Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones
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Resuelve todos los sistemas de ecuaciones siguientes por diferentes métodos algebraicos (en caso de que haya infinitas soluciones, propón al menos 2 de ellas):
(a) Reducción, sustitución, igualación y gráficamente. Simultáneamente, comprueba con la calculadora los resultados, señalando las soluciones lo más simplificadas posibles.
(b) A la vista de las soluciones obtenidas , di el nombre que recibe cada uno de los sistemas anteriores e interprétalos geométricamente.
MÉTODO DE REDUCCIÓN (Triangulación)
04 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
−=+=−−
25
02
yx
yx
RESOLUCIÓN
Eliminamos la "x"
−=+=−−
25
02
1
5
yx
yx
)(
)(
→
29
25
0105
−=−
−=+=−−
y
yx
yx
9y = 2 → y = 2/9 Calculamos el valor de la otra incógnita, de nuevo, por reducción:
−=+=−−
25
02
2
1
yx
yx
)(
)(
→
49
4210
02
−=
−=+=−−
/x
yx
yx
x = – 4/9 x = – 4/9 ; y = 2/9 ; Esta solución es comú n en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 4/9, 2/9) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
08
=+=+
362
53
yx
yx
RESOLUCIÓN
Eliminamos la "x"
=+=+
+−
362
53
1
2
yx
yx
)(
)(
700
362
1062
−=+
=+−=−−
yx
yx
yx
0 = – 7
Pero como 0 ≠ –7 No existe ninguna solución común en ambas ecuacione s
Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grad o...
... con dos incógnitas
Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas Sistema INCOMPATIBLE
Comprobación de las soluciones con la calculadora
ClassWiz nos indica que NO tiene solución
12
=+=+
251010
522
yx
yx
RESOLUCIÓN
=+=+−
251010
522
1
5
yx
yx
)(
)(
→
000
251010
251010
=+
=+−=−−
yx
yx
yx
0 = 0 INFINITAS SOLUCIONES
Geométricamente se trata de 2 rectas superpuestas SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Tendría por solución todos aquellos valores de “x” e “y” que verifiquen la igualdad
2x + 2y = 5 ; así, algunas soluciones serían:
2y = 5 – 2x
y = 2
25 x−
x = 0 ; y = 5/2
x = 1 ; y = 3/2
x = 2 ; y = 1/2
Comprobación de las soluciones con la calculadora
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MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Pasaremos a solucionar los 24 ejercicios por el mét odo de SUSTITUCIÓN, con el objetivo fundamental de practicar y afianzar su pro cedimiento de resolución.
Consiste en despejar UNA de las incógnitas de una de las ecuaciones (la que te parezca más sencilla) y sustituir la expresión resultante en la OTRA ecuación.
04 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
−=+=−−
25
02
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Despejamos la "y" de la segunda ecuación:
y = – 2 – 5x Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación – x – 2y = 0
– x – 2(– 2 – 5x) = 0 – x + 4 + 10x = 0
9x = – 4 x = – 4/9
Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en 5x + y = – 2 y = – 2 – 5x
y = – 2 – 5
−9
4 =
y = 9
2018+− =
9
2
y = 2/9 x = – 4/9 ; y = 2/9 ; Esta solución es comú n en ambas ecuaciones
Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 4/9, 2/9) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
08
=+=+
362
53
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Despejamos la x de la primera ecuación:
x = 5 – 3y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x + 6y = 3
2(5 – 3y) + 6y = 3 10 – 6y + 6y = 3
0y = – 7 0 = – 7
Pero como 0 ≠ – 7
Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grad o...
... con dos incógnitas
Son 2 rectas paralelas. Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas
Sistema INCOMPATIBLE
12
=+=+
251010
522
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Despejamos la "x" de la primera ecuación:
2x = 5 – 2y
x = 2
25 y−
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación: 10x + 10y =25
10·2
25 y− + 10y = 25
5(5 – 2y) + 10y = 25 25 – 10y + 10y = 25
– 10y + 10y = 25 – 25 0 = 0
INFINITAS SOLUCIONES Geométricamente son dos rectas superpuestas
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad 2x + 2y =
5; así, algunas soluciones serían: x = 5/2 ; y = 0 x = 0 ; y = 5/2 x = 1 ; y = 3/2
etc.
RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA
.
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MÉTODO DE IGUALACIÓN
x = x Consiste en despejar la
misma incógnita en cada una de las ecuaciones e igualar las expresiones
obtenidas:
04 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
−=+=−−
25
02
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo la y
– 2y = x 2y = – x
y = 2
x−
y = – 2 – 5x
2
x− = – 2 – 5x
Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación – x – 2y = 0 – x = – 4 – 10x – x + 10x = – 4
9x = – 4 x = – 4/9
Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en y = – 2 – 5x
y = – 2 – 5
−9
4
y = 9
2018+− = 9
2
y = 2/9 Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 4/9, 2/9)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
08
=+=+
362
53
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo, la x
x = 5 – 3y 2x = 3 – 6y
x = 2
63 y−
5 – 3y = 2
63 y−
2(5 – 3y) = 3 – 6y 10 – 6y = 3 – 6y 10 – 6y + 6y = 3
0y = – 7
Se le llama IGUALACIÓN pues consiste en
igualar
Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grad o...
... con dos incógnitas
0 = – 7 Pero como 0 ≠ – 7
Incoherencia No existe ninguna solución común en ambas ecuacione s
Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas Sistema INCOMPATIBLE
12
=+=+
251010
522
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo la x
2x = 5 – 2y
x = 2
25 y−
10x = 25 – 10y
x = 10
1025 y−
2
25 y− =
10
1025 y−
5(5 – 2y) = 25 – 10y 25 – 10y = 25 – 10y
0y = 0 0 = 0
INFINITAS SOLUCIONES Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad:
2x + 2y = 5 ; así, algunas soluciones serían: x = 5/2 ; y = 0 x = 0 ; y = 5/2 x = 1 ; y = 3/2
etc. Geométricamente se trata de 2 rectas superpuestas
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
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MÉTODO GRÁFICO
04 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
−=+=−−
25
02
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
– x – 2y = 0 5x + y = – 2 x y x y 0 0 0 – 2 2 – 1 – 2/5 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas ecuaciones:
x = – 4/9 ; y = 2/9 ; Esta solución es comú n en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (–4/9, 2/9)
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grad o...
... con dos incógnitas
08
=+=+
362
53
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
x + 3y = 5 2x + 6y = 3 x y x y 0 5/3 0 1/2 5 0 3/2 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
En los sistemas compatibles indeterminados e incompatibles LA CALCULADORA CIENTÍFICA
nos da el mensaje de Math ERROR
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas ecuaciones:
No existe ninguna solución común en ambas ecuacione s Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas
Sistema INCOMPATIBLE
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12
=+=+
251010
522
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores:
2x + 2y = 5 10x + 10y = 25 x y x y 0 5/2 0 5/2
5/2 0 5/2 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
En los sistemas compatibles indeterminados e incompatibles LA CALCULADORA CIENTÍFICA
nos da el mensaje de Math ERROR
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas ecuaciones:
INFINITAS SOLUCIONES Son 2 rectas superpuestas
Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad 4x + 12y = 6
Así, algunas soluciones serían: (2, 0.5) (3, – 0.5) etc. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grad o...
... con dos incógnitas
48
−=+−−−
−=−−−−−
34
2
2
18
1
2
1
4
3
yx
yx
"MÉTODO LIBRE"
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: Simplificamos cada una de las ecuaciones que conforman el sistema:
8
1
2
1
4
3 −=−−−−− yx
mcm: 8 2(– x – 3) – 4(– y – 1) = – 1
– 2x – 6 + 4y + 4 = – 1 – 2x + 4y = 1
34
2
2
1 −=+−−− yx
mcm: 4 2(x – 1) – (– y + 2) = – 12
2x – 2 + y – 2 = – 12 2x + y = – 12 + 4
2x + y = – 8 Resolvemos el sistema formado por las nuevas expresiones obtenidas
−=+=+−
82
142
yx
yx
5y = – 7 y = – 7/5
)(
)(
4
1
−
−=+=+−
82
142
yx
yx
→
3310
3248
142
=−
=−−=+−
x
yx
yx
10x = – 33 x = – 33/10
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 33/10, – 7/5)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es... COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
49
=+−
−+−
−=−
−−−
332
33
2
6
3
3
2
xyyx
yxyx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: Simplificamos cada una de las ecuaciones que conforman el sistema:
Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones
Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulam atematica.com 11
3
2
6
3
3
2 −=−−−− yxyx
mcm: 6
2(– 2x – y) – (x – 3y) = – 4 – 4x – 2y – x + 3y = – 4
– 5x + y = – 4
332
3 =+−−+− xyyx
mcm: 6
3(– x + 3y) – 2(– y + x) = 18 – 3x + 9y + 2y – 2x = 18
– 5x + 11y = 18 Resolvemos el sistema formado por las nuevas expresiones obtenidas
=+−−=+−−18115
451
yx
yx)( →
=+−=−
18115
45
yx
yx
y = 22/10 y = 11/5
=+−−=+−−18115
45
1
11
yx
yx
)(
)( →
=+−=−
18115
441155
yx
yx
50x = 62 → x = 62/50 x = 31/25
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (31/25, 11/5)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
51
=−
=+
2
367
232
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: Eliminamos las "y"
=−
=+
2
3671
232
2
yx)(
yx)(
=−
=+
2
367
464
yx
yx →
Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grad o...
... con dos incógnitas
+ y6
– y6
se anulan
2 formas de hacerlo:
23
474 +=+xx
mcm: 2x 8 + 14 = 8x + 3x
22 = 11x
21111 =
x
2 · 11 = 11 · x
11211·
= x
x = 2 Calculamos el valor de "y" por sustitución en la primera ecuación:
x2
+ y3
= 2
22
+ y3
= 2
1 + y3
= 2
mcm: y y + 3 = 2y
y – 2y = – 3 – y = – 3
mcm: 2y 2y + 6 = 4y
2y – 4y = - 6 - 2y = - 6
2y = 6
y = 3 x = 2 ; y = 3
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es... SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO