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IMAGEN DISPARADORA
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MATEMÁTICA BÁSICA I
-ELIPSE
Semana 12 Sesión 02
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LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la unidad, el estudiante identifica el comportamiento de las relaciones binarias, las cuales grafica en el plano cartesiano, determina la ley de formación y aplica las propiedades de las relaciones binarias para resolver problemas vinculados a los diferentes campos de la ingeniería.
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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
ESQUEMA DE LA UNIDAD
RECONOCIMIENTO DE CÓNICAS
HIPÉRBOLA
PARÁBOLA
ELIPSE
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LA ELIPSE:
INTRODUCCIÓN
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LA ELIPSE
DEFINICIÓN:“Es el lugar geométrico formado por el conjunto de puntos cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a”
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LA ELIPSE
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS
“F1” y “F2”: a estos puntos se les denomina focos y se encuentran ubicados sobre el eje focal, designando a la distancia entre ellos como 2c.
“C”: Es el centro de la elipse, es el punto donde se intersecan los ejes mayor y menor, representa además el punto medio entre los focos y los vértices.
“V1” y “V2”: Son los vértices de la elipse, representan los puntos donde coinciden el eje focal y la elipse, y la distancia entre ellos es 2a.
“B1” y “B2”: Son los extremos del eje menor de la elipse, es decir son los puntos donde coinciden la elipse y el eje transversal (llamado también eje conjugado tomando en cuenta que el eje transversal es el segmento de recta perpendicular al eje focal en el centro del mismo).
Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por cada foco, la elipse tiene 2 lados rectos.
Excentricidad: Se representa con la letra “e” y es la relación que existe entre la distancia focal (2c) y la longitud del eje mayor (2a).
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LA ELIPSE
ECUACIÓN DE LA ELIPSE
De centro (0, 0)
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LA ELIPSE
De centro
ECUACIÓN DE LA ELIPSE
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LA ELIPSE
ECUACIÓN EN FORMA GENERAL
Partimos de:
𝑨𝒙𝟐+𝑩𝒚 𝟐+𝑪𝒙+𝑫𝒚 +𝑬=𝟎
obtenemos:
donde:
𝒃𝟐=𝑨
𝒂𝟐=𝑩
−𝟐𝒉𝒃𝟐=𝑪
−𝟐𝒌𝒂𝟐=𝑫
𝒃𝟐𝒉𝟐+𝒂𝟐𝒌𝟐−𝒂𝟐𝒃𝟐=𝑬
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EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1) Determine en la ecuación: 9 + 16 < 18 < 64 < 71 = 0 a) vértices, b) focos, c) extremos del eje normal, d) lado recto, e) extremos del lado recto, f)excentricidad, g) rectas directrices y h) graficar
2) Determine en la ecuación: 25 + 16 + 100 < 96 < 156 = 0 a) vértices, b) focos, c) extremos del eje normal, d) lado recto, e) extremos del lado recto, f) excentricidad, g) rectas directrices y h) graficar.
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EJERCICIOS EXPLICATIVOS
3) Determinar la ecuación de la elipse que satisface F1 (2; 0),
F2 (-2; 0) y una de sus directrices es x= 8.
4) Determinar la ecuación general de la elipse cuyo eje mayor de longitud 26 u, está sobre la recta : 4 < 3 + 17 = 0 y cuyo eje menor de longitud 10 u, está sobre la recta : 3 + 4 < 6 = 0
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EJERCICIOS EXPLICATIVOS
5) El techo de un pasillo de 20 m de ancho tiene la forma de una semielipse, tiene 18 m de altura en el centro y 12 m de altura en las paredes laterales. Hallar la altura del techo a 4 m de cualquier pared. (SUGERENCIA: Considerar el techo como la parte superior de una iglesia).
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¡Ahora todos a practicar!
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PROBLEMA RETO
Graficar la elipse de ecuación 9x2+25x2-215=0 e indicar las coordenadas de sus vértices, focos, extremos de su eje menor, así como la longitud de su lado recto, la distancia entre sus directrices y su excentricidad.