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Matemt
Solucionario
2012 -IIExamen de admisin
Matemtica
1
TEMA P
PREGUNTA N.o 1Sean a, b N y
MA (a, b) la media aritmtica de a y b.
MG (a, b) la media geomtrica de a y b.
MH (a, b) la media armnica de a y b.
Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado:
I. Si MA (a, b)=MG (a, b), entonces
MG (a, b)=MH (a, b).
II. Si MG (a, b)=MH (a, b), entonces
MA (a, b)=MG (a, b).
III. Si MA (a, b) MG (a, b) > 0, entonces
MG (a, b) MH(a, b) > 0.
A) VVF
B) VFV
C) VVV
D) VFF
E) FVF
R
Tema: Promedio
Sean a; b N.
Si a=b, entonces MA(a; b)=MG(a; b)=MH(a; b)
Si a b, entonces MA(a; b) > MG(a; b) > MH(a; b)
Anlisis y procedimientoI. Verdadera
Si MA a b MG a b( ; ) ( ; )= , entonces a=b.
Luego
MG a b MH a b
a aa a
a a
( ; ) ( ; ) =
=
+
2
(cumple)
II. Verdadera
Si MG a b MH a b( ; ) ( ; )= , entonces a=b.
Luego
MA a b MG a b
a aa a
( ; ) ( ; ) =
=
2
(cumple)
III. Verdadera
Si MA a b MG a b( ; ) ( ; ) > 0, entonces a b.
Luego
MG(a; b) MH(a; b) > 0
MG(a; b) > MH(a; b) (cumple)
RVVV
Alternativa C
) la media armnica de a y b.
Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn
), entonces
), entonces
) > 0, entonces
) > 0.
MG a b a b
a aa a
a a
( ;a b( ;a b) (MH) (MH ; )a b; )a b ) (=) (
=a a =a a a a a a
+a a+a a2
II. Verdadera
Si MG a b a b( ;a b( ;a b) (MH) (MH ; )a b; )a b) (=) (
Luego
MA a b a b
a aa a
( ;a b( ;a b) (MG) (MG ; )a b; )a b ) (=) (
a aa a= = a a= a a
2
III. Verdadera
-
2unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 2Indique la alternativa correcta despus de determinar
si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F)
segn el orden dado:
I. La diferencia entre el descuento comercial y el
descuento racional es igual al inters simple que
gana el descuento racional.
II. Valor actual de un descuento, es igual al valor
nominal ms el descuento.
III. Descuento es la rebaja que sufre el valor nominal
de una transaccin comercial, al ser efectiva,
antes de la fecha de vencimiento.
A) VVV
B) VVF
C) VFV
D) VFF
E) FVF
R
Tema: Regla de descuento
Anlisis y procedimiento
I. Verdadera
Recordemos que el clculo del Dc y Dr de una y un mismo tiempo es
hoy
Vac
Var
t
Dc
Dr
Vn
Dc=r % Vn t (I)
Dr=r % Var t (II)
Restando las expresiones (I) y (II).
Tenemos
D D r V V tc r n arDr
= ( )%
Dc Dr=r % Dr
II. Falsa
Recordemos que
hoy
Va Vn
D
Entonces
D=Vn Va
Va=Vn D
III. Verdadera
El descuento es la rebaja que se realiza al valor nominal (Vn) de un documento comercial al cancelarla antes de la fecha de vencimiento.
R
VFV
Alternativa C
antes de la fecha de vencimiento.
hoy
Entonces
D=VnD=VnD=V Va Va V
VaVaV =Vn=Vn=V D
-
3unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N.o 3Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado:I. La frecuencia relativa es el cociente entre la
frecuencia acumulada del i-simo intervalo y el nmero total de datos.
II. La mediana de un conjunto de n datos, es el valor que ms veces se repite.
III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviacin estndar es mayor que 1,7.
A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF
R
Tema: Estadstica descriptiva
Anlisis y procedimientoI. Falsa Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el
cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-simo intervalo y el nmero total de datos.
hfnii=
II. Falsa Porque la mediana de un conjunto de n datos es
el valor que divide al conjunto de datos, previa-mente ordenados, en dos partes iguales.
III. Verdadera
Porque = =( )x
nx
ii
n2
1 2
desviacinestndar
y tenemos
x =
+ + + +=
18 19 16 17 145
16 8,
=
+ + + +
= =
18 19 16 17 145
16 8
2 96 1 72046
2 2 2 2 22( , )
, ,
Donde > 1,7
RFFV
Alternativa D
PREGUNTA N.o 4Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 estn defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el nmero esperado E de bombillas seleccionadas.
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5
R
Tema: Funcin de la probabilidadTenga en cuenta que para calcular la esperanza matemtica es necesario reconocer la variable aleatoria y calcular su respectiva probabilidad.
x x1 x2 x3 ... xn
P(x) P1 P2 P3 Pn
E x Px i xi
n
i( ) ( )=
= 1
Estadstica descriptiva
Anlisis y procedimiento
Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-simo intervalo y el nmero total de datos.
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 44Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 estn defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el nmero esperado E de bombillas seleccionadas.
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
-
4unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
Anlisis y procedimientoEn una casa se tienen 8 bombillas, de las cuales 3 son defectuosas (D) y 5 son no defectuosas (B).
3 D
5 B Se extrae una bombilla de la caja.Si sale defectuosa, se prueba otra hasta seleccionar una no defectuosa.
Definimos la variable aleatoria x.x: nmero de bombillas extradas (una a una) hasta obtener una bombilla no defectuosa.
x 1 2 3 4
P(x)
B58
D B38
57
1556
=
D D B38
27
56
556
=
D D D B 38
27
16
55
156
=
Piden
E x Px i xi
i( ) ( )=
= 1
4
E x( ) = + + + 158
21556
3556
4156
E(x)=1,5
R1,5
Alternativa C
PREGUNTA N.o 5Sea N
n= 11 1 2...
dgitos( )
Determine la suma de los dgitos de NN en base 2, donde n 2.
A) n 2 B) n 1 C) n D) n+1 E) n+2
R
Tema: MultiplicacinTenga en cuenta que los numerales con cifras mximas se pueden representar como una sustraccin.
Ejemplos
999=1000 1
8889=10009 1
66667=100007 1
11112=100002 1
Anlisis y procedimientoSe tiene que
N
n
= 1111 112
...cifras
Calculamos NN.
NN=(111...112)(111...112)
= ( ... ) ( ... )
ceros
111 11 1000 00 12 2n
=111...11000...0002
111...1112
111 10000 001
2
2... ...
ceros
cifras
n
n
Por lo tanto, la suma de cifras es
1 1 1 1+ + + + =...
vecesn
n
Rn
Alternativa C
4
556
=
D D D B 38
27
16
55
156
=
+ 556
4+ 4+ 156
Anlisis y procedimientoSe tiene que
Nn
= 1111 112
...cifras
Calculamos NN.
NN=(111...112)(111...11
= (= (= ...= ...= ) (= ) (= 111= 111= 11= 11= 12= 2=
=111...11000...000
111...111
-
5unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N.o 6Se tiene un nmero capica de seis cifras cuya ltima cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho nmero entre 1000 y M el cociente. Si N M=99, calcule el valor mximo que puede tomar la suma de las cifras del nmero capica.
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
R
Tema: Cuatro operaciones
Anlisis y procedimiento
Del enunciado, se tiene lo siguiente:
2abba2 1000M
N
divisor
cocienteresiduo
dividendo
(I)
N M=99 (II)
Realizamos la divisin en (I)
2abba22000
abba
1000
2ab
bba2
ba2 N
b000
a000
M
En (II)
ba2 2ab=99
99b 198=99
b=3 amx=9
Luego, el dividendo es 293 392; entonces la suma de sus cifras es 28.
R28
Alternativa C
PREGUNTA N.o 7Se tiene un nmero de 3 cifras, mltiplo de 30, que tiene un total de 24 divisores. Al multiplicarlo por 10 se forma un nuevo nmero cuya cantidad
de divisores es D D r V V tc r n arDr
= ( )% de la cantidad de divisores del nmero original.Calcule la suma de las cifras del menor nmero que cumple las condiciones indicadas.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
R
Tema: Clasificacin de los enteros positivos
Anlisis y procedimientoDel enunciado del problema, se tiene lo siguiente
N abc= = 30o
=2x3y5zk (I)
10N=2x+13y5z+1k (II)
CD(N)=24 (III)
CD(10N)=45 (IV)
De (II) y (IV) se deduce que N tiene 3 divisores primos.Luego
abcx y z
= = 30 2 3 5o
... DC
En (II) CD(N)=24 ( )( )( )x y z+ + + =1 1 1 2424
33
42
Anlisis y procedimiento
Del enunciado, se tiene lo siguiente:
(I)
=99 (II)
por 10 se forma un nuevo nmero cuya cantidad
de divisores es D Dc rD Dc rD D de la cantidad de divisores del
nmero original.Calcule la suma de las cifras del menor nmero que cumple las condiciones indicadas.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
R
Tema: Clasificacin de los enteros positivos
Anlisis y procedimiento
-
6unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
En (III) CD(10N)=45 ( )( )( )x y z+ + + =2 1 2 4535
33
53
Luego, se tiene que
x=3; y=2; z=1 o x=1; y=2; z=3
Entonces
abc=233251=360 (cumple)
abc=213253=2250 (no cumple)
Luego
abc=360 (nico caso)
Entonces, la suma de cifras es 9.
R9
Alternativa B
PREGUNTA N.o 8Determine las veces que aparece el nmero cinco al efectuar la suma:
72+(77)2+(777)2+(7777)2+(77777)2.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
R
Tema: Cuatro operaciones
Tenga en cuenta que por induccin
1 1
11 121
111 12321
1111 1234321
111 11
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
...9 cifras
112345678987654321
Anlisis y procedimiento
Sea
E=72+772+7772+77772+777772
E=72(1+112+1112+11112+111112)
E=72(1+112+1112+11112+111112)
124701085123454321
123432112321
1211+
Luego
E=72124701085
E=6110353165
Por lo tanto, el nmero 5 aparece 2 veces.
R2
Alternativa B
Entonces, la suma de cifras es 9.
Alternativa BB
E=72+772+7772+7777
E=72(1+112+1112
E=72(1+112+111
124701085123454321
-
7unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N.o 9Indique la secuencia correcta despus de determinar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F).
I. Sea el conjunto
C={(x, y) R2 / x2+y2 4} Si ( 18; 18) C, entonces (1; 1) C
II. Sea A R un conjunto vaco y
f: A R una funcin tal que existe
m=mn { f(x) / x A}, S(f)={x A / f(x) } con R. Si < m, entonces S(f)=.
III. Sean los conjuntos Ak, k=1, ..., m, tales
que Ak Ak+1. Si x0 A1, entonces
x AKk
m C
01
=
.
A) VVF
B) VFF
C) FVF
D) FFV
E) FFF
R
Tema: Nmeros reales y teora de conjuntos
Recuerde que
Reduccin al absurdo consiste en negar la tesis
para conseguir una contradiccin con alguna de
las hiptesis.
m=mn{ f(x) / x A} m f(x) x A. M=mx{ f(x) / x A} M f(x) x A. x B x BC
Anlisis y procedimientoI. Verdadero
En efecto
Si ( 18; 18) C (1; 1) C
(F) (V)
(V)
II. Verdadero
En efecto, por reduccin al absurdo
supngase que S(f)
x0 A, tal que x0 S(f)
Por definicin del conjunto
S(f): f(x0) (I)
Adems como m es el mnimo y x0 A
m f(x0) (II) Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se
tiene que m , el cual contradice la hiptesis
( < m).
S(f)=
III. Falso
En efecto, del siguiente diagrama
A1x0
A2A3 Am
...
se observa que
x0 A1 x0 A2 x0 A3 ... x0 Am
entonces x A x Akk
m
kk
m C
01
01
= =
Por lo tanto, es falso afirmar que x Akk
m C
01
=
} con R.f)=f)=f .
k=1, ..., m, tales
A1, entonces
Por definicin del conjunto
S(f(f( ): f): f f(x0) (I)
Adems como m es el mnimo y
m f(x0) (II) Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se
tiene que m , el cual contra
( < m).
S(f(f( )=f)=f
III. FalsoFalsoF
En efecto, del siguiente diagrama
-
8unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
RVVF
Alternativa A
PREGUNTA N.o 10Cul de las alternativas es la funcin cuadrtica f,
cuyo grfico se muestra a continuacin, sabiendo
que x y02
02 34+ = .
0b
2
3x0 X
Y
y0
f
A) x2 6x+2
B) x2+6x+2
C) 2x2 6x+2
D) 2x2 12x+2
E) 2x2+12x+2
R
Tema: Funcin cuadrticaSea f(x) una funcin cuadrtica, cuya grfica es
m
n
x1 x2
P
X
Yf(x)
x xm1 2
2+
=
f(0)=P
x1; x2 son races de f(x)
Anlisis y procedimiento
Piden la funcin cuadrtica f(x).
Del grfico, x0; y0
son races de f(x)
entonces f(x)=a(x2 (x0+y0)x+x0y0) (I)
Por dato x y02
02 34+ =
y del grfico x y0 02
3+
=
entonces (x0+y0)2=62
x y x y02
02
0 02 36+ + =
34+2x0y0=36
entonces x0y0=1
En (I) f(x)=a(x2 6x+1)
Pero del grfico, f(0)=2
f(0)=a=2
f(x)=2(x2 6x+1)
R
2x2 12x+2
Alternativa D
Xy0
fentonces f(f(f x)=a(x
2 (x0+y
Por dato x y0x y0x y2x y2x y0
2 34+ =x y+ =x y0+ =02+ =2
y del grfico x y0 0x y0 0x y2
3+x y+x yx y0 0x y+x y0 0x y
=
entonces (x0+y0)2=62
x y x y0x y0x y2x y2x y0
20 0x y0 0x y2 3x y2 3x y0 02 30 0x y0 0x y2 3x y0 0x y+ +x y+ +x y0+ +0
2+ +2 2 3=2 3
34+2x0y0=36
entonces x0y0=1
-
9unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N.o 11Respecto a la funcin f: A R tal que
f xxx
A( ) = +
=
3 52
y 2;
Indique la secuencia correcta, despus de determinar
si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F):
I. f es inyectiva
II. f es sobreyectiva
III. f * existe, donde f * indica la inversa de f.
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFV
E) FFF
R
Tema: Funciones
Funcin inyectiva
f es inyectiva si f (a)=f(b) a=b
Funcin sobreyectiva
f: A B es sobreyectiva Ranf=B
f tiene inversa f es biyectiva (sobreyectiva e
inyectiva)
Anlisis y procedimientoDominio=A=2; +Graficando
f
xx xx( )
=
+
=
+3 5
2112
3
2
3
Y
X
f(x)
I. Verdadera
f es estrictamente decreciente; por lo tanto, es
inyectiva.
II. Falsa
Como f: A R y del grfico Ranf=3; +
R 3; +; por lo tanto, no es sobreyectiva.
III. Falsa
Como f * es la funcin inversa y f no es sobreyec-
tiva, entonces f * no existe.
RVFF
Alternativa C
PREGUNTA N.o 12El grfico del polinomio
P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d es tangente en (1; 1) a la
recta y=1. Adems la recta y=1 interseca al grfico
cuando x=2, x=4, siendo P(2)=P(4) 0.
Determine P(x) 1.
A) x2(x 2)(x 4)
B) (x 1)2(x 3)(x 5)
C) (x+1)2(x 1)(x 3)
D) (x 1)2(x 2)(x 4)
E) (x+1)2(x 2)(x 4)
R
Tema: Grfica de funciones polinomialesSi tenemos
X
Y
1 0
4 y=f(x)
entonces X
Y
13
1f(x) 3
a=b
es sobreyectiva Ranf Ranf Ran =B
es biyectiva (sobreyectiva e
VFF
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 1212El grfico del polinomio
P(x)=x4x4x +ax3ax3ax +bx2+cx+
recta y=1. Adems la recta
cuando x=2, x=4, siendo
Determine P(x) 1.
A) 2( 2)( 4)
-
10
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
Anlisis y procedimientoInterpretamos las condiciones para P(x) en el plano
cartesiano.
X
Y
1
(1; 1) (2; 1) (4; 1)
1 2 4
P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d
(grfica aproximada)
Entonces
P(x) 1
X
Y
1
(1; 0) (2; 0) (4; 0)
raz de multiplicidad par
Luego para P(x) 1 se tiene que sus races son 1;
1; 2; 4.
P(x)=(x 1)2(x 2)(x 4)
R
(x 1)2(x 2)(x 4)
Alternativa D
PREGUNTA N.o 13Luego de resolver la inecuacin 3
31 0, entonces bx > 0; x R.
Anlisis y procedimientoSe tiene la inecuacin
3
31
+
0) y es equivalente a
xf
x
gx x( ) ( ) 0.
x 0; +
R
0; +
Alternativa A
P(x) 1
X(4; 0)
raz de multiplicidad par
1 se tiene que sus races son 1;
Se tiene la inecuacin
331
+
-
11
unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N.o 14Las siguientes operaciones elementales:
c1 c2; 3f3; f2 f3, en este orden, transforman la
matriz A en 1 5 24 6 86 3 9
, la cual se puede expresar
como (RPQ)A, donde RPQ son matrices de orden
33 no singulares. Determine A.
A) 2 3 11 5 22 1 3
B)
1 2 51 3 12 1 1
C)
2 5 13 4 11 3 1
D) 2 1 44 3 11 2 1
E) 4 3 51 1 22 0 3
R
Tema: Matrices
Operaciones elementales fila
Anlisis y procedimientoDel enunciado tenemos
A A A RPQ Af f f f f1 2 3 2 33
1 5 24 6 86 3 9
=' '' ( )
Entonces
A '' =
1 5 22 3 16 3 9
es obtenido de ( ) ''RPQ A Af f2 3+
A ' =
1 5 22 3 12 1 3
es obtenido A Af
'' '
13 3
A =
2 3 11 5 22 1 3
es obtenido de A Af f
'1 2
Observacin
En la resolucin del problema, hemos considerado los
siguientes datos: f1 f2; 3f3; f2f3.
R2 3 11 5 22 1 3
Alternativa A
PREGUNTA N.o 15En los siguientes sistemas cada ecuacin representa
un plano.
I) x 3y+z=1 II) x 3y+4z=2
2x+6y 2z= 2 4x+y+z=3
x+3y z= 1 3x 2y+5z=5
A ' =
1 5 22 3 12 12 1 3
es obtenido
A =
2 3 11 5 22 12 1 3
es obtenido de
Observacin
En la resolucin del problema, hemos considerado los
siguientes datos: f1f1f f2f2f ; 3f; 3f; 3 3f3f
R
-
12
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
Denotando por P, Q y R los correspondientes planos, la interpretacin geomtrica de la solucin de los
sistemas I y II es dada respectivamente por:
1) 2) 3)
QPP, Q, RQP
R R
A) 2 y 1 B) 2 interpreta ambos sistemas C) 1 y 3 D) 2 y 3 E) 3 interpreta ambos sistemas
R
Tema: Geometra analtica
Anlisis y procedimientoI. P: x 3y+z=1 Q: 2x+6y 2z= 2 r: x+3y z= 1
Luego P: x 3y+z=1 Q: + x 3y+z=1 P, Q, R r: x 3y+z=1 II. P: x 3y+4z=2 Q: 4x+y+z=3 r: 3x 2y+5z=5
Luego P Q: 11y+17z=11 P R: 11y+17z=11
RR
QQ
PP Q R: 11y+17z=11
NotaConsiderando Q y R diferentes.
R2 y 1
Alternativa A
PREGUNTA N.o 16Si la solucin de Mx{ax+by} se encuentra en x=3,
sujeto a
x 0
y+x 4
y x 2
determine en qu intervalo se encuentra a /b.
A) ; 1]
B) ; 1]
C) [ 1; 1]
D) [ 1;
E) [1;
R
Tema: Programacin linealLa funcin objetivo f(x; y) se optimiza en uno de los vrtices de la regin factible.
Anlisis y procedimientoGraficamos las restricciones
xy xy x
+
042
1
2
2 3
4
y+x=4
y x= 2
solucin
Funcin objetivo:
f(x; y)=ax+by
E) 3 interpreta ambos sistemas
PPPP,,PP,PP QQ,,QQ,QQ RRR
E) [1;
R
Tema: Programacin linealLa funcin objetivo f(f(f x; y) se optimiza en uno de los vrtices de la regin factible.
Anlisis y procedimientoGraficamos las restricciones
xy x
+ y x+ y x
04
-
13
unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
Como (3; 1) es solucin de fmx, se cumple que
f(0; 2) f(3; 1) 2b 3a+b a b
f(0; 4) f(3; 1) 4b 3a+b b a
Intersecando a b a (se deduce a > 0)
1 1 0ba
ba
pero
< 1 0 0 1ba
ba
1 1
ab
ab
ab
] + ; ;1 1
Rab
] + ; ;1 1
No hay clave
PREGUNTA N.o 17Seale la alternativa que presenta la secuencia
correcta, despus de determinar si la proposicin es
verdadera (V) o falsa (F):
I. El lmite de 2 2 1
3 1
2n nn n
+
+
( )( ) es 2.
II. Los valores de la sucesin Snn
nn
= +
( )( )
11
pertenecen al intervalo 1; 1.
III. La serie 4
21n nn ( )+=
converge y su suma es 3.
A) VFF B) FVF C) VFV D) FVV E) FFF
R
Tema: Sucesiones y series
Recuerde que
a a a a an n{ } = { }1 2 3; ; ; ...; ; ... lm lma an
nn=
+
* lm lm1 1
0n nn
= =
+
a a a a an nn
= + + + + +=
1 2 31
... ...
Anlisis y procedimiento
I. Verdadera
lm lm2 2 1
3 1
2 2 1
2 3
1
1
22
2
2
2
n nn n
n n
n n
n
n
n
+
+=
+ ( )
( )
+( )( )
=
+
+lm
n
n n
n n
22 1
12 3
2
2
= 2
II. Falsa
S S S S Sn{ } = { }1 2 3 4; ; ; ; ... , donde
S
nnn
n= +
( )( )
11
Si n es par, Snn
= + >11
1.
Si n es impar, Snn
= < 11
1.
Luego, Sn 1; 1 para todo n.
III. Verdadera
42
41 3
42 4
43 5
44 6
45 71n nn ( )
...+
=
+
+
+
+
+
=
1 1 1 1
No hay claveNo hay clave
Anlisis y procedimiento
I. Verdadera
lm lm l2 2
m l2 2
m l1
m l1
m l3 1
22 222 2m l
n nm l
2 2n n2 2m l
2 2m l
n nm l
2 2m l
2 222 2n n2 222 23 1n n3 1 n+
m l+
m l2 2+ 2 2n n+ n n
m ln n
m l+
m ln n
m l2 2n n2 2+ 2 2n n2 2
m l2 2
m ln n
m l2 2
m l+
m l2 2
m ln n
m l2 2
m l3 1 +3 13 1n n3 1 +3 1n n3 1
m l=m l+( )3 1( )3 1n n( )n n3 1n n3 1( )3 1n n3 1 +( ) +3 1 +3 1( )3 1 +3 1n n +n n( )n n +n n3 1n n3 1 +3 1n n3 1( )3 1n n3 1 +3 1n n3 1( )3 1( )3 13 1n n3 1( )3 1n n3 13 1 +3 1( )3 1 +3 13 1n n3 1 +3 1n n3 1( )3 1n n3 1 +3 1n n3 1
=
= 2
II. Falsa
-
14
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
=
+
+
21
23
22
24
23
25
+
+
+
24
26
25
27
...
=2+1 =3
RVFV
Alternativa C
PREGUNTA N.o 18Determine el conjunto solucin de
x
x x x
+
+ + + 0; x R
i. a > 0
ii. =b2 4ac < 0
Anlisis y procedimientoEn la inecuacin fraccionaria
x
x x x
+
+ + + 0; x R
xx x x
+
+ + +( ) b a < b
Propiedad II
Si a > 1 y logaM > logaN, entonces
M > N M > 0 N > 0
Anlisis y procedimiento
Como log3|3 4x| > 2
log3|3 4x| > log39
|3 4x| > 9
3 4x > 9 3 4x < 9
> M > M N N N M > 0 N
Anlisis y procedimiento
Como log3|3 4x|3 4x|3 4 | > 2
log3|3 4x|3 4x|3 4 | > log39
|3 4x |3 4x |3 4 | > 9
3 4x 3 4x 3 4 > 9 x > 9 x 3 4x 3 4x 3 4
> x x>
-
16
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 21Sobre los catetos de un tringulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP CQ en m.
A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 D) 5/3 E) 5/2
R
Tema: Semejanza de tringulosRecuerde
A C
B
a
b
c
M
N
m
n L
Segn el grfico, ABC MNL
= =am
bn
c
Anlisis y procedimiento
Piden AP CQ .
Q
P3b
3a
2a
2
2
D
B
G
F
3
2b
CA
E
Segn el grfico:
ABQ FCQ
BQCQ
= 23
CQ=3a y BQ=2a
EAP CBP
APBP
= 23
BP=3b y AP=2b
Luego
AP=2b y QC=3a
Adems
5 225
b b= =
5 3
35
a a= =
= =AP y QC45
95
AP CQ =65
R65
Alternativa C
PREGUNTA N.o 22En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).
MD
A BO
C
R
A) 12 7 B) 12 5 C) 12 3
D) 24 33
E) 24 55
M
N
m
n L
MNL
G
= =AP =AP = y QC45
95
AP CQ =CQ =CQ65
R65
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2222En la figura adjunta OC=6 cm, Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).
-
17
unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
R
Tema: Relaciones mtricas en el tringulo rectnguloRecuerde que por relaciones mtricas en el
ba h
1 1 12 2 2h a b
= =
Anlisis y procedimientoPiden C.
C
BO
CM
D
A
r
rr
12
8 6
Se sabeC =2r
AO=OB y AD // OC AD=2(OC)=12Por relaciones mtricas en el DAB
1
8
1
12
1
22 2 2= + ( )r
=r12 55
C = 24 55
R
24 55
Alternativa E
PREGUNTA N.o 23En un tringulo ABC se tiene que mC=2mA.
Sobre el lado AB se traza el tringulo ABP recto en B
(P exterior a AB). Si mPAB=12
mC y AP=12 u,
determine el valor de BC (en u).
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
R
Tema: Aplicaciones de la congruenciaRecuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.
m m
B
A CM
m
Anlisis y procedimientoPiden x.Dato: AP=12
6612
12
P
B
QCMA
x6
2
2
C
B
r
r
R
Tema: Aplicaciones de la congruenciaRecuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.
m
B
A
m
Anlisis y procedimientoPiden x
-
18
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
Se prolongan AC y PB hasta Q.
En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es issceles. AP=AQ=12
En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ. AM=MQ=BM=6.
El MBC es issceles, por lo tanto, x=6
R6
Alternativa D
PREGUNTA N.o 24Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los dimetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM
-
19
unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
R
Tema: Aplicacines de la congruenciaObservacin
B
a
Q
A
a
O
Si AQ=QB
=
Anlisis y procedimiento
L
C30
70 M
aA
B
aD
N
a2a
60xx x+40x+40
4040
7070
Piden mCDB=x.Como L
mediatriz de AD, entonces
AM=MD=a BDA issceles se cumple que
AD=BD=2a. BND, Not(30 y 60), se cumple que
DN=a.Por observacin anterior mMDC=mNDC=x+40
BND se cumple que x+x+40=60 x=10
R10
Alternativa B
PREGUNTA N.o 26Cul es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante?
ak
a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
R
Tema: Teorema de correspondencia
Recuerde
Teorema de correspondencia
x y
si
-
20
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
Por teorema de la bisectriz de un ngulo, entonces DC=DE=a
En el BED, por teorema de correspondencia,como agudo < recto, entonces a
-
21
unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
Ahora calculamos las reas solicitadas.
rea CEF=( )234
2a =a2 3
rea ABCD=( ) ( )AC a2
2
23 12
=
+( )
= + = +
aa
22
24 2 3 2 3( ) ( )
rea
rea CEFABCD
a
a=
+=
+=
2
23
2 3
3
2 32 3 3
( ) ( )
R2 3 3
Alternativa C
PREGUNTA N.o 28Calcule la medida de un ngulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.
A) arc tan( )2
B) arc sen( )2
C) arc cos( )3
D) arc cos( )2
E) arc cot( )3
R
Tema: Razones trigonomtricas para ngulos agudos
B
A
C
hh
D
a
En un tetraedro regular se cumple que
h
a=
63
Anlisis y procedimiento
B
A
C
HH
D
a
3333
aa
Del tetraedro regular de arista lateral a
la altura DHa
=63
.
En el AHD
AH
a=
33
tan =
a
a
633
3
tan = 2
= arc tan 2
R
arc tan 2
Alternativa A
Alternativa CC
Calcule la medida de un ngulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.
A 333333
3333333333aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Del tetraedro regular de arista lateral
la altura DHa
=63
.
En el AHD
AHa
=3
3
-
22
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 29Dado el punto ( 3; 2; 4), determine sus simetras res-pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el rea del rectngulo cuyos vrtices son justamente los puntos generados.
A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 D) 13 13 E) 12 13
R
Tema: Geometra analticaRecuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.
Anlisis y procedimientoNos piden el rea del rectngulo cuyos vrtices son los generados.
2 2
3 34
( 3; 2; 4)P
QQ
3300
4
4
J
X
Y
1 1
1 1 2 2
MM
3 4
5S
11
1122
3344
4
2234
3 3 4 4
13
13
13
13N
P '(3; 2; 4)
( 3; 2; 0)( 3; 2; 0)
P ''
Z
( 3; 2; 4)
1313
Sea P el simtrico de P respecto de Z
, entonces P =(3; 2; 4)
Sea P el simtrico de P respecto del plano Z=0, entonces P =( 3; 2; 4)
En el plano Z=0: M=( 3; 2; 0)
= + =OM 2 3 132 2
Luego, PN NP= =' 13
En el punto P=( 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4
Con los puntos P, P , P se determina el rectngulo PP JP , adems, PP ' = 2 13 y PP =8.
Por lo tanto, el rea del rectngulo PP JP es 8 2 13 16 13 =
R
16 13
Alternativa A
PREGUNTA N.o 30Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-ABCDEF cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados EDDE, luegopor las aristas AB y DE pasa un plano formando un slido ABDEAB. Calcule el volumen de la parte del slido exterior al prisma exagonal.
A) 3 3 1 3( )+ a
B) 3 3 1 3( ) a
C) 2 3 1 3( )+ a
D) 2 3 1 3( ) a
E) 43
3 1 3( ) a
R
Tema: Prisma
h
BB V: volumen
V=B h
Nos piden el rea del rectngulo cuyos vrtices son
222222 QQQQQQQQQQ
3333333333
4
4X
33333344444444444444444444444444444444444444444444444444444
13P '(3; 2; 4)
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3030Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados por las aristas AB y DE pasa un plano formando un slido ABDEAB. Calcule el volumen de la parte del slido exterior al prisma exagonal.
A) 3 3 3( )( )3 3( )3 33 3( )3 3 1( )1( )+( )a
-
23
unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
Anlisis y procedimientoPiden V.V: volumen del prisma PEE QDD
BB32a
34a3
30 E ' 'E '
h
D ' 'D '
A '
F '
M
N
C '
B '
Q
D
C
B
F
E
P
A
2a
2a
2a 2a
2a
2a
2a 2a
6060R
Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah
V=2a2h (I)
RMN AAN
ha
MNA N2
='
ha
a
aa
2
4 33
4 33
4=
+
h a= ( )3 1Reemplazando en (I)
V = ( )2 3 1 3aR
2 3 1 3( )a
Alternativa D
PREGUNTA N.o 31El volumen de un cilindro es oblicuo 40 cm3 y la proyeccin de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su seccin recta mide 2 cm, calcule el rea de la base en cm2.
A) 23 B)
43
C) 63
D) 83
E) 103
R
Tema: Cilindro
Anlisis y procedimientoPiden A base
Dato: voblicuocilindro=40
g
HH 5
30
3022
22
1010seccinrecta
base
Sabemos que v Aoblicuocilindro
rectaseccin= ( ) g
Arectaseccin( )g=40
(2)2g=40
g=10
Pero
A A
rectaseccin base= ( )cos 30
4
32
pi = ( )A base
A base =83pi
BBBBE''
N
2a
ah
(I)
Tema: Cilindro
Anlisis y procedimientoPiden A base
Dato: voblicuocivciv lindro=40
g
30
222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
seccinrecta
-
24
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
R83
Alternativa D
PREGUNTA N.o 32Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-do al rotar la regin sombreada alrededor del eje X.
2R
R
O X
Y
2
A) R3
B) R3
3
C) R3
4
D) R3
6
E) R3
9
R
Tema: Anillo esfrico
A
B
ha
Recuerde que
Volumen del anillo esfrico
Vesfricoanillo =
pia h2
6
a: longitud de la cuerda AB
h: longitud de la proyeccin de AB
Anlisis y procedimiento
O
A
Y
R
R
B X
2R
Piden VRS (volumen del slido generado).
Se observa
VRS=Vesfricoanillo
Por teorema
VRS
R R=
( )pi 26
2
VRSR
=
pi 3
3
R
R3
3
Alternativa B
2
X
O
A
R
Piden VRSVRSV (volumen del slido generado).
Se observa
-
25
unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N.o 33La figura representa un recipiente regular, en donde a y son dados en cm y el ngulo es variable. Deter-mine el volumen mximo de dicho recipiente en cm3.
a
a
A) 2 2a
B) 32
2a
C) 2
2a2
D) 12
a2
E) 3 22
a2
R
Tema: Slidos - Prisma
Recuerde
h
BB
Vprisma=B h
Anlisis y procedimiento
BB
aa
a
a
Piden el volumen mximo
V=b h=a2
2 sen
Para que el volumen sea mximo, sen=1.
v = a2
2
R12
2a
Alternativa D
PREGUNTA N.o 34En la siguiente ecuacin trigonomtrica
cos cos42
18
278
xx ( ) =
El nmero de soluciones en [0; 2] es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
R
Tema: Ecuaciones trigonomtricas
cos2=2cos2 1
2cos2=1+cos2
cos=1 =2n; n Z
Anlisis y procedimientoPiden el nmero de soluciones en [0; 2] de la ecuacin
cos cos4
218
278
xx =
2 2
22 72
2
cos cosx
x =
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3434En la siguiente ecuacin trigonomtrica
cos cs cos4s c4s c2
18
78
xs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs c ( )2( )2x( )x =El nmero de soluciones en [0; 2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
R
-
26
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
2(1+cosx)2 cos2x=7 2(1+2cosx+cos2x) cos2x=7 2+4cosx+2cos2x (2cos2x 1)=7 cosx=1 x=0; 2Por lo tanto, el nmero de soluciones de la ecuacines 2.
R
2
Alternativa B
PREGUNTA N.o 35Sea f una funcin definida porf(x)=|arc senx|+|arc tanx|
Determine el rango de f.
A) 02
;pi
B) 02
;pi
C) 034
;pi
D) 034
;pi
E) [0;
R
Tema: Funciones inversas
2
y=|arc senx|
X11
Y
2
y=|arc tanx|
Y
X
Anlisis y procedimiento
f(x)=|arc senx|+|arc tanx|
f1(x)=|arc senx| 1 x 1
f2(x)=|arc tanx| x R
x [ 1; 1]
Por suma de funciones obtenemos la grfica de la
funcin y=|arc senx|+|arc tanx|
34
y=f(x)
X101
Y
Ran f 034
;pi
R
034
;pi
Alternativa C
una funcin definida por
f1f1f (x)=|arc senx| 1
f2f2f (x)=|arc tanx|
x [ 1; 1]
Por suma de funciones obtenemos la grfica de la
funcin y=|arc senx|+|arc tan
34
Y
-
27
unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N.o 36Cul de los grficos mostrados representa a la funcin
y=cos(2x ), en un intervalo de longitud un periodo.
A)
/2 /2
B)
/2 /2
C) /2 /2
D)
/2 /2
E) /2 /2
R
Tema: Funciones trigonomtricas directas
Anlisis y procedimientoPiden la grfica de la funcin y=cos(2x ).
y=cos(2x )
y=cos( ( 2x))
y=cos( 2x)
y= cos2x
Graficando y= cos2x
y = cos2x
y = cos2x
0
Y
1
1
X /2 /2
R
/2 /2
Alternativa C
PREGUNTA N.o 37De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el rea de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si LAB
= 4 unidades, calcule L LCD EF + 3 .
A
B
C
D
E
F
O
A) 2 2
B) 3 2
C) 4 2
D) 5 2
E) 6 2
/2/2
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3737De la figura mostrada, sectores circulares, donde el rea de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3LAB
= 4 unidades, calcule
-
28
unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO
R
Tema: rea de un sector circular
SSO
A
B
Lrad
S: rea del sector circular AOB
S =
L2
2
Anlisis y procedimientoPiden x y+ 3 .
2S2SSS 3S3Syy xx
F
O
AC
D
E
B
4rad
S S= =y2 2
26
42 ( )
= =6 2
162
3 2 22y
y
32
642
2 2S S= =
x
( )
= =6 6
162
2 22x
x
+ =x y3 4 2
R
4 2
Alternativa C
PREGUNTA N.o 38En la figura mostrada, el valor de tan tan es
X
Y
A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/2 E) 1
R
Tema: ngulos en posicin normalSi AO=OA
XO
Y
A( m; n)
A ( n; m)'
Anlisis y procedimientoDel grfico
X
Y
P( a; b)
P ( b; a)'
Por definicin
tan tan =
ab
ba
tan tan= 1
R 1
Alternativa B
3333SSSSxxxxxx
AC
DB
4
Tema: ngulos en posicin normalSi AO=OA
Y
A(m; n)
A (n; m)'
Anlisis y procedimientoDel grfico
Y
-
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unI 2012 -IISolucionario de Matemtica
PREGUNTA N.o 39Si tan
54
13 5
pi
= +x , cot
32
4pi
= y , calcule x+y.
A) 4/5 B) 3/4 C) 3/5
D) 5/3 E) 8/3
R
Tema: Reduccin al primer cuadrante sen(+)= sen cos(+)= cos tan(+)=tan
Anlisis y procedimientoDe
tan54
13 5
pi
= +x
tan pipi
+
= +4
13 5x
tanpi
41
3 5
= +x
11
3 5=
+x
3x+5=1
= x43
De
cot32
4pi
= y
0=y 4
y=4
Nos preguntan
x y+ = +43
4
+ =x y83
R83
Alternativa E
PREGUNTA N.o 40Al determinar la forma compleja de la ecuacin
(x 1)2+(y 1)2=1 obtenemos
A) zz (1 i)z (1 i)z+1=0
B) zz+(1+i)z (1+i)z+1=0
C) 3zz+(1 i)z+(1+i)z+1=0
D) 2izz (1 i)z (1+i)z+1=0
E) 4zz 2(1+i)z+(1 i)z+1=0
R
Tema: Nmeros complejos z C: |z|2=z z
Ecuacin de la circunferencia
(x x0)2+(y y0)
2=r2
o |z z0|=r con z=x+yi z0=x0+y0i
Anlisis y procedimiento
Tenemos que
(x 1)2+(y 1)2=12
|z (1+i)|2=12; z=x+yi
(z (1+i))(z (1+i))=1 (z (1+i))(z (1+i))=1 (z (1+i))(z (1 i))=1 z z (1 i)z (1+i)z+(1+i)(1 i)=1
z z (1 i)z (1 i) z+12 i2=1
z z (1 i)z (1 i)z+1/ ( 1)=1/ zz (1 i)z (1 i)z+1=0
R
zz (1 i)z (1 i)z+1=0
Alternativa A
Anlisis y procedimientoTema: Nmeros complejos z C: |z|2=z z
Ecuacin de la circunferencia
(x x x x0)2+(y y0)
2=r2r2r
o |z z0|=r con r con r z
Anlisis y procedimiento
Tenemos que
(x 1)x 1)x 2+(y 1)2=12
|z (1+i)|2=12; z=
(z (1+i))(z (1+i))=1