Download - Magnitudes directa e inversa
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PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
• Para seguir estudiando sobre lo que venimos viendo en clase.
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1 2 3 4 6Nº MANZANAS (C) 1 2 3 4 6
PRECIO (P)
500 1 000 1 500 2 000 3 000
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al doble una de ellas , le corresponde el doble de la otra, al
triple en una, el triple en la otra, al cuádruple en una, el cuádruple en la otra, y así sucesivamente. Se puede decir
que cuando una magnitud se multiplica o divide por un numero, la otra también queda multiplicada o dividida por
ese número
x 2X 3 x 4 x 6
x 2X 3 x 4
x 6
De lo anterior concluimos que…
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1 2 3 4 6Nº MANZANAS (C) 1 2 3 4 6
PRECIO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
500
3 000
2 500
1 000
1 500
2 000
1 65432
Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al representarlas gráficamente obtenemos una
línea recta que pasa por el origen.
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1 2 3 4 6Nº MANZANAS (C) 1 2 3 4 6
PRECIO (P)
500 1 000 1 500 2 000 3 000
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
P
C=
500
1=
1 000
2=
1 500
3=
2 000
4=
3 000
6= 500 = k
P
C= k P = k C∙
Dos magnitudes son directamente proporcionales, si están ligadas por un
cociente constante, constante de proporcionalidad
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Propiedades
• 1era. Propiedad Si un elemento de la primera magnitud es multiplicado o dividido por un número, el elemento correspondiente quedará multiplicado o dividido por ese mismo número.
• 2da. Propiedad a la suma de los elementos de una de las variables, le corresponde la suma de los correspondientes de los elementos considerados
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• 3era. Propiedad. La razón entre dos cantidades de una de las magnitudes es igual a la razón entre las cantidades correspondientes en la otra magnitud
Veamos un problema para avanzar en esta propiedad:
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Problema
• Si dos paquetes de caramelos tienen 20 caramelos, cuántos caramelos habrá en 4 paquetes, sabiendo que todos los paquetes tiene la misma cantidad de caramelos.
2 p ............ 20 c 4 p.............. c?Para resolverlo algunos de ustedes dicen:“tenés que hacer 4 por 20 dividido 2”
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¿Por qué?
• Lo que estamos diciendo es que: la razón entre 2 y 4 es igual a la razón entre 20 y la cantidad a calcular.
• De otra forma: la relación que existe entre 2 y 4 paquetes, es la misma que la que existe entre 20 y “x” cantidad de caramelos.
2 = 20 entonces: 20 . 4 = X = 40 4 X 2
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También
Si tenemos en cuenta que en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos
2 = 20 4 XEntonces: 2 . X = 20 . 4, de donde X = 20 . 4 2 X= 40
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Resolvé las siguientes situaciones en una hoja:
• 1. dos sacos de papas pesan 80 Kg. ¿Cuánto pesarán 3 sacos? Si de un saco se usaron las ¾ partes, cuántos kilos quedaron en el saco?
• 2. En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?
• 3. Un automóvil gasta 5 litros de nafta cada 100 Km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil? Y con 10 litros? Y para hacer 1000 km, cuánto combustible necesitará si mantiene la misma proporción?
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Como actividad complementaria…
• Confeccioná una tabla de valores y la gráfica correspondiente para cada problema anterior.
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120 60 40 30 20VELOCIDAD (V) 120 60 40 30 20
TIEMPO (t)
1 2 3 4 6
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando al aumentar una al dobel, la otra disminuye
a la mitad, es decir si al doble de una le corresponde la mitad de la otra, al triple de una, la
tercera parte de la otra, etc. en la misma proporción, y viceversa.
÷ 2 ÷ 3 ÷ 4 ÷ 6
x 2X 3 x 4
x 6
X = 120 Km.
De lo anterior concluimos que…
V en Km./h y T en Hrs.
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MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
20
120
100
40
60
80
1 65432
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al representarlas gráficamente obtenemos una
curva llamada hipérbola.
120 60 40 30 20VELOCIDAD (V) 120 60 40 30 20
TIEMPO (t)
1 2 3 4 6
T
V
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= k
k
t=VV · t = k
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si están ligadas por un
producto constante.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
120 60 40 30 20VELOCIDAD (V) 120 60 40 30 20
TIEMPO (t)
1 2 3 4 6
V · t = 120∙1 = 60∙2 = 40∙3 = 30∙4 = 20∙6 = 120
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Veamos un ejemplo…
• 2 máquinas producen una tonelada de papel en 72 Hrs. ¿Cuánto tardarán 4 máquinas iguales a la anterior?
Maquinas 2 4 18
Horas 72 36 8
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Otra situación…
• Un móvil que viaja a 80 Km/h tarda 48 Hrs. en cubrir cierta distancia. ¿Cuánto tiempo tardará si viaja a 160 Km/h?
Como deducimos del problema, se trata de una P. Inversa, ya que a mayor rapidez, proporcionalmente necesita menor tiempo para cubrir esa distancia.
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¿Resolvamos algunos problemas?
• 1. Si 3 máquinas necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 máquinas para realizar el mismo trabajo?
• 2. Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
• 3. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
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Teniendo en cuenta estas respuestas hacé un cuadro y sus respectivos gráficos incluyendo tres
variables más para cada uno
• 1. 4 días.• 2. 22 días.• 3. 50 litros