Download - LUGAR GEOM ÉTRICO
1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008
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LUGAR GEOMÉTRICO
Mediatriz de un segmento
d(P, A) = d(P, B)
Lugar geométrico del plano es el conjunto de puntos que cumplen una condición determinada.
Bisectriz de un ángulo
d(P, r) = d(P, s)
= A x + By + C
A2
+ B2
A' x + B'y + C '
A'2
+ B'2
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CIRCUNFERENCIA
• Si a2 + b2 – p > 0 la circunferencia existe
• Si a2 + b2 – p = 0 la circunferencia es un punto
• Si a2 + b2 – p < 0 la circunferencia no existe
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan R de otro punto llamado centro C(a, b)
Ecuación:
Elevando al cuadrado: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2
Reordenando: x2 + y2 + mx + ny + p = 0
donde: m = -2a
n = -2b
p = a2 + b2 – R2
El centro tiene como coordenadas:
El radio es:
C(- m
2 ,
- n
2 )
R = 1
2 m
2 + n
2 - 4 p
( x - a )2
+ ( y - b )2
= R
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ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, F y F’, es constante.
• distancia focal = 2c
semidistancia focal = c
• vértices: A, A’, B y B’
• eje mayor = 2a
semieje mayor = a
eje menor = 2b
semieje menor = b
• centro: O
Se cumple que:
PF + PF’ = constante
Operando y reordenando nos queda la ecuación de
una elipse centrada en el origen de coordenadas:
x2
a2 +
y2
b2 = 1
excentricidad de la elipse:
e se aproxima más a 1 cuanto más achatada sea la elipse
e = c
a < 1
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HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, F y F’, es constante.
• distancia focal = 2c
semidistancia focal = c
• vértices: A y A’
• eje focal pasa por los focos F F’
• eje secundario mediatriz de FF’
• centro: O
Se cumple que: |PF - PF’| = cte
Operando y reordenando nos queda la ecuación de una hipérbola
centrada en el origen de coordenadas:
donde
• a semieje real
• b semieje imaginario
x2
a2 -
y2
b2 = 1
excentricidad de la hipérbola:
cuanto mayor sea e más cerradas estarán sus ramas
e = c
a > 1
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PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz y de un punto, llamado foco F.
• parámetro = p
• vértices: V
• eje: perpendicular a la directriz
parábola de eje vertical
• y = ax2 + bx + c
• V =
• si a > 0 las ramas de la parábola
dirigidas hacia arriba
• si a < 0 las ramas de la parábola
dirigidas hacia abajo
parábola de eje horizontal
• x = ay2 + by + c
• V=
• si a > 0 las ramas de la parábola
dirigidas hacia la derecha
• si a < 0 las ramas de la parábola
dirigidas hacia la izquierda
(- b
2 a ,
b2
- 4a c
4a )
( - b
2 - 4a c
4a ,
- b
2 a )
foco:
directriz:
Se cumple que d(P, d) = d(P, F)
Operando y ordenando nos queda la ecuación de una parábola con
vértice en (0,0) y directriz vertical:
y2 = 2px
x = - p
2
F (p
2 , 0)