FLEXO-COMPRESIÓN BIAXIAL.

Esta es la condición de trabajo mas común en columnas. Aquí además de carga axial

existen momentos flexionantes alrededor de dos ejes principales de la sección transversal.

y

xe

°

nP ye

x

DISEÑO DE COLUMNAS BAJO FLEXO-COMPRESION BIAXIAL

METODO DE LA CARGA RECIPROCA (BRESLER)

El diagrama de interacción de una columna bajo flexo-compresión biaxial tiene a forma de

la superficie S2, si se expresa en términos de las variables yxn eeP ,,/1 , (Ver fig. 1).

oP/1

2S 2'S

A

B

C oyP/1

oP/1 nP/1 nP'/1

oxP/1

ye xe

xe

ye

Fig. 1. Diagrama de interacción para flexo-compresión biaxial, considerando las variables

( oP/1 , xe , ye ).

0nP

ynx ePMn

xny ePMn

El problema consiste en determinar la carga axial resistente nP , la cual actúa con las

excentricidades xe y ye , respectivamente.

Se supone que nP es igual a nP ' del plano 2'S , el cual queda definido por los puntos:

)/1,0,( 0 yx PeA

)/1,,0( 0xy PeB [1]

)/1,0,0( 0PC

Nota. Cada punto en la superficie real se aproxima mediante un plano diferente, por

consiguiente, la superficie total se aproxima utilizando un número infinito de planos.

Punto A. Representa un punto ),( 0 yy MnP del diagrama de interacción en flexo-compresión

en una dirección (dirección y).

Punto B. Representa un punto ),( 0 xx MnP del diagrama de interacción en flexo-compresión

en una dirección (dirección x).

Punto C. Es un punto común a ambos diagramas y representa la resistencia a compresión

pura.

La ecuación del plano 2'S puede ser definido en términos de los tres puntos A, B y C.

Haciendo el siguiente cambio de variable:

nyx Pzeyex /1,, [2]

La ecuación general del plano en un espacio tridimensional queda representada por:

0 DCzByAx [3]

Sustituyendo las coordenadas de los puntos A, B y C en la ec. [3]:

0)/1(0 0 DPCAe yx

0)/1(0 0 DPCBe xy [4]

0)/1(00 0 DPC

Resolviendo el sistema de ecuaciones, para A,B, C y D.

DP

P

eA

yx

1

1

0

0

DP

P

eB

xy

1

1

0

0 [5]

DPc 0

Sustituyendo las ecs. [5] en [3],

00111 0

0

0

0

0

DzP

P

P

e

y

P

P

e

xD

xyyx

[6]

Dividiendo entre 0P y considerando las ecs.[1],

0111111

00000

PPPPPP nxy

[7]

Despejando nP :

000

1111

PPPP yxn

[8]

La ec. [8] representa la ecuación de diseño para columnas bajo flexo-compresión biaxial

cuando se emplea el método de Bresler o método de la carga recíproca.

Bresler encontró a través de ensayes experimentales que la ec. [8] da excelentes resultados

con errores máximos de %1 . La ec.[8] es sencilla en su forma y las variables se

determinan fácilmente, pero tiene el inconveniente que el método es mejor para revisión

que para diseño. Las variables xP0 , yP0 y 0P se determinan directamente de los métodos ya

establecidos bajo flexo-compresión uniaxial.

La ec.[8] debe ser utilizada solamente cuando se cumpla la siguiente condición:

gcn AfP '1.0

Para valores de la carga axial menores, se considera que rige mas el comportamiento de

viga que de columna y el elemento debe ser diseñado como tal.

Ejemplo:

Una columna de un edificio soporta los siguientes elementos mecánicos.

TonND 45 mTonM Dx 8 mTonM Dy 6

TonNL 21 mTonM Lx 4 mTonM Ly 3

TonNE 12 mTonM Ex 12 mTonM Ex 8

Determine aplicando el método de Bresler, las dimensiones de la sección y el refuerzo

requerido. Detalle la sección con los armados longitudinal y transversal.

Procedimiento:

1. Descomponga el problema original en sus partes componentes:

y y y y

xe xe

nP xP0

°

ye ye yP0 0P

x x + x -

nP

1

xP0

1 +

yP0

1 -

0

1

P

2. Determine los elementos mecánicos últimos de diseño.

Carga Axial:

!!60.87)21(6.1)45(2.16.12.1 RigeTonNNN LDU

TonNNNN ELDU 00.87)12(0.1)21(0.1)45(2.10.10.12.1

TonNNN EDU 50.52)12(0.1)45(9.00.19.0

Momento flexionante alrededor de x:

mTonMMM LxDxUx 00.16)4(6.1)8(2.16.12.1

!!60.25)12(0.1)4(0.1)8(2.10.10.12.1 RigemTonMMMM ExLxDxUx

mTonMMM ExDxUx 20.19)12(0.1)8(9.00.19.0

Momento flexionante alrededor de x:

mTonMMM LyDyUy 00.12)3(6.1)6(2.16.12.1

!!20.18)8(0.1)3(0.1)6(2.10.10.12.1 RigemTonMMMM EyLyDyUy

mTonMMM EyDyUy 40.13)8(0.1)6(9.00.19.0

3. Proponga:

La dimensiones de la columna ( b, h )

El tipo de armado ( E, R , C )

La cantidad de refuerzo ( As, r )

El recubrimiento ( g )

La resistencia de los materiales (f’c, fy )

Primer tanteo:

Proponiendo una columna de 30x40 cm

Con armado en las cuatro caras (Tipo R) debido a que se requiere resistencia a

flexión alrededor de los 2 ejes.

Enseguida se propone un área de acero que cumpla con los límites de refuerzo entre

(1% y 8%) y el espaciamiento de varillas longitudinales (<= 15 cm) y entre ramas

de estribos (<= 35 cm)

Proponiendo:

As= 12 vars 5/8” = 12 (1.98) = 23.76 cm2

= As/bh = 23.76 / (30) (40) = 0.0198

40

30

4 7 7 7 4

4

4

11

11

11

4

Proponiendo un recubrimiento de 4 cm, nos lleva e tener:

h = 2r + h

= (h - 2r) / h = [40 -2 (4)] / 40 = 0.80

Finalmente proponemos una resistencia para el concreto y acero de:

f’c= 280 Kg/cm2 (4 Ksi)

fy = 4200 Kg/cm2 (60 Ksi)

4. Determinar la resistencia respecto al eje x: (Pox)

y

xP0 Nu = 87.60 t

Mux =25.60 t-m

ey = Mux / Nu =25.60 / 87.60 = 0.292 m

ey /h = 29.2 / 40 = .73

x =0.02

Usando los diagramas R4-60.75 y R4-60.90 e interpolando

xP0 = (0.73) (30) (40) (70) / 1000 = 61.32 t

5. Determinar la resistencia respecto al eje y: (Poy)

y

Nu = 87.60 t

yP0 Muy =18.20 t-m

ey = Muy / Nu =18.20 / 87.60 = 0.208

x ex / b = 20.8/30 =.69

=0.02

Usando los diagramas R4-60.75 y R4-60.90 e interpolando

yP0 = (0.85) (30) (40) (70) / 1000 = 71.40 t

6. Determinar la resistencia a compresión pura: (Po)

y

yssg fAAAcfP )('85.00

0P {0.85 (280) [(30) (40)-23.76] + (23.76) (4200)}/1000

x 0P 379.74 t

ey

ex

h

b

7. Determinar la resistencia a flexo-compresión biaxial. ( Pn)

nu PP

tPu 60.87

000

1111

PPPP yxn

74.379

1

40.71

1

32.65

11

nP

!!60.8748.37 NoPasatPtP un

%57160.87

48.371%

u

n

P

Perror

La sección está escasa en un 57%, por tanto se debe proponer otra sección.

Segundo tanteo:

Proponiendo una columna de 40x60 cm

Con armado en las cuatro caras (Tipo R) debido a que se requiere resistencia a

flexión alrededor de los 2 ejes.

Enseguida se propone un área de acero que cumpla con los límites de refuerzo entre

(1% y 8%) y el espaciamiento de varillas longitudinales (<= 15 cm) y entre ramas

de estribos (<= 35 cm)

60

40

5 10 10 10 5 5

5

15

15

15

5

Nota:

Cuando el error es grande (>±10%)es recomendable cambiar las dimensiones de la

sección. Tanto como grande sea el error.

Cuando el error es pequeño (<±10%), conviene cambiar la cantidad de refuerzo o la

resistencia del concreto.

La solución correcta será aquella que tenga un error entre (0% y +5%).

Proponiendo:

As= 12 vars 3/4” = 12 (2.85) = 34.20 cm2

= As/bh = 43.20/ (40) (60) = 0.014

Proponiendo un recubrimiento de 5 cm, nos lleva e tener:

h = 2r +h

= (h-2r) / h = [60 -2 (5)] / 60 = 0.83

Finalmente proponemos una resistencia para el concreto y acero de:

f’c= 280 Kg/cm2 (4 Ksi)

fy = 4200 Kg/cm2 (60 Ksi)

8. Determinar la resistencia respecto al eje x: (Pox)

y

xP0 Nu = 87.60 t

Mux =25.60 t-m

ey = Mux / Nu = 25.60 / 87.60 = 0.292 m

ey / h = 29.2 / 60 =.49

x = 0.014

Usando los diagramas R4-60.75 y R4-60.90 e interpolando

xP0 = (0.97) (40) (60) (70) / 1000 = 162.96 t

9. Determinar la resistencia respecto al eje y: (Poy)

y

Nu = 87.60 t

yP0 Muy = 18.20 t-m

ey = Muy / Nu =18.20 / 87.60 = 0.208

x ex / b = 20.8 / 40 = .52

= 0.014

Usando los diagramas R4-60.75 y R4-60.90 e interpolando

yP0 = (0.93) (40) (60) (70) / 1000 = 156.24 t

ey

ex

h

b

10. Determinar la resistencia a compresión pura: (Po)

y

yssg fAAAcfP )('85.00

0P {0.85 (280) [(40) (60)-32.20] + (32.20) (4200)}/1000

x 0P 698.78 t

11. Determinar la resistencia a flexo-compresión biaxial. ( Pn)

nu PP

tPu 60.87

000

1111

PPPP yxn

78.698

1

94.156

1

96.162

11

nP

!!60.8727.90 PasatPtP un

!!%5%3160.87

27.901% Ok

P

Perror

u

n

La sección propuesta tiene una sobre-resistencia de solo el 3% por lo que se

considera adecuada para soportar las cargas últimas de diseño.

12. Se detalla el armado de la sección.

40

60

5 10 10 10 5

5

12

13

12

5

13

COLUMNA C-1

SECCIÓN TRANSVERSAL