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8/17/2019 Método de Los Operadores Para Solucionas Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Ordinarias
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Método de los Operadores para solucionas sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales ordinarias
Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas comprenden dos o más
ecuaciones que contienen las derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola
variable independiente. Si x , y y z son funciones de la variable t , entonces
{4 d
2 y
d t 2 =−5 x+ y
2d
2 y
d t 2 =3 x− y
y { x' −3 x+ y ' + z ' =5 x
' − y ' +2 z ' =t 2
x+ y ' −6 z' =t −1
Son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas.
Solución de un sistema
Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones
diferenciales x=f (t ) , y=g (t ) , z=h (t ) , … que satisfacen cada ecuación del sistema en
algún intervalo I
.
Eliminación Sistemática
La primera técnica que consideraremos para resolver tales sistemas se basa en el
principio fundamental de eliminación algebraica sistemática de las variables. eremos que
lo análogo de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar sobre una
ecuación diferencial con alguna combinación de derivadas. !ecuérdese que una ecuación
diferencial lineal
an y(n )+an−1 y
(n−1)+…+a1 y' +a0 y=g( t )
"n donde losai , siendo i=0,1,…, n constantes, puede ser escrita como
(an Dn+an−1 D
n−1+…+a1 D+a
0 ) y=g( t )
#onde y(k )= Dk , k =0,1,…n y tamb ien y ' = y(1)= D , y= y(0)= I (identidad )
"jemplo $%
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"scribe el sistema de ecuaciones diferenciales
x' ' +2 x ' + y ' ' = x+3 y+sen (t )
x' + y ' =−4 x+2 y+e−t
Usando la notación de operadores.
Solución%
&omo x' = Dx , x ' ' = D2 x tenemos que
{ x' ' +2 x ' − x+ y ' ' −3 y=sen(t )
x' +4 x+ y ' −2 y=e−t
#e manera diferencial, obtenemos que
{( D2+2 D−1 ) x+( D2−3) y=sen(t )
( D+4 ) x+( D−2 ) y=e−t
MÉTODO DE SOLUCIÓN
&onsidérese el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden
{ Dy=2 x Dx=3 y (1)
' equivalentemente
{−2 x+ Dy=0 Dx−3 y=0 (2)
Si a la primera ecuación en ()* le aplicamos D y la segunda la multiplicamos por )
tenemos que%
{−2 Dx+ D2
y=02 Dx−6 y=0
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Sumando las ecuaciones que tenemos, obtenemos que%
D2 y−6 y=0
' equivalentemente
y'' −6 y=0
Su polinomio caracter+stico es
m2−6=0
m2=6
m=±√ 6
m=√ 6 , m=−√ 6
uesto que las ra+ces del polinomio caracter+stico asociado a la ecuación diferencial son
reales y diferentes, por teorema sus soluciones linealmente independientes son
y1=e√ 6 t , y
2=e−√ 6 t
or el principio de superposición, su solución general es
y=c1 y
1+c
2 y
2
y=c1
e√ 6 t +c2
e−√ 6 t (3)
amos a reali-ar lo mismo para encontrar el valor de x
. Si multiplicamos la primera
ecuación por3
y aplicamos D
en la segunda ecuación, tenemos que%
{−6 x+3 Dy=0 D 2 x−3 Dy=0Sumando las ecuaciones tenemos que
D2 x−6 x=0
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"quivalentemente
x' ' −6 x=0
"s una ecuación diferencial idéntica a la primera que se acaba de estudiar (es la misma solo
que con variable *, por lo tanto su solución general es
x=c3
e√ 6t +c
4e−√ 6
t (4)
/0ora bien, (1* y (2* no satisfacen el sistema ($* para cualquier valor dec1
, c2
, c3 y
c4 .
Sustituyendo x , y en la primera ecuación del sistema original ($* resulta que%
D (c1 e√ 6 t +c2 e−√ 6 t )=2 (c3 e√ 6 t +c4 e−√ 6 t )
√ 6 c1 e√ 6 t −√ 6 c2 e
−√ 6 t =2 c3
e√ 6 t +2 c4
e−√ 6 t
(√ 6c1−2c3 )e√ 6 t + (−√ 6 c2−2c4 )e
−√ 6 t =0
&omo e√ 6 t >0, e−√ 6 t >0 entonces
√ 6c1−2c3=0 ,−√ 6c2−2c4=0
2 c3=√ 6 c1 , 2 c4=−√ 6 c2
c3=√
6
2c1
, c4=−√ 62
c2
or lo tanto, concluimos que una solución del sistema debe ser
x (t )=√ 6
2c1
e√ 6 t −√ 6
2c2
e−√ 6 t , y (t )=c1
e√ 6t +c2
e−√ 6 t
"jemplo )%
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!esolver
{ Dx+( D+2) y=0( D−3) x−2 y=0 (6)
Solución%
Si a la primera ecuación le aplicamos D−3 y a la segunda le aplicamos D tenemos
que
{( D−3 ) Dx+( D−3 ) ( D+2 ) y=0( D−3 ) Dx−2 Dy=0/l restar las ecuaciones (la primera menos la segunda* tenemos que
[ ( D−3 ) ( D+2 )+2 D ] y=0
( D2+2 D−3 D−6+2 D ) y=0
( D2+ D−6 ) y=0
' equivalentemente% y' ' + y ' −6 y=0
Su polinomio caracter+stico es
m2+m−6=0
(m−2 ) (m+3)=0
m−2=0 , m+3=0
m=2 , m=−3
&omo su polinomio caracter+stico tiene sus ra+ces reales y distintas, por teorema, sus
soluciones linealmente independientes son
y1=e2 t
, y2=e−3t
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or el principio de superposición, su solución general es
y=c1 y
1+c
2 y
2
y=c1 e2t +c2e
−3 t (7)
3gualmente 0acemos para x , multiplicamos la primera ecuación por ) y aplicamos
D+2 en la segunda ecuación obtenemos que
{ 2 Dx+2 ( D+2) y=0( D−3) ( D+2 ) x−2 ( D+2 ) y=0Sumando las ecuaciones tenemos que
[ 2 D+ ( D−3)( D+2)] x=0
[2 D+ D 2+2 D−3 D−6 ] x=0
( D2+ D−6 ) x=0
"quivalentemente x'' + x ' −6 x=0
"s una ecuación diferencial equivalente a la primera que estudiamos en este ejercicio, por
lo que podemos decir que su solución general es
x=c3 e2 t +c4 e
−3 t (8)
4al como 0icimos notar en la discusión precedente, una solución de (5* no contiene cuatro
constantes independientes puesto que el sistema mismo restringe el número de las que
efectivamente pueden ser elegidas e forma arbitraria. Sustituyendo (6* y (7* en la primera
ecuación del sistema (5* resulta
Dx+ ( D+2 ) y=0
D(c3 e2 t +c4 e
−3 t )+ ( D+2)(c1 e2t +c2e
−3 t )=0
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D (c3 e2 t +c
4e−3 t )+ D (c1 e
2 t +c2
e−3t )+2 (c1 e
2 t +c2
e−3 t )=0
2 c3 e2 t −3 c4 e
−3 t +2 c1 e2 t −3 c2e
−3 t +2 c1 e2 t +2 c2e
−3 t =0
(2 c3+4 c1 ) e2t +(−3 c4−c2 ) e−3 t =0
&omo e2t >0, e−3 t >0 entonces
2 c3+4 c
1=0 ,−3 c
4−c
2=0
2c3=−4c
1,3 c
4=−c
2
c3=−2 c1 , c4=−1
3c2
or consiguiente, una solución del sistema es
x (t )=−2c1 e2 t −
1
3c2 e
−3t , y (t )=c1 e
2 t +c2 e−3t
8ota%
uesto que, con la misma facilidad, 0ubiéramos podido despejar c3 y c4 en términos
dec
1 yc2 , la solución del ejemplo ) puede ser escrita en la forma alternativa
x=c3 e2 t +c4 e
−3 t , y (t )=
−12
c3 e2 t −3 c4 e
−3 t
/l resolver sistemas también vale la pena fijarse bien en lo que se 0ace. #e 0aber despejado
primero x y después y 0ubiéramos podido determinar la relación entre las
constantes simplemente usando la ultima ecuación del sistema (5*
y=1
2( Dx−3 x )
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y=1
2[2c3 e2 t −3c4 e−3 t −3c3 e2 t −3c4 e−3 t ]
y=c3 e2t −
3
2c4 e
−3 t −3
2c3e
2 t −3
2c4 e
−3 t
y=−1
2c3e
2 t −3 c4 e−3 t
"jemplo 1%
!esolver
{ x ' −4 x+ y ' ' =t 2
x' + x+ y ' =0
(9)
Solución%
rimero escribiremos el sistema con la notación de operadores diferenciales
{( D−4 ) x+ D2
y=t 2
( D+1 ) x+ Dy=0(10)
/plicando D+1 en la primera ecuación y D−4 en la segunda ecuación de ($9*
tenemos que
{( D+1 ) ( D−4 ) x+ D2 ( D+1) y=( D+1 ) (t 2)
( D+1 ) ( D−4 ) x+ D ( D−4 ) y=0
{( D+1 ) ( D−4 ) x+ D2 ( D+1 ) y=2 t + t 2
( D+1 ) ( D−4 ) x+ D ( D−4 ) y=0
!estando las ecuaciones (la primera menos la segunda* tenemos que
[ D2 ( D+1 )− D( D−4)] y=2 t +t 2
( D3+ D2− D2+4 D ) y=2 t +t 2
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( D3+4 D ) y=t 2+2 t
"quivalentemente y'' ' +4 y' =t 2+2 t
:usquemos su solución, primero la 0omogénea, para ello 0acemos y '' ' +4 y' =0
Su polinomio caracter+stico es m3+4 m=0
m ( m2+4 )=0
m=0 , m2+4=0
m=0 , m2
=−4
m=0 , m=±√ −4
m=0 , m=± 2i
"l polinomio caracter+stico tiene como ra+ces una real y dos complejas (de la misma forma*
or teorema, sus soluciones linealmente independientes son
y1=e0 t =1, y2=e
0 t cos (2 t )=cos (2 t ) , y3=e
0 t sen (2t )=sen(2 t )
or el principio de superposición su solución general es
yh=c1 y1+c2 y2+c3 y3
yh=c1+c2 cos (2t )+c3 sen(2t )
:usquemos su solución particular
y p usamos coeficientes indeterminados, para lo cual
suponemos que y p= A t 3+B t 2+Ct . or lo tanto,
y p' =3 A t 2+2 Bt +C
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y p'' =6 At +2B
y p'' ' =6 A
Luego;
y p' ' ' +4 y p
' =t 2+2 t
6 A+4 (3 A t 2+2 Bt +C )=t 2+2 t
6 A+12 A t 2+8 Bt +4 C =t 2+2 t
12 A t 2+8Bt + (6 A+4C )=t 2+2 t
3gualando polinomios
12 A=1 , 8 B=2 ,6 A+4 C =0
A= 1
12, B=
1
4, 6 A+4 C =0
A=
1
12, B
=
1
4, 6
( 1
12
)+4 C
=0
A= 1
12, B=
1
4, 1
2+4C =0
A= 1
12, B=
1
4, 1+8C
2=0
A= 1
12, B=
1
4, 1+8 C =0
A= 1
12, B=
1
4,8C =−1
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A= 1
12, B=
1
4, C =
−18
or lo que
y p= 112
t 3+ 1
4t
2−18
t
or consiguiente y= yh+ y p
y=c1+c
2cos (2t )+c
3sen (2 t )+
1
12t
3+1
4t
2−1
8t (11)
:usquemos x
.
/plicamos D
en a la segunda ecuación del sistema ($9*
{ ( D−4 ) x+ D2 y=t 2
D ( D+1) x+ D2 y=0
!estando las ecuaciones (la segunda menos la primera* se cumple que
[ D ( D+1)−( D−4) ] x=−t 2
( D2+ D− D+4) x=−t 2
( D2+4 ) x=−t 2
"quivalentemente x'' +4 x=−t 2
:usquemos su solución% busquemos su solución 0omogénea yh , 0acemos x
'' +4 x=0
Su polinomio caracter+stico es m2+4=0
m2=−4
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m=±√ −4
m=0±2i
Sus ra+ces son complejas, por teorema, sus soluciones linealmente independientes son
x1=e0 t
cos (2t )=cos (2t ) , x2=e0 t
sen (2t )=sen(2t )
or el principio de superposición, su solución 0omogénea es%
xh=c1 x1+c2 x2
xh=c1 cos (2t )+c2 sen(2t )
:usquemos su solución particular x p , para ello, usemos el método de los coeficientes
indeterminados. Supongamos que x p= A t 2+Bt +C
x p' =2 At +B
x p' ' =2 A
Luego;
x p' ' +4 x p=−t
2
2 A+4 ( A t 2+Bt +C )=−t 2
2 A+4 A t 2+4 Bt +4 C =−t 2
4 A t 2+4 Bt +(2 A+4C )=−t 2
3gualando polinomios
4 A=−1 , 4 B=0 , 2 A+4 C =0
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A=−1
4, B=0 , 2 A+4 C =0
A=−1
4, B=0 , 2(−14 )+4 C =0
A=−1
4, B=0 ,−
1
2+4 C =0
A=−14
, B=0 ,−1+8C
2=0
A=−14
, B=0 ,−1+8C =0
A=−1
4, B=0 , 8 C =1
A=−1
4, B=0 , C =
1
8
/s+;
x p=−14
t 2+ 18
or consiguiente x= xh+ x p
x=c4cos (2 t )+c
5sen (2t )−
1
4t 2+
1
8(12)
/0ora bien,c
4 yc
5 pueden ser epresadas en términos dec
2 yc
3 sustituyendo
las ecuaciones ($$* y ($)* en la segunda ecuación del sistema (
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(c5−2 c4−2 c2 ) sen (2t )+(2 c5+c4+2 c3 ) cos (2t )=0
#e modo que
c5−2 c
4−2 c
2=0 ,2 c
5+c
4+2 c
3=0
Luego
{c5−2c4−2c2=02c5+c
4+2c
3=0
=ultiplicando la segunda ecuación por ) se tiene que
{ c
5−2c
4−2c
2=0
4c5+2c4+4c3=0
Sumando las ecuaciones tenemos que
5 c5−2 c
2+4 c
3=0
5 c5=2 c
2−4 c
3
c5
=2c
2−4 c
3
5
c5=2
5c2−
4
5c3
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, tenemos que
2 c5+c
4+2 c
3=0
2
(25
c2−45
c3)+c4+2 c3=0
4
5c2−
8
5c3+c4+2 c3=0
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c4+
4
5c
2+
2
5c
3=0
c4=−4
5c2−
2
5c3
or lo tanto, la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es%
x (t )=(−45 c2−25 c3)cos (2 t )+(25 c2−45 c3) sen (2t )−14 t 2+ 18
y (t )=c1+c
2cos (2 t )+c
3sen (2t )+
1
12t
3+1
4t
2−1
8t
Uso de Determinantes
Si L
1, L
2, L
3 y L
4 denotan operadores diferenciales de coeficientes
constantes, entonces un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en dos variables x
y
y puede ser escrito como
{ L
1
x+ L2
y=g1
(t ) L
3 x+ L
4 y=g
2(t )(13)
"liminando variables tal como lo 0ar+amos para ecuaciones algebraicas resulta
( L1 L4− L2 L3 ) x= L4 g1 (t )− L2 g2 (t ) , ( L1 L4− L2 L3 ) y= L1 g2 ( t )− L3 g1 ( t )(14)
Los resultados obtenidos en ($2* se pueden escribir formalmente en términos de
determinantes de manera similar a la usada en la regla de &ramer%
| L1 L2 L
3 L
4| x=|g1 L2g
2 L
4|,| L1 L2 L
3 L
4| y=| L1 g 1 L
3 g
2|(15)
"l determinante que aparece en el miembro i-quierdo de cada ecuación en ($>* puede ser
desarrollado en el sentido algebraico corriente; el resultado se aplica posteriormente a las
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funciones x (t ) , y (t )
. Sin embargo, los determinantes de los segundos diferenciales
internos efectivamente actúan sobre las funcionesg1(t ) y g2(t ) .
Si
| L1 L2 L3
L4|≠ 0
"n ($>* es un operador diferencial de orden n , entonces
• "l sistema ($1* puede ser descompuesto en dos ecuaciones diferenciales de orden
n en x y y .
• La ecuación caracter+stica y por lo tanto, la función complementaria de cada una deestas ecuaciones diferenciales es la misma.
• uesto que tanto x
como y
contienenn
constantes, aparecen en total
2n constantes.
• "l número total de constantes independientes que aparecen en la solución del
sistema es n .
Si
| L1 L2 L
3 L
4|=0
"n ($1*, entonces el sistema puede tener una solución que contiene un número
cualquiera de constantes independientes, o puede, simplemente, no tener solución.
'bservaciones semejantes son validas para sistemas de mayor tama?o que el indicado
en ($1*.
"jemplo 2%
!esolver
{ x' =3 x− y−1
y' = x+ y+4e t
(16)
Solución%
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"scribimos el sistema en términos de operadores diferenciales%
{ ( D−3) x+ y=−1− x+( D−1 ) y=4 et
@ luego usando determinante tenemos que
| D−3 1−1 D−1| x=|−1 14 et D−1|,| D−3 1−1 D−1| y=| D−3 −1−1 4 e t |
ara x
;
| D−3 1−1 D−1| x=|−1 14 et D−1|
[ ( D−3 ) ( D−1 )−1(−1)] x=( D−1 ) (−1 )−1∙4 et
( D2− D−3 D+3+1) x=0+1−4e t
( D2−4 D+4 ) x=1−4e t
"quivalente a
x' ' −4 x ' +4 x=1−4 e t
:usquemos su solución, busquemos su solución 0omogénea, 0acemos x' ' −4 x ' +4 x=0
Su polinomio caracter+stico es m2−4 m+4=0
(m−2 )2=0
m−2=0
m=2
Sus ra+ces son reales y repetidos dos veces, por teorema, sus soluciones linealmente
independientes son%
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x1=e2t
, x2=t e2 t
or el principio de superposición
xh=c1 x1+c2 x2
xh=c1 e2 t +c2 t e
2 t
:usquemos su solución particular y p , usemos el método de los coeficientes
indeterminados. Supongamos que x p= A+B et
x p' =B et
x p' ' =B et
Luego;
x p'' −4 x p
' +4 x p=1−4et
B et −4 B e t +4 ( A+B e t )=1−4 et
B et −4 B e t +4 A+4 B et =1−4 e t
4 A+B e t =1−4 e t
3gualando tenemos que;
4 A=1 , B=−4
A=
1
4 , B=−4
/s+;
x p=1
4−4 et
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or consecuencia
x= xh+ x p
x=c1 e2 t
+c2 t e2 t
+
1
4 −4
e
t
(17
)
or la naturale-a del ejercicio, podemos sustituir la ecuación ($6* en la primera ecuación
del sistema ($5* y buscamos a y
de una manera que quedara en términos de las
constantesc
1 yc
2 y as+ evitamos el problema del duplicaje de constantes arbitrarias,
por lo que
x' =3 x− y−1
2 c1
e2 t +c
2 ( 2t e2 t +e2 t )−4 et =3(c1e2 t +c2 t e2t + 14−4 e t )− y−1
y=3 c1
e2 t +3 c
2t e
2 t +3
4−12e t −1−2 c
1e
2 t −2c2
t e2 t −c
2e
2t +4 et
y=c1 e2t −c2 e
2 t +c2t e2 t −
1
4−8 et
or lo tanto la solución del sistema de ecuaciones diferenciales planteado es%
c
(¿¿1+c2t )e2 t +
1
4−4 et , y=(c
1−c
2+c
2t )e2 t −
1
4−8 et
x=¿
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Introducción
!eali-aremos este trabajo con la finalidad de adquirir más conocimientos en el
campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. "n esta oportunidad se eplicara cómo
resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios de primer y orden
superior con métodos idénticos a los métodos usados en sistemas de ecuacionesalgebraicos, y después de llegar a eliminar una variable, queda una ecuación diferencial de
orden superior de una sola variable que se resuelve con los métodos antes conocidos en esta
materia y esto se aplica con cada variable del sistema 0asta encontrar todas las variables del
sistema y queda resuelto el problema de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
ordinarios.
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Conclusión
Aemos reali-ado este trabajo con la finalidad de afian-ar nuestros conocimientos
sobre el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. "n esta oportunidad estudiamos
los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios a través del método de los operadores
diferenciales que gracias a ellos podemos ver la relación inmensa que tienen la forma
algebraica de resolverlos con los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
algebraicas vista en la preparatoria o bac0illerato. Una ve- que se aplica el método de
eliminación de variable obtenemos una ecuación diferencial de orden superior con una sola
variable la cual se resuelve por los métodos ya conocidos previos a este tema, esto se
reali-a con todas las variables del sistema y al final se reducen el número de constantes en
caso de aparecer un número de ellas igual al doble del orden de la ecuación obtenida con el
método de eliminación o por el método de determinantes.
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8/17/2019 Método de Los Operadores Para Solucionas Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Ordinarias
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Bibliografía
"&U/&3'8"S #3B"!"8&3/L"S &'8 /L3&/&3'8"S
/utor% Dennis G. Zill
Segunda edición
Crupo editorial 3beroamérica
/?o de edición% $