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ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS A DISTANCIA
TALLER
MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL.
GONZALO MOLINARES CORRALES
TUTOR
CARLOS ANDRES CABALLERO CARBONELL
IV SEMESTRE – NCR 35839
BARRANQUILLA, COLOMBIA
OCTUBRE DE 2015
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I!"#$%&&'(
Las medidas de Tendencia Central son empleadas para resumir a los conjuntos de
datos que serán sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de
tendencia central porque general mente la acumulación más alta de datos se
encuentra en los valores intermedios. Estas medidas son utilizadas con grandes
frecuencias como medidas descriptivas de poblaciones o muestras. Las medidas de
Tendencia Central son empleadas para resumir a los conjuntos de datos que serán
sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de tendencia central porque
general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores
intermedios. Estas medidas son utilizadas con grandes frecuencias como medidas
descriptivas de poblaciones o muestras.
Las más empleadas
. !oda " Es el valor con una ma#or frecuencia en una distribución de datos.
$. !ediana % &epresenta el valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de
los datos en un conjunto ordenados de menor a ma#or.
'. !edia % (romedio o valor obtenido por la suma de todos los datos )valores* dividida
entre el n+mero de sumandos. Las más empleadas.
Las medidas de tendencia central )!edia, !ediana, !oda* nos permiten fijar,
establecer #o pro#ectar límites # valores -acia los que tiende a ubicarse la variable
que se está evaluando. (or otra parte las !edidas de ispersión permiten ver el rango
entre el cual pudiese moverse la variable. / la 0mportancia de ambas es que permite
fijar los valores de las variables para lograr una mejor administración de los procesos1(roductivos, administrativos, de servicios, etc., en cualquier área donde se puedan
generar # tomar datos1 educativos, de salud, comercio, producción, economía, etc .
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D)*+""#+" #* *'-%')!)* %!#*.
1. /C% )* + '#"!+&'+ $) +* )$'$+* $) !)$)&'+ &)!"+
2eg+n )C-ao, 334*, los datos obtenidos pueden condensarse en un solo valor
central alrededor del cual todos los datos mu5strales se distribu#en. 2eg+n
)2piegel, 33*, es un valor típico o representativo de un conjunto de datos que
suele situarse -acia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud. La
medidas de tendencia central nos indican en torno a qu5 valor se distribu#en los
datos. Cuando se -ace referencia +nicamente a la posición de estos parámetros
dentro de la distribución, 0ndependientemente de que 5sta est5 más o menos
centrada, se -abla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se
inclu#en tambi5n los cuantiles entre estas medidas. Las medidas de tendencia
central se utilizan con bastante frecuencia para resumir un conjunto de
cantidades o datos num5ricos a fin de describir los datos cuantitativos que los
forman. E)#* de ello, pueden ser1 la edad promedio o la estatura promedio
de los estudiantes de la universidad o el peso promedio de las bolsas de cereal
que son llenadas por una determinada máquina en un proceso de producción o
las ventas de un negocio. Las medidas de tendencia central son tambi5n
frecuentemente usadas para comparar un grupo de datos con otro, por ))#1
el promedio de ventas obtenido por un grupo de vendedores de una zona
comparado con el promedio de ventas otro grupo de vendedores de otra zona, el promedio de reclamos de clientes de una sucursal, comparado con el promedio
de reclamos de otra sucursal. 6tras características generales de las medidas de
tendencia central son las siguientes1
• (ermiten apreciar qu5 tanto se parecen lo grupos entre sí.
• 2on valores que se calculan para un grupo de datos # que se utiliza para
describirlos de alguna manera
• 7ormalmente se desea que el valor sea representativo de todos los valores
incluidos en el grupo.
• Es el valor más representativo o típico de un grupo de datos, no es el valor
más peque8o o el más grande, sino un valor que está en alg+n punto
intermedio del grupo, más e9actamente, se acerca a estar al centro de todos
los valores, por ello se les llama medidas de tendencia central.
• 2e utilizan como mecanismo para resumir una característica de un grupo de
datos en particular.
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• Tambi5n para comparar un grupo de datos contra otro.
Entre las medidas de tendencia central se encuentran1 La media, La mediana, La
moda
2. E4'%) % ))# &+$+ %+ $) +* "#')$+$)* $) + )$'+.
L: !E0:1 :+n # cuando e9isten varias media, la media aritm5tica es la más
frecuentemente utilizada en Estadística. La media aritm5tica, es la suma de las
puntuaciones o valores originales dividida entre el n+mero de ellas.
Ejemplo1 *' 672, 3, 2, :, )!#&)* 6 ; ? @ ; 3,5 . 2i tenemos los datos enforma de distribución de frecuencias, el cálculo de la media supone sumar el producto
de los valores por la correspondiente frecuencia absoluta, # dividir el resultado por el
n; de casos.
L: !E0:7:1 :nálogamente a lo que se se8alaba para las variables
categóricas, la mediana puede ser aplicada tambi5n en variables cuantitativas,
si bien, no es el índice estadístico que mejor resume la tendencia central de
este tipo de variables.
La mediana de una variable < )!dn? o, en su caso, el
superior a >? más peque8o
L: !6:1 La moda de una variable < )!o
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3. R)+'&) % ++ &)!%+ *#") +* ")+&'#)* )!") )$'+, #$+ F )$'++.
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@. /C% )* + '#"!+&'+ $) # &%+"!')*, $)&')* F )"&)!')*
CUARTILES
Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en
cuatro partes porcentualmente iguales. @a# tres cuartiles denotados usualmente A,
A$, A'. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en
el cual o por debajo del cual queda un cuarto )$>=* de todos los valores de la
sucesión )ordenada*B el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual
quedan las tres cuartas partes )4>=* de los datos.
atos :grupados
Como los cuartiles adquieren su ma#or importancia cuando contamos un n+mero
grande de datos # tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son
resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles
cuando se trata de datos agrupados es la siguiente1
D , $,' onde1
L D Límite real inferior de la clase del cuartil
n D 7+mero de datos
D recuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil .
f D recuencia de la clase del cuartil
c D Longitud del intervalo de la clase del cuartil
2i se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo
siguiente1 El primer cuartil A, es el menor valor que es ma#or que una cuarta parte
de los datosB es decir, aquel valor de la variable que supera $>= de las observaciones
# es superado por el 4>= de las observaciones.
órmula de A, para series de atos agrupados1
onde1
L D límite inferior de la clase que lo contiene
( D valor que representa la posición de la medida
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f D la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
a" D frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
0c D intervalo de clase
El segundo cuartil A$, )coincide, es id5ntico o similar a la mediana, A$ D !d*, es el
menor valor que es ma#or que la mitad de los datos, es decir el >?= de las
observaciones son ma#ores que la mediana # el >?= son menores.
órmula de A$, para series de atos agrupados1
onde1
L D límite inferior de la clase que lo contiene
( D valor que representa la posición de la medida
f D la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
a" D frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
0c D intervalo de clase
El tercer cuartil A', es el menor valor que es ma#or que tres cuartas partes de los
datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 4>= # es superado por el $>=
de las observaciones.
órmula de A', para series de atos agrupados1
onde1
L D límite inferior de la clase que lo contiene
( D valor que representa la posición de la medida
f D la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
a" D frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
0c D intervalo de clase.
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6tra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos
particulares del percentil, #a que el primer cuartil es el $>= percentil # el tercer cuartil
4>= percentil.
(ara atos 7o :grupados
2i se tienen una serie de valores
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L D Límite real inferior de la clase del decil
n D 7+mero de datos
D recuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil .
f D recuencia de la clase del decil
c D Longitud del intervalo de la clase del decil
6tra fórmula para calcular los deciles1
El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al F?=, de las observaciones
# es superado por el G?= de las observaciones.
El quinto decil corresponde a la mediana.
El noveno decil supera al 3?= # es superado por el ?= restante.
onde )para todos*1
L D límite inferior de la clase que lo contiene
( D valor que representa la posición de la medida
f D la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
a" D frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
0c D intervalo de clase.
órmulas atos 7o :grupados
2i se tienen una serie de valores
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Cuando n es impar1
2iendo : el n+mero del decil.
PERCENTILES
Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o
clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso,
estatura, etc. Los percentiles son ciertos n+meros que dividen la sucesión de datos
ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 33 valores que
dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles )(,
($,... (33*, leídos primer percentil,..., percentil 33.
atos :grupados
Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante
la fórmula1
D , $,',... 33
onde1
L D Límite real inferior de la clase del decil
n D 7+mero de datos
D recuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil .
f D recuencia de la clase del decil
c D Longitud del intervalo de la clase del decil
6tra forma para calcular los percentiles es1
(rimer percentil, que supera al uno por ciento de los valores # es superado por el
noventa # nueve por ciento restante.
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El G? percentil, es aquel valor de la variable que supera al G?= de las observaciones #
es superado por el F?= de las observaciones.
El percentil 33 supera 33= de los datos # es superado a su vez por el = restante.
órmulas atos 7o :grupados
2i se tienen una serie de valores
F??"F33 $? $3>
>??">33 4? 'G>
G??"G33 G$ F$4
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4??"I?? 'G FG'
Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula
2iendo
(osición del primer cuartil.
La posición del 4 decil.
La posición del percentil '?.
Entonces,
El primer cuartil1
>.> % I> D '?.4>
Li D '??, 0c D ??, fi D 3?
El 4 decil1
(osición1
'$F. % $3> D $3.
Li D >??, fi D 4?
El percentil '?
(osición1
'I.3 % I> D >'.3
fi D 3?
5. ")+'H+" $)*$) + -'+ 1237 #* %!#* 1, @, 11 + 1, 23, 2, 32, 3@ F 3.
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. 2e tiene $ vendedores en una compa8ía. Cada uno vendió en un día las sgtes
cantidades de cierto producto1 $3 FI I $? $? $> $3 F '' $> G # $
+. C+&%) + )$'+, )$'++, #$+, ) &%+"!' !")* F ) $)&' *)'*.
D889
12
=24,08 M e J$ F G I $? $? $3 $3 '' FI
d=¿
e=¿ 20+25
2 =22,5 M ¿
M ¿
$?,$3 bimodal
(osición13 (n+1)
4 =
3(13)4 D3.4>
i=¿
3=¿ x¿Q
¿
$3
(osición16 (n+1)
10=6 (13)10 D4.I
i=¿6=¿ x¿
D¿$>
. D) #* !")* "')"#* "#)$'#* *#'&'!+$#*, /&%+ ")")*)!+ )#" +'#"+&'( /#"%) La mediana es 22.5 porque -a# presencia de valores e9tremos, nos permiteeliminar en el cálculo el valor más alto e9tremo siendo en este caso FI,
evitando de esta forma su peso influencia en el promedioB en cuanto a la moda por ser bimodal, por esta razón tampoco la consideramos como representativa
de los $ datos
@. C#)!)+. La )$'+ se determina ordenando los datos de menor a ma#or,seleccionando el valor central . Como se define una distribución de frecuencia, si la media mediana # modason iguales *'J!"'&+&. La )$'+ +"'!J!'&+ no es representativa si un valor de la variable esdemasiado gde con la relación a los demás
$. 2e debe utilizar la )$'+ -)#J!"'&+ cuando se quiere dar importancia alos valores peque8os de la variable o cuando los datos muestran uncomportamiento geom5trico). La )$'+ no se puede calcular, si la distribución es deintervalos abiertos o no definidos. las fórmulas para calcular la )$'+ +"'!J!'&+ admiten tratamientoalgebraico de intervalos abiertos o no definidos
11. U +*&)*#" !')) &++&'$+$ +"+ *##"!+" % )*# 4'# $) 00 K'#*. A %!''H+"*) #" '#* %) )*+ ) "#)$'# 22 K'#* F 8 +$%!#*%) )*+ ) "#)$'# 2 K'#*, /)*! *#")&+"-+$# ) +*&)*#"
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D22 (6 )+72(8)
14 =50.57 total1 F)>?.>4*D4?I ilos
(or esta razón si está sobrecargado en I ilos
12. C' "#)*#")* !"+++ ) $')")!)* %')"*'$+$)* #" #"+*, % +#" $)7 25.200 30.000 20.000 35.000 +. 6btenga el salario promedio por -ora para los cinco profesores. 2i cada uno trabaja ? $ I G # $? -oras a la semana, calcule sus sueldos
totales a la semana&. Calcule el salario promedio por -ora considerando el n+mero de -oras de
trabajo semanal $. KAu5 conclusión se obtiene con las respuestas a # c
13. S' +* +&&'#)* $) %+ ++ + #*!"+$# +%)!#* #"&)!%+)* )*% +#" $%"+!) #* !'#* +#*, /&% )* ) +%)!# #"&)!%+ "#)$'#$) +#" $) +* +&&'#)* ) ) "#)$'# $) +#*
A#* 200 200 2008 2009 2010 2011P#"&)!+
)1.8 2.1 3. 5.3 2. 2.8
log M 0 D
log1.8+ log 2.1+ log3.6+log 5.3+log 2.7+ log2.86 D?.F>G?3IGG
M 0=¿ anti log de ?.F>G?3IGG D$.IG= M 0=¿ 2.8
El aumento porcentual en el valor promedio de las acciones, durante ese
periodo es de 2.8
1@. U+ '"+ )"&'+ !')) $#* *%&%"*+)* % !#!+ $) 220 ))+$#*, % "#)$'# *++"'+ $) 1.200.000. S) *+) %) ) 30 !"+++ ) + "')"+ *%&%"*+ +$)*, ) + *)-%$+ $) )+* ) )"*#+ -++ 180.000 )#* %) #* $) + "')"+. /C% )* ) "#)$'# *++"'+ $) &+$+ %+ $) +**%&%"*+)*
E)+$#* !#!+)*;220
S%&%"*+ 1 ; D1200000+1020000
2 D????
S%&%"*+ 2 ; 15@S++"'# 1 ; 120000 S++"'# 2 ; 102000
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15. C# #* *-!)* $+!#* $) %+ *)"') *' +-"%+"
xi1 I $ G $F $ I $ G $ I
C+&%)7 +. M)$'++ . M)$'+ -)#J!"'&+ &. D)&' *')!) $. )"&)"!' 2
+. 6rdenar M e M$ $ $ $ I I I G G $F M e DI mediana DI.I
.g=¿ 10√ π xi
M ¿ D
10√ 8 x2 x ……….x .8=5.89
&. D7 posición D7 (n+1)
10 =
7 (11)10 D4.4
D7 D x j DIN ?.4 )I*D'.G
D7 D'.G
$. P62 (osición D62(n+1)
100 =¿ G.I$ P62 D x j D I
1. C# #* *-!)* $+!#* $) %+ $'*!"'%&'( $) ")&%)&'+ &+&%)+. M)$'+ . M)$'+ +"('&+ &. T)"&)" &%+"!' $. Q%'!# $)&' ). P)"&)!' 80
1. +) + )$'+, )$'++ F #$+, )&+$+ %# $) #* *-!)* %!#* $)
#*)"+&'#)*7
:. $? I G ? I ' $ $ I $? O. ' > > > 4 4 3C. ? $ > F F '?
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y ' i−1 "
y ' i
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2.1 – 3.1 – 10 1 10.1 – 12 @12.1 – 20 12 20.1 – 2@ 5
x ' i−1 "
x ' i
f i
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x i−1
x i
x i f i x i f i f i x i F i
2.1 –
.1 – 10 10.1 –12 12.1 20 20.1 2@
@.5
8.5 11.0 1.0 22.0
3
1 @12 5
13.5
13.0 @@.0 192.0 110.0
0.
1.88 0.3 0.5 0.23
3
192335 @0
@0 @95.5 3.89
y1
y1
y1 n1 y1
n1
ni xi N i
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A. ;157
10 ; 15. M d ; x j ; 18 M e ;
16+182
=17
B. ;137
9 ; 15 M d ; x j ; 15 M e ; x j ;
15
C. ;206
7 ; 29.@3 M d ; x j ; 1@ M e ; x j ; 1@
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C.
D')>.4* D F4. M d ;5@ M e ; 51
D ')>* D F>
M d; @5
M e ; @5
x1 x1 ; d i
x1 x2 ; d i x1 x1 ; d i
20 – 15.;@.3
11 15 ; @ 10 – 29.@3 ; 19.@3
18 – 15.;2.3
13 – 15 ; 2 11 29.@3 ; 18.@3
1 – 15.; 0.3
13 – 15 ; 2 12 – 29.@3 ; 1.@3
10 – 15.;5.
15 – 15 ; 0 15 – 29.@3 ; 1@.@3
18 15.;2.3
15 – 15 ; 0 1@ – 29.@3 ; 15.@3
1315.;2.
15 – 15 ; 0 130 – 29.@3 ; 85. 12
12 15.;3.
1 – 15 ; 2
12 15.;3.
1 – 15 ; 2
18 15.;2.3
19 – 15 ; @
20 – 15.;@.3
0
0 0
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D ')$3* D II.$3 M d ; @2 M e ; @2
D > N >.4 D $?.4 M d ; 23 M e ;22
D > N > D $? M d ; 20 M e ;20
D > N $3.F' D 'F.F' M d ; 19 M e ;19
23. E % ++&J $) ")%)*!#* *) ")+'H( % )*!%$'# ) +#" F )"# $)$)%$#")*, + %)*!"+ + +H+" "")*#$'( + 80 &%)!+*, + &%+ *)*!"%F( + *'-%')!) !++
+> C+&%) + )$'+ F + #$+
´ x=48 ,71md=¿ 30
> /C(# "#&)$)"+ %*!)$ *' ) '$')"+ &+&%+" + )$'+ +"'!J!'&+
A'&+#* + )$'++ # + #$+ ) +-%#* &+*#* &%+$# *) %')") &+&%+" #!"+* )$'$+* *) $)) ")*&'$'" #* +#")* )4!")#*, *')") F &%+$# +*
")&%)&'+* # *)+ +!+* +, *) %)$) '&%'" ) ) '!)"+# "(4'#.
V+#" $) +$)%$+ ')*
N%)"# $)$)%$#")*
20 1@
20.1 @0 2
@0.1 – 0 20
0.1 – 80 10
80.1 – 100
100.1 F +* @
∑ 80
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2. C#*'$)") %) %+ )")*+ &%)!+ !")* $)+"!+)!#* $')")!))"# $) ))+$#*. S) ")+'H+ %+ )&%)*!+ +"+ $)!)"'+" ) )"# $)%'$+$)* "#$%&'$+* #" #"+, #* *-!* ")*%!+$#*7
epartamento
7P
epartamento
7P$
epartamento
7P'
U'$+$)*
N $)!"+++$#")
* U'$+$)*
N $)!"+++$#")
* U'$+$)*
N $)!"+++$#")
*
' $ $ ' F G
> ' F 4 > $
4 G > F 4 $
I $ 4 3 I ?
? F I ' 3 F
$ ? F ? $
$ ∑ @0 $ '
∑ 30 '
∑ 50
+> C+&%) ) "#)$'#
-
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D!#. N P$ x2 ¿
2 (3 )+4 (7 )+5 (14 )+7 (9 )+8 (3 )+10(4 )40
=¿ >,44>
D!#. N3 x
3
¿
4 (6 )+5 (2 )+7 (12)+8 (10 )+9 (14 )+10 (2 )+12 (3 )+13(1)
50 =¿
G,$G
> O!)-+ ) "#)$'# $) %'$+$)* +"+ ) !#!+ $) #* 12 ))+$#*
4,4GGN>,44>NG,$GD19,801
32. U +"'&+!) "+ !#$#* #* +#* + '*+ &+!'$+$ $) % +"!&%#'$'*)*+) # +!)"'+ "'+ +"+ + )+#"+&'( $) % "#$%&!#. P#" K'#,+ *%'$# ) #* !'#* &' +#* $) + *'-%')!) #"+7 1.200 + 1.800%)-# + 2.00 $)*%J* + 3.500 F '+)!) + 5000/C% )* ) ")&'# "#)$'# #" K'# %) + +-+$# ) +"'&+!) ) #* !'#* &' +#*.
´ x=1200+1800+2600+3500+5000
5 =$2820 el kilo
3@. D) +&%)"$# ) ))"&'&'# 33, *%#-+ %) #* "')"#* 50 K'()!"#* #*")"") + %+ )#&'$+$ $) 0K, #* @0K *'-%')!)* + 52K, #**'-%')!)* 100K + 80K F #* !'#* 0K + %+ )#&'$+$ + 0K.C+&%) ) )*!+* $'&'#)* + )#&'$+$.
50K0K?
@0K52K?
100K80K?
0K0K?
QmD
st
∑( si
vi) D
50+40+100+7050
70+40
52+100
80 +70/60
= 260
0,71+0,78+1,25+1,17 D260
3,91 DGG, >
m-
-
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8/18/2019 MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL 1.docx
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Las medidas de tendencia central sirven para conocer promedios o puntos medios
dentro de una muestra. La media es un promedio, la moda es el valor que más se
repite # la mediana es el n+mero que divide un dos a la muestra de un lado el >?= de
los datos menores # del otro, el otro >?= que los sobrepasa. 2irven para analizar los
puntos medios de una muestra. Es decir, donde -a# ma#or concentración en datos o
características, en cambio las de dispersión indican cuan alejados de esas tendenciascentrales se pueden -allar los datos dentro de una muestra o población de datos.
Las medidas de tendencia central tienen como objetivo, el sintetizar los datos en un
valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen -asta qu5 punto estas
medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las
medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los
valores de la distribución respecto al valor central. istinguimos entre medidas de
dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras # las
relativas que nos permitirán comparar varias muestras. / su importancia es en
encontrar o medir estadísticamente los problemas que tiene una empresa # así poder solucionarlos de modo eficaz # eficiente.