57 Colegio TRILCE

CO LE G I ODivisión algebraica I(Método de Horner)

Como ya sabes, las cuatro operaciones aritméticasfundamentales son:

SUMA RESTA PRODUCTO DIVISIÓN

+ - x De igual manera, en el Álgebra se verán estas cuatro

operaciones.

Así, por ejemplo:

• SUMA

• RESTAy

• PRODUCTO

+

+

• DIVISIÓN

Fueron vistas en los dos prime-ros capítulos del bimestre (ope-raciones con polinomios I y II).

Fue visto durante las dos últi-mas clases. (Capítulos III y IV:Productos notables I y II).

¡¡Es el capítulo de hoy!!...

Parte teórica

Para dividir polinomios, existen tres métodos:

1. Método clásico2. Método de William Horner3. Método de Paolo Ruffini

Sin embargo, sea cual fuere el método que usemos, esnecesario que los polinomios a dividir estén completos yordenados en forma descendente.

• Polinomio completo (con respecto a una variable)

Significa que el polinomio debe poseer todas laspotencias, de la variable en referencia, inferiores a sugrado.

Ejemplos:

1. P (x) = 5x2 - 2 + 7x + 9x3

2. 11x)x(2x27x2Q 2223

)x( +−+−=

3. S(z) = z3 + 5 - 6z + z2

• Polinomio ordenado (con respecto a una variable)

Para dividir polinomios, el ordenamiento de losexponentes de sus variables debe ser en formadecreciente, partiendo desde su grado.

Ejemplos:

5x - 2x + 7x + 1P 23)x( =

y + y + y + y + 1Q 23)y( = 4

z + z + z - 1S 2)z( = 3

Observa losexponentes delas variables.Los dos primerospolinomios estánordenados.El último no.¿Por qué?

1.

2.

3.

Hoy, estudiaremos la división mediante el "Método deHorner".

Método de Horner

En la división:

P(x) Q(x)

S (x)T(x)

• P(x) es el DIVIDENDO • Q(x) es el DIVISOR• S(x) es el COCIENTE • T(x) es el RESIDUO

En el método de Horner, se hará uso del siguientediagrama:

el cuál será llenado de la siguiente manera:

Estoscoeficientessí cambiande signo

Estecoeficienteno cambiade signo

COEFICIENTES DEL DIVIDENDOC

OEFDELDIVISOR

Aquí irán los coeficientedel cociente

Aquí irán loscoeficiente del residuo

58

ÁlgebraMediante operaciones entre los coeficientes dados

(DIVIDENDO Y DIVISOR) se obtendrán los coeficientesrequeridos (COCIENTE Y RESIDUO), los cuales permitiráncalcular los polinomios resultantes.

resueltos

1. Dividir:

2xx2x3xxx

2

432

+++−+−

Resolución:ordenando el polinomio dividendo:

2xx2x3xxx

2

234

+++−+−

1-1-2

1

1

-1-1

-2

1-221

-34-10

2

-20

luego:cociente: Q(x) = x2 - 2x + 1resto: R(x) = 0

2. Efectuar la división de polinomios:

3xx42x3x16x5x14x8

2

2345

+++++++

Resolución:

4-1-3

8

2

14-2

3

5-6-3

-1

16

-91

2

3

3-24

2

-6-4

cociente: Q(x) = 2x3 + 3x2 - x + 2residuo: R(x) = 4x - 4

3. Hallar “m”, “n” y “p”; si la división no deja resto:

6x2x3pnxmxx14x9x12

3

2345

−+−+−+−

Resolución:

30-26

12

4

- 90

-3

14-80

2

- m2460

(-m+30)

n

-18-4

(n-22)

-p

12

(-p+12)

como la división no deja resto, entonces: -m + 30 = 0 → m = 30 n - 22 = 0 → n = 22 -p + 12 = 0 → p = 12

4. Calcular “p” y “q”, si la división es exacta:

5x6xqpxx

2

24

++++

Resolución:ordenando y completando:

5x6xqx0pxx0x

2

234

+−++++

16-5

1

1

06

6

p-536

p+31

0

-306p+186

(6p+156)

q

-5p-155(-5p+q-155)

como es exacta:

6p + 156 = 0 26p6

156p −=→−=→

-5p + q - 155 = 0 → -5(-26) + q - 155 = 0

q = 25

Bloque I

1. Dividir:

2x5x35x3x25x6

2

23

el residuo es:

a) 2x - 5 b) -26x + 5 c) x+ 5d) -6x + 25 e) 5x - 2

2. Al dividir:

5x39x18x19x6 23

su cociente es:

a) 2x2 - 3x + 1 b) 2 + 3x + x2

c) 2x2 + 3x + 1 d) 4e) x2 - x + 1

3. Si dividimos:

1xx21xx2x4

2

34

59Segundo año de secundaria

División algebraica I

su residuo es:

a) 2x2 + 1 b) x - 1c) x2 + x + 1 d) x + 1e) 0

4. Al dividir:

6x5x4x5x15x126x22

2

342

el residuo es:

a) x + 1 b) 0 c) x2 - 1d) x - 1 e) 5

5. Dividir:

1xx1xx2x4

2

23

e indicar el cociente.

a) 3x - 7 b) 4x - 6 c) 4x - 7d) 3x - 6 e) 0

6. Dividir:

3x5x227x65x38

2

34

; dar su residuo.

a) 0 b) 19x2 + 5xc) 5x d) 19e) 1

7. Hallar el cociente de la siguiente división:

(x3 + 5x2 - 7x + 5) (x2 + 2x - 3)

a) x + 5 b) x2 + 3c) x + 3 d) -10x + 14e) 10x - 14

8. Hallar el residuo de la división:

1x3x5xx2x3x

2

234

a) x2 + 1 b) 4x - 6 c) -2d) -6 e) 4x

9. Al efectuar la siguiente división:

(4x4 + 13x3 + 25x + 12 + 28x2) (4x2 + 6 + 5x)

el residuo es:

a) 2x + 6 b) -(2x + 6)c) -6+2x d) x - 2e) -2x + 6

10.En el siguiente esquema de división:

1-1

2

a

2

4

2

b5

d

-4c

3

-2 -41

7

92

Hallar la suma de "a + b + c + d"

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

11.Si la división:

3x3xnmxx13x2x

2

235

es exacta, hallar "m + n".

a) 9 b) -9 c) 24d) -12 e) 12

12.Si la división:

2xxmx5nxx4x2

2

234

; es exacta,

hallar "m + n"

a) 2 b) 13 c) 9d) 8 e) 19

Bloque II

1. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

2xx28x4x2x5x2

2

234

a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 13

2. Calcular la suma de coeficientes del cociente luego dedividir:

2x6x53x7x6xx5

2

345

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

3. La suma de los coeficientes del cociente y residuo de lasiguiente división:

3x2x3xx3x

2

23

, es:

60

Álgebraa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Hallar el residuo al dividir:

2xx39x7x10x18x7x6

23

2345

Dar como respuesta un término del residuo.

a) - x

2 b) -x c) 2d) -1 e) x

5. Si la división:

2xxnmxx5x3x

2

234

; es exacta, hallar "n".

a) 12 b) 10 c) 8d) -6 e) -10

6. Calcular el valor de "" para que:

(x5 - 3x4 + 2x2 + 4)

sea divisible por "x - 2".

a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 6

7. Hallar "m+n+p", si la división:

7x5x4x3pnxmxx7x17x6

23

2345

es exacta.

a) 22 b) 18 c) 17d) 25 e) 28

8. Hallar "a" para que el residuo de la división:

2axaaxaxx 223

, sea "5a + 11".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Dividir:(9xa+2 + 3xa+1 + xa + xa-1) (3xa - xa-1)

Dar su cociente.

a) 3x2 + 2x + 1 b) x2 + x + 1c) 2x2 + x + 3 d) x2 + 2x + 3e) 1

10.Dividir:

a1a1aa2a3a x2x3x4x

316x

25x6

Dar su cociente:

a) x2

31x

21x2 2 b) 3

1x21x2

c) 31x

21x2 2 d) x

2x31x2

e) N.A.

Bloque III

1. Hallar “A + B” si la división:

3x2x2BAxx3x2

2

24

+++++

es exacta.

a) 2 b) 4 c) 5d) 12 e) 13

2. Calcular el cociente de la siguiente división:

1xx3BAxx2x5x3

2

234

+++++−

a) (x - 1)2 b) (x + 1)2 c) x2

d) x2 - 1 e) x2 - 1

3. Indicar el cociente de la siguiente división:

1x3x26x2xx9x2

2

234

+−++++

a) (x + 3)2 b) (x - 3)2 c) x2 + 3d) x2 - 3 e) x2

4. Determinar “A + B” en la siguiente división exacta:

1x5xBAx8x2x9x2

2

234

+−+++−

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. La siguiente división:

1xxmxmxx4x3

2

234

++++++

deja como resto 4, calcular “m”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. La siguiente división:

1xxmx4mxx3x5

2

234

+−+++−

deja como residuo: (x + 3), calcular “m”

61Segundo año de secundaria

División algebraica I

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Calcular “n” en la siguiente división exacta:

4x2x4x6nxnxnx

2

234

++−−++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Calcular “n” en la siguiente división exacta:

2x3x32x52nx3nx2nx

2

234

−+−+++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Determinar “A . B”, si en la siguiente división el cocientey residuo son idénticos.

2x2xBAxx6x

2

23

+++++

a) 130 b) 132 c) 134d) 136 e) 138

10.Determinar “A . B”, si en la siguiente división el cocientey residuo son idénticos.

3xxBAxx2x

2

23

−−++−

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

Autoevaluación

1. Hallar el cociente de:

1x1xx 24

a) x3 - x2 + 2x - 2 b) -x2 - 2c) x3 + x2 + x - 2 d) x3 - 2x + 1e) x2 - 1

2. Calcular el residuo al dividir:

1x2x2x2x 23

a) 85

b) 31

c) 817

d) -1 e) 31

3. Al dividir:

3x27x3x8xx2 234

indicar el término independiente del cociente.

a) 6 b) -6 c) 2d) 4 e) -3

4. Indica el residuo al dividir:

1x2

5,03xx2x 23

a) 121

b) 481

c) 241

d) 121

e) 241

5. Dividir:

(12x4 - 7x3 - 74x2 - 7x + 12) (3x2 - 7x - 4)

Indicar un término de su cociente.

a) -1 b) -3 c) -7xd) -4x2 e) 0