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MA TEMÁ TIC A I 3
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Índice
Página
Presentación 5
Red de contenidos 7
Unidad de aprendizaje 1
LOGICA
9
1.1 Tema 1 : LOGICA PROPOSICIONAL 11
1.1.1 : Lógica proposicional 11
1.1.2 : Clases de proposiciones 14
1.1.3 : Operadores lógicos 14
1.1.4 : Jerarquía de los conectivos lógicos 23
1.1.5 : Tablas de verdad 23
1.1.6 : Proposiciones equivalentes 26
Unidad de aprendizaje 2
MAGNITUDES PROPORCIONALES 33
2.1 Tema 2 : PROPORCIONALIDAD 35
2.1.1 : Razones proporcionales 35
2.1.2 : Regla de tres simple 37
2.2 Tema 3 : REGLA DEL TANTO POR CIENTO 42
2.2.1 : Porcentajes y propiedades 42
2.2.2 : Descuentos y aumentos sucesivos 44
2.2.3 : Precio de venta, precio de costo, precio de lista, descuento y
ganancia
46
Unidad de aprendizaje 3
FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA BASICA
55
3.1 Tema 4 : TEORIA DE EXPONENTES 56
3.1.1 : Potenciación 56
3.1.2 : Radicación 59
3.2 Tema 5 : Productos Notables 65
3.2.1 : Propiedades 65
3.3. Tema 6 : Factorización 73
4
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3.3.1 : Factor común 73
3.3.2 : Por agrupación 73
3.3.3 : Por identidades 73
3.3.4 : Por aspa simple 75
3.3.5 : Por Ruffini 76
MA TEMÁ TIC A I 5
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Presentación
Matemática I pertenece a la línea formativa y se dicta en todas las carreras de la
Escuela de Computación e Informática de la institución. Todo aquel que se dedique a
la Tecnología Informática necesita contar con ciertas herramientas que le permita
efectuar cálculos con rapidez y eficiencia. Por ello, el curso de Matemática I pretende
que el estudiante maneje los conceptos básicos y fundamentales, así como los
procesos aritméticos y algebraicos resolviendo problemas aplicativos, que les
permitirán, en ciclos superiores, un mayor dominio en la resolución de problemas.
El manual para el curso ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de
aprendizaje, las que se desarrollan durante un periodo determinado. En cada una de
ellas, se hallarán los logros que debe alcanzar el alumno al final de la unidad; el tema
tratado, el cual será ampliamente desarrollado; y los contenidos que deben
desarrollar, es decir, los subtemas. Por último, se encuentran las actividades que
deberá desarrollar en cada sesión, lo cual le permitirán reforzar lo aprendido en la
clase.
El curso es teórico – práctico. En tal sentido, en cada sesión, se ha contemplado la
teoría necesaria para la aplicación en la solución de los ejercicios propuestos, y como
modelo encontrará varios ejercicios resueltos que le servirá de guía.
La solución de ejercicios, en algunos casos, la realizará solamente el profesor quien
demostrará las definiciones, propiedades, teoremas, etcétera, que intervienen en la
solución del caso; en otros, el profesor los resolverá con los alumnos. Sin embargo,
con la práctica directa e indirecta, los alumnos estarán en condiciones de
desarrollarlos por cuenta propia. Asimismo, hallará preguntas de prácticas y/o
exámenes propuestos en ciclos pasados relacionados con la sesión que se está
desarrollando, las mismas que permitirán la autoevaluación y preparación antes de
asistir a las evaluaciones calificadas.
MA TEMÁ TIC A I 7
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MATEMATICA I
Lógica
Fundamentos del
Algebra Básica
Magnitudes Proporcionales
Lógica
Proposicional
Proporcionalidad
Regla del Tanto
por Ciento
Teoría de
Exponentes
Productos Notables
Factorización
Red de contenidos
MA TEMÁ TIC A I 9
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LÓGICA
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la segunda semana, el alumno, elabora el valor de verdad y simplifica los esquemas moleculares a partir de otro haciendo uso de las tablas de verdad de los operadores lógicos y de las leyes del algebra proposicional.
TEMARIO
1.1 Tema 1 : LOGICA PROPOSICIONAL
1.1.1 : Lógica proposicional
1.1.2 : Clases de proposiciones
1.1.3 : Operadores lógicos
1.1.4 : Jerarquía de los conectivos lógicos
1.1.5 : Tablas de verdad
1.1.6 : Proposiciones equivalentes
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Discusión general acerca de lo que es enunciado y proposición.
Exposición dialogada. Trabajo de grupos.
Como actividad para la casa, se propone desarrollar los ejercicios pendientes del manual.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
1
MA TEMÁ TIC A I 11
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1.1. LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1.1. Definición Clásica Es una disciplina formal que tiene por objeto el análisis de la condición de los razonamientos, por lo que se comienza eliminando las ambigüedades del lenguaje ordinario. Se introducen símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias y aporte claridad y economía de pensamiento.
Figura 1.- Lógica Fuente.- Tomado de elpostulante.wordpress.com
Se utilizan los siguientes conceptos:
1.1.1.1. Enunciado:
Es toda frase, oración o sentencia que usamos en nuestro lenguaje. Ejemplos:
1) La matemática es base de todas las ciencias. 2) ¿Aprobaremos el curso de Lenguaje de Programación? 3) ¡Arriba Perú! 4) El Perú es grande. 5) Te visitaré mañana. 6) X es un número par. 7) José estudia y canta. 8) 4x + 5 = 6 9) 2x + 5 < 8
12
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Todas las preguntas, las admiraciones y las órdenes, son “simplemente enunciados” no sufren ninguna transformación o modificación.
1.1.1.2. Enunciado Abierto
Es aquel enunciado o ecuación con una o más variables, en el cual no se conocen los valores específicos de las variables. Estos enunciados pueden ser modificados a “proposición”(asignándole cualquier val or a la(s) variable(s). Ejemplos:
1) Algunos alumnos del Primer ciclo son más hábiles en álgebra: 2) 3x + y = 10 x = ?, y = ? 3) x + 5 > 20 x = ? 4) Ella está estudiando “No se conoce quién es ella”
1.1.1.3. Proposición.-
Es todo enunciado, al cual se le puede asignar un valor de verdadero o falso; pero nunca ambos a la vez. Ejemplos:
1) Ramón Castilla fue Presidente del Perú ( v ) 2) El Perú produce plata ( v ) 3) 4 x 2 = 8 ( v ) 4) 5 < 0 ( f ) 5) Todo hombre es mortal ( v )
1.1.1.4. Notación.-
Las proposiciones se denotan con las letras minúsculas como p, q, r, s, t, ...etc Ejemplo: 1) p: El Perú es hermoso v (p) = v 2) q: 2 + 6 8 v (q) = f
3) r: 6 +1 < 5 + 10 v (r) = v
MA TEMÁ TIC A I 13
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Ejercicios Propuestos
1. Indique cuales de los siguientes enunciados son proposiciones o simplemente enunciados.
a) Todo hombre es mortal
b) ¿Cuántos años tienes?
c) ¡ Apúrate !
d) 18 es un número primo.
2) Escriba cuatro ejemplos de
enunciados abiertos.
a) …..
b) …..
c) …..
d) ……
3) ¿Cuál es la diferencia entre simplemente enunciado y enunciado abierto?
4) ¿Cuál es la diferencia entre una
proposición y un enunciado abierto?
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1.1.2.Clases proposicionales
1.1.2.1 Simples
Llamadas también atómicas o elementales. Son aquellas que tienen un solo sujeto y un solo predicado. No llevan conectivo lógico.
Ejemplos: 1) Cibertec es un Instituto líder en enseñanza. 2) Electrónica es una especialidad. 3) La pizarra es verde. 4) Los animales mueren.
1.1.2.2 Compuestas
Llamadas también moleculares o coligativas. Son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples, las cuales son enlazadas por algún conectivo lógico.
Ejemplos: 1) César Vallejo nació en Perú y es poeta. 2) Alberto es técnico electrónico y practica deportes. 3) Si el cielo está despejado, entonces se ve celeste. 4) El sol es grande y emite luz.
Además, existen enunciados que no son proposicionales como por ejemplo:
Exclamativos : Socorro
Interrogativo : ¿Hasta qué hora dura la clase?
Imperativo : Fuera
Admiración : ¡Oh!
1.1.3. Conectivos Lógicos
Son aquellos símbolos que usamos para enlazar dos o más proposiciones simples. Son los siguientes: : que se lee “y”
: que se lee “o”
, : que se lee “o” pero no ambas
: que se lee “si ... entonces...”
: que se lee “si y sólo si”
MA TEMÁ TIC A I 15
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Ejercicios propuestos
1) Indique que tipo de proposiciones son :
a) Dos y tres son números consecutivos
b) No es cierto que 5 es un número
primo o cuatro no es un número cuadrado perfecto.
c) No es cierto que 6 es un cubo
perfecto, y que 13 sea un número par.
d) 9 es un impar y si 6 tiene más de
2 divisores, entonces es un número compuesto.
2) Con las siguientes proposiciones simples indique proposiciones compuestas. Sea p: 2 es primo ; q: 3 es impar a.- b.- c.- d.- e.-
3) Escriba tres ejemplos de proposiciones simples y tres proposiciones compuesta
4) Escribe el significado de los siguientes conectivos:
: ...................................................
: ....................................................
: ....................................................
: ....................................................
: ....................................................
: .....................................................
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OPERADORES LÓGICOS
1.1.3.1 Negación de una proposición
Negar una proposición consiste en cambiar el valor de verdad que tenía antes. Es el conectivo lógico que se usa para negar el valor de verdad de una proposición cualquiera. Simbólicamente se le denota por: ~p
Ejemplos: 1) p: Las rosas no son rojas
~p: Las rosas son rojas 2) q: 7 es mayor que 5 o q: 7 > 5 V(q) = V
~q: 7 no es mayor que 5 ~q: 7 5 V(~q) = F
1.1.3.2 Conjunción
Definición
Es el conectivo lógico que se usa para afirmar simultáneamente la veracidad de dos oraciones componentes. Se le denota por:
Lógica clásica
P q
Ejemplo: Sean p: 4 es divisor de 20 V(p) = V q: 20 es múltiplo de 5 V(p) = V p q = p y q
= 4 es divisor de 20 y 20 es múltiplo de 5. V(p q) = V
Tabla de verdad # de combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples es:
#c = 2n, donde n = # de proposiciones simples.
Lógica Clásica
P ~p
V F
F V
MA TEMÁ TIC A I 17
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Su tabla de verdad es:
Lógica Clásica
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
1.1.3.3. Disyunción Inclusiva
La llamada disyunción inclusiva o disyunción débil es un conectivo lógico que se usa para afirmar que, por lo menos una de las oraciones componentes, es verdadera. Se le denota por:
Lógica clásica
p v q
Ejemplo:
P : 8 es menor que 5 V(p) = F
q : 6 es mayor que 3 V(q) = V
p v q: 8 es mayor que 5 ó 6 es mayor que 3 V(p v q) = V
Su tabla de verdad es:
Lógica Clásica
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
1.1.3.4 Condicional Es una proposición recíproca, implicación u oración condicional. Una proposición condicional es falsa, cuando la proposición como antecedente es verdadera y la proposición como consecuente es falsa. En cualquier otro caso es verdadero. Se le denota por:
Lógica clásica
p q
Ejemplos:
1) Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Nueva York Si p = Patricia consigue visa de turista
q = Patricia viajará a Nueva York
Entonces la proposición se simboliza por:
p q
2) Si los hombres son inmortales, entonces la luna brilla. Si p = Los hombres son inmortales V(p) = F
q = La luna brilla V(q) = F
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Luego se simboliza: V ( p q) = V
3) Explique por qué las condicionales siguientes tienen los valores veritativos indicados.
a) 2 + 3 = 8 5 < 6 (V) b) 3 – 1 = 4
2 2
9 <2 (V)
c) Si 5 es primo, entonces es un número par (F)
Nota: Una implicación puede transformarse en una disyunción, así: p q ~ p v q
Su tabla de verdad es:
Lógica Clásica
p q P q
V V V
V F F
F V V
F F V
1.1.3.5. Bicondicional Es el conectivo lógico que se lee “....si y sólo si ......”.
En general una oración bicondicional es llamada también “equivalencia material” que se usa para afirmar los casos en que p = q en valores de verdad. Se le denota por:
Lógica Clásica
p q
Ejemplo:
p: 2 > 4 V(p) = F
q: 2 + 6 > 4 + 6 V(q) = F
p q: 2< 4 si y solamente si 2 + 6 < 4 + 6 V(p q) = V
También se lee como:
“p si y solamente si q”
“p es una condición suficiente y necesaria para q”
Nota .- La diferencia que existe entre p q y p = q, está en que una bicondicional es
una proposición, pero p = q es una declaración acerca de dos proposiciones más no es una proposición.
Su tabla de verdad es:
Lógica Clásica
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
MA TEMÁ TIC A I 19
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1.1.3.6 Disyunción Exclusiva
Es llamada disyunción excluyente o disyunción fuerte. Este conectivo lógico se usa para afirmar que sólo una de las oraciones componentes es verdadera. Además la disyunción excluyente es la negación de una bicondicional.
Se le denota por:
Lógica clásica
p q
Ejemplo:
p: 3 < 5 V(p) = V
q: 2*3 < 2*5 V(q) = V
p q: 3 < 5 2*3 < 2*5 V(pq) = F
Su tabla de verdad es:
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
Ejemplos:
1) Sean p, q y r proposiciones tales que p = V, q = F y r = F. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:
zywpd
b
xrqpa
t~q~)
pq~qp~q~p~qpc)
t)(qp~)
)()
Solución
a)
b)
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c)
d)
2) Sean p , q , r, s proposiciones tales que . Indica ¿Cuál de las siguientes proposiciones son falsas?
q~)
wqr~b)
)s~q~()q~p~()
qpqpc
srq
a
Solución:
a)
b)
c)
MA TEMÁ TIC A I 21
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Ejercicios Propuestos
1) Si se cumple: Fsq;Fsp;Vrqp
Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
rsqp)cqpr)bsp)a
R: a) V b) V c) V
2) Si Ftpssqpqrp ~
Halle el valor de: qppuqrqp ~~
R: ( V )
3) Si la negación de la siguiente proposición es verdadera:
qprpsqs ~~
Halle el valor de verdad de: spmrqp
R: ( F ) 4) Si: FnpmΔmqpqrp
Determina el valor de verdad de: nmrprqp
R: ( V )
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5) Si la negación de la proposición: qqprp ~~~ es
verdadera,, determine el valor de: rpqpsr ~~
R: ( F )
6) Si la proposición: Fptrqp
Determine el valor de : qtpqrtp ~
R: ( V )
7) Si la proposición Vprsqrqs ~~~
Halle el valor de : ptqxrs ~~~~
R: ( V )
MA TEMÁ TIC A I 23
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1.1.4 Jerarquía de conectivos lógicos
Si en una proposición compuesta no aparecen los signos de agrupación como: paréntesis, llaves, corchetes, etc., los conectivos lógicos: “~”, “”, “” tienen igual
jerarquía, y , tienen mayor jerarquía, avanzando de izquierda a derecha.
1.1.5 Tablas de verdad
La verdad o falsedad de una proposición se denomina validez (o su valor de verdad). La validez de la negación, de la conjunción, de la disyunción, de la condicional y de la bicondicional se pueden representar en tablas.
En consecuencia, dadas dos o más proposiciones simples cuyos valores de verdad son conocidos, el valor de verdad de una proposición compuesta depende de la verdad de cada una de las proposiciones componentes y se determina mediante TABLAS DE VERDAD.
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA
1.1.5.1 TAUTOLOGÍA ( T ) .- Es toda proposición simple o compuesta cuyo valor
de verdad es siempre verdadero, para cualquier combinación de valores veritativas de sus componentes.
Ejemplo:
1) La proposición: [(~p v q) ~q] ~p es una tautología.
p q [(~p v q) ~q] ~p
V V F V F T = tautología = V
V F F V F
F V F V V
F F V V V
T
1.1.5.2 CONTRADICCIÓN ( C ).- Es toda proposición que tiene como valor de
verdad siempre falsa para cualquier combinación de sus valores veritativas de sus componentes.
Ejemplo
2) La proposición: [(p q) q] ~q es una contradicción.
p q [(p q) v q] ~q
V V V F F C = contradicción = F
V F F F V
F V V F F
F F F F V
C
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1.15.3 CONTINGENCIA ( CONT ).- Cuando la tabla de una proposición tiene al
menos una V y una Falsa.
Ejemplo:
La proposición: (~p ~q) v ~q es una contingencia.
p q (~p ~q) v ~q]
V V F F F
V F F V V
F V F F F
F F V V V
Contigente
Ejercicios Propuestos
1) Por medio de Tabla, determine si los siguientes esquemas moleculares representa una Tautologìa, Contradicción o Contingencia
rpqrqpa ~~~~)
R: ( T )
pqpb )
R: ( CONT )
rqprqpc ~)
R: ( C )
rprqqpd )
R: ( T )
MA TEMÁ TIC A I 25
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2) Si la siguiente proposición: .~~ Falsaesmpqp Indique si la
siguientes proposiciones representan una Tautología, Contradicción o Contingencia.
mrpa )
R: ( T )
mrpqb )
R: ( C )
nrnrmc )
R: ( T )
nsmqd ~)
R: ( C )
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1.1.6 Proposiciones equivalentes
Dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si al ser unidas con el conectivo resulta una tautología; es decir, sus tablas de verdad son idénticas.
La equivalencia se denota por “”. Se llama también proposiciones equivalentes.
Se lee “ P es equivalente a Q” o “Q es equivalente a P”.
Ejemplo: las proposiciones (p q) y [(~q) ~p] son equivalentes.
p q (p q) [~q ~p]
V V V F V F
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
Idénticas
Ejercicios Propuestos
¿La proposición rqqp es equivalente a cuál de las siguientes
proposiciones? ( Use Tablas )
a) qrpp
R: ( si es )
b) qrpqp
R: ( Si es )
MA TEMÁ TIC A I 27
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GUÍA DE EJERCICIOS EJERCICIOS RESUELTOS:
1) Si la proposición ~(~r v s) [(p q) r] F
Halla el valor de:
q ~p~s ~r~~)
q ~s~)
s~p r~)
sqc
srqb
qa
Solución
28
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2) Si se sabe que:
Fpq
Fsr
Vps
Determina el valor de verdad de:
rqprs~p)b
psqr~)a
Solución:
Valores veritativos:
s = V r = F q = V p = F
V
V
FF
F
FF
V
FVFF
FF
VV
VFVF
rqprpbpsa
s~)qr~)
MA TEMÁ TIC A I 29
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3) Si la negación de la siguiente fórmula lógica es verdadera:
sq ~ rpsp
Hallar el valor de verdad de:
s~qp~sr~
Solución:
R: ( V )
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4. Si se sabe que:
Fqp
Vrq
Fsr
Fts
Halla el valor de verdad de la siguiente proposición:
ntmspxrk
Solución:
La proposición es falsa.
MA TEMÁ TIC A I 31
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c
d
a b
5. Sean las proposiciones p , q, r, y s tales que:
Fessr
Vesps
Fesqp
Determina el valor de las siguientes proposiciones:
a) spxr ~ b) xqs )(
c) pw~ xpw d) pqrsqp ~
FqFrVsVp
Luego:
pqrsqp ~
Es verdadero (Tautología)
V F F F
? F V
F
V
V
V
32
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Resumen
Un enunciado es cualquier expresión. La proposición es un enunciado que puede ser Verdad o Falsa. Operadores Lógicos:
p ~p
V F
F V
p q qp qp qp qp qp
V V V F V V V
V F V V F F F
F V V V F V F
F F F F F V V
Tipos de proposiciones
1. Tautológica: significa Verdad. 2. Contradicción: significa Falso. 3. Contingencia: significa que no es Verdad ni Falso.
Proposiciones equivalentes.- dos proposiciones son equivalentes cuando sus
tablas de verdad sin idénticas. Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes
páginas.
Aquí encontrará toda la información relativa a la lógica.
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/
En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos.
http://www.guiamath.net/
Aquí encontrará ejercicios sobre álgebra de proposiciones.
http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_01_03-Logica_Alg-
Proposiciones/0_algebra-proposiciones.html
En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos.
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/
MA TEMÁ TIC A I 33
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MAGNITUDES
PROPORCIONALES
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de porcentajes y fracciones,
aplicados a los distintos conceptos del precio, haciendo uso de la regla de tres simple.
2.1 TEMA 2 :
2.2 TEMA 3 :
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Los alumnos aplican los conceptos de fracciones, razones y regla de tres simple.
Los alumnos diferencian, de acuerdo con el enunciado de los problemas, si se trata
de una regla de tres simple directa o inversa.
Resuelven los ejercicios y problemas propuestos bajo la asesoría del profesor.
Proporcionalidad
2.1.2 Razones proporcionales
2.1.2. Regla de tres simple.
Regla del tanto por ciento
2.2.1 Porcentajes y propiedades.
2.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos
2.2.3 Precio de venta, precio de costo,
precio de lista, descuento y ganancia.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
2
MA TEMÁ TIC A I 35
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2.1 PROPORCIONALIDAD
2.1.1 Razones proporcionales Una razón es la comparación que se establece entre dos cantidades, si dicha comparación se da por medio de una división será una razón geométrica Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:
12 : 15 o . Simplificando se observa que están en la relación:
Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:
Es una proporción, se cumple que el producto de términos extremos es igual al producto de términos medios : 12 • 5 = 4 • 15
Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:
2.1.1.1. Proporcionalidad directa
Dos magnitudes están en proporcionalidad directa si el cociente de sus valores correspondientes permanece constante:
Donde: k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.
36
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejemplo:
Un vehículo tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta; por lo tanto, son directamente proporcionales).
Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:
Entonces,
16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante)
2.1.1.2. Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes están en proporcionalidad inversa si el producto de sus valores correspondientes es una constante.
Donde : k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.
Analizando el gráfico, se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.
MA TEMÁ TIC A I 37
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:
Entonces, 3 x 5 = 15 (constante) y 4 x 3,75 = 15(constante)
2.1.2. Regla de tres simple
La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales; es un procedimiento basado en la relación proporcional de dos magnitudes.
La regla de tres consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos magnitudes proporcionales. 2.1.2. Regla de tres simple directa:
Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (DP). Procedimiento:
Ejemplo:
1) Una persona puede caminar normalmente 9 kilómetros en 2 horas. En una caminata normal de 6 horas, ¿cuántos kilómetros puede caminar? Solución: Horas km 2 9
6 x
kmx 272
96
Magnitudes: M (DP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son DP su cociente es constante. Luego:
x
c
b
a
Los kilómetros caminados son DP a las horas de caminata.
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2.1.2.1. Regla de tres simple inversa: Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP). Procedimiento:
Ejemplo:
2) Se ha calculado que para construir un edificio se necesita 80 obreros y 60 días. Pero se cuenta solamente con 75 obreros. ¿Cuántos días se tardará en construir el edificio? Soluciòn: # obreros días 80 60
75 x
díasx 6475
6080
Magnitudes: M (IP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son IP su producto es constante
Luego: xcba
El # de obreros que intervienen en una obra y el tiempo que demoran en ejecutarla son IP.
MA TEMÁ TIC A I 39
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Ejercicios Propuestos
1. Para pintar una pared de forma cuadrada se necesitan 14 tarros de pintura ¿Cuántos tarros de pintura se necesitará? Para pintar otra pared cuadrada cuya lado mida tres veces el lado de la pared anterior
2. La eficiencias de Juan y Pedro están en la relación de 2 a 3 . Si Juan demora 15 días en hacer una obra .¿En qué tiempo? realizarían la misma obra trabajando juntos.
3. 3. Las eficiencias de Juan y Luis están en la
relación de 2 a 3 y juntos realizan una obra en 21 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Luis redujera a su tercera parte su eficiencia ¿en qué tiempo harían la misma obra?
4. Se sabe que 10 obreros pueden realizar una obra en 22 días. Si al cabo de 4 días son despedidos 4 obreros ¿En qué tiempo se culminará toda la obra?
MATEMATICA I 40
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Guía de Ejercicios
1. Las edades de Juan y Pedro (juntos) con las edades de Pedro y Luis (juntos) están
en la relación de 8 a 7. Si las edades de Juan y Luis están en la relación de 5 a 3, halle ¿Cuánto tiene cada uno? , si las edades de los tres suman 57 años.
Rpta 9 , 15 y 33 años
2. Las eficiencias de A y B están en la relación de 2 a 3. y se sabe que ambos pueden realizar una obra en 33 días. Si B reduce su eficiencia a la mitad y A lo duplica ¿En qué tiempo harían la misma obra? Rpta 30 días
3. Juan es el doble de eficiente que Enrique y ambos pueden realizar una obra en 32 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Enrique duplicara el suyo ¿en qué tiempo ambos harían la misma obra? Rpta 12 días
4. Pedro realiza una obra en 55 días. Se sabe además que Juan y sus dos hermanos tienen el doble, triple y mitad de eficiencia que Pedro respectivamente. ¿En qué tiempo Juan y sus hermanos harían la misma obra? Rpta 10 días
5. Juan puede realizar un trabajo contable en 15 días. Julia es 50% más eficiente que Juan. Si juntos realizan el mismo trabajo contable ¿En qué tiempo lo terminarían?
MA TEMÁ TIC A I 41
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
2.2 TEMA 4: TANTO POR CIENTO
2.2.1 Regla del tanto por ciento, porcentajes y propiedades Es una aplicación de la regla de tres simple. Se denomina “Tanto por ciento” porque es el número de unidades que se toman en cuenta de cada 100. Es decir: Total : 100 partes
............... ............................................
“ a “ partes Se toma “a” partes de “100” partes.
Representación:
Ejemplo:
5% nos indica que tomamos: 100
5 de una cantidad cualquiera.
05,0100
5%5
5
2% nos indica que tomamos:
100
52
de una cantidad cualquiera.
004,0500
2
100
1
5
2%
5
2
Ejemplos: 1) Halle el 0,008% de 0,2
100%
aacientopora
NOTA
Se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad. Ejemplo: a) 25% de A + 63% de A = 88% de A b) 58% de P +126% de P – 20% de P = (58+126-20)
% de P
= 164% de P
c) Mi edad más el 18% de ella me dará: 118% de mi edad.
¡ATENCIÓN!: Las palabras “de”, “del” o “de los” matemáticamente significan
multiplicación y la palabra “es” significa igualdad.
MATEMATICA I 42
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Ejercicios Propuestos
1. Hallar el 10% del 20% del 75% de 40000
2. Operar : 12% A + 13% (2A) - 5% (3A) + 18% (4A)
3. 3. Se tiene un deposito con dos tipos de
líquidos: 7 L del primero y 28 L del segundo ¿Qué tanto por ciento representa cada uno de estos líquidos respecto al total?
4. Cierta empresa gasta primero el 20 % de su presupuesto, luego gasta el 25% de resto del presupuesto, quedándose con 12000 soles ¿Cuánto fue dicho presupuesto?
MA TEMÁ TIC A I 43
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
2.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos Es cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento o aumento, por lo cual se puede utilizar la siguiente fórmula: Descuento:
Aumento: Aplicaciones :
%100
100
...1001001001
321
n
AAAAu
Donde: A1, A2, A3,… Son los aumentos sucesivos n: Es el número total de aumentos Au: Es el aumento único equivalente a
todos los aumentos realizados.
%100
100
...1001001001
321
n
DDDDu
Donde: D1, D2, D3,… Son los descuentos sucesivos
n: Es el número total de descuentos Du: Es el descuento único equivalente a
todos los descuentos realizados.
1. Dos descuentos sucesivos del 40% y 20% equivalen a un descuento único de:
%52
%10048
%100100
8060
%100100
201004010012
Du
Du
Du
Du
Nota:
El signo (-) nos indica el descuento,
por lo que los descuentos sucesivos
del 40% y 20% equivalen a una
descuento único de 52%.
2. Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de:
%56
%100156
%100100
130120
%100100
301002010012
Au
Au
Au
Au
El signo (+) nos indica aumento, por lo que
los aumentos sucesivos del 30% y 20%
equivalen a un aumento único del 56%.
MATEMATICA I 44
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
3. Roberto compra un refrigerador y le hacen 3 descuentos sucesivos del 20%, 20% y
30%. En lugar de estos tres descuentos, pudieron haberle hecho uno solo. ¿De cuánto
sería este descuento?
Solución:
%100100
30100201002010013
Du
Du = [ 44,8 – 100 ]% = -55,2 %
El descuento único sería de 55,2 %.
4. El director del programa académico de Cibertec le dice a un profesor de la carrera de
Computación: “Por tu esfuerzo, durante el año pasado, voy a sugerir que te otorguen
tres aumentos sucesivos del 30%, 10% y 20% en el presente año”. ¿A qué aumento
único equivale?
Solución:
%6,71%1006,171
%100100
20100101003010013
Au
Au
El aumento único equivale 71,6 %.
MA TEMÁ TIC A I 45
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
2.2.3 Precio de Venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia 2.2.3.1 Precio de venta
Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios
que recibe. Su fórmula es:
GPcPv o PePcPv
Donde: Pc : Precio de costo del bien o servicio
G : Ganancia
Pe : Pérdida
2.2.3.2 Precio de costo
Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases:
Costo neto.- En el cual se incluye sólo el precio de compra de una
mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los gastos de
transporte hasta el almacén, carga y descarga.
2.2.3.3 Ganancia y pérdida
Ganancia : Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio.
Pérdida : Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.
Nota: La Ganancia o Pérdida generalmente se expresa como un tanto por del precio de costo
Los aumentos o descuentos generalmente se expresa como un tanto por del precio de lista
MATEMATICA I 46
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Guía de Ejercicios
1. Si al vender uno de mis libros de matemática a S/.35.00, gano S/.10.00,
¿cuál es el porcentaje de ganancia? Solucion:
(i) Según fórmula: GPcPv , entonces :35 = Pc + 10,
Luego Pc = S/.25
(ii) Como G está en función de Pc, luego: 4.025
10% G ;
por tanto %G = 40 %
2. Calcule el precio de venta de un Televisor LCD, si costó S/.4 000 y al vender se perdió el 20%.
Solución :
(i) Calculamos la pérdida: 20%(4 000) = S/.800.00
(ii) Según fórmula: PePcPv , se tiene: Pv = 4000 – 800
Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 3 200.00
3. ¿A cuánto asciende la venta de un departamento que costó $60 000.00, si se
quiere ganar el 25%? Resolución :
(i) Calculamos la ganancia: 25%(60 000) = S/.15 000.00
(ii) Según fórmula: GPcPv , se tiene: Pv = 60 000 + 15 000
Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 75 000.00
4. Determine el porcentaje de utilidad o pérdida, conociendo el precio de costo e importe de la venta, si en el 2007 la empresa ATAJA obtuvo una utilidad de S/.50 000.00 y, al año siguiente, su utilidad se incrementó a S/. 80 000.00.
¿Cuánto fue el porcentaje de incremento? Resolución:
Como el incremento es de S/. 30 000.00, entonces:
%Incremento = 375,080000
30000
Por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 37.5%. 5. Calcule el costo de un artículo que se vendió en S/. 6 000.00, con un 20% de
utilidad (ganacia) Resolución:
(i) Según fórmula: GPcPv , entonces : 6 000 = Pc + (20%
Pc)
MA TEMÁ TIC A I 47
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
(ii) Resolviendo: Pc = S/. 5 000.00
Precio de Venta, Precio de Lista y Descuento
2.2.3.4 Precio de Lista. - Es el precio que figura en el catálogo al que debe
venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:
DPvPl Pl : Precio de lista en el catálogo
D : Descuento
Pv : Precio de venta
Prob 1. Si el precio de lista de un perfume de Ebel es de S/.65.00, calcule el
precio de venta si el perfume tuvo un descuento del 30%.
Resolución :
(i) Como: DPvPl , entonces: 65 = Pv + (30% Pv)
(ii) Resolviendo: Pv = S/. 50.00
MATEMATICA I 48
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Ejercicios propuestos
1. Compré un artículo a $54. ¿A cómo debo vender para ganar el 30% del precio de costo más el 10% del precio de venta?
2. Vendiendo un libro por $1.44 se gana el 20% del costo. ¿Cuánto costó el libro?
3. Un señor vendió dos casas en $15000 cada una. En la primera ganó el 25% y en la segunda perdió el 25%. ¿En este negocio ganó o perdió?
4. Carmen quiere vender su escritorio que le costó $270 y ganar el 20% del precio de costo más el 10% del precio de venta más $81.
5. ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 2 700 para ganar el 20% del precio de costo, más el 10% del precio de venta , más $180?
6. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que costó $420 para que aún descontando el 20% se gane el 40%?
Problemas de aplicación:
1. La empresa “Exportación A” ha destinado el 22% de su presupuesto del
presente año en la reparación de su equipo automotor. Halle dicho
presupuesto, si el resto del presupuesto que asciende a 11700 soles lo
destina a sus otras áreas.
2. La corporación telefónica destina el 10 % de su presupuesto a su unidad de
negocio “cable mágico” , el 20% de lo restante lo destina a su unidad “Atento”
y lo restante que asciende a 36000 soles los destina al resto de sus unidades
de negocios. Halle dicho presupuesto.
3. Halle el 10% del 25% del 75% del 30% de 320000.
4. Perdí el 40% de mi dinero y luego recuperé el 25% de lo que perdí, con lo
cual tengo la suma de 490 soles. ¿Cuánto tenía al inicio?
MA TEMÁ TIC A I 49
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
5. Si del total de alumnos que llevan Matemática I aprobaron el 80% de ellos, y
en un examen sustitutorio aprobó el 10% de los que habían desaprobado
¿Qué tanto por ciento de los alumnos han aprobado al finalizar?
6. En la venta de un producto se realizan 2 descuentos sucesivos del 20% y
30% y aun así se gana el 20%. Si el precio fijado y precio de costo suman
4400 soles, halle el precio de costo.
7. En la venta de un producto se gana el 30% a pesar de un descuento del 40%.
Halle el precio de venta si el precio fijado y precio de costo se diferencian en
700 soles.
8. En la venta de un producto se gana el 20% del precio de venta. Halle el
precio de costo si el precio de venta excede al precio de costo en 200 soles.
9. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y
20% respectivamente y aun así se está ganado el 30%. Halle el precio de
costo si se sabe que el precio fijado y precio de costo suman 9700.
10. En la venta de un producto se gana el 10% del Pv , si el precio de costo y el
precio de venta suman 3800 soles ¿Cuánto es el precio de costo?
MATEMATICA I 50
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Ejercicios de aplicación
1) No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella $3840, con lo cual hubiera
ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750 ¿Qué
porcentaje del costo gané al hacer la venta? Rpta. 17,19%
2) Compré un auto a $10 000. ¿A cómo debo vender para ganar el 25% del precio de
costo más el 10% del precio de venta, más $1000 en trámites documentarios?
Rpta. 15 000
3) ¿A cómo debo vender un televisor LCD que me costó S/. 840 para ganar el 20 % del
precio de costo, más 10 % del precio de venta, más S/ 63 por gastos administrativos?
Rpta. 1190
4) Un vendedor le hace a un cliente descuentos sucesivos del 15% y 20% sobre un
producto de $200. ¿Cuánto pagó dicho cliente por su compra? Rpta. 138
5) Gabriel desea comprar un auto usado y reclama un descuento. La tienda accede a su
pedido y le otorga 3 descuentos sucesivos sobre el precio de venta del 20%, 10% y 5%.
Él observa que el descuento efectivo ha sido de $ 316. ¿Cuál será el precio de venta de
dicho auto? Rpta. 1000
6) ¿Cuál es el precio de lista de un artículo, que tuvo un descuento del 10% al venderlo, si
el costo del artículo es de $45 y la ganancia es el 20% del precio de compra más el 20%
del precio de venta? Rpta 75
7) Julio compró un objeto que vendió después a 300 nuevos soles y obtuvo una ganancia
igual al 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuánto costó el
objeto?
Rpta 250
8) Se venden dos caballos en $9,600 c/u. En uno de ellos se gana el 20% y en el otro se
pierde el 20%. ¿Se ganó o se perdió, y cuánto?
Rpta. se perdió 8 soles
9) Un comerciante vende un artículo con un descuento de 30% del precio de lista, ganando
así el 20% del precio de costo ¿cuánto es el precio de lista? si el precio de lista y costo
suman 1900.
Rpta 1200
MA TEMÁ TIC A I 51
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
10) ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 1 450 para ganar el 20% del
precio de costo, más el 10% del precio de venta , más $60 por gastos administrativos?
Rpta 2000
MATEMATICA I 52
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Problemas de Repaso
1. Luis hace limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Qué tanto por
ciento de zumo de limón hay en la limonada?
2. En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, y quedan 164. ¿Cuántos
han muerto?
3. Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la
cantidad que hay al principio de cada año, ¿qué ganancia obtendremos al cabo de un
año? ¿Y después de 4 años?
4. Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros.
¿Cuánto costaba antes de la subida?
5. Una mercancía se encareció en un 10 % y luego se abarató también un 10 %. ¿Cuándo
vale menos: antes o después de todo el proceso?
6. En la venta de un producto se ganó el 25% del precio de venta a pesar de realizar dos
descuentos sucesivos del 10% y del 20%.respectivamente. Hallar el precio fijado del
producto si este costó 540 soles.
7. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%,
respectivamente, y aún así se está ganado el 35%. Halle el precio de costo, si se sabe
que el precio fijado y precio de costo suman 23000 soles.
8. En la venta de un producto que costó 4800 se realizan dos descuentos sucesivos del
20 % y 25 % respectivamente y así se obtiene una ganancia del 20% del precio de
venta. Calcula el precio fijado para la venta.
9. Un comerciante compra pantalones en Gamarra a S/. 45 cada uno. ¿A cómo deberá
vender cada uno de ellos si desea ganar el 20% del precio de costo más el 10% del
precio de venta?
10. Una persona vende dos televisores a 990 soles cada uno. En una de ellas gana el 10%
y en el otro pierde el 10%. Al final ¿ gana o pierde y cuánto?.
MA TEMÁ TIC A I 53
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
Resumen Regla de tres simple directa :
Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales
Magnitudes: M (DP) Q
Supuesto: a b Pregunta: c x
Como son DP su cociente es constante: x
c
b
a
Regla de tres simple inversa:
Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales Magnitudes: M (IP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x
Como son IP su producto es constante, Luego:
xcba
Precio de venta.- Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes
y/o servicios que recibe. Su fórmula es:
GPcPv
Precio de costo.- Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de
dos clases:
Costo neto .- En el cual se incluye sólo el precio de compra de
una mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los
gastos de transporte hasta el almacén, carga y descarga. Ganancia y pérdida
Ganancia .- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio. Pérdida .- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.
Precio de Lista.- Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un
bien y/o servicio. Su fórmula es:
DPvPl
MA TEMÁ TIC A I 55
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
FUNDAMENTOS
DEL ALGEBRA BASICA
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad, el alumno, calcula el valor de una variable a través de la simplificación de las expresiones algebraicas Para ello, debe aplicar las teorías de exponentes, los productos notables, racionalización y los procesos de factorización.
TEMARIO
3.1 Tema 4 : TEORIA DE EXPONENTES
3.1.1 : Potenciación
3.1.2 : Radicación
3.2 Tema 5 : Productos Notables
3.2.1 : Propiedades
3.3. Tema 6 : Factorización
3.3.1 : Factor común
3.3.2 : Por agrupación
3.3.3 : Por identidades
3.3.4 : Por aspa simple
3.3.5 : Por Ruffini
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Los alumnos aplican las leyes del álgebra básica
Los alumnos identifican qué ley van a utilizar y explican cada paso realizado.
Por equipos, trabajan los ejercicios y se comprueban los resultados obtenidos.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
3
MATEMATICA I 56
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
3.1 Tema 5: TEORÍA DE EXPONENTES
3.1.1 Propiedades de potenciación
Potenciación Radicación
base
exponente
potencia
índice
radicando
raíz
bn =
veces"n"
b..........bbbb
Kbn =
veces"K"
nnnn b..........bbb
3.1.1.1. Leyes de potenciación:
1. a0 = 1 , a R , a 0 ,
2. am . an = am + n
3. 0a,aa
a nm
n
m
4. a- n = na
1 , a 0
5. 0b,0a,a
b
b
ann
6. (a . b )n = a
n . b
n
MA TEMÁ TIC A I 57
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
7. 0b,b
a
b
a
n
nn
8. (am
)n = a
m n = (a
n )
m
Ejemplos:
MATEMATICA I 58
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Ejercicios propuestos
1) Realice lo siguiente: a) Efectúe:
6054
294
336
1630.14.15
80.35.21
M
b) Simplifique: 2
523
2.4
2.42
23
22
x
xx
x
xx
P
2 ) Halle: 2
11123
10
1
23
4
5
2
3
1R
3) Efectúe: (a)
3
1
31
53
21
213
6432.2222
21223240
xx
xxx
S
(b) Calcule el valor de: MN
)2(6)2(422
)2(3621145
24
xxxx
xx
M y x
xx
xx
N4669
13892
4) Si yx 75 , Calcule el valor de: 11
23
57
75
xy
yx
MA TEMÁ TIC A I 59
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
3.1.2 Propiedades de la radicación
n: índice a: radicando b: raíz
: operador
3.1.2.1. Leyes de Radicación:
1. nn aa
1
2. n
mn m aa
3. n pnnp baba ..
4. nnn b.aab
5. 0b,b
a
b
a
n
nn
6. mnm n aa
Problemas propuestos para la clase
1) Halle X + M si:
MX ;
14775
3004812 3/13/15/3
6432
2) ( a ) Halle A – S
c aa
cb c
c
ba b
b
a3 12 32
x
x
x
x
x
xS;xxxA
( b ) Halle : ba
bba
aba
mm
mmE
2
2
34
43
ban
MATEMATICA I 60
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
3 ) Calcule:
2
2
2
121
14 1
34
43
33
39) ba
bba
aba
n
nn
mm
mma
b) nnn
nn
57
57
32
1
27
12
1
5
4
3
2
4 ) Halle P + Q si:
2a
a4365x
x5x5
5x5x
44
82Q;
37
37P
Ejercicios de aplicación
1) Efectúe:
E = nnn
n
n2n n
n
44
2222
11
24
20
2) Simplifique la siguiente expresión:
12
3312/1
123
2439
263
11
4
5
2
3
1
x
xx
xx
3) Halle el valor de A si
nm
mnmn
nmnm
n
nn
A
54
1512
5.5
555
1
316
054
4) Reduzca la siguiente expresión:
MA TEMÁ TIC A I 61
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
3
1
31
53
2/16
3/1
8 643264
05249
5) Calcule B si:
07249
2
323
125.22
222
n
nn
B
6) Reduzca:
xxx
xx
aa
aaa
4669
13892333
5532
7) Simplifique la siguiente expresión:
25,016
5 4 3 5432
3 4 5 2345
81.
xxxx
xxxx
8) Calcule el valor de E + F, si:
...333,08
25072 92 1253
E
9) Simplifique:
1
502
22/1
4
2
3
2121
2
2224
44.2
4.24.2
x
xx
xxxx
E
10 ) Reduzca
yxyxyx
yxyxyx
22 4.54.5
4.54.5
MATEMATICA I 62
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Resumen de Potenciación y
Radicación
Potenciación Radicación
a0 = 1 , a R , a 0 ,
am . an = am + n
0a,aa
a nm
n
m
a- n = na
1 , a 0
0b,0a,a
b
b
ann
(a . b )n = an . bn
0b,b
a
b
a
n
nn
(am )n = am n = (an )m
nn aa
1
n
mn m aa
n pnnp baba ..
nnn b.aab
0b,b
a
b
a
n
nn
mnm n aa
Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes
páginas. http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm
Aquí encontrará información de la Teoría de Exponentes.
www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps
En esta página, encontrará ejercicios sobre potenciación, radicación y
racionalización.
MA TEMÁ TIC A I 63
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
Teoría de exponentes y radicación
1.- Calcule el valor de: MN
)2(6)2(422
)2(3621145
24
xxxx
xx
M
xxx
xx
N4669
13892
2.- Encuentre A+B
A =
2/1123
11
4
5
2
3
1
B = 55
555
1
305416
n
nn
3.- Halle K
2
22
221225
2035
122149
1
32x
xx
xx
K
4.- Halle E, aplicando propiedades de potenciación y radicación:
2
22
34
53
1
125243
1
m
m
E
5.- Halle el valor de :
1135
24
2624222
2362
xxxx
xx
A
6.- Halle el valor de M si:
1312416
120112
27
116
24381 ,
M
7.- Reducir:
MATEMATICA I 64
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
5.2.3626
nnnn
+ nnn
5
2535 +
22.4
2.452
a
aa
8.- Simplifica :
2212.22
22.1212.332.40
xx
xxx
9.- Simplificar:
10.- Calcula el valor de M :
132
12
16232
n
n
nn
M
MA TEMÁ TIC A I 65
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
3.2 PRODUCTOS NOTABLES
3.2.1 Propiedades
3.2.1.1 CUADRADO DE UN BINOMIO SUMA
EJEMPLOS:
1. 49x14x7)7()x(2x7x 2222
2. 25
4x
5
12x9
5
2
5
2)x3(2)x3(
5
2x3 2
22
2
3. 32
x324
x2
)3()3()2
x(22
)2
x(2
32
x
EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO
Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto.
1. 4
1xx 22
2. 2x22x 22
3.2.1.2 Cuadrado de un binomio diferencia
EJEMPLOS:
1. 1x2x1)1()x(2x1x 222
2. 4
1yy
2
1
2
1)y(2y
2
1y 2
22
2
3. 7x72x77x2)x(7x 24222222
222bab2aba
222bab2aba
MATEMATICA I 66
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
EJERCICIOS PROPUESTOS
Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto:
1. 3x32x22
2. 9
4x
3
4x 22
3. 2
1x2x 22
3.2.1.3. Producto de la suma de dos términos por diferencia (binomios conjugados)
…. (diferencia de cuadrados)
EJEMPLOS:
64x8x8x 2
6x6x6x 2
462323 yx3616)yx64()yx64(
EJERCICIOS PROPUESTOS
Observe y escriba directamente el producto de los binomios
1. 2.02.0 yy ______________________________________________
2. 3y3y ______________________________________________
3. 1yx31yx3 22 _____________________________________
3.2.1.4 Cubo de la suma de dos términos
EJEMPLOS:
22 ba)ba()ba(
(a + b )3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3
1257515
12525315
55353
23
23
3223
xxx
xxx
xxx 5) (x 1. 3
MA TEMÁ TIC A I 67
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
2.
3.2.1.5 Cuadrado de un trinomio
EJEMPLOS:
1. yz2xz2xy2zyxzyx 2222
2. 2
3y2x23y2x22
y12x12xy89y4x4
3y223x22y2x223y2x2
22
222
3.
2
122
2
132232
2
123
2
123
222
2
23624
15
23624
123
3.2.1.6 Producto de binomios que tienen un término común
EJEMPLOS:
1. 63x16x9x7x 2
bcacbacaba 2
8
27x
4
272x
2
93x
8
27
4
9x3
2x
2
93x
3
2
32
2
3x3
2
32x3
3x
3
2
3x
125.075.05.1
125.025.035.1
5.05.035.030.5) (x 3.
23
23
32233
xxx
xxx
xxx
bc2ac2ab2cbacba 2222
MATEMATICA I 68
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
2. 30x11x5x6x 2
3. 6y5y6y1y 32333
6y5y 36
EJERCICIOS PROPUESTOS
Observe y escriba directamente el producto de los binomios: (x – 1) (x + 8) = _______________________________ (x – 5) (x – 2) = _______________________________
3.2.1.7. Cubo de una diferencia
EJEMPLOS:
1.
2.
EJERCICIOS PROPUESTOS
(a - b )3 = a3 - 3a²b + 3ab² - b3
3
2
3x
8
27x
4
27x
2
9x
8
27
4
9x3x
2
9x
2
3
2
3x3
2
3x3x
23
23
32
23
33z
33z9z33z
27z9z33z
33z33z3z
23
23
3223
____________________________2x3.3
____________________________1m2
1.2
____________________________2
1y.1
3
32
3
MA TEMÁ TIC A I 69
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
3.2.1.8 Suma y diferencia de cubos
Suma de cubos
DIFERENCIA DE CUBOS
EJEMPLOS:
)4y2y)(2y(8y
)9x3x)(3x(27x
23
23
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 . Simplificar: A =
2. Efectúe:
5 1025 102 . nmmnmmR
3. Simplificar (x + y)² (x² - xy + y²)² – (x – y)² (x² + xy + y²)²
4. Simplificar (a + 2) (a – 2) (a² - 2a + 4) (a² + 2a + 4)
5. Reducir:
222
2bbabbaababababak
a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)
MATEMATICA I 70
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
6. Simplifique: 2
222
2))((
10)23()23(
bbaba
ababa
1. Simplificar :
2. Simplificar
3. Simplificar
MA TEMÁ TIC A I 71
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
Problemas propuestos
1. Siendo x = 2 + 3 ; y = 2 - 3
Calcule: A = (x – y) (x² + xy + y²) + y (3x² + 3xy + 2y²)
2. Sabiendo que: 2x
y
y
x calcule: yx
yx
yx
yx
2
3
3. Simplifique:
494:7272
933121.311
62323
3 3333 33
xxxA
4. Simplifique:
22
33
babababa
babaE
5. Sabiendo que: yxxyyxyx 333
Halle el valor de: 3333 2323
6. Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, halle la suma de sus cubos.
7. Si: 2a y 8b , halla el valor de:
44
2233
ba
]baba[babaM
8. Determine el valor deE , si 2a .
3
13222 1111 aaaaE
9. Reduzca: 43215522 xxxxxx
MATEMATICA I 72
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Resumen de productos notables
Productos Notables: Rcba ,,
I. 222bab2aba
II. 222bab2aba
III. 22 ba)ba()ba(
IV. 333 b 3ab² 3a²b a ) b (a
V. 333 b - 3ab² 3a²b - a ) b - (a
VI. bc2ac2ab2cbacba 2222
VII. a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)
VIII. a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)
IX. bababa
babbaaba
3 233 233 .
X. Legendre:
2222 2)()( bababa
abbaba 4)( 22
Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.
http://www.sectormatematica.cl/ppt/Productos%20notables.ppt
Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.
http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.
MA TEMÁ TIC A I 73
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
3.3 FACTORIZACIÓN
3.3.1 Definición.
Es un procedimiento por el cual se transforma un polinomio dado en un producto indicado de sus factores.
3.3.2.1 Métodos de factorización:
3.3.2.1 Factor común:
Ejemplo: Factorice: 3x3 y + 9x² y² + 6 xy3
Sol:
caso. otro esfactorizar puede Se
22
ComúnFactor
233 yyxxyx
3.3.2.2. Por agrupación de términos:
Ejemplo: Factorice: abc2bcabcaaccbba 222222
Sol : = (a² b + b² a ) + (c² a + c² b ) + c (a² + 2 ab + b² ) * = a b ( a + b ) + c² (a + b ) + c ( a + b ) (a + b )
= ( a + b )
bcaccba 2
= (a + b ) [ a ( b + c ) + c ( b + c ) ] = (a + b ) ( b + c ) ( a + c )
3.3.2.3 Por identidades o por productos notables en forma inversa:
Ejemplos : a) ( a² + 2 a b + b² ) = ( a + b)² = (a + b ) ( a + b )
b) (a - b ) ( a² + a b + b²) = a3 - b
3
c) 2224422 xxxxx
d) 3322 yxyxyxyx
e) 164²4² 4 yyy
MATEMATICA I 74
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
Problemas propuestos
1) Factorice: a) 3x2y2-6x2y =
b) (3a – b) (a – b – 1) + (a + b) (a – b – 1) – (2c – 3b) (a – b – 1) =
c) 2p (p – 1) + q(1 – p) + 2 (p – 1) =
2) Factorice:
a) xa2 + y2b + y2a2 + xb =
b) x
4 + x
2y
2 + y
4 =
c) 4xz + 2yz – 2xp – yp =
d) x3 – 4x2 + x – 4 =
3) Factorice:
a) x2 + 10xy + 25y2 = b) 4y2 – 9x2 = c) 8x3 – 27y3 = d) 9m2 + 6m + 1 = e) 4x2 – 12xy + 9y2 =
MA TEMÁ TIC A I 75
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
3.3.2.4 Por aspa simple:
3.3.2.4.1 Trinomio de la forma x2n + bxn + c = (xn + k1) (xn + k2) n N
donde:
Ejemplo: Factorice x² - 6x + 5 = 0
x
x
5
1 Vemos que:
(-5) (-1) = 5 ok (-5) + (-1) = -6 ok
x² - 6x + 5 = 0 (x - 5 ) ( x - 1) = 0
NOTA: Este trinomio se puede factorizar sólo cuando su Discriminante (D) es un cuadrado perfecto (ie, tiene raíz cuadrada exacta)
3.3.2.4.2 Trinomio de la forma ax2n + bxn + c = (a1 x
n + k1 ) (a2 xn + k2 )
donde : Ejemplo: Factorice:12 x² - xy - 6y² = 0
3 2
4 3
x y
x y
Vemos que:
( 3 ) ( 4 ) = 12 ; ( 2 ) (-3 ) = - 6 ; (3x) (-3y) + (4x) (2y) = -9xy + 8xy = -xy
12x² - xy - 6y² = 0 (3x + 2y ) (4x - 3y) = 0
k1 . k2 = c k1 + k2= b
k1 + k2 = b
a1 . a2 = a k1 . k2 = c
a1 k2 + a2 k1= b
MATEMATICA I 76
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
40
3.3.2.5 Por división de binomios: Permite factorizar polinomios en una sola variable. Consiste en formar una serie de binomios que admitan como término común a la variable y como segundos términos a los divisores del término independiente. De dichos binomios se tomarán aquellos que den división exacta empleando RUFFINI. Ejemplo: Factorice: x4 + 6x3 - 5x² - 42x + 40 Posibles factores: divisores de:
(x 1) (x 2) (x 4) (x 5) (x 8) ….….. 1
…………………………………………… + 2 …………………………………………… +4 5
8
10
20
40
En forma práctica: Ruffini
1 6 -5 -42 40
1 1 7 2 -40
1 7 2 -40 0 2 2 18 40
1 9 20 0
x² + 9x + 20
x
x
5
4 (x - 1) (x - 2) (x + 5) (x + 4)
MA TEMÁ TIC A I 77
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
Problemas propuestos
1) Factorice: a) x2+5x-6
b) x2-5x-14
c) 3x2-21x+18 d) 45x2-38xy+8y2
2) Factorice:
a) t3-6t2+11t-6 b) x4-6x3-x2+54x-72 c) 2x5-17x4+51x3-58x2+4x+24
MATEMATICA I 78
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
EJERCICIOS PROPUESTOS
Simplifique:
1) E = soluciónyxy
xRe
48
14 2
y
x
xy
xxE
4
12
124
1212
2)
111
11
11
11
yx
xyEsol
yx
yxE
Efectúe:
3) soluciónx
x
x
xE Re
25
3
25
13
25
42
25
313
25
313
x
x
x
xx
x
xxE
4) E =xy2x
yxy2x.
xyx
y2xy2
22
2
2
Resolución : E =
2
22
x
yxy
y2xxyxx
yxy2xy
y2xx
yx.
yxx
y2xy
MA TEMÁ TIC A I 79
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
Problemas propuestos
Simplificar:
1) 3x2x
6y2
3y
xx2
2
2) 2
223
m
25x
x5x5
mm
3)
8x2
6x6x
4x
36x2
4) 22
4p
m2
16p8p
m10m6
5) 10m5
m
4m
1m
1m
m2m2
2
6) 25
m
m
10x
50x5
m 4
3
10
7) Factorice: E = (x + 3) (x + 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 1) + (x + 1)
8) Factorice:
a) x8 - 82x4 + 81 b) (x2 - y2)9 - (x + y)7 (x - y)11 9) Factorice: E = ( x + y )9 ( x - y )5 - (x2 - y2)7
10) Factorice: a) E = 64 x12 y3 - 68 x8y7 + 4x4y11 b) x3 + (2a + b)x2 + (a2 + 2ab ) x + a2b 11) Factorice: a) x8 - y8
b) x6 - y6
MATEMATICA I 80
ESCUELA DE TECNOLOGIA CIBERTEC
12. Halle:
E =
428
7
49
42
149
2
4
4²23
2
2
2
2
x
x
xx
x
xx
xx
x
x
xx
13. Halle:
2012
²14²14
207²3
16²
513²113
1²323
3
x
xx
xx
x
xxx
xxE
14. Halle: xx
x
xx
xx
xxE
44543
3324
2
23
.
15. Halle E:
124
53²53
9²
157²4
128²
128²1752
3
3
x
XX
x
xx
xxx
xxxE
16. Halle E:
24
²322
12
2540²16
1²4
514²8
924²132
453²1333
3
x
x
x
xx
x
xx
xxx
xxxE
17. Si: 22
233333 )()()(2
yx
yxyx
yx
yx
yx
yxA
127
9
2410
1832
2
2
2
xx
x
xx
xxB
xyx
y
y
xC
2 Halle el valor de K = C – 4B - A
18. Halle E:
E =
31
662
22222
xa
xxaxaxa
19.. Simplificar :
yxyx
yxyxyyxyxxE
2
4444 42233224
20. Simplificar :
2222
222
66
2
3
4bababa
abba
bbaba
ba
MA TEMÁ TIC A I 81
CIBERTEC ESCUELA DE TECNOLOGIA
Resumen
Factorizar.- Es modificar un polinomio a productos de factores. Métodos de Factorización:
1. Factor común.- Cuando los términos de un polinomio tienen algo en común.
2. Por Agrupación.- Esta técnica va de la mano con factor común. Consiste en juntar 2 o más términos con algo en común.
3. Por identidades.- Es lo mismo que productos notables. Ejemplo: Un trinomio cuadrado perfecto se convierte a un binomio cuadrado.
4. Por aspa simple .- Será por aspa simple en todos los casos cuando la suma de sus coeficientes del polinomio da cero
5. Ruffini.- Sirve para factorizar polinomios de grado tres o mayor. Para usarla, se debe tener presente que el polinomio debe ser ordenado y completo.
Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes
páginas.
http://sipan.inictel.gob.pe/av/
Aquí encontrará casos de factorización y otros.
http://www.matematicastyt.cl/Algebra/Polinomios/Factorizacion/pag1.htm
Aquí encontrará ejercicios desarrollados de factorización y otros.