2000 ANSYS SAP 2000
(m) (m) (m) (m) (m)
0,05 0,00350 0,00371 0,00057 0,00097
0,1 0,00310 0,00331 0,00050 0,00095
0,2 0,00280 0,00305 0,00046 0,00089
0,4 0,00260 0,00278 0,00043 0,00084
0,8 0,00250 0,00215 0,00040 0,00078
Espaciamiento del mallado DISTRIBUIDA
Desplazamiento Máximo
PUNTUAL
111
Ilustración 12. Convergencia de la carga Puntual
Fuente: Propia
La ilustración 13, indica la convergencia anteriormente descrita, pero en este caso bajo
la accion de una carga distribuida de 10 kN/m2, con el mismo intervalo de
espaciamiento del mallado, en el cual se observa una deformacion maxima 0.0025m
con el mayor espaciamiento y de 0.0035m en el menor en la modelacion de ANSYS,
de manera paralela en la simulacion de SAP 2000 respectivamente son 0,00215m y
0,00371m. Para el caso de la carga distribuida la convergencia no se realiza con base
a la evalucion teórica dado que está definida bajo un análisis matemático de mayor
complejidad (ecuaciones diferenciales de grado superior); el análisis por este metodo
no hace parte del objeto del presente estudio.
Ilustración 13. Convergencia de la carga distribuida
Fuente: Propia
112
9 CONCLUSIONES
De la misma manera que el modelador de ANSYS, es necesario generar elementos
finitos en el elemento placa para un mejor análisis estructural en SAP 2000. La
diferencia radica principalmente que el primer modelador incorpora un mallado, ya sea
creado sobre la misma interfase o importado, mientras el segundo solicita la creación
de sub dominios sobre el elemento de mayor similitud a la modelación; es decir un
elemento tipo Shell, Plate o membrana. Mediante SAP 2000 se alcanzó una
deformación máxima debida a la flexión 0.00097m causada por la carga puntual, y de
0.00371m por la distribuida bajo el análisis de un mallado denso con espaciamiento de
0,05m.
La finalidad del mallado es Discretizar el elemento en cuestión partiendo de las
funciones de forma seleccionadas que describen el comportamiento de las
deformaciones, esfuerzos y reacciones en el contorno de cada elemento finito. Los sub
dominios consisten en fraccionar o dividir la placa original en finitas placas con las
mismas propiedades. Se observó que a medida que se genera una mayor cantidad de
elementos finitos en SAP, el análisis de las solicitaciones es de mayor precisión y la
deformación del elemento se evidencia mejor. La malla utilizada en el análisis del
elemento mediante ANSYS fue elemental y reticular, dada la forma regular la placa y la
simplicidad de la misma, fue necesario la implementación de una malla de más de 400
elementos finitos, para generar una mayor aproximación en el análisis estructural, y de
tal manera tras un espaciamiento de 5 cm en el mallado la deformación máxima alcanzo
un valor de 0.00057m y de 0.0035m para la carga puntual y distribuida respectivamente.
Cuando se evalúa en ANSYS, se evidencia que la interfase de este es mucho más
estructurada y secuencial, lo que condiciona al usuario a realizar un análisis más
completo del elemento, en cuanto a sus propiedades geométricas, condiciones de
mallado, condiciones físicas y datos de ingeniería. Debido a que ANSYS en su versión
17.0 está definido en un ambiente puramente gráfico, cargar los datos geométricos,
condiciones de borde y aplicación de carga se convierte en un proceso repetitivo, con
un grado de dificultad menor al que se puede presentar en comparación con SAP 2000
Gracias al análisis de datos, es válido concluir que, en comparación al modelo de carga
puntual, la carga distribuida sobre el objeto en estudio presenta menos deformación,
esto debido a la naturaleza de la carga, ya que se presenta de manera uniforme sobre
la totalidad del área de la placa. Debido a que el objeto en estudio es una superficie
que no presenta pliegues ni curvaturas que ocasionen discontinuidad brusca en la
geometría del elemento, fue de gran utilidad las mallas predefinidas por ANSYS, sin
embargo, es de aclarar que, en caso de hacer uso de una geometría compuesta por
distintas figuras, cada objeto se debe distinguir de la totalidad y aplicar un mallado de
113
acuerdo a la naturaleza misma de la figura y a la precisión de los datos que se quieran
obtener.
Se concluye que, en comparación con la ecuación teórica de la deformación máxima
de la placa, en condiciones de carga puntual, se genera un porcentaje de error
equivalente al 54.68% comparado con la magnitud máxima calculada por ANSYS
equivalente a 0.00097m la cual en la curva de convergencia es la más próxima al
modelo teórico. De lo anterior se infiere que, para alcanzar la solución exacta teórica,
se debe generar un mallado con mayor grado de densidad, es decir un menor espaciado
entre nodos.
114
10 RECOMENDACIONES
La aproximación de la convergencia del mallado con respecto a la solución exacta de
la deformación que sufre el elemento está relacionada directamente con el
espaciamiento de la misma, por consiguiente, es necesario establecer adecuadamente
la geometría y los parámetros físicos del elemento de estudio; propiedades como el
módulo elástico, coeficiente de Poisson, Coeficiente térmico y otros que influyen en el
comportamiento del elemento.
Aunque se brinde una guía paso a paso de la modelación mediante SAP 2000 y ANSYS
17.0 el evaluador o persona interesada en tomar esta guía para futuras modelaciones
y/o comparaciones de cualquier elemento en cuestión debe tener una idea clara de las
posibles respuestas que sufrirá este bajo solicitaciones externas en cuanto a
deformaciones, esfuerzos, reacciones, transferencia de calor y otros resultados que
brinda el programa. El usuario puede utilizar la importación de archivos CAD tanto de
la geometría, como de mallados predefinidos que facilitaran el análisis estructural de
los elementos.
Es necesario definir una geometría y su volumen para iniciar con el análisis dentro del
ambiente de ANSYS, esto debido a que la interfase trabaja solo con objetos
tridimensionales y sobre ese criterio arrojará los cálculos deseados. Definir las
condiciones de borde sobre un elemento como la placa se convierte, dentro del
ambiente grafico de ANSYS, en un problema meramente gráfico, ya que solo es
necesario tener claridad sobre la dirección de la carga aplicada y localizar los tipos de
apoyo que se desean de manera gráfica.
Se recomienda, si se desea ahondar más sobre el presente trabajo, realizar un modelo
a escala que simule las condiciones teóricas aportadas, con el fin de calibrar los
métodos computacionales, teóricos y experimentales para lograr un cálculo asertivo en
el ejercicio profesional.
115
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