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LÓGICA Y CALCULO PROPOSICIONAL

Lógica Proposicional

NegaciónEn general negar una oración es algo muy común

en el lenguaje cotidiano, de la misma manera en matemáticas, escribimos usualmente negaciones en proposiciones.

Ejemplo:Todos los mamíferos son vivíparos

SoluciónNo todos los mamíferos son vivíparos, es decir Algún mamífero no es vivíparo


Hay mamíferos que son vivíparosNegación: Ningún mamífero es vivíparo

Algunos mamíferos no son vivíparosNegación: Todos los mamíferos son vivíparos

Ningún mamífero es vivíparoNegación: algún mamífero es vivíparo


Todos los lunes sirven pollo en la cafetería de la U

Negación: No todos los lunes sirven pollo en la cafetería de la U, es decir algunos lunes si.

Observaciones:Al negar una proposición, es frecuente que

se haga alguna de las siguientes “traducciones”


Si una proposición establece“Todos” entonces la negación dirá “alguno no”“Algún” entonces la negación dirá “ningún..”

“Alguno no” entonces la negación dirá “Todos si”“Ningún… “ entonces la negación dirá “Algún”

Lógica proposicional

Escribir usando conectivos lógicos.“Había tres madrinas o desayunamos

Manzanas”p: Había tres madrinasq: desayunamos tres manzanas

p ∨ q


p: Tiró los boletosq:los perdiór: asistió al concierto

Tiró los boletos o los perdió y no asistió al concierto

(pvq) ∧¬r


p: Podrás efectuar el viajeq: si estudiasr: apruebas el cursoEscribir la proposición compuesta

mediante conectivos lógicosPodrás efectuar el viajes si y sólo si

estudias y apruebas el curso. p↔(q ∧ r)


Decir si la siguiente proposición es verdadera o falsa

“El mango es una fruta” o “el perro es un ave”

p: El mango es una frutaq: El perro es una aveObservemos que aunque q es falsa en la

Disyunción es verdadero el enunciado Mientras uno de los dos sea verdaderoPor lo tanto la proposición es verdadera


Ejemplo:Andrea le dijo a Martha, si Julio me invita

al baile, entonces voy. Martha fue al baile y encontró a Andrea pero no a Julio. ¿Mintió Andrea?


Ejemplo:Andrea le dijo a Martha, si Julio me invita

al baile, entonces voy. Martha fue al baile y encontró a Andrea pero no a Julio. ¿Mintió Andrea? Veamos que aunque Julio no la invito

que enEste caso la proposición p seria falsa el queAndrea haya ido al baile, hace verdaderaLa proposición, de tal cuenta Andrea no Mintió


Evalué la siguiente proposición compuesta mediante tablas de verdad

(pvq) ↔ (p → q)



(pvq) ↔ (p → q)

p q pVq ↔ p → qV V V V VV F V F FF V V V VF V F F V



p∧(qVr)



p∧(qVr)p q r qVr p

∧(qVr)

V V V V VV V F V VV F V V VV F F F FF V V V FF V F V FF F V V FF F F F F



¬(p →q) ∧ r



¬(p →q) ∧ r

p q r p →q ¬(p →q) ¬(p →q)

∧ r

V V V V F FV V F V F FV F V F V VV F F F V FF V V V F FF V F V F FF F V V F FF F F V F F



¬(p V q) ↔(¬p→¬q)



¬(p V q) ↔(¬p→¬q)

p q (p V q) ¬(p V q) ¬p ¬q ¬p→¬q ↔V V V F F F V FV F V F F V V FF V V F V F F VF F F V V V V V


En la banca de un parque hay sentados un niño y una niña. Los dos tienen la cara tapada y no se puede deducir por la ropa que usan cual es el genero es cada uno. Se sabe que al menos uno de los dos miente. No se sabe quien. Más aún: podría ser que mintieran los dos, pero lo que es seguro es que alguno de los dos no dice la verdad.

Se produce entonces el siguiente diálogo. Niño 1: “Soy una nena”. Niño 2: “Soy un varón”. Con estos datos, ¿puede deducir el genero de cada

uno?


soluciónp q

V V Esta no puede ser, pues el enunciado dice que al menos uno de los dos, sino los dos mienten, por lo tanto queda descartada

V F

Si el niño 1 dice la verdad, es decir es una nena y el niño 2 miente es decir dijo que era un varon, pero es mentira es una nena, se descarta, pues el enunciado afirma que son de diferente genero y en esta caso las dos serian nenas.

F V

Si el niño 1 miente es decir dijo que era nena, pero en realidad es varon y el niño 2 dice la verdad, es decir en realidad es varon, tambien se descarta, pues nuevamente los dos serian del mismo genero, es decir serian dos varones.

F FEn este caso si el niño 1 miente entonces en realidad es un varon, y el niño 2 miente entonces en realidad es una nena, es verdadera pues cumple con los requerimientos del problema.


Ejercicio:Rubén, Luis y Jorge afirman que son muy

listos, pues se van turnando las tareas. ?Quien hizo la tarea de hoy si:

Rubén dijo: La tarea no la hizo LuisLuis dijo: Yo no hice la tareaJorge dijo: Yo hice la tarea.

Y se sabe que al menos uno dijo la verdad y al menos uno miente?


Primero se debe responder a la pregunta¿Hizo la tarea? Si V No F

RUBEN LUIS JORGE

V V FF F FV V V

QUE DIJERON


Con la misma tabla de verdad, pero ahora leyendo horizontalmente podemos darnos cuenta quien realizo la tarea

QUIEN HIZO LA TAREA

RUBEN V V FLUIS F F FJORGE V V V


Ahora revisamos la condición del problema inicial, Al menos uno dice la verdad y al menos uno miente

Rubén fue quien hizo la tarea pues cumple con la condición.

QUIEN HIZO LA TAREA

RUBEN LUIS JORGE

RUBEN V V FLUIS F F FJORGE V V V

QUE DIJERON

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