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Microondas
Tema 5: Diseño de filtros de microondas
Pablo Luis López Espí
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Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
1
Índice
Método de las pérdidas de inserciónRespuestas y prototipos paso bajoTransformaciones en frecuenciaInversores de inmitanciaTransformación de Richards y Equivalencias de KurodaFiltros paso bajo con secciones de líneaFiltro paso alto con stubs en cortocircuitoFiltro paso banda con líneas acopladas
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Dis
eño
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iltro
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Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
2
Método de las pérdidas de inserción
PDG
ZG= Z0
ZL= Z0
Red pasiva y sin pérdidas referida a Z0
ΓIN
( ) ( )2
21 2 2
1
1 1DG
i
DG IN IN
Pl SP
= = =− Γ − Γ
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Dis
eño
de F
iltro
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Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
3
Funciones de transferencia
Respuesta de un filtro pasivo y sin pérdidas:
Epsilon es una constante de rizado, F() es una función característica y omega es la pulsación.
( ) ( )2
21 2 2
11 n
S jFε
Ω =+ Ω
2 22
21
1( ) 10 log 10 log 1 ( )( )
i ndBL F
S jε⎡ ⎤Ω = = + Ω⎣ ⎦Ω
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Dis
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Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
4
Respuestas máximamente plana y elíptica
221 2
1( )1 nS jΩ =+Ω
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Microondas ITT-ST Tema 5
5
Respuesta Chebychev
221 2 2
1( )1 ( )n
S jTε
Ω =+ Ω
1010 1rL
ε = −
1
1
cos( cos ) 1( )
cosh( cosh ) 1n
nT
n
−
−
⎧ Ω Ω ≤⎪Ω = ⎨Ω Ω ≥⎪⎩
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Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
6
Prototipos paso bajo en escalera
42g g0g
1g 3g
4gg2
1gg0 3g
(n impar)(n par)
n+1gng
(n par)
n+1g
(n impar)
ng
ng
n+1g gng n+1
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Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
7
Prototipo Butterworth
( )
1
1.0
2 12sin 1...
21.0
o
i
n
g
ig para i n
ng
π
+
=
−⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠=
10log 10 1
2log
aL
a
n
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠≥Ω
n g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10
1 2.0000 1.0000
2 1.4142 1.4142 1.0000
3 1.0000 2.0000 1.0000 1.0000
4 0.7654 1.8478 1.8478 0.7654 1.0000
5 0.6180 1.6180 2.0000 1.6180 0.6180 1.0000
6 0.5176 1.4142 1.9318 1.9318 1.4142 0.5176 1.0000
7 0.4450 1.2470 1.8019 2.0000 1.8019 1.2470 0.4450 1.0000
8 0.3902 1.1111 1.6629 1.9616 1.9616 1.6629 1.1111 0.3902 1.0000
9 0.3473 1.0000 1.5321 1.8794 2.000 1.8794 1.5321 1.0000 0.3473 1.0000
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Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
8
Prototipo Chebychev
1 2
1.0
coth4
n
para n imparg
para n parβ+
⎧⎪= ⎨ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
( ) ( )
( )
1
1 2 2
2 sin2
2 1 2 34sin sin
2 21 2,3,...1
sini
i
gn
i in n
g para i ng i
n
πγ
π π
πγ−
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =
−⎡ ⎤+ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
ln coth17.37
sinh2
rL
n
β
βγ
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
101
10
1
10 1cosh10 1
cosh
s
r
L
L
a
n
−
−
−
−≥Ω
n g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11
1 0.6986 1.0000
2 1.4029 0.7071 1.9841
3 1.5963 1.0967 1.5963 1.0000
4 1.6703 1.1926 2.3661 0.8419 1.9841
5 1.7058 1.2296 2.5408 1.2296 1.7058 1.0000
6 1.7254 1.2479 2.6064 1.3137 2.4758 0.8696 1.9841
7 1.7372 1.2583 2.6381 1.3444 2.6381 1.2583 1.7372 1.0000
8 1.7451 1.2647 2.6564 1.3590 2.6964 1.3389 2.5093 0.8796 1.9841
9 1.7504 1.2690 2.6678 1.3673 2.7273 1.3673 2.6678 1.2690 1.7504 1.0000
![Page 10: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/10.jpg)
Dis
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Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
9
Prototipo elíptico
3
g0
2g
2g'
g10g
1g g
2g
g'2
g
4g
4g' gn n+1
n-1g
n-1g' gn+1
ggn-1g3
(n par)
n-1g
4g
4g'
gn
g'n-1n+1 ng n+1g
(n impar)
ng
n-1g
(n par) (n impar)
(a)
(b)
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Dis
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de F
iltro
s de
Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
10
Prototipo elíptico (II)
n Ω a La dB g1 g2 g’2 g3 g4 g’4 g5
3
1.44931.69492.00002.5000
13.569818.857124.001230.5161
0.74270.83330.89490.9471
0.70960.84390.93751.0173
0.54120.32520.20700.1205
0.74270.83330.89490.9471
4
1.20001.24251.29771.39621.50001.70902.0000
12.085614.125916.534320.301223.737829.534336.0438
0.37140.42480.48770.56750.62820.70940.7755
0.56640.64370.72840.84670.94011.06881.1765
1.09290.89020.71550.52610.40730.27300.1796
1.11941.14451.17281.21381.24711.29431.3347
0.92440.92890.93220.93450.93520.93480.9352
5
1.05001.10001.14941.20001.25001.29871.40851.61291.81822.0000
13.878520.029124.545128.303131.491134.248439.594747.569854.021558.9117
0.70810.81300.87260.91440.94480.96811.00581.04811.07301.0876
0.76630.92421.00841.06521.10601.13661.18621.24161.27411.2932
0.73570.49340.38450.31630.26940.23520.18160.12440.09190.0732
1.12761.22451.30971.38201.44151.49041.57711.68431.75221.7939
0.20140.37190.49910.60130.68290.74890.86381.00311.09031.1433
4.38122.13501.44501.09330.88270.74260.54360.35400.25500.2004
0.04990.29130.43020.52970.60400.66150.75780.86920.93670.9772
![Page 12: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/12.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
11
Transformaciones en frecuencia
Paso bajo Paso alto
' o ii
c
Z LLω
=
' ii
o c
CCZ ω
=
iL
iC
1'ic o i
CZ Lω
=
iC
iL
' oi
c i
ZLCω
=
![Page 13: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/13.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
12
Transformaciones en frecuencia (II)
Paso banda Banda eliminada
iL 'iL 'iC
iC 'iL 'iC
'
'
i oi
o
io i o
L ZL
CL Z
ω
ω
⎧ =⎪ Δ⎪⎨ Δ⎪ =⎪⎩
'
'
oi
o i
ii
o o
ZLCCC
Z
ω
ω
Δ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ Δ⎩
'
1'
i oi
o
io i o
L ZL
CL Z
ω
ω
Δ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ Δ⎩
'
'
oi
o i
ii
o o
ZLC
CCZ
ω
ω
⎧ =⎪ Δ⎪⎨ Δ⎪ =⎪⎩
iL'iL
'iC
iC 'iL
'iC
![Page 14: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/14.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
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Microondas ITT-ST Tema 5
13
K K C
C
L
J J
L
(a)
(b)
Inversores de inmitancia
Un inversor de inmitancia esuna red de dos puertas en elque se cumple que:
ó
Es un cuadripolo pasivo,recíproco y sin pérdidas en elque S11 y S22 son reales.El desfase entre puertas hade ser de ± 90º
2
12
KZZ
=2
12
JYY
=
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Dis
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iltro
s de
Mic
roon
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Microondas ITT-ST Tema 5
14
C
0Z K0,1
La1
J0Y 0,1
(a)
(b)
1,2K
La2
2,3K n,n+1K
Lan
n+1Z
J JCa1 1,2 a2 2,3 C Jn,n+1an n+1Y
( 1)1 10,1 , 1 , 1
0 1 1 11... 1
, ,ai a io a an ni i n n
i i n ni n
L LZ L L ZK K Kg g g g g g
+ ++ +
+ += −
= = =
( 1)1 10,1 , 1 , 1
0 1 1 11... 1
, ,ai a io a an ni i n n
i i n ni n
C CY C C YJ J Jg g g g g g
+ ++ +
+ += −
= = =
Inversores de inmitancia (II)
Prototipos paso bajo con inversores
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Dis
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Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
15
Inversores de inmitancia (III)
C0Y J0,1 p1L
Z0
CL
K0,1
p3p2Jp1 1,2 Cp2L J2,3 L p3C Jn,n+1 n+1Y
CL
K1,2 2,3K
J2,3
CL
Kn,n+1 Zn+1
(a)
(b)
( 1)0 0 1 0 0 10,1 , 1 , 1
0 1 1 11... 1
, ,si s is sn ni i n n
c c i i c n ni n
L LZ L L ZK K Kg g g g g gω ω ω+ +
+ ++ += −
Δ Δ Δ= = =
Ω Ω Ω
0 0 1 ( 1) 0 100,1 , 1 , 1
0 1 1 11... 1
, ,p pi p i pn ni i n n
c c i i c n ni n
Y C C C C YJ J J
g g g g g gω ωω + +
+ ++ += −
Δ ΔΔ= = =
Ω Ω Ω
s1 s1 s2 s2 sn sn
Prototipos paso banda con inversores
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Microondas ITT-ST Tema 5
16
Transformación de Richards
Fue realizada por Richards en 1948 para sintetizar una red LC mediante líneas de transmisión.
La respuesta en frecuencia de los filtros así diseñados es periódica de periodo 4ωC.
Todos los stubs del filtro tienen la misma longitud eléctrica (λ/8) por este motivo estos filtros se llaman equiproporcionados
( )p
dtg d tgvωβ⎛ ⎞
Ω = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Z = 1/C
CjB
l=λ/8
Z = L
l=λ/8
BC C
XL L
C
jXL
C
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Microondas ITT-ST Tema 5
17
Equivalencias de Kuroda
Las equivalencias de Kuroda permiten construir físicamente los diseñosrealizados con stubs aplicando la transformación de Richards.
Separar físicamente stubs con líneas de transmisión.Transformando stubs serie en stubs paralelo o viceversa.Cambiando impedancias características irrealizables en otras másapropiadas.
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Microondas ITT-ST Tema 5
18
Equivalencias de Kuroda (II)
1Z2
Z1
Z2
1Z
1n Z1
2
1n Z2
2n
Z1
1Z2n
2 2
1
1 ZnZ
= +
![Page 20: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/20.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
19
Equivalencias de Kuroda (III)
2ZZ1 n
Z12n
Z12
1:n2
1Z
Z1
2 n :12
n Z21
1n Z21
2 2
1
1 ZnZ
= +
![Page 21: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/21.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtro paso bajo con stubs
El filtro de la imagen ha sido diseñado empleando las equivalencias de Kuroda y las transformaciones de Richards
Microondas ITT-ST Tema 5
20Stubs λ/8 en abierto
![Page 22: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/22.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
21
Equivalente de una sección de línea:
Filtros con secciones cortas de línea
Para secciones de altaimpedancia y longitud menor de45º, la línea equivale a unabobina. Para secciones de bajaimpedancia equivale a uncondensador.
Ecuaciones de diseño:
Z11 – Z12 Z11 – Z12
Z12
( )( )
11 22
12 21
cot
cosC
C
Z Z jZ g d
Z Z jZ ec d
β
β
= = −
= = −
11 12 2CdZ Z jZ tg β⎛ ⎞− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
0
HG HGHG
LWLW LW
LZdZZ Cd
Z
β
β
=
=
![Page 23: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/23.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros con secciones cortas de línea
Microondas ITT-ST Tema 5
ZHG
ZLW
![Page 24: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/24.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
23
Filtros con líneas acopladas
Se ajustan los valores de las admitancias características de los inversores J para que las terminaciones sean unitarias y los circuitos resonantes sean todos idénticos
RG = 1
L0 L0C0 C0 RL = 1J01 J12 JN, N+1
0 001
1
CJg
ω Δ= 0 0
, 11 1
i ii
CJg g
ω+
+
Δ= 0 0
, 11
N NN N
CJg gω
++
Δ=
0 1 2
2 1
0
ω ω ωω ωω
=
−Δ =
![Page 25: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/25.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
24
Filtros con líneas acopladas (II)
Línea microstrip acoplada
S
1
2Φ = βd = π/2
Z0 Z0J
Φ Φ
![Page 26: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/26.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
25
Filtros con líneas acopladas (III)
S1
1
2
Φ = βd = π/2 Φ = βd = π/2
S2
Z0 Z0J
Φ Φ
Z0 Z0J
Φ Φ
![Page 27: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/27.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
26
Filtros con líneas acopladas (IV)
Resonador microstrip en lambda/2λ/2
Z0 C0 L0
00
0
00
0
2
2
ZL
YC
πωπω
=
=
![Page 28: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/28.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
27
Filtros con líneas acopladas (V)
Acoplamiento de las líneas
20
0
20
0
1
1
e
o
Z J JZZ J JZ
= + +
= + −0 0
0 0
e o
e o
Z ZCZ Z
−=
+0 2 4 6 8
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Distancia entre t
Aco
plam
ient
o (u
nida
des
natu
rale
s)
010 12
Jg gπΔ
= , 11 12i i
i
Jg gπ
++
Δ=
, 112N N
N N
Jg gπ
++
Δ=
![Page 29: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/29.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros con líneas acopladas (VI)
Microondas ITT-ST Tema 5
28Filtro de orden N=3
Líneas resonantes λ/ en abierto
![Page 30: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/30.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Otros filtros paso banda
Microondas ITT-ST Tema 5
29Condensadores de acoplo
Filtro de gap
Filtro con resonadores en anillo
![Page 31: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/31.jpg)
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de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
30
Filtros paso alto con stubs en corto
Se consigue un filtro de orden 2n-1 empleando únicamente n stubs.
=1yo
Stubs en corto circuito de longitud eléctrica θc
y1,2
1
θc
y2 n-1
y y
2θc
n-1,ny =1y
o
ny
2θc
![Page 32: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/32.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
31
Filtros paso alto con stubs en corto (II)
Respuesta de periodo PI
cc
ff
θ θ=
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Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Microondas ITT-ST Tema 5
32
Filtros paso alto con stubs en corto (III)
Elementos para filtros paso alto óptimamente distribuidos de 0.1 dB de rizado
n11 θcy1yn
y1,2yn-1,n
y2yn-1
y2,3yn-2,n-1
y3yn-2
y3,4
225º30º35º
0.154360.220700.30755
1.134821.115971.08967
325º30º35º
0.196900.286200.40104
1.120751.092201.05378
0.181760.307260.48294
425º30º35º
0.224410.323000.44670
0.111131.078421.03622
0.237320.394430.60527
1.103611.064881.01536
525º30º35º
0.240680.342520.46895
1.105401.071191.02790
0.271100.439850.66089
1.093171.050950.99884
0.296590.482840.72424
625º30º35º
0.250380.353460.48096
1.101991.067201.02354
0.290730.463830.68833
1.087251.043950.99126
0.330310.526150.77546
1.083021.037940.98381
![Page 34: Microondas - agamenon.tsc.uah.esagamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mic/apuntes/filtros08_09.pdf · Diseño de Filtros de Microondas. Microondas ITT-ST. Tema 5. 3. Funciones de](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022040207/5e12e445529e5845197672e6/html5/thumbnails/34.jpg)
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
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Microondas ITT-ST Tema 5
33
Filtros paso alto con stubs en corto (IV)
Stubs de longitud θc terminados en cortocircuito
Líneas de longitud 2·θc