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CEROS DE FUNCIONES“MÉTODO DE PUNTO FIJO"
Mg. Ana Laksmy Gamarra Carrasco
Universidad Privada Antenor Orrego
Agosto del 2012
Método de Punto Fijo
El método de punto fijo o sustituciones sucesivas, es uno de losprimeros métodos que se utilizaron para resolver ecuacionestrascendentes. Es un método de fácil implementación y solorequiere de un punto inicial para el proceso iterativo.
ProblemaSea
f (x) = 0 encontrar x ⇒ cero
Método de Punto Fijo
El método de punto fijo o sustituciones sucesivas, es uno de losprimeros métodos que se utilizaron para resolver ecuacionestrascendentes. Es un método de fácil implementación y solorequiere de un punto inicial para el proceso iterativo.
ProblemaSea
f (x) = 0 encontrar x ⇒ cero
Método de Punto Fijo
¿Cómo se realiza?Transformar
f (x) = 0 ⇒ x = g(x)
Método de Punto Fijo
Proceso iterativoValor inicial x0Primera iteración x1 = g(x0)Segunda iteración x2 = g(x1)Tercera iteración x3 = g(x2)......i-esima iteración xi = g(xi−1)(i + 1)-esima iteración xi+1 = g(xi)
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x2 − x − 5
con x0 = 2.
Solución:
Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Caso 2.
x = g(x) =
√x + 5
2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x2 − x − 5
con x0 = 2.
Solución:
Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.
Caso 2.
x = g(x) =
√x + 5
2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x2 − x − 5
con x0 = 2.
Solución:
Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Caso 2.
x = g(x) =
√x + 5
2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
Criterio de convergenciaPara determinar si la sucesión x0, x1, x2, ... esta convergiendo odivergiendo a una raíz x , cuyo valor se desconoce, puedecalcularse en el proceso iterativo la sucesiónf (x0), f (x1), f (x2), ... si dicha sucesión tiende a cero, el procesoconverge a x , y dicho proceso se continuará hasta que|f (xi)| < ε1. Si f (x0), f (x1), f (x2), ... no tiende a cero, la sucesiónx0, x1, x2, ... diverge a x y el proceso deberá detenerse y elegirun nuevo g(x).
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π
8 .
Solución:
Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π
8 y tomamos otro g(x).Caso 2.
x = g(x) =cos x
3La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π
8 .
Solución:
Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π
8 y tomamos otro g(x).
Caso 2.x = g(x) =
cos x3
La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π
8 .
Solución:
Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π
8 y tomamos otro g(x).Caso 2.
x = g(x) =cos x
3La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
Criterio de convergenciaTeorema|xi+1 − xi | < ε
TeoremaSi g ∈ C[a,b] y g(x) ∈ [a,b], ∀x ∈ [a,b] entonces g tieneun punto fijo en [a,b]. Si además, g′(x) existe en (a,b) y|g′(x)| < k < 1, ∀x ∈ (a,b) entonces g tiene un punto fijoúnico en [a,b].
Método de Punto Fijo
Criterio de convergenciaTeorema|xi+1 − xi | < ε
TeoremaSi g ∈ C[a,b] y g(x) ∈ [a,b], ∀x ∈ [a,b] entonces g tieneun punto fijo en [a,b]. Si además, g′(x) existe en (a,b) y|g′(x)| < k < 1, ∀x ∈ (a,b) entonces g tiene un punto fijoúnico en [a,b].
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.
x = g(x) =20
x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
10
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casos
Caso 1.x = g(x) =
20x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
10
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.
x = g(x) =20
x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
10
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.
x = g(x) =20
x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
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Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.
x = g(x) =20
x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
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Método de Punto Fijo
EjercicioEncuentre la raíz real positiva de f (x) = ln x − x + 2 = 0,usando el método de punto fijo, con la tolerancia de ε = 10−4
aplicado a |xi+1 − xi | < ε.
Método de Punto Fijo
AlgorítmoPara determinar una raíz f (x) = 0 dado un valor x1razonablemente próximo a la raíz.Reordenar la ecuación en una forma equivalente: x = g(x)REPEATHacer x2 = x1Hacer x1 = g(x1)UNTIL |x1 − x2| < TOLERANCIA