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7/24/2019 Matematica 2 Informe de volumenes
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VOLUMENES DE SOLIDOS
Los slidos de revolucin son slidos que se generan al girar una regin planaalrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un slido que resulta al girar untringulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un
rectngulo alrededor de uno de sus lados.
Existen 3 mtodos para hallar el volumen de un solido de revolucin
1. Mtodo del disco
Si giramos una regin del plano alrededor de un
eje obtenemos un slido de revolucin. l
volumen de este disco de radio ! " de anc#ura
$ es:
%olumen del disco & '!()
Para ver cmo usar el volumen del disco " para
calcular el volumen de un slido de revolucin
general, se #acen n particiones en la gr*ica.
stas divisiones determinan en el slido n discos cu"a suma se apro+ima alvolumen del mismo. eniendo en cuenta que el volumen de un disco es ! ()' ,la suma de !iemann asociada a la particin, " que da un volumen apro+imado
del slido es:
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Por tanto, recordando la de*inicin deintegral de*inida de !iemann se obtieneque:
1.1.+tensin de la *ormula, Mtodo del anillo
Si el slido de revolucin es generado por la rotacin alrededor del - de la regin encerrada entre dos curvas continuas /& 0+2 " /&3+2,
desde +&a #asta +&b, donde para todo + 4a,b5 :
0+2 6 3+2 6 7 o 0+2 8 3+2 8 7 ,ntonces la seccin plana transversal es una corona circular o anillo2cu"a rea 9+2 es una di*erencia de reas de dos discos concntricos:
9+2& [F(x )]2[G (x ) ]2 , + 4a,b5
e modo que el volumen % de solido generado est dado por la *ormula
% & a
b
{[F(x)]}2
{[G (x )]}2
dx
jemplo 1:
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;allar el volumen % del solido de revolucin generado al rotar el reaubicada debajo de la gr*ica de la curva "&+(, encima del - , " limitada porlas rectas +&7 " +&1, alrededor del - :
!espuesta:
%& 0
1
[ f(x )]2 dx
%& 0
1
[x2 ]2
dx
%&
5unid .
3
(. Mtodo de las capas concntricas
Se llama capa cil
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9#ora queremos encontrar el volumen de revolucin generado por la rotacinen torno al eje de las " de la regio bajo la curva " & *+2 de + & a + & b .9dmitamos que 7 8 a 8 b " que *+2 es no negativa en 4 a A b 5 .*igura BC (2
0igura BC (
Para encontrar % , comencemos con una particin regular de 4a A b5 en n
subintervalos iguales de longitud D+ & bEa2 ? n .E Seaxi
*
el punto medio del iEesimo subintervalo 4+iE1 , +i5 el radio medio r2 " considrese el rectngulo de
base D+ & +i@ +iE1el espesor t2 " altura *xi
*
2 #2.E este cascaron cil
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" en consecuencia de acuerdo a la suma riemanniana se tendr:
% &
=1i
( 'xi
*
*xi
*
2 D+ &
b
a
(' + *+2 d+ 12
sta apro+imacin del volumen % es una suma riemanniana que se acerca a
b
a
(' + *+2 d+ cuando D+ G 7, por lo que resulta que el volumen de nuestroslido de revolucin est dado por:
% &
b
a
(' + *+2 d+
onde 0+2 7 es continua sobre 4a,b5 " a 0
(.1.+tensin de la *ormula, eorema 1
l volumen % del solido generado al rotar el rea encerrada porlas gr*icas de las *unciones continuas "&0+2 , "&3+2 , donde : 0+2
3 +2, desde +&a #asta +&b con 7 a b 2 , alrededor del -
/ es :
%&( a
b
x [F(x)G (x )] dx
(.(. +tensin de la *ormula, eorema (
l volumen % del solido de revolucin obtenido al rotar la reginlimitada por el - " por la gr*ica de "&0+2 desde +&a #asta +&b,alrededor de L9 !H9 +&c, es igual a:
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%& %&(
a
b
xc[F(x )]dx
onde c I a, b J "
0+2 7 para +
4a, b59qu< se presentan las dos posibilidadesSiguientes K2 o KK2:
K2 a + b c +Ec & cE+2
KK2 c a + b +Ec & cE+2
(.. +tensin de la *ormula, eorema
l volumen % del solido de revolucin obtenido al rotar la reginlimitada por las gr*icas de las *unciones /&0+2 " /&3+2 , desde
+&a #asta +&b , alrededor de la recta vertical +&c, donde c
Ia,bJ , 0+2 G(x) , para + 4a, b5, es igual a :
%&( a
b
xc[F(x )G (x )] dx
jemplo (:
Sea el arco de la parbola cubica "&+, + 47,15, calcular el
volumen del solido de revolucin obtenido al rotar alrededor de la recta
+&1.
Solucin:
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;aciendo f(x )=x3, x [0,1 ]
%&( 0
1
|x1|. f(x ) dx
%&( 0
1
(1x) . x3 dx
%&
10
. %olNmenes de solidos de revolucin de coordenadas polares
Honsiderar la *uncin polar r&0q2 continua en q 4a,b5Para determinar
el volumen del slido de revolucin S obtenido al rotar una regin *ormadapor el gr*ico de 0 con las rectas, q&a, q&b alrededor del eje polar.omamos una particin P& Oq7&a ,.......,qn&b de 4a,b5.Luego nosapro+imamos por volNmenes de slidos S iobtenidos al rotar las regiones ! isectores circulares2 alrededor del eje polar.
n coordenadas cartesianas sabemos que:
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q1q2
cos()
cos
Vsi=2P3r3
q1+ q1q1
cos()
cos
Vsi=2P3 r3{
K q1
Si P G 7 podemos usar integral de !iemann para obtener:
Vs=2P
3
a
b
r3sinq dq=
2P
3
a
b
(F(q ))3 sin(q)dq
.1.Horolario
l volumen %"S2 del solido S generado al rotar la regin plana de la
teor cos 2, [0,2] , a>0,alrededor 92 el - A R2 e la recta
r cos=a4.
Solucin:
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92 9lrededor del - :
Vx(S )=2
3
0
r3 ( ) sin d
Vx(S )=2
3
0
a3 (1+cos )3 sin d
Vx(S )=8 a
3
3
R2 9lrededor de la recta +&a4 A
Pues +&r cos :
Pendiente de la recta tangente !:
m& tan &
tan [dr /d]
r+
A donde1+cos
r=a 2
ntonces ! es vertical si el denominador de m es H!:
r tan+(dr /d)=0 G sin (1+2cos )=0
G =0 , ="2/3
Se puede veri*icar que la recta +& a/4 corresponde a & 2/3 .
Luego, utiliTando la *ormula para H9P9S HULUB!UH9S
HBHB!UH9S:
%& 2a /4
2a
x(a /4)# (x ) dx , donde
x=r cos &
1+coscos
a
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1+cossin
#=r sin=a
dx=x $( )d=a (sin +2sincos ) d
9si, el volumen % es obtenido como di*erencia de dos volNmenes derevolucin:
V=2 {2 2
3
0
(x [ ]+ a4 )# (x [ ] )x $[ ] d223
(x [ ]+ a4 )# +4 x $ [ ] d
x [ ]+a4
()# (x [ ])x $[ ]d
V=4 0
!eemplaTando x [ ] % # (x [ ])& x$[]
V=13 2 a3/4
E!E"#I#IOS
1. Halcular el volumen del solido generado por la rotacin alrededor del eje
V"W, de la gr*ica acotada por la curva: x2/3+#2 /3=a2 /3 .
a
Ea a
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Ea
des'e(ando :x2=(a
2
3#2
3 )3
d)=2 x2 d#
a
2
3#( 2/3)3d#
V=20
a
V=2 0
a
(a2#23 (a# )2
3 (a2
3#2
3))d#
(a2#23a43 #
23+3a
23 #
43 )d#
V=20
a
V=2 [a2 ##3
3
9a4 /3#
5/3
5+9a
2 /3#
7 /3
7 ]0a
V=2 [a3a
3
3 9a
3
5 + 9a
3
7]V=2 a3(11395 + 97 )V=(2 a3 ) 16
105
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V=32 a
3
105 u
3
(. Halcular el volumen del solido generado por la regin que quede debajode: "&1>Sen+, sobre el eje V+W entre +&7 " +&(' rotado alrededor del ejeV"W.
1
7 '?( ' '?( ('
d)=2 x#dx
V=2 0
2
x (1+Senx ) dx
V=2 0
2
(x+xSenx ) dx
V=2 [0
2
xdx+0
2
xSenxdx]
V=2 [(x2
2)02
+(x*osx+*osxdx )02
]V=2 [22+(2 0 )]
V=4 2 ( 1 )u3
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. ncontrar el volumen del solido generado por la rotacin de la regin
entre las curvas: #=x2+4,#=2x2 alrededor del eje V+W.
#=2x2
#=x2+4
E( (
d)=((x2+4 )2 (2x2 )2)dx
V=2
2
((x2+4 )2(2x2 )2 )dx
V=2
2
(3x4+8x2+16) dx
V=[3x5
5+8x
3
3+16x ]
2
2
V=
[(3(2)
5
5 +
8(2)3
3 +16 (2))(3 (2)
5
5 +
8(2)3
3 +16 (2))
]V=2 [32015 + 48015 28815]
V=1024
15 u
3
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X. Halcular el volumen del solido que genera la circun*erencia:
x2+(#3)2=1
al girar alrededor de V+W.
#=3+1x2
#=31x2
E1 1
d)=((3+1x2 )2(31x2 )2 )dx
V=1
1
((3+1x2 )2(31x2 )2 )dx
V=1
1
[(9+(1x2 )+61x2 )(9+(1x2 )61x2 )]dx
V=1
1
(121x2) dx
V=12 1
1
1x2 dx
V=12 [x2 1x2+12
2arcSen
x
1 ]11
V=12 [12arcSen (1 )12arcSen (1 )]
-
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V=|6 [/23 /2]|
V=6 2 u3
Y. ncontrar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje V+W la
regin acotada por la curva #=x3
" las rectas "&7, +&(.
#=x3
7 (
d)= #2 dx
V=0
2
#2
dx
V=0
2
x6
dx
V=[x7
7]02
V=
[2
7
7
07
7
]
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V=128
7 u
3
Z. Halcular el volumen que genera la elipse:x
2
4+#
2
3=1 , al girar
alrededor del eje V+W.
3
E( (
3
d)= #2 dx
V=2
2
(33x2
4)dx
V=2
2
(3
3x2
4
)dx
V=[3xx3
4]22
V=[4+4 ]
V=8 u3
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[. l rea acotada por las curvas "&Hos+, "&Sen+ entre +&7 " +&'?X esrotada alrededor del eje V+&'?(W. \Hul es el volumen del solidogenerado] " "^
"&Sen+
7 '?X '?( '
"&Hos+
d)=2 ((/2)x )#dx
V=2 0
/4
(
2x) Senxdx
V=2 [0
/4
( 2)Senxdx0
/4
xSenxdx]V=2 [/2 (*osx )0/4(x*osx+Senx )0/4 ]
V=2 [2(cos4)2 (cos0)] E[4(cos4 )+Sen4]
V=2 [(2 (22 )2 (1))(4( 22)+ 22)]
V=2
[2
2(2 + 2+41)]
V=2( 2
41)u3
_. ;allar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje V"W, la
parte de la parbola:#
2=4ax, que intercepta la recta +&a.
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#2=4ax
(a
a
E(a
d)=(x12x
2
2) d#
V=2a
2a
(a2 #4
16a2 )d#
V=
[a2# #
5
80a2 ]2a
2a
V=[(2a3a35)(2a3+ a3
5)]
V=[4 a32a3
5]
V=2a3 [215 ]
V=18a
3
5 u
3
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`. Halcular el volumen del solido engendrado por la rotacin de la regin
entre: x2+#2= `, 4x
2+9#2=36 regin del primer cuadrante2
alrededor del eje V"W.
(
7
des'e(a+os #:
#1=(1x
2
9)9 #2=(1x
2
9)4d)=2 x (#1#2) dx
V=2 0
3
x (31x2
921x
2
9)dx
V=2 0
3
x 1x2
9 dx
V=2 0
3x
3
1x2dx
V=2
3
0
3
x 1x2
dx
V=2
3[(9x2 )3
3 ]03
V=6 u3
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17.Para una compa
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11. Halcular el volumen del solido generado por la rotacin de la reginlimitada por las curvas dadas alrededor de la recta dada:
x2#
2+16#2=16 , x=0,#=0,x=4, alrededor de +&X.
1
7 X
E1
d)=2 (4x )#dx
V=2 0
4
(4x ) 16x2+16 dxV=8 0
4
4xx2+16
dx
V=8 {[4 ln (x+x2+16)]04
[x2+16 ]04}
V=8 {4 ln (4+32 )ln 432+4 }u3
1(.Halcular el volumen del solido obtenido al #acer girar alrededor del eje
V+W, la regin limitada por las gra*icas #=x2
, #=x , x=2.
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7 1 (
V=V1+V2
V1=0
1
(xx4 ) dx
V1=[x2
2x
5
5]01
V1=
3
10
V2=1
2
(x4x ) dx
V2=[x5
5
x2
2]12
V2=47 10
V=V1+V2=3
10+
47
10=5 u3
1.;allar el volumen del solido de revolucin que se obtiene al girar
alrededor del eje V"W, a la regin encerrada por las curvas x2= (" e
#=x3 +>X " las rectas +&7, +&(.
X
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7 (
d)=(#1#2 )2 xdx
V=0
2
2 x(x33x+4x2
2)dx
V=0
2
(2x 4x36x2+8x) dx
V=[2x
5
5x
4
42x3+4x2]0
2
V=[ 645 164 16+16 ]
V=44
5 u
3
1X.La base de un solido es la regin limitada por la elipsex
2
a2+
#2
b2=1 .
;allar el volumen del solido, suponiendo que las secciones transversalesperpendiculares al eje V+W son cuadrados.
b " Ea a "
Eb
-
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- (.)=(2# )2
des'e(a+os y :
#2=
b2
a2(a2x2 )
d)=(2# )2 dx
V=a
a
4(b
2
a2(a
2x2))dx
V=4 b
2
a2
a
a
a2x2dx
V=4 b
2
a2[a2xx
3
3]aa
V=4 b
2
a2 [(a3a33)(a3+ a
3
3)]
V=16ab
2
3 u
3
1Y.Halcular el volumen del solido generado por la revolucin de la regin !
limitada por las curvas "&ln+A x=e2
alrededor del eje V"W.
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7 e2
d)=2 x# dx
V=0
e2
2 xlnxdx
V=2 0
e2
x lnx dx
V=2 [x2
2 lnxx
2dx ]
0
e2
V=
2(3e4+1) u3