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Métodos iterativos de solución de SEL
Método de Gauss-SeidelMAT-251
Dr. Alonso Ramírez ManzanaresCIMAT A.C.e-mail: [email protected] web: http://www.cimat.mx/~alram/met_num/
Dr. Salvador Botello RiondaCIMAT A.C.
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Descomposición de Jacobi• En el método de Jacobi, descomponíamos la matriz como
2
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Método Iterativo de Jacobi
• Ejemplo para el SEL con solución exacta
• Para tener un sistema
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Fórmula iterativa de Gauss-Seidel
• Teniendo la siguiente fórmula para el calculo iterativo de cada xi :
• Pero, nótese que cuando calculamos una incógnita i, de hecho ya calculamos antes todas las x1,...,xi-1, por lo que podemos acelerar la convergencia usando:
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Ejemplo del método de Gauss-Seidel
• Veamos un ejemplo para solución de este SEL con solución exacta
• el cuál dá origen a las siguientes fórmulas iterativas:
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Ejemplo del método de Gauss-Seidel
• Si utilizamos x(0) = (0,0,0,0)T e iteramos obtenemos
• para la condición de paro:
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Gauss-Seidel vs. Jacobi (ambos con la misma condición de paro)
• Jacobi
• Gauss-Seidel
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Algoritmo (1 de 2)
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Algoritmo (2 de 2)
¿Es necesario guardar la matriz?
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Forma matricial del método de Gauss-Seidel
• Tomamos la ecuación iterativa
• y multiplicamos todo por aii y agrupamos los términos asociados a la misma iteración:
• Quedando el conjunto de todas las ecuaciones i=1,...,n como
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Forma matricial del método de Gauss-Seidel
• Este sistema de ecuaciones partiendo de que la matriz fué descompuesta como A = D - L - U
• genera la fórmula matricial iterativa
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Forma matricial del método de Gauss-Seidel
• Dada la fórmula iterativa
• si existe, entonces usamos y
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¿Cuándo funciona esto?
• Dado que usamos , debemos de invertir D-L, y su determinante es a11*a22*...*ann.
• Por lo tanto necesitamos que aii sea diferente de cero.
• En el ejemplo mostrado, se sugiere que el metódo de Gauss-Seidel es superior al de Jacobi, esto sucede la mayoría de las veces, pero hay casos donde el método de Jacobi converge y el método de Gauss-Seidel no. Nótese que en el método de Jacobi su matriz asociada era Tj = D-1(L+U).
• Podemos decir que si la matriz A es estrictamente diagonal dominante, entonces para cualquier vector b y cualquier estimación inicial x(0) los 2 métodos convergen a la solución única del sistema Ax=b.
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Vector de residuo• Sea x~ una aproximación de la solución real x del sistema, entonces hay un
vector residual r = b- Ax~.
• Lo que se hace en los métodos de GS y Jacobi es generar una sucesión de aproximaciones tal que r converja rápidamente a cero.
• Definimos como el vector residual del método de GS correspondiente al vector solución xi(k) aproximado, que esta definido por:
• La m-ésima componente de ri(k) es:
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Vector de residuo
• De
• En particular la i-ésima componente de ri(k) es
• y por lo tanto
• y el paso de GS es:
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Vector de residuo
• por lo tanto
• se puede escribir como
• o sea
• Nótese entonces, que el paso de GS escoge xi(k) en función del residuo.
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Deducción de relajación• Analicemos ahora para la entrada del vector residual en el siguiente cálculo
• asociado al vector
• pero en GS
• por lo tanto el paso GS hace lo cual puede no ser muy correcto (agresivo,ya que no intenta hacer todo el vector r cero sino solo una entrada).
Ahora corre hasta i y no i-1
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Deducción de relajación
• Por lo tanto no usamos el paso tal cual,
• sino que lo relajamos
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El metodo SOR (Succesive Over Relaxation)
• En este método de relajación usamos un peso w
• con w = 1 tenemos el método de Gauss-Seidel, cuando 0 < w < 1 tenemos sub-relajación (algunas veces es mejor para sistemas que no convergen con GS) y si w > 1 tenemos sobre-relajación (la cúal se usa para acelerar la convergencia de sistemas que si convergen con GS). Hay teoría que sugiere 1< w < 2 en los casos de sobre relajación.
• TAREA, ESCRIBIR EL SISTEMA MATRICIAL DEL MÉTODO SOR.
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Pequeño ejemplo:
• El SEL con solución exacta