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Logica ProposicionalLogica Proposicional

Profa. Sheila Morais de Almeida

DAINF-UTFPR-PG

junho - 2018

Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 1 / 55

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Este material e preparado usando como referencias os textos dos seguinteslivros.

GERSTING, Judith L.,Mathematical Structures For Computer Science:A Modern Approach to Discrete Mathematics, 6th ed., 2007.

ROSEN, Kenneth H., Discrete Mathematics and its applications, 6thed., 2007.

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Argumentos Validos

Considere o argumento: “Se Joao pensa, entao Joao existe. Joao pensa.Portanto, Joao existe.”

Traduzindo para logica:

A : Joao pensa. B : Joao existe.

A→ B

A

∴ B

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Argumentos Validos

Considere o argumento: “Se Joao pensa, entao Joao existe. Joao pensa.Portanto, Joao existe.”

Traduzindo para logica:

A : Joao pensa. B : Joao existe.

A→ B

A

∴ B

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Argumentos Validos

Considere o argumento: “Se Joao pensa, entao Joao existe. Joao pensa.Portanto, Joao existe.”

Traduzindo para logica:

A : Joao pensa. B : Joao existe.

A→ B

A

∴ B

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Argumentos Validos

Esse argumento e valido?

A : Joao pensa. B : Joao existe.

A→ B (premissa)

A (premissa)

∴ B (conclusao)

Para verificar se um argumento e valido, assumimos que suas premissassao verdadeiras e conferimos o valor verdade da conclusao.

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Argumentos Validos

Esse argumento e valido?

A : Joao pensa. B : Joao existe.

A→ B verdade.

A verdade.

∴ B (conclusao)

Para verificar se um argumento e valido, assumimos que suas premissassao verdadeiras e conferimos o valor verdade da conclusao.

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Argumentos Validos

Esse argumento e valido?

A : Joao pensa. B : Joao existe.

A→ B verdade

A verdade.

∴ B

Como A e verdade e A→ B e verdade, so ha um possıvel valor verdadepara B. Qual e?

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Argumentos Validos

Esse argumento e valido?

A : Joao pensa. B : Joao existe.

A→ B verdade

A verdade.

∴ B verdade.

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Argumentos Validos

(A→ B) ∧ A→ B e uma tautologia.

A B A→ B (A→ B) ∧ A (A→ B) ∧ A→ B

V V V V VV F F F VF V V F VF F V F V

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Argumentos Validos

Definicao:

Um argumento em logica proposicional e uma sequencia de proposicoes.

Todas as proposicoes, exceto a ultima, sao chamadas de premissas.

A ultima proposicao e a conclusao.

Um argumento e valido se a validade das premissas implica na validadeda conclusao.

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Argumentos validos

O metodo formal que usa proposicoes bem formadas e chamado logicaproposicional ou calculo proposicional.

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Argumentos validos

Um argumento pode ser apresentado de forma simbolica como:

P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ . . . ∧ Pn → Q,

onde P1, P2, P3, ..., Pn sao sentencas logicas, chamadas de hipoteses oupremissas;

e Q e chamada de conclusao.

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Argumentos validos

Quando P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ . . . ∧ Pk → Q e um argumento valido?

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Argumentos validos

Quando P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ . . . ∧ Pk → Q e um argumento valido?

Pela tabela verdade da implicacao e pela definicao da conjuncao, quando:

• uma das premissas for falsa; ou

• quando todas as premissas e a conclusao sao verdadeiras.

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Argumentos validos

Exemplo

Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou aindependencia. Portanto, todo dia tem 24 horas.

Esse argumento tem duas hipoteses:

A: Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil.

B: Dom Pedro I Declarou a independencia.

Conclusao:

C : Todo dia tem 24 horas.

Representacao simbolica: A ∧ B → C .

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Argumentos validos

Exemplo

Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou aindependencia. Portanto, todo dia tem 24 horas.

Representacao simbolica: A ∧ B → C .

Pergunta: Isso e um argumento valido? Nao!

A conclusao e um fato isolado. Nao tem relacao com as hipoteses!

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Argumentos validos

Exemplo

Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou aindependencia. Portanto, todo dia tem 24 horas.

Representacao simbolica: A ∧ B → C .

Pergunta: Isso e um argumento valido para a conclusao? Nao!

A conclusao e um fato isolado. Nao tem relacao com as hipoteses!

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Argumentos validos

Exemplo

Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil,entao Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoroda Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixotofoi o primeiro vice-presidente do Brasil.

Representacao simbolica:

A: O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil.

B: Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente.

(A→ B) ∧ A→ B

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Argumentos validos

Exemplo

Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil,entao Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoroda Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixotofoi o primeiro vice-presidente do Brasil.

Representacao simbolica:

A: O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil.

B: Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente.

(A→ B) ∧ A→ B

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Argumentos validos

ExemploSe o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil,entao Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoroda Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixotofoi o primeiro vice-presidente do Brasil.

Representacao simbolica:(A→ B) ∧ A→ B

Hipoteses:A→ BA

Conclusao:B

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Argumentos validos

ExemploSe o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil,entao Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoroda Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixotofoi o primeiro vice-presidente do Brasil.

Representacao simbolica: (A→ B) ∧ A→ B.

Hipoteses:A→ BA

Conclusao:B

Pergunta: Esse e um argumento valido? Sim!A conclusao segue inevitavelmente da hipotese.Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 22 / 55

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Argumentos validos

ExemploSe o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil,entao Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoroda Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixotofoi o primeiro vice-presidente do Brasil.

Representacao simbolica: (A→ B) ∧ A→ B.

Hipoteses:A→ BA

Conclusao:B

Pergunta: Esse e um argumento valido? Sim!A conclusao segue inevitavelmente da hipotese.Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Logica Proposicional junho - 2018 23 / 55

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Argumentos validos

Essa forma de argumentacao e conhecida como Modus Ponens oueliminacao da implicacao.

(A→ B) ∧ A→ B

E uma das regras de inferencia usadas na Logica Proposicional.

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Argumentos Validos

Considere que as seguintes hipoteses sao verdadeiras.

• Se Marılia fizer muitos exercıcios, entao vai bem na prova deMatematica Discreta.

• Marılia fez muitos exercıcios.

Por modus ponens, Marılia vai bem na prova de Matematica Discreta.

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Argumentos Validos

Esse argumento e valido?

Se√

2 > 32 , entao (

√2)2 > ( 3

2 )2.

Sabemos que√

2 > 32 .

Por modus ponens, (√

2)2 = 2 > ( 32 )2 = 9

4 .

Usar modus ponens e valido, mas as premissas tem que ser verdadeiras.

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Argumentos Validos

Esse argumento e valido?

Se√

2 > 32 , entao (

√2)2 > ( 3

2 )2.

Sabemos que√

2 > 32 . ← falsa

Por modus ponens, (√

2)2 = 2 > ( 32 )2 = 9

4 . ← falsa

Usar modus ponens e valido, mas as premissas tem que ser verdadeiras.

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Argumentos Validos

Esse argumento e valido?

Se√

2 > 32 , entao (

√2)2 > ( 3

2 )2.

Sabemos que√

2 > 32 . ← falsa

Por modus ponens, (√

2)2 = 2 > ( 32 )2 = 9

4 . ← falsa

Usar modus ponens e valido, mas as premissas tem que ser verdadeiras.

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Regras de Inferencia

Existem outras regras de inferencia, que podem auxiliar a verificar avalidade dos argumentos quando as premissas sao verdadeiras.

Vejamos alguns exemplos...

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Regras de Inferencia

A→ A ∨ B

Esta chovendo. Portanto, esta chovendo ou esquentando.

Nome da regra de inferencia: adicao.

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Regras de Inferencia

A ∧ B → A

Esta chovendo e esfriando. Portanto, esta chovendo.

Nome da regra de inferencia: simplificacao.

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Regras de Inferencia

(A→ B) ∧ (B → C )→ (A→ C )

Se chover hoje, nao tera churrasco. Se nao tiver churrasco hoje, terachurrasco amanha. Entao, se chover hoje, tera churrasco amanha.

Nome da regra de inferencia: silogismo hipotetico.

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Regras de Inferencia

(A→ B) ∧ ¬B → ¬A

Nome da regra de inferencia: modus tollens.

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Regras de Inferencia

Entendendo o Modus Tollens

A seguir, uma sequencia de prova que garante a validade do ModusTollens.

(A→ B) ∧ ¬B → ¬A

Hipoteses:

1) A→ B

2) ¬A

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Regras de Inferencia

Modus Tollens: (p → q) ∧ ¬q → ¬p

1) A→ B (hipotese)

2) ¬B (hipotese)

3) ¬B → ¬A (equivalencia logica de (1), contraposicao)

4) ¬A (Modus Ponens de (2) e (3))

Portanto, concluımos ¬A.

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Regras de Inferencia

(A ∨ B) ∧ ¬A→ B

Vou ao cinema ou vou estudar para a prova. Nao vou ao cinema. Entaovou estudar para a prova.

Nome da regra de inferencia: silogismo disjuntivo.

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Regras de Inferencia

Resolucao e o nome da seguinte regra de inferencia:

(A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C )→ (B ∨ C )Se A e verdade, entao C tem que ser verdade.

Se A e falso, entao B tem que ser verdade.

Entao, ou C ou B tem que ser verdade.

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Regras de Inferencia

Resolucao e o nome da seguinte regra de inferencia:

(A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C )→ (B ∨ C )

Jasmim esta esquiando ou nao esta nevando. Esta nevando ou Jose estajogando futebol. Portanto, Jasmim esta esquisando ou Jose esta jogandofutebol.

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Regras de Inferencia

Mostre que A ∧ B ∨ C e C → D implicam A ∨ D.

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Regras de Inferencia

Mostre que A ∧ B ∨ C e C → D implicam A ∨ D.

1 A ∧ B ∨ C (hipotese)

2 C → D (hipotese)

3 (A ∨ C ) ∧ (B ∨ C ) (distributiva em (1))

4 A ∨ C (simplificacao em (3))

5 ¬C ∨ D (Regra da implicacao em (2))

6 (A ∨ C ) ∧ (¬C ∨ D) (conjuncao de (4) e (5))

7 A ∨ D (resolucao em (6)).

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Regras de Inferencia

Metodo Dedutivo

Considere o seguinte argumento:

P1 ∧ P2 ∧ P3 . . .Pn → (R → S),

onde a conclusao R → S e uma implicacao.

Pelo Metodo Dedutivo, pode-se considerar que R tambem e uma hipotese.Entao:

P1 ∧ P2 ∧ P3 . . .Pn ∧ R → S .

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Regras de Inferencia

Exemplo de uso do Metodo Dedutivo

Prove que (A→ (A→ B))→ (A→ B).

1 A→ (A→ B) (hipotese)

2 A (hipotese, pelo metodo dedutivo)

3 A→ B (modus ponens em (1) e (2))

4 B (modus ponens em (2) e (3))

Pelo Metodo Dedutivo, B e a conclusao em que deverıamos chegar, entaoesta provado.

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Verificando a Validade de Argumentos

O argumento e valido?

Esta tarde esta ensolorada e esta mais frio que ontem. Vamos nadar seestiver ensolarado. Se formos nadar, entao vamos fazer um passeio debarco. Se fizermos um passeio de barco, estaremos em casa ao anoitecer.Entao, estaremos em casa ao anoitecer.

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Verificando a Validade de Argumentos

O argumento e valido?

Esta tarde esta ensolorada e esta mais frio que ontem. Vamos nadar seestiver ensolarado. Se formos nadar, entao vamos fazer um passeio debarco. Se fizermos um passeio de barco, estaremos em casa ao anoitecer.Entao, estaremos em casa ao anoitecer.

A: Esta tarde esta ensolorada.B: Esta mais frio que ontem.C : Vamos nadar.D: Vamos fazer um passeio de barco.E : Estaremos em casa ao anoitecer.

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Provas de Veracidade

1 A ∧ B (pelo enunciado)

2 A→ C (pelo enunciado)

3 C → D (pelo enunciado)

4 D → E (pelo enunciado)

5 ¬C → ¬A (contrapositiva de (2))

6 A (simplificacao de (1))

7 C (modus tollens de (5) e (6))

8 D (modus ponens de (3) e (7))

9 E (modus ponens de (4) e (8), conclusao.)

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Provas de Veracidade

O argumento e valido?

Se voce me mandar um e-mail, entao eu terminarei o programa. Se vocenao me mandar um e-mail, entao vou dormir cedo. Se eu dormir cedo,acordarei me sentindo bem. Se eu nao terminar o programa, acordarei mesentindo bem.

A: Voce me manda um e-mail.B: Eu termino o programa.C : Vou dormir cedo.D: Arcordarei me sentindo bem.

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Provas de Veracidade

O argumento e valido?

1 A→ B (pelo enunciado)

2 ¬A→ C (pelo enunciado)

3 C → D (pelo enunciado)

4 ¬A→ D (silogismo hipotetico de (2) e (3))

5 ¬B → ¬A (contrapositiva de (1))

6 ¬B → D (silogismo hipotetico de (4) e (5))

E valido.

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Provas de Veracidade

O argumento e valido?

1 A→ B (pelo enunciado)

2 ¬A→ C (pelo enunciado)

3 C → D (pelo enunciado)

4 ¬A→ D (silogismo hipotetico de (2) e (3))

5 ¬B → ¬A (contrapositiva de (1))

6 ¬B → D (silogismo hipotetico de (4) e (5))

E valido.

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Verificando a Validade de Argumentos

O caso do advogado de defesaSe meu cliente e culpado, entao a faca estava na gaveta. Ou a faca naoestava na gaveta, ou Jason Pritchard viu a faca. Se a faca nao estava laem 10 de outubro, entao Jason Pritchard nao viu a faca. Alem disso, se afaca estava la em 10 de outubro, entao a faca estava na gaveta e o marteloestava no celeiro. Mas todos nos sabemos que o martelo nao estava noceleiro. Portanto, senhoras e senhores do juri, meu cliente e inocente.

O argumento do advogado parece correto? Como voce votaria?

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Falacia

Falacias sao argumentos invalidos baseados em regras de inferenciaincorretas.

Exemplo: (A→ B) ∧ B → A.

Se fizer calor, vou nadar. Vou nadar. Portanto, esta calor.

Por que esse argumento e invalido?

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Falacia

Falacias sao argumentos invalidos baseados em regras de inferenciaincorretas.

Exemplo: (A→ B) ∧ B → A.

Se fizer calor, vou nadar. Vou nadar. Portanto, esta calor.

Por que esse argumento e invalido? Eu nao disse nada sobre o que faria senao estivesse calor. Posso inclusive nadar nesse caso!

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Falacia

Falacias sao argumentos invalidos baseados em regras de inferenciaincorretas.

Exemplo: (A→ B) ∧ B → A.

Conhecida como falacia da afirmacao da conclusao.

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Falacia

Falacias sao argumentos invalidos baseados em regras de inferenciaincorretas.

Exemplo: (A→ B) ∧ ¬A→ ¬B.

Se eu fizer todos os exercıcios do Rosen, vou aprender MatematicaDiscreta. Nao fiz todos os exercıcios do Rosen. Portanto, nao aprendiMatematica Discreta.

Por que esse argumento e invalido? Porque e possıvel aprenderMatematica Discreta sem fazer todos os exercıcios do Rosen.

Hipotese falsa com conclusao verdadeira, tambem e uma sentencaverdadeira!

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Falacia

Falacias sao argumentos invalidos baseados em regras de inferenciaincorretas.

Exemplo: (A→ B) ∧ ¬A→ ¬B.

Se eu fizer todos os exercıcios do Rosen, vou aprender MatematicaDiscreta. Nao fiz todos os exercıcios do Rosen. Portanto, nao aprendiMatematica Discreta.

Por que esse argumento e invalido? Porque e possıvel aprenderMatematica Discreta sem fazer todos os exercıcios do Rosen.

Hipotese falsa com conclusao verdadeira, tambem e uma sentencaverdadeira!

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Falacia

Falacias sao argumentos invalidos baseados em regras de inferenciaincorretas.

Exemplo: (A→ B) ∧ ¬A→ ¬B.

Conhecida como falacia da negacao das hipoteses.

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