Matematiques
per a multimedia II
PAC 1
Olivia Andolz Santacana
Grau de Multimèdia
Aula 1
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 1
PAC 1 - Enunciat
A. PREGUNTES TEST
1- Xifrant m=CLAVEGUERA amb el mètode de xifrat de clau privada basat
en transposicions explicat a la pàgina 34 del mòdul 2 amb la permutació
1→5 2→3 3→1 4→4 5→2
S’obté:
a) c= EACVLAEGRU
b) c= AELVCAEGRU
c) c= EACVLEAGRU
Procediment:
Dividim el missatge (m = CLAVEGUERA) en dos blocs de cinc caràcters
cadascun i ho disposem en forma de matriu, per files i columnes:
𝑚 = �𝐶 𝐿 𝐺 𝑈
𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴�
A continuació procedim a realitzar la permutació:
�𝐶 𝐿 𝐺 𝑈
𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴� = �
1 2 𝐶 𝐿 𝐺 𝑈
3 4 5𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴
�
Primer de tot, hem de mirar l’ordre en que ho hem d’encriptar:
1→5 2→3 3→1 4→4 5→2
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 2
Per tant, significa que en la primera columna posarem el que conte la
cinquena columna, en la segona columna posarem el contingut de la
tercera, en la tercera el que conte la primera,...així amb totes les columnes.
Un cop haguem acabat de situar-ho, ja tindrem el missatge encriptat.
�𝐶 𝐿 𝐺 𝑈
𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴� = �
1 2 𝐶 𝐿 𝐺 𝑈
3 4 5𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴
�
�𝐶 𝐿 𝐺 𝑈
𝐴 𝑉 𝐸𝐸 𝑅 𝐴� = �
5 3 𝐸 𝐴 𝐴 𝐸
1 4 2𝐶 𝑉 𝐿𝐺 𝑅 𝑈
�
𝒄 = �𝟓 𝟑 𝑬 𝑨 𝑨 𝑬
𝟏 𝟒 𝟐𝑪 𝑽 𝑳𝑮 𝑹 𝑼
�
𝒄 = 𝑬𝑨𝑪𝑽𝑳𝑨𝑬𝑮𝑹𝑼
Per comprovar si c = EACVLAEGRU es correcte el resultat obtingut ho
podem fer per un altre mètode:
m = CLAVE → c = EACVL
c = EACVLAEGRU
m = GUERA → c = AEGRU
Així que, la resposta correcta és la A) c = EACVLAEGRU
1→5 2→3 3→1 4→4 5→2
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 3
2- La taxa de compressió quan s’aplica el mètode Huffman a la tira
TWITTER està:
a) Entre 20% i 25%
b) Entre 25% i 30%
c) Més de 30%
Procediment:
Primer procedim a calcular la codificació sense comprimir, tot seguit la
codificació amb compressió (mètode Huffman) i finalment trobarem la taxa
de compressió de la paraula TWITTER.
• Codificació sense comprimir:
Veiem que la paraula TWITTER, esta formada per 7 caràcters, i que un és
repeteix 3 cops, per tant, només haurem de codificar 5 caràcters diferents.
A continuació calculem quants bits necessitem per cada caràcter:
2𝑥 = 5 𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟𝑠
𝑥 = log (5)log (2)
= 2,3219 ≃ 3
𝒙 = 𝟑 𝒃𝒊𝒕𝒔
𝒄𝒂𝒓à𝒄𝒕𝒆𝒓
Això vol dir que cada caràcter estarà codificat per 3 bits, la paraula
TWITTER, com hem dit abans, té 7 caràcters, per tant:
7 𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟𝑠 𝑥 3 𝑏𝑖𝑡𝑠
𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟= 21 𝑏𝑖𝑡𝑠
La cadena sense comprimir tindrà 21 caràcters.
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 4
• Codificació amb compressió (MÉTODE HUFFMAN):
Primer de tot, calculem quina amb quina freqüència apareix cada caràcter
en la paraula i la probabilitat associada:
Caràcter T W I E R
Freqüència 3 1 1 1 1
Probabilitat 37
17
17
17
17
A continuació, procedim a fer l’arbre i assignem un 1 a una branca i un 0 a l’altre:
La paraula TWITTER queda comprimida i codificada per el mètode Huffman
de la següent forma:
T W I T T E R 0 100 101 0 0 110 111
37
T
17
W 17
I 17
E 17
R
27
27
47
0 1
10 11
100 101 110 111
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 5
Amb la compressió del mètode de Huffman veiem que ara tenim codificat es
mateixos 7 caràcters amb 15 bits totals. Ara veiem quants bits hem
estalviat:
𝟐𝟏 − 𝟏𝟓 = 𝟔 𝒃𝒊𝒕𝒔
Ara calculem la taxa de compressió:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊ó = 21 − 15
21 𝑥 100% = 𝟐𝟖,𝟓𝟕%
La taxa de compressió és 28,57%, per tant, la resposta a la pregunta 2
és la B) Entre 25% i 30%.
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 6
3- Hem d'emmagatzemar una imatge monocromàtica de 320x280 píxels en
una escala de 64 tons de grisos, aplicant una compressió diferencial
obtenint com a diferència una sèrie de nombres compresos entre el -16 i el
15. On és la taxa de compressió?
a) Entre 10% i 15%
b) Entre 15% i 20%
c) Més de 20%
Procediment:
Procedim a calcular:
Els píxels totals de a imatge:
320 𝑥 280 = 89.600 𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠
El nombre de bits per píxel: (tenim 64 tons en la imatge)
2𝑥 = 64 𝑡𝑜𝑛𝑠
𝑥 = log (64)log (2)
= 6
𝒙 = 𝟔 𝒃𝒊𝒕𝒔𝒑í𝒙𝒆𝒍𝒔
Primer calculem els bits de la imatge SENSE comprimir:
89.600 𝑝í𝑥𝑒𝑙 𝑥 6𝑏𝑖𝑡𝑠𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠
= 537.600 𝑏𝑖𝑡𝑠
IMATGE MONOCROMÀTICA
320 píxels
280 píxels
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 7
A continuació calculem la compressió diferencial de la imatge. Sabem
que els valors dels tons ocsilen entre -16 i 15, per tant, hi ha 32 tons
per codificar. Per tant, calculem els bits per píxel:
2𝑥 = 32 𝑡𝑜𝑛𝑠
𝑥 = log (32)log (2)
= 5
𝒙 = 𝟓 𝒃𝒊𝒕𝒔𝒑í𝒙𝒆𝒍𝒔
Tot seguit, calculem el nombre de bits de la imatge comprimida
mitjançant la compressió diferencial:
6 𝑏𝑖𝑡𝑠𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠
𝑥 1 𝑝í𝑥𝑒𝑙 (𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝í𝑥𝑒𝑙) + 5 𝑏𝑖𝑡𝑠𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠
𝑥 89.599 𝑝í𝑥𝑒𝑙𝑠 = 448.001 𝑏𝑖𝑡𝑠
89.600 − 1 = 89.599
Un cop realitzats els càlculs anteriors, procedim a calcular la taxa de
compressió:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊ó = 537.600− 448.001
537.600 𝑥 100% = 𝟏𝟔,𝟔𝟔%
La taxa de compressió és 16,66%, per tant, la resposta a la pregunta 3
és la B) Entre 15% i 20%.
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 8
4- Encriptem una paraula m amb el mètode de Verman. La clau privada
utilitzada és:
k =
00110011 00010001 01001100 11110000 00001111 01010010 01010101
i el missatge rebut és:
c = 01111110 01010000 00011000 10111000 01001010 00011111
00010100
Quina era la paraula que havíem enviat ?
a) m = MATHEMA
b) m = CIENCIA
c) m = PHISICA
Procediment:
Per fer la desencriptació de Vernam cal restar la clau privada, k, al
missatge encriptat, c, per poder recuperar el missatge original, m. (o
realitzar la suma de la clau privada i el missatge encriptat):
El missatge original és m = MATHEMA. Per tant, la resposta a la
pregunta 4 és la A) m = MATHEMA.
c 01111110 01010000 00011000 10111000 01001010 00011111 00010100
k 00110011 00010001 01001100 11110000 00001111 01010010 01010101
m 01001101 01000001 01010100 01001000 01000101 01001101 01000001
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
ASCII M A T H E M A
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 9
5- La compressió amb el mètode aritmètic de la l’expressió XXYX pot ser:
a) 0,33
b) 0,43
c) 0,53
Procediment:
Primer la freqüència amb que apareixen les “X” i les “Y”:
La X:
𝑋 = 34
= 0,75
La Y:
𝑋 = 14
= 0,25
A continuació dibuixem els segments:
XXYX
0,421875 0,5625
XXYY 0,421875 + 0,10546875 = 0,52734375
0,52734375
0,140625
0 1
X 0 1 34 = 0,75 Y
XX 0
0,75
XY
0,75 𝑥 34 = 0,5625
0,5625
XXX 0 XXY
0,5625 0,5625 𝑥 3
4 = 0,421875
0,421875
0,5625− 0,421875 = 0,140625
0,140625 𝑥 34 = 0,10546875
La resposta correcta és la B) 0,43. Ja que, el segment que conte XXYX és [0′421875, 0′52734375], i 0,43 pertany a aquest segment.
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 10
6- En David coneix la clau pública d’en Miguel (n=6319, e=677) i li ha robat
la factorització de n=71*89. A més en David ha interceptat pel canal
insegur un bloc de missatge xifrat c=859. El desxifrat de c=859 és:
a) 9875
b) 2899
c) 3492
Procediment:
Afegim les dades del enunciat a l’aplicació que hi ha als materials de
l’assignatura:
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 11
7- L'Alícia ha donat a conèixer la seva clau pública n= 9329, e=13 per tal
que li enviem missatges xifrats amb RSA. Quan volem enviar-li el missatge
m=6724 s’obté:
a) 5789
b) 6324
c) 3414
Procediment:
Afegim les dades del enunciat a l’aplicació que hi ha als materials de
l’assignatura:
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 12
8- Per p=23 i q=17, quina de les següents opcions és pot considerar una
clau pública?
a) (2, 391)
b) (3, 391)
c) (11, 391)
Procediment:
La resposta correcta a la pregunta 8 és la B) (3, 391). Ja que al tenir
els valors de p = 23 i q = 17, els introduïm en la calculadora RSA dels
apunts omplim el camp de “clau pública e =” amb els valors inicials
dels parèntesis (2, 3 i 11).
Tal com es veu en la imatge:
Comprovació del apartat A) (2, 391): No correspon a la clau pública.
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 13
Comprovació del apartat B) (3, 391): Correspon a la clau pública.
Resposta correcta: B) (3, 391).
Comprovació del apartat C) (11, 391): No correspon a la clau pública.
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 14
Pregunta: 1 2 3 4 5 6 7 8 Resposta: A B B A B B B B
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 15
B. EXERCICI
Volem enviar la contrasenya per passar de pantalla en un joc a un dels
meus amics. La volem enviar pel grup del whatsapp del grup d'amics, però
no volem que la resta la conegui. Per això hem quedat que l'encriptarem
fent servir el mètode de Vigénere amb quatre claus diferents.
Com que la contrasenya és llarga hem decidit comprimir-la fent servir el
mètode de Huffman (i així serà més difícil que algú la aconsegueixi).
La contrasenya té el següent format:
4primereslletresdelnom_4primereslletresdelcognom_nivelldeljoc(NIVELLA,
NIVELLB)_lletraDNI
Ex: PALM_GARC_NIVELLA_Z
1. Encripteu la contrasenya
La meva contrasenya és OLIV_ANDO_NIVELLA_N.
Per passar-la per whatsapp, ho encripto amb el mètode de clau privada de
Vigenère, per tal d’evitar l’atac estadístic al qual esta sotmès el mètode
Cèsar. Així que ho faré mitjançant el mètode Vigenère amb 4 claus.
Les claus que utilitzo són: 𝑘 = 2, 𝑘 = 3, 𝑘 = 5 i 𝑘 = 7.
Contrasenya original (m) O L I V A N D O N I V E L L A N
Numero corresponent 15 11 8 22 0 13 3 15 13 8 22 4 11 11 0 13
K clau privada 2 3 5 7 2 3 5 7 2 3 5 7 2 3 5 7 (suma)
Num. de la lletra encriptada 17 14 13 29 2 16 8 22 15 11 27 11 13 14 5 20 (adequació a la taula) 2 0
Contrasenya encriptada (c) Q Ñ N C C P I V O L A L N Ñ F T
La contrasenya encriptada és: QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T.
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 16
2. Comprimiu-la fent servir el mètode de Huffman.
Un cop tinc la contrasenya encriptada, QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T, la
comprimeixo mitjançant el mètode de Huffman.
Primer de tot començo calculant la codificació sense comprimir, tot seguit la
codificació amb compressió (mètode Huffman), per així poder trobar la taxa
de compressió de la contrasenya encriptada.
• Codificació sense comprimir:
Observo que la contrasenya QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T, esta formada per 19
caràcters, on i ha caràcters que es repeteixen varis cops, per tant, només
he de codificar 13 caràcters diferents. A continuació, calculo quants bits es
necessiten per cada caràcter:
2𝑥 = 13 𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟𝑠
𝑥 = log (13)log (2)
= 3,7004 ≃ 4
𝒙 = 𝟒 𝒃𝒊𝒕𝒔
𝒄𝒂𝒓à𝒄𝒕𝒆𝒓
Això vol dir que cada caràcter estarà codificat per 4 bits, la meva
contrasenya QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T, com hem dit abans, té 19 caràcters,
per tant:
19 𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟𝑠 𝑥 4 𝑏𝑖𝑡𝑠
𝑐𝑎𝑟à𝑐𝑡𝑒𝑟= 76 𝑏𝑖𝑡𝑠
La contrasenya sense comprimir tindrà 76 caràcters.
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 17
• Codificació amb compressió (MÉTODE HUFFMAN):
Primer de tot, calculo quina amb quina freqüència apareix cada caràcter en
la contrasenya i la probabilitat associada: (QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T)
Caràcter Q Ñ N C _ P I V O L A F T
Freqüència 1 2 2 2 3 1 1 1 1 2 1 1 1
Probabilitat 1
19
219
2
19
219
3
19
119
1
19
119
1
19
219
1
19
119
1
19
Ordeno la taula de major a menor freqüència per poder realitzar posteriorment l’arbre correctament.
Caràcter _ Ñ N C L Q P I V O A F T
Freqüència 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
Probabilitat 3
19
219
2
19
219
2
19
119
1
19
119
1
19
119
1
19
119
1
19
A continuació, faig l’arbre i hi assigno un 1 a una branca i un 0 a l’altre:
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 18
La codificació de cada lletra la veiem reflectida en la taula següent:
Caràcter _ Ñ N C L Q P I V O A F T
Freqüència 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
Probabilitat 3
19
219
2
19
219
2
19
119
1
19
119
1
19
119
1
19
119
1
19
Codificació 000 0010 0011 010 011 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
419
219
Ñ 2
19
N 2
19
C 2
19
L
419 3
19
_
719
219
119
O 1
19
A 1
19
F 1
19
T
219
419
119
P 1
19
V 1
19
Q 1
19
I
219
219
419
819
1119
00 01
000
010
001
0010 0011 011
0 1
10 11
100 101
1000 1001 1010 1011
110 111
1100 1101 1110 1111
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 19
La meva contrasenya QÑNC_CPIV_OLALNÑF_T queda comprimida i
codificada per el mètode Huffman de la següent forma:
Q Ñ N C _ C P I V _ 1000 0010 0011 010 000 010 1001 1010 1011 000
O L A L N Ñ F _ T 1100 011 1101 011 0011 0010 1110 000 1111
La contrasenya tindria la forma:
1000 0010 0011 010 000 010 1001 1010 1011 000 1100 011 1101 011 0011 0010 1110 000 1111
Caràcter _ Ñ N C L Q P I V O A F T
Codificació 000 0010 0011 010 011 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Olivia Andolz Santacana – Matemàtiques per a multimèdia II – Aula 1 – PAC1 20
3. Quina és la taxa de compressió ?
Amb la compressió del mètode de Huffman veiem que ara tenim codificat es
mateixos 19 caràcters amb 69 bits totals. Ara veiem quants bits hem
estalviat:
𝟕𝟔 − 𝟔𝟗 = 𝟕 𝒃𝒊𝒕𝒔
Ara calculem la taxa de compressió:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊ó = 76 − 69
76 𝑥 100% = 𝟗,𝟐𝟏%
La taxa de compressió és 9,21%.