Segundo semestre
Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torresric áñeP
Matemáticas IISegunda edición
Matemáticas II
Patricia Ibáñez CarrascoGerardo García Torres
Segunda edición
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
Revisión técnica:Ing. Edgar González Yebra
Jefe del Departamento de Matemáticas Dirección de Medios y Métodos Educativos
Secretaría de Educación de Guanajuato
Matemáticas II, segunda ediciónPatricia Ibáñez Carrasco
Gerardo García Torres
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Director editorial, de producción y de plataformas digitales para LatinoaméricaRicardo H. Rodríguez
Gerente de procesos para LatinoaméricaClaudia Islas Licona
Gerente de manufactura para LatinoaméricaRaúl D. Zendejas Espejel
Gerente editorial de contenidos en españolPilar Hernández Santamarina
Coordinador de manufacturaRafael Pérez González
EditorasIvonne Arciniega Torres
Gloria Luz Olguín Sarmiento
Diseño de portadaGerardo Larios García
Imagen de portada
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3. Recorte de una gráfica de personas y negocios:
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Composición tipográficaGerardo Larios García
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1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13
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en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal
del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial.
Datos para catalogación bibliográfica:
Ibáñez Carrasco, Patricia y Gerardo García Torres
Matemáticas II, segunda ediciónISBN 13: 978-607-481-935-9
ISBN 10: 607-481-935-1
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Contenido general
Bloque I
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 2Ángulos 6
Concepto 6Clasificación de ángulos 8
Por su abertura (medida) 8Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos) 10Por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante) 16
Triángulos 24Concepto 24Clasificación 24
Por la medida de sus lados 24Por la abertura de sus ángulos 25
Propiedades relativas de los triángulos 28Desigualdad triangular 28
Amplía tus saberes 30
Mi competencia final 33
Evaluación formativa por proyectos 34
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 35
Bloque II
Comprendes la congruencia de triángulos 38Criterios de congruencia 42
Amplía tus saberes 48
iv Estructura Socioeconómica de México
Mi competencia final 51
Evaluación formativa por proyectos 52
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 53
Bloque III
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras 54Criterios de semejanza 58
Criterio Lado, Lado, Lado (LLL) 59Criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) 59Criterio Ángulo, Ángulo (AA) 59
Teorema de Tales 65
Aplicación del concepto de semejanza 67
Teorema de Pitágoras 72
Amplía tus saberes 80
El concepto de semejanza en las matemáticas 81
Mi competencia final 82
Evaluación formativa por proyectos 84
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 85
Bloque IV
Reconoces las propiedades de los polígonos 88Polígonos 92
Definición 92Clasificación 93
Elementos y propiedades de un polígono 93Ángulos interiores 94Ángulo central 95
Otros elementos de un polígono 95Otras clasificaciones para los polígonos 97
Contenido general v
Suma de los ángulos centrales, interiores y exteriores de un polígono 100Suma de ángulos interiores 100Suma de los ángulos exteriores y centrales 106Ángulo central 107
Área y perímetro de polígonos regulares e irregulares 108Triángulo 108Paralelogramo 109Rectángulo 109Rombo 109Cuadrado 109Trapecio 110Polígono regular de n lados 110
Amplía tus saberes 114
Mi competencia final 115
Evaluación formativa por proyectos 117
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 118
Bloque V
Reconoces las propiedades de la circunferencia 120Circunferencia 124
Rectas y segmentos en una circunferencia 124Rectas tangentes a un círculo 126
Ángulos en la circunferencia 127Propiedades de los ángulos de la circunferencia 129Aplicación de los ángulos exteriores en la vida cotidiana 133
Perímetros y áreas 136
Amplía tus saberes 142
Mi competencia final 144
Evaluación formativa por proyectos 146
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 147
vi Matemáticas II
Bloque VI
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos 150Sistema sexagesimal y circular 154
Funciones trigonométricas directas y recíprocas 159Relación fundamental de la trigonometría 161
Ángulo de elevación y ángulo de depresión 164Funciones trigonométricas inversas 166
Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos 170
Resolución de triángulos rectángulos 174
Amplía tus saberes 182
Mi competencia final 184
Evaluación formativa por proyectos 185
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 186
Bloque VII
Aplicas las funciones trigonométricas 188Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 192
Signos de las funciones trigonométricas 192Funciones y cofunciones trigonométricas de cualquier ángulo 193Ángulos de referencia 194Funciones de un segmento 198
Círculo unitario 202
Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente 205Longitud de arco 205Funciones periódicas 207Identidades trigonométricas 213
Amplía tus saberes 218
Mi competencia final 220
Contenido general vii
Evaluación formativa por proyectos 221
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 221
Bloque VIII
Aplicas las leyes de los senos y cosenos 224Leyes de los senos y cosenos 228
Ley de senos 228Comprobación de la ley de senos 229Ley de cosenos 230
Comprobación de la ley de cosenos 230Resolución de triángulos oblicuángulos 231Aplicaciones prácticas 235
Amplía tus saberes 240
Mi competencia final 241
Evaluación formativa por proyectos 242
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 242
Bloque IX
Aplicas la estadística elemental 244Estadística 248
Población 249
Muestra 249Datos no agrupados 253Datos agrupados 254Representación de datos 257
Medidas de tendencia central para datos no agrupados y agrupados 261
Medidas de tendencia central para datos no agrupados 262Media aritmética 262Mediana 263Moda 264
Medidas de tendencia central para datos agrupados 265Media 265
viii Matemáticas II
Mediana 266Moda 268
Medidas de dispersión para datos no agrupados y agrupados 270Medidas de dispersión 270
Rango 270Desviación estándar 270Varianza 271Desviación media 273
Amplía tus saberes 277
Mi competencia final 278
Evaluación formativa por proyectos 279
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 279
Bloque X
Empleas los conceptos elementales de la probabilidad 282Probabilidad clásica 286
Definiciones básicas 286Probabilidad clásica 287Reglas de la adición 290Regla especial de la adición 290Regla general de la adición 291Reglas de la multiplicación 294
Regla especial de multiplicación 294Regla general de la multiplicación 295
Amplía tus saberes 298
Mi competencia final 299
Evaluación formativa por proyectos 300
Reactivos tipo enlace para entrenamiento 300
Respuestas 302
Material para el docente 331
2 Matemáticas II
Bloque l Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Ángulos
Por su abertura
Suplementarios
Complementarios
© R
obyn
mac
/Dre
amst
ime
© T
ilo/D
ream
stim
e©
Pho
togr
aphe
r/Dr
eam
stim
e
a
ec
g
b
fd
h
Por la suma de sus medidas
Por la posición que ocupan entre dos rectas paralelas
Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 3 Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 3
Triángulos
Por la medida de sus lados
Por la suma de sus ángulos
Propiedades
© hellbilly/ Shutterstock
© N
uanc
e/Dr
eam
stim
e
© P
hoto
grap
her/
Drea
mst
ime
© M
axex
phot
o/Dr
eam
stim
e
B L O Q U E I
Propósito: Que el (la) estudiante identifique los diferentes tipos de ángulos y triángulos, y ubique
sus características en contextos de su comunidad; asimismo, que sea capaz de resolver
ejercicios en torno a la aplicación de la suma de ángulos de los triángulos.
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Desempeños del estudiante al concluir el bloque:
Identifica los diferentes tipos de ángulos y
triángulos.
Utiliza las propiedades y características de
los diferentes tipos de ángulos y triángulos,
a partir de situaciones que identifica en su
comunidad.
Resuelve ejercicios y/o problemas de su
entorno mediante la aplicación de las
propiedades de la suma de ángulos de un
triángulo.
Objetos de aprendizaje: Ángulos
Por su abertura Por la posición entre dos rectas paralelas
y una secante (transversal) Por la suma de sus medidas
Complementarios Suplementarios
Triángulos Por la medida de sus lados Por la abertura de sus ángulos
Propiedades relativas de los triángulos
Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 5 Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 5
Expresa ideas y conceptos mediante
representaciones lingüísticas, matemáticas
o gráficas.
Sigue instrucciones y procedimientos de
manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de
un objetivo.
Construye hipótesis, diseña y aplica
modelos para probar su validez.
Utiliza las tecnologías de la información y
la comunicación para procesar e interpretar
información.
Elige las fuentes de información más
relevantes para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo con su
relevancia y confiabilidad.
Competencias a desarrollar:Define metas y da seguimiento a sus
procesos de construcción de conocimientos.
Propone la manera de solucionar un
problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con
pasos específicos.
Aporta puntos de vista con apertura y
considera los de otras personas de manera
reflexiva.
Asume una actitud constructiva, congruente
con los conocimientos y habilidades con los
que cuenta dentro de distintos equipos de
trabajo.
© Leszek Glasner/Shutterstock
6 Matemáticas II
ConceptoLos ángulos y sus medidas, además de ser fundamentales en el estudio de la geo-
metría, desempeñan un papel fundamental ya que se encuentran casi en todos los
aspectos de tu vida. Observa a tu alrededor: los movimientos de tu cuerpo, los dise-
ños de las construcciones, las manecillas del reloj, la forma de las canchas de
juegos y muchas cosas más.
Definimos un ángulo como la
abertura que se forma entre dos segmentos de recta (llamados rayos) que inician en el mismo punto deno-minado vértice.
ÁnguloVértice
Lados
o rayos
Para designar un ángulo usaremos el símbolo ∠ (que significa “ángulo”), los puntos
marcados en cada lado y el vértice. Es importante notar que el nombre de un ángu-
lo, el que indica el vértice, siempre queda entre los puntos que marcan los lados.
En la figura siguiente, el ángulo se representa como ∠ABC o ∠CBA y se
lee: “ángulo ABC” o “ángulo CBA”. Si deseamos indicar la medida de un ángu-
lo, anteponemos una letra m; así, m∠ABC se lee “la medida del ángulo ABC”.
Designamos a los lados del ángulo como AB y BC (la raya encima se lee como
“segmento”).
B C
A
Otra forma de designar los ángulos es colocar la letra del vértice, ∠B pero debes
tener cuidado porque si, como en la siguiente figura, tiene más ángulos con vér-
tices B entonces no puedes usarla.
Ángulos
© fe
ngzh
eng
/Shu
tter
stoc
k
© G
ary
Blak
eley
/Shu
tter
stoc
k
Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 7 Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 7
D
E
CA
B
Una tercera forma de identificar los ángulos es usar letras minúsculas dentro del
ángulo.
f
Observa que la medida de un ángulo es siempre la misma, no importa a qué al-
tura se tome. Por ejemplo, la medida del siguiente ángulo es la misma si se toma
desde A hasta B que si se toma desde C hasta D, pues hablamos de la misma
abertura entre dos rectas.
CA
B
D
DA 12
B
C
Forma un equipo con dos de tus compañeros y realicen lo que se indica a con-
tinuación.
Escriban cuatro formas distintas de nombrar el ángulo
que se presenta. Recuerda que mostrar tolerancia y dis-
posición al trabajo con otros compañeros es un aspecto
muy importante para el trabajo colaborativo.
1.
2.
3.
4.
De acuerdo con la figura de la derecha:
5. ¿Qué otros nombres pueden utilizar para
identificar el ∠ABC?
GF
H
n
Consolida tus competencias
Trab
ajo
en equipo
8 Matemáticas II
6. ¿Qué otros nombres puede tener el ∠ABD?
7. ¿Qué otro nombre o letra tiene el vértice 2?
8. ¿Cuáles son los lados del ∠1?
9. ¿Cuáles son los lados del ∠2?
10. ¿Cuáles son los lados del ∠C?
11. ¿Cuáles son los lados del ∠B?
12. Si un ángulo de 45° es visto con un aparato que tiene una lente que aumenta
nueve veces el tamaño de las cosas, ¿qué medida tendrá el ángulo cuando se
vea a través de este aparato? _______________________
Clasificación de ángulos Los ángulos se clasifican de acuerdo con varios criterios:
Por su abertura (medida).
La suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos).
Su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante).
Ahora conoceremos cada una de ellas.
Por su abertura (medida)
Ángulo agudo: Es aquel que mide más de 0º y menos de 90º. Por ejem-
plo, el soporte del columpio de la figura.
O35°
En la figura, el ángulo que se muestra es agudo porque 35° es mayor que
0° y menor que 90°.
Ángulo recto: Mide 90°; las rectas que lo forman se llaman perpendicu-
lares (dos líneas perpendiculares se simbolizan con ). Por ejemplo, en
la figura se muestra el ángulo de 90° que forman la esquina del
piso y una pared de tu salón.
90°
© p
hoto
bank
.ch/
Shut
ters
tock
Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 9
Un ángulo recto se representa de dos formas, como se muestra en la figura:
a) Escribiendo 90° dentro de él.
b) Con el símbolo de ángulo recto (un pequeño cuadrito en la esquina) en-
tre los lados.
Ángulo obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º; digamos, el
panal de abejas de la figura.
120°
El ángulo en la figura es obtuso porque mide 120°, es mayor que 90°
y menor que 180°.
Ángulo cóncavo: Mide más de 0º y menos de 180º; como el que forma
el techo de la casa que se observa en la figura .
150°
Aquí se trata de un ángulo cóncavo porque 150° es mayor que 0° y menor
que 180°.
Nota que todos los ángulos que hemos definido hasta ahora son cóncavos.
Ángulo colineal: Mide 180º y cada lado constituye la prolonga-
ción de otro. También se denomina ángulo llano y se ve como
el que forma un sube y baja.
180°
0
Ángulo convexo: Mide más de 180º y menos de 360º; observa el
ángulo entre la escalera y el descanso que se muestra en la imagen.
© L
ilKar
/Shu
tter
stoc
k©
vov
an/S
hutt
erst
ock
© C
laud
io D
iviz
ia/S
hutt
erst
ock
210°
0
10 Matemáticas II
El ángulo de la figura anterior es convexo porque 210° es mayor que 180° y
menor que 360°
Ángulo de una vuelta: Mide 360º y sus lados coinciden. Tam-
bién se denomina perigonal; digamos, la rueda de la imagen.
AO 360°
En muchas situaciones encontraremos ángulos que forman parejas de
acuerdo con su configuración geométrica:
Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un
lado común, los otros dos lados se sitúan en una y otra partes del lado
común.
O
CB
A
Los ∠AOC y ∠BOC
son adyacentes.
Esta pareja de ángulos es útil para la siguiente clasificación de ángulos.
Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos)
Ángulos complementarios: Dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman
90º.
OA
B
C
Si m∠AOB + m∠BOC = 90°,
entonces ∠AOB y ∠BOC son complementarios.
Observa que los ángulos complementarios forman un ángulo recto.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 180º.
OA
B
C
Si m∠AOB + m∠BOC = 180°,
entonces ∠AOB y ∠BOC
son suplementarios.
© N
. Mitc
hell/
Shut
ters
tock
Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 11
Observa que dos ángulos suplementarios forman un ángulo colineal.
Además de los ángulos adyacentes, existen situaciones en las que dos
ángulos se encuentran uno frente a otro, a partir de su vértice:
Ángulos opuestos por el vértice: Tienen el vértice común y los lados
de uno son prolongación de los del otro. En dos rectas que se cortan, los
ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes son
suplementarios.
Recuerda que m quiere decir
“medida”
b
110°
da 70˚c
m∠a = m∠c; m∠b = m∠d
70° = 70°; 110° = 110°
m∠a + m∠b = m∠b + m∠c = m∠c + m∠d = 180º.
70° + 110° = 110° + 70° = 70° + 110° = 180°
Observa que siempre que dos rectas se corten se forman dos parejas de
ángulos opuestos por el vértice.
Para resolver los ejercicios y problemas que se presentarán de aquí
en adelante, te sugerimos que uses un procedimiento que consta de tres
partes ordenadas:
Parte geométrica
Parte analítica
Conclusión
Ejemplos 1. En la siguiente figura, m∠FGH = 15°, m∠FGJ = 55°. Calcula m∠HGJ.
G
J
H
F
12 Matemáticas II
Solución
Parte geométrica:
Coloca los datos en el dibujo.
Parte analítica:
Observa que debemos buscar un número que, sumado con 15°, nos dé
cómo resultado 55°:
x + 15° = 55°
Resolviendo:
x = 55° – 15°
x = 40°
Conclusión
m∠HGJ = 40° 15°
55°
J
H
FG
40°
2. Calcula el valor de x y de cada ángulo en la figura, si m∠AOD = x + 10° y
m∠BOC = 45°:
O
A
D
B
C
Solución
Parte geométrica:
45°x + 10°
O
A
D
B
C
Parte analítica:
Observa que los ∠AOD y ∠BOC son ángulos opuestos por el vértice, esto
quiere decir que sus medidas son iguales, por lo que podemos formular:
x + 10° = 45°
Resolviendo:
x = 45° – 10°
x = 35°
x
15°
55°
J
H
FG
Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 13
Entonces ∠DOA = 45°
Además, observa que ∠COB y ∠BOA son suplementarios por lo que su
suma es 180°.
∠COB + ∠BOA = 180°
45° + ∠BOA = 180°
∠BOA = 180° – 45°
∠BOA = 135°
Como ∠BOA y ∠DOC son opuestos por el vértice, entonces sus medidas
son iguales.
Conclusión
El ∠AOD = ∠BOC = 45°
El ∠AOB = ∠DOC = 135°
45°
135°
135°
45°O
A
D
B
C
3. Ahora veamos un ejemplo de aplicación.
Felipe construye dos rampas para patineta
como las de la imagen. Si coloca una so-
bre la otra éstas tendrán los siguientes án-
gulos de elevación: la m∠BAC = 12°, la
m∠CAD = 4x y la m∠BAD = 68°. ¿Po-
drías ayudarle a encontrar el valor de x y
la elevación de las rampas?
Solución
Parte geométrica:
12°B
C
D
A
4x
68°
14 Matemáticas II
Parte analítica:
12° + 4x = 68°
Resolviendo:
x = (68° – 12°)
4
x = 14°
Conclusión
Las elevaciones de las rampas deben ser de 12° y 56°.
En cada uno de los siguientes ejercicios calcula las medidas para el ángulo y en gra-
dos (utiliza los espacios disponibles).
1.
y°45°
m∠y = ____________________
2.
y°
70°
m∠y = ____________________
3.
y°45°
m∠y = ____________________
Trab
aj
o individual
Consolida tus competencias
12°
56°68°
Resulta de multiplicar
14 por 4 (ya que es 4x)
Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 15
4.
y°
50°
m∠y = ____________________
5.
y°
10°
20°
m∠y = ____________________
6. Calcula la medida del ∠SOT en la siguiente figura, si m∠ROT = 25°.
T
R SO
En cada uno de los siguientes ejercicios calcula el valor de g y de cada ángulo
faltante. Utiliza los espacios disponibles para hacer tus operaciones.
7. AO ⊥ EO
m∠AOB = 15°
m∠BOC = 2g
m∠COD = 10° A
B
C
D
E
O
m∠DOE = 15°
8. m∠FOJ = 88°
m∠FOG = 15°
m∠GOH = 25°
m∠HOJ = 4g
F
G
H
J
O
9. m∠KOL = 45°
m∠LOM = 5g
m∠MON = 50°
NK
ML
O
10. m∠QOS = 90°
m∠QOR = 24°
m∠POQ = 2g
m∠SOT = 40° TP
SQR
O
16 Matemáticas II
11. m∠COD = 55°
m∠AOC = 2g + 15
O
B
AC
D
12. m∠KLH = 75°
m∠FLH = g
m∠JMH = g
5
M
G
F
E
LK
J
H
Por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante)Dos rectas paralelas cortadas por una secante (o transversal) forman los siguien-
tes ángulos:
h
feg
d
b
Esto quiere decir “es paralelo a”
ac l
1
l2
l1
l2
Transversal
Por su posición, podemos clasificar estos ángulos en externos e internos, y a su
vez en alternos externos, alternos internos, correspondientes, colaterales internos
y colaterales externos. Veamos cada uno.
Ángulos externos: Quedan fuera
de las rectas paralelas.
∠a y ∠b son ángulos externos
∠g y ∠h también lo son
h
feg
d
bac
Ángulos internos: Quedan entre
las rectas paralelas.
∠c y ∠d son ángulos internos
∠e y ∠f también lo son
h
feg
d
bac
Bloque I Util izas ángulos, triángulos y relaciones métricas 37
9. El perímetro de la cruz mide 36 unidades. ¿Cuál es el área del cuadrado?
a) 36 b) 63 c) 72 d) 81
10. Un cuadrado tiene un área de 225 unidades cuadradas; si cada lado de éste se aumenta en 7 unidades,
¿cuál es el área en unidades cuadradas del nuevo cuadrado?
a) 232 b) 274 c) 484 d) 1 575
Bloque Vl Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Sistema sexagesimal y circular
Razones trigonométricas directas y recíprocas de
ángulos agudos©
Rus
lanc
hik/
Drea
mst
ime
© R
Shaw
nhem
p/Dr
eam
stim
e
Cálculo de valores de las funciones trigonométricas de 30º, 45º, 60º y sus múltiplos
Resolución de triángulos rectángulos
R
© P
asar
in/D
ream
stim
e
© M
arek
ulia
sz/D
ream
stim
e
© Fer737ng/Dreamstime
B L O Q U E V I
Propósito: Que el (la) estudiante identifique diferentes sistemas de medida de ángulos y describa
las razones trigonométricas para ángulos agudos: Finalmente, que aplique las razones
trigonométricas en ejercicios teórico prácticos.
Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
Desempeños del estudiante al concluir el bloque:
Identifica diferentes sistemas de medidas de
ángulos.
Describe las razones trigonométricas para
ángulos agudos.
Aplica las razones trigonométricas en
ejercicios teórico prácticos.
Objetos de aprendizaje: Funciones trigonométricas
Sistema sexagesimal y circular
Razones trigonométricas directas y
recíprocas de ángulso agudos.
Cálculo de los valores de las funciones
trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus
múltiplos.
Bloque VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos 153
Expresa ideas y conceptos mediante
representaciones lingüísticas, matemáticas
o gráficas.
Sigue instrucciones y procedimientos de
manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de
un objetivo.
Construye hipótesis y diseña y aplica
modelos para probar su validez.
Utiliza las tecnologías de la información y
la comunicación para procesar e interpretar
información.
Elige las fuentes de información más
relevantes para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo con su
relevancia y confiabilidad.
Competencias a desarrollar: Define metas y da seguimiento a sus
procesos de construcción de conocimientos.
Propone la manera de solucionar un
problema y desarrolla un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con
pasos específicos.
Aporta puntos de vista con apertura y
considera los de otras personas de manera
reflexiva.
Asume una actitud constructiva, congruente
con los conocimientos y habilidades con los
que cuenta dentro de distintos equipos de
trabajo.
© Pavelmidi1968/Dreamstime
154 Matemáticas II
Antes que otra cosa debemos comentarte que el origen de la palabra trigonome-
tría proviene del griego y es la composición de las palabras trigonon: triángulo y
metron: medida; entonces, trigonometría quiere decir “medida de los triángulos”.
Hasta aquí hemos medido los ángulos utilizando sólo grados sexagesimales.
Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto, y se denota con
1°. Esto significa que un ángulo recto tiene 90° y que el ángulo completo cuyo
arco es toda la circunferencia tiene 360°.
Además, recordemos que en el sistema sexagesimal (base 60) tenemos las
siguientes equivalencias:
1 grado son 60 minutos. Se escribe: 1° = 60'
1 minuto son 60 segundos. Se escribe: 1' = 60''
Podemos medir un ángulo con precisión en grados, minutos y segundos.
Otras medidas sumamente útiles de los ángulos son los radianes que perte-
necen al sistema circular. Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el
centro de un círculo y cuyos lados intersecan un arco de circunferencia de lon-
gitud igual al radio.
Por lo que concluimos que ambas son unidades de medida de ángulos.
Gráficamente: B
A
Radián
r
0 rC
La longitud de la circunferencia = 2π (radianes) y se entiende que forma un án-
gulo de 360º, de donde:
π radianes = 180º
Despejando:
1 radián = = =
p
pp
180 57.296º 57º17’45”
1º180
0.017453 radianes aprox.= =
Considerando = 3.141592…
Un proceso muy útil es la conversión o expresión de grados sexagesimales a ra-
dianes y viceversa. Ilustremos esto con algunos ejemplos.
Sistema sexagesimal y circular
Bloque VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos 155
Ejemplos 1. Convierte 60° sexagesimales a radianes.
Solución
Aplicando una regla de tres:
1º 180
radianesp
p p
60° x radianes
60° 60
180° se le saca sesentava 60° = = 3 radianes
Conclusión60° = 1.047 radianes
60° = 3 radianesp
2. Convierte 45º sexagesimales a radianes.
Solución
1º 180 radianesp
pp
45° x radianes
45°45
180 radianes
4 radianes 0.78 radianes= = =
Conclusión
45° = 0.78 radianes, o bien, 4
radp
3. Convierte 90º sexagesimales a radianes.
Solución
90° 90°
180 21.5708 rad= ==
p p
4. Convierte 180º sexagesimales a radianes.
Solución
180° = = = 180
180 1 3.1416 radianesp
60°, o bien, 1.0472 rad
3rad
π
45° 0.78 rad
156 Matemáticas II
5. Convierte 360º sexagesimales a radianes.
Solución
360° = = 360°p
180 6.2832 radianes
6. Convierte = p
6 rad a grados sexagesimales.
Solución
Aplicando una regla de tres:
Conclusión
630°rad
p
7. Convierte 62° 5' 25'' sexagesimales a radianes.
Solución
Lo primero que tenemos que hacer es convertir los segundos a minutos y
sumarlos a los minutos ya existentes, a continuación convertir los minutos a
grados y sumarlos a los existentes (utilizamos la regla de tres).
Ahora, procedemos a encontrar la equivalencia de estos 62.09026° a radianes:
p 180°radianes
x 62.09026°
1.0836 radx = =3 1416 62 09026
180
. .
Conclusión
Los 62° 5' 25'' equivalen a 1.0836 radianes.
6rad o 30º
1 rad 180grados sexagesimales
p
pp
p
6rad x grados sexagesimales
x grados sexagesimales 6
180
130
rad
rad
( )( )º
1' 60''
25''
x25 1'''
’0.416= == entonces, 62°5'25'' 62° 5.416'
1° 60'
x° 5.416'
x5 416 1. ' °
'600.09026°= = = entonces, 62° 5.416' 62.09026°
60'
x'
Bloque VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos 157
8. Convierte 5 radianes a grados, minutos y segundos.
Solución
Aplicando una regla de tres:
Ahora convertimos a minutos los 0.4782° (utilizamos la regla de tres)
1° 60'
x0.4782°
x = = =0.4782 60°
1°28.692° entonces, 286.4782° 286° 28.692
Ahora convertimos a segundos los 0.692' (utilizamos una regla de tres)
Conclusión
5 radianes equivalen a 286° 28' 41''
La gráfica nos muestra algunos ángulos marcados en un círculo uni-tario tanto en grados sexagesimales como en radianes.
1. En equipo, discutan cuál es otra forma de escribir el siguiente ángulo. Escri-
ban aquí sus conclusiones:
( )( )
1 rad
5 rad
180grados sexagesimales
p
p
x grados sexagesimales
x grados sexagesimales
180
1=286.4782°=
5 rad
rad
1' 60''
0.692' x
x0.692 60
141.52
' ''
''' entonces, 286.4782 = 286° 28' 41''
Consolida tus competencias
Trab
ajo
en equipo
35°
3
2
�
0°
45°
30°
60°90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
�
4�
6
�
3
�
23
4
�
�
2�
7
4
�5
4
�
158 Matemáticas II
2. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos. Utiliza los espacios
disponibles.
a) 210° e) 42° 45'
b) 160° f) 45° 25' 55''
c) 25° 30' g) 115°
d) 650° h) 89° 42' 39''
3. Expresa en grados cada uno de los ángulos siguientes:
a) 5
radp
e) p5
7rad
b) 1
5 rad f)
5
7rad
c) 3 rad g) p11
9rad
d) p3 rad h) 11
9rad
4. Expresa en grados, minutos y segundos cada uno de los ángulos siguientes:
a) 5
radp
e) p5
7rad
b) 1
5rad f)
5
7rad
c) 3 rad g) p11
9rad
d) 3 radp h) 11
9rad
Bloque VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos 159
Una función es una razón directa entre dos cantidades, en este caso esas canti-
dades son los lados de un triángulo, si nos basamos en un triángulo rectángulo,
respecto del ángulo. Tendríamos que:
z = hipotenusa
y = cateto opuesto
X
y
Z x
z
Y x = cateto adyacente
Decimos, entonces, que las funciones que se forman son las razones (divisiones)
que existen entre x y y, entre x y z, o bien entre y y z; por ejemplo, tenemos que
hay relaciones a las que se llama funciones directas:
Seno: es la división del cateto opuesto entre la hipotenusa, sen Y = y
z.
Coseno: es la división del cateto adyacente entre la hipotenusa,
cos Y =
x
z.
Tangente: es la división del cateto opuesto entre el cateto adyacente,
tan Y =
y
x.
Pero también existen otras relaciones a las que se conoce como funciones recí-
procas y son:
Cosecante: es la división entre la hipotenusa y el cateto opuesto,
csc Y =
z
y.
Secante: es la división entre la hipotenusa y el cateto adyacente,
sec Y =
z
x.
Cotangente: Es la división entre el cateto adyacente y el cateto opuesto,
cot Y =x
y.
Funciones trigonométricas directas y recíprocas
160 Matemáticas II
En el espacio en blanco y con la ayuda de tu profesor(a) y tus compañeros, define
las funciones trigonométricas para el ángulo X de la figura siguiente.
X
y
Z x
z
Y
Observa que los ángulos X y Y del triángulo anterior son complementarios (es
decir, suman 90°), y que además:
El seno del ángulo X es igual al coseno del ángulo Y y viceversa:
sen X = cos Y
sen Y = cos X
La tangente del ángulo X es igual a la cotangente del ángulo Y y viceversa:
tan X = cot Y
tan Y = cot X
La secante del ángulo X es igual a la cosecante del ángulo Y y viceversa:
sec X = csc Y
sec Y = csc X
Trab
aj
o individual
Consolida tus competencias
Bloque VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos 161
Las razones trigonométricas seno y cosecante del mismo ángulo son recíprocas
entre sí; al igual que el coseno y la secante; la tangente y la cotangente. Es decir,
respecto al triángulo rectángulo XYZ anterior, tenemos:
(sen = =Y)
(cos Y)
(tan Y)
(csc Y)y
z(
z
y)
=(sec Y)x
z(
z
x) = 1
(cot Y) = y
x(
x
y) = 1
1
Observa que el hecho de que sean recíprocas quiere decir que sus componentes
se invierten; en otras palabras, lo que tenemos como numerador en una se con-
vierte en denominador en la otra y viceversa. Ahora haremos algunos cálculos de
funciones directas y recíprocas.
Como último detalle:
Análogamente, la cotangente de Y es el coseno de Y entre el seno de Y.
Relación fundamental de la trigonometríaTeniendo en cuenta un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 1, si aplicamos
el teorema de Pitágoras, se debe cumplir la que se conoce como relación funda-
mental de la trigonometría:
sen2 � + cos2 � = 1
Mostremos cómo funciona esta relación:
Parte geométrica:
Cateto adyacente
Hipotenusa
Cateto opuesto
α
Parte analítica:
A partir de la misma relación y sustituyendo su valor:
tan Y = ==sen Y
cos Y
op
ady
hip
ad
op
hip
Campo matemático
Matemáticas II, segunda edición, es un texto que se basa en el enfoque por com-petencias y cubre la orientación curricular de la Direccion General de Bachillerato.
Está integrado por 10 bloques que corresponden al Programa de Estudios de Matemáticas II, de la Reforma Integral:
• Bloque I. Utilizas triángulos, ángulos y relaciones métricas• Bloque II. Comprendes la congruencia de triángulos• Bloque III. Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de
Pitágoras• Bloque IV. Reconoces las propiedades de los polígonos• Bloque V. Reconoces las propiedades de la circunferencia• Bloque VI. Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos
rectángulos• Bloque VII. Aplicas funciones trigonométricas• Bloque VIII. Aplicas las leyes de los senos y cosenos• Bloque IX. Aplicas la estadística elemental• Bloque X. Empleas los conceptos elementales de probabilidad
Cada bloque está estructurado de acuerdo con una estrategia didáctica que permite que los estudiantes desarrollen y practiquen los saberes aprendidos, con abundancia de ejemplos y ejercicios que serán útiles para que el aprendizaje se convierta en herramientas que puedan aplicarse en situaciones de la vida diaria.
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