Procesos de objetivación en el desarrollo del pensamiento probabilístico
por parte de estudiantes de décimo grado
Liliana Marcela González Carrillo
Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José De Caldas
Bogotá, Mayo de 2016
Procesos de objetivación en el desarrollo del pensamiento probabilístico
por parte de estudiantes de décimo grado
Liliana Marcela González Carrillo
20142184014
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de
Magíster en Educación con Énfasis en Educación Matemática
Director
Rodolfo Vergel Causado, Ph. D.
Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José De Caldas
Bogotá, Mayo de 2016
DEDICATORIA
A Dios, por haberme dado la vida y las oportunidades para culminar mis estudios de
maestría
A mis padres, por ser mi ejemplo de vida, comprensión y amor infinito
A mis hermanas, por creer en mí y en mis sueños
A mis tías, por su apoyo incondicional
AGRADECIMIENTOS
A mi maestro Rodolfo Vergel por su acompañamiento y compromiso durante todo mi
proceso de formación, por compartir desinteresadamente su sabiduría y por alentarme
continuamente a seguir en el camino de la academia.
A mis queridos profesores de la Maestría por sus valiosas enseñanzas, aportes y
reflexiones.
Al rector y coordinadoras del colegio Álvaro Camargo De La Torre por todo el apoyo que
me brindaron en este reto profesional.
A los niños y niñas de grado 1002, por su disposición, participación y deseo de hacer
parte de esta investigación.
Tabla de Contenido
Introducción 1
Capítulo 1. Antecedentes y planteamiento del problema 5
1.1 Antecedentes 5
1.1.1 Perspectiva semiótica y la Teoría de la Objetivación (TO) 5
1.1.2 Pensamiento probabilístico 8
1.2 Campo problemático 11
1.2.1 Objetivos 15
Capítulo 2. Marco Teórico 16
2.1 Sobre la Teoría de la Objetivación – TO 16
2.1.1 Sobre los Medios Semióticos de Objetivación - MSO, los procesos de objetivación
(PO) y nodos semióticos 20
2.2 Sobre el pensamiento probabilístico 22
2.2.1 Sobre la emergencia de la probabilidad: algunos aportes históricos 22
2.2.2 Sobre la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad 27
2.2.3 Sobre los significados de probabilidad 26
2.2.4 Algunas definiciones consideradas en el estudio 34
Capítulo 3. Metodología 36
3.1 Diseño metodológico 36
3.1.1 Fases del diseño 37
Capítulo 4. Análisis Multimodal 52
4.1 Descripción 52
4.2 Análisis de la actividad matemática 54
4.2.1 Tarea 1: Cara y sello 54
4.2.2 Tarea 2: ¿Quién llega primero? 77
4.2.3 Tarea 3: Blanco y negro 89
Capítulo 5. Conclusiones y resultados 97
Referencias Bibliográficas 104
Índice de figuras y tablas
Figura 1. General, particular y singular 19
Figura 2. Diseño metodológico 37
Figura 3. Tarea 1 y 2 41
Figura 4. Tarea 3 43
Figura 5. Proceso de recolección de la información 46
Figura 6. Ejemplo transcripción e identificación de MSO y PO 49
Figura 7. Interacción durante el juego 55
Figura 8. Representaciones tabulares tarea 1 56
Figura 9.Producción Julián y Edwin 57
Figura 10. Producción Esteban y Diego 58
Figura 11. Uso de símbolos matemáticos 60
Figura 12. Representaciones numéricas 71
Figura 13. Representaciones tabulares 78
Figura 14. Producción Juan, David y Edwin 80
Figura15. Producción Juliana, Alison y Daniel 81
Figura16 Modos de expresión semiótica del valor de probabilidad 82
Figura17. Algunos registros escritos. Socialización tarea cara y sello 83
Figura18. Concentración de significado. Lengua natural (palabras escritas) - Registro
numérico (fracciones) e icónico 84
Figura 19. Concentración de significado. Lengua natural (palabras escritas) - Registro
numérico (fracciones, decimales, porcentajes) 84
Figura 20. Concentración de significado. Cambio de representación numérica (Fracciones,
decimales, porcentajes) 85
Figura 21.Momento de trabajo individual 90
Tabla 1. Elementos que caracterizan los diferentes significados de probabilidad 33
Tabla 2. Categorías teóricas MSO – PO 38
Tabla 3. Elementos considerados para la adaptación de las tareas 40
Tabla 4. Criterios para la sistematización de la información de los episodios 49
Tabla 5. Ejemplo de sistematización de la información. Episodio 2 “Es lo mismo” 50
1
Introducción
Los Lineamientos Curriculares Colombianos en Matemáticas (MEN, 1998) presentaban ya
para finales de los 90’s, una clasificación sugerida para los cinco tipos de pensamiento
matemático (pensamiento numérico, pensamiento espacial, pensamiento métrico,
pensamiento aleatorio o probabilístico y pensamiento variacional) y sus correspondientes
sistemas conceptuales y simbólicos, producto del interés de investigadores en Educación
Matemática en Colombia por reflexionar y considerar orientaciones generales sobre el
currículo nacional para la educación básica y media en ésta área del conocimiento.
Continuando con el ejercicio reflexivo de repensar los fines de la Educación Matemática en
nuestro país y con el ánimo de responder a los requerimientos actuales de la sociedad, se
publican los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas Colombianos (MEN,
2006), en donde se ofrece una caracterización del conocimiento matemático en general y a
su vez distingue dos dimensiones del mismo
a) La dimensión práctica, que expresa condiciones sociales de relación de la persona
con su entorno, y contribuye a mejorar su calidad de vida y su desempeño como
ciudadano. b) La dimensión formal, constituida por los sistemas matemáticos y sus
justificaciones, la cual se expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas en
sus diversos registros de representación. (MEN, 2006, p. 50)
Se precisa frente a la actividad matemática de los estudiantes lo esperado en términos
de competencias y habilidades para conceptualizar, comprender y transferir1 ideas y
1 Entendido como el uso de modelos matemáticos en otros dominios conceptuales dentro y fuera de las
matemáticas.
2
conocimientos propios de cada uno de los pensamientos a partir de la caracterización
de los procesos generales. 2
De igual manera, se desvela la complejidad inherente al aprendizaje de las matemáticas,
razón por la cual dichos estándares son presentados considerando una coherencia vertical
establecida por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento
en los otros conjuntos de grados, y una coherencia horizontal en términos de la relación
existente entre un estándar determinado con los estándares de los otros pensamientos dentro
del mismo conjunto de grados (MEN, 2006, p. 79). Esta organización, invita a concebir la
formación matemática de nuestros estudiantes como un proceso continuo toda vez que “Las
competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren
de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y
comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos” 3
(MEN, 2006, p.49)
En particular, dichos documentos oficiales en referencia al campo del pensamiento
aleatorio, proponen el estudio de situaciones aleatorias desde los primeros grados de
escolaridad hasta la culminación de la educación media con grados de complejidad gradual.
Este reconocimiento en términos curriculares se debe en parte porque esta tipología de
pensamiento se sitúa en un área de las matemáticas que trata con situaciones que presentan
múltiples variables y resultados impredecibles, esto es, con situaciones no deterministas o
aleatorias (marcada característica que diferencia este pensamiento de los otros cuatro) y su
significativo alcance radica en el establecimiento de modelos matemáticos para el
2 Los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son:
formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular
comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos (MEN, 2006, p. 51). 3 Énfasis del original.
3
tratamiento de la incertidumbre los cuales están presentes en la ciencia, la vida cotidiana y
la cultura (MEN, 1998, p. 47), ofreciendo posibilidades de interpretación que facultarían a
los estudiantes para la toma de decisiones de manera consciente y razonada cuando no es
posible predecir lo que ocurrirá al familiarizarse de manera paulatina con la incertidumbre
presente en ellas.
Estas iniciativas y planteamientos armonizan con la emergencia del interés por el estudio de
la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad en la escuela en el marco de la Educación
Estocástica (que incluye las disciplinas de probabilidad y estadística) en diferentes países,
encaminando esfuerzos hacia el aporte de elementos disciplinares, didácticos y
metodológicos entre otros.
Pues como cita Batanero (2001) “en la actualidad asistimos a un aumento notable de las
publicaciones, diseños curriculares e investigación relacionados con este tema” (p. 3); todo
ello con el fin de compartir y someter a juicio de la comunidad académica iniciativas
relacionadas con proyectos curriculares, materiales didácticos, software educativo,
investigaciones, revistas, reuniones y congresos sobre el pensamiento estocástico
(Batanero, 2005, p. 7). Las contribuciones al campo del pensamiento probabilístico de un
lado pretenden un refinamiento de las comprensiones asociadas a la enseñanza-aprendizaje
de la probabilidad y el mejoramiento de las prácticas de aula a través de la difusión de
resultados de investigación y de otro se busca concienciar al maestro frente a la
comprensión de las dificultades a las cuales se ven abocados los estudiantes cuando se
enfrentan a situaciones aleatorias y la manera en que progresivamente se instancia el
pensamiento probabilístico en las diferentes etapas de escolaridad.
Con el propósito de continuar en esta ruta de indagación en el dominio del pensamiento
probabilístico, proponemos estudiar la manera en que los estudiantes manifiestan ideas
4
matemáticas cuando abordan situaciones no deterministas4 en tareas vinculadas a la
asignación de probabilidad y como estas adquieren formas corpóreas y tangibles, en otras
palabras, inquirir acerca del rol que desempeñan el cuerpo, el discurso (oral y escrito), los
artefactos, los signos y la interacción social, como mediatizadores de la actividad
matemática de estudiantes de grado décimo en el contexto de lo aleatorio en tareas sobre
asignación de probabilidad.
Nos parece que una perspectiva sociocultural contemporánea de la Educación Matemática
como la Teoría de la Objetivación (TO), al presentar sensibilidad frente al objeto de estudio
que formulamos, ofrece un “lente teórico” para observar a través de él, cómo es que
emergen estas posibles formas de pensamiento probabilístico confiriéndonos los elementos
necesarios para su análisis e interpretación.
Consecuentemente, desarrollaremos la presentación del documento en cinco partes; en la
primera se abordan los componentes que delimitan la propuesta y la pregunta que da norte a
la investigación, la segunda parte corresponde a los fundamentos teóricos base tenidos en
cuenta respecto al pensamiento probabilístico, a la didáctica de la probabilidad y la Teoría
Cultural de la Objetivación. En la tercera damos cuenta de la metodología y las fases del
diseño, en la cuarta parte presentamos el análisis de los datos, y, finalmente, en la quinta
parte se presentan las conclusiones y observaciones finales.
4 Las situaciones aleatorias o no deterministas se caracterizan por tener la propiedad de ser no reversibles
(volver a los datos primitivos al deshacer la operación) […] ya que no podemos manipular estos fenómenos
para producir un resultado específico, ni devolver los objetos a su estado inicial deshaciendo la operación
(Batanero, 2013, p.2).
5
Capítulo 1
Antecedentes y planteamiento del problema
1.1 Antecedentes
En el presente capítulo exponemos algunas investigaciones centradas en el estudio de la
semiótica, la Teoría de la Objetivación y el pensamiento probabilístico, las cuales a nuestro
juicio presentaron un panorama prolijo que abonó el terreno para la proyección de la
pregunta orientadora y los objetivos que acotaron y fijaron el camino de indagación en
nuestra propuesta investigativa.
1.1.1 Perspectiva semiótica y la Teoría de la Objetivación (TO)
Investigadores en Educación Matemática y sus estudios sobre semiótica 5 (D’Amore, 2006,
D’ Amore, Fandiño y Iory, 2013; Duval, 1999; Vergel, 2013, 2014a, 2014b, 2015a, 2015b;
Rojas, 2010, 2012a, 2012b; Radford, 2004a, 2004b, 2006, 2010a; Batanero, 2005), han
mostrado que ésta línea de investigación en particular parece ofrecer posibilidades para
interpretar aspectos tales como la compleja actividad matemática de los estudiantes en la
sala de clase cuando se trabaja con ideas matemáticas, la elección y uso de diferentes
registros de representación, la plural composición de elementos que confluyen en la
comunicación y en el discurso utilizado por profesores y estudiantes, el recurso a diversos
medios de expresión para exteriorizar el pensamiento y el rol desempeñado por los
artefactos, entre otros.
5 La Semiótica hace referencia a la disciplina que estudia los signos en general, o mejor, que estudia los
sistemas de signos y está ligada a una intención comunicativa.
6
Sugerimos centrar la atención en la perspectiva Semiótica Cultural, que parece brindar un
amplio espectro para enriquecer nuestras comprensiones acerca de la actividad matemática
emergente en la sala de clase entre estudiantes y profesores.
Desde esta perspectiva, se pone de presente la importancia de concebir al ser dentro de su
entorno cultural ya que éste, lo condiciona con hábitos de discriminación (a nivel ético,
estético, político, etc.), de acuerdo con categorías y prácticas preestablecidas aceptadas y
compartidas culturalmente a través de la historia, supeditando así su forma de actuar y
pensar dentro del sistema a de referencia disponible. La praxis social aparece como la base
de la cognición (Radford, 2004a), entendida como una actividad humana, sensible,
concreta, mediada y cargada de significados. En consecuencia, el saber se origina en el
curso de la actividad humana mediatizada por objetos, instrumentos y signos, y el
conocimiento se encuentra en estrecha relación con la cultura en términos de “reflexión
cognitiva del mundo de acuerdo con formas culturales de significación”, 6 (Radford, 2004a,
p. 12).
Creemos que el acento puesto en la cultura y en la actividad humana como sensual y
concreta, suscita posibilidades alternativas y complementarias de indagación, interpretación
y conceptualización de la actividad matemática de los estudiantes desde el campo de la
semiótica.
Un ejemplo de ello es la Teoría de la Objetivación (TO), orilla teórica desde donde hemos
planteado este estudio. La TO se enmarca en las corrientes socioculturales contemporáneas
que, desde una perspectiva semiótica, concibe el proceso de enseñanza - aprendizaje como
un proceso histórico - cultural. Las investigaciones lideradas por Luis Radford y sus
colaboradores han focalizado sus esfuerzos en la caracterización de formas de pensamiento
6 Énfasis del original.
7
algebraico (Radford, 2008, 2010a, 2010b; Miranda, Radford, y Guzmán, 2007; Vergel
2013, 2015a, 2015b), donde la mediación semiótica juega un papel constitutivo del acto
cognitivo posicionando los objetos conceptuales en el plano social (Radford, 2006).
Así mismo, la TO resulta ser sensible a la convergencia de registros semióticos de
naturaleza diversa, la materialización del pensamiento a través del cuerpo, los procesos de
reflexión que llevan a la elaboración de significados y el acercamiento a la lógica cultural
de producción de los objetos matemáticos (como formas de producción de conocimiento y
formas de cooperación humana) (Radford, 2014a).
En el contexto colombiano estas ideas teóricas también han sido objeto de estudio gracias al
liderazgo de Rodolfo Vergel7 y Diana Jaramillo8 y con pesquisas en el campo del
pensamiento algebraico9 (Villanueva, 2012; Lasprilla y Camelo 2012; Lasprilla 2012, 2014;
González, 2012; Gómez, 2013; Vergel, 2014a, 2015a, 2015b; Moreno, 2014; Moreno 2015;
Cadavid y Quintero, 2011; Cadavid y Restrepo, 2011). En estos trabajos se pone de relieve
la inclusión del cuerpo en el acto de conocer, en un esfuerzo por comprender la producción
de saberes y de subjetividades en la actividad matemática de los estudiantes en el aula de
clase.
En particular contamos con dos producciones colombianas que incursionan en el campo de
pensamiento aditivo (Pantano, 2014) y el campo de pensamiento multiplicativo (Mojica,
2014) respectivamente, en donde se han propuesto vectores o componentes analíticos que
potencialmente podrían caracterizar formas de pensamiento culturalmente codificadas
asociadas a estos dominios conceptuales. Estos estudios muestran, que las formas estables
7 Universidad Distrital Francisco José De Caldas. 8 Universidad De Antioquia. 9 Tesis doctorales, artículos publicados en revistas indexadas y la dirección de trabajos de grado a nivel de
especialización y maestría.
8
de conciencia de los objetos conceptuales en los y las estudiantes, devienen de la
orientación de acciones intencionadas que desencadenan el despliegue de recursos
semióticos (como inscripciones, el lenguaje, los signos, la actividad perceptual etc.), esto
es, medios semióticos de objetivación utilizados por los estudiantes en un esfuerzo que es a
la vez elaboración de significados y toma de conciencia de los objetos conceptuales
(Radford, 2006). Estos recursos semióticos, se convierten en constituyentes del acto
cognitivo en donde signos e instrumentos desempeñan funciones diferentes en los procesos
de objetivación del conocimiento (Contracción e Iconicidad) usados por maestros y
estudiantes en el aula.
Es así, que los estudios de Pantano (2014) y Mojica (2014), al documentar la experiencia,
sugirieron extrapolar los elementos de la teoría a otros dominios conceptuales. Sus
hallazgos, de un lado, aportan información que robustece la TO y de otro abre nuevas
posibilidades de investigación.
1.1.2 Pensamiento probabilístico
Resulta relevante el interés investigativo suscitado acerca de la enseñanza - aprendizaje de
la estadística y la probabilidad dentro del campo de la Educación Matemática. Instituciones
y asociaciones como el Instituto Internacional de Estadística (ISI), Centros Internacionales
de Educación Estadística (ISEC), ICOTS (International Conference on Statistical
Education), ICME (International Congress of Mathematics Education), IASE (International
Association for Statistical Education) entre otros, son muestra de la preocupación
internacional por establecer espacios de debate en torno al pensamiento estocástico.
Por ejemplo, la IASE se ocupa de los avances, desarrollos y mejoras de la Educación
Estadística a nivel internacional. Sus miembros son profesionales interesados en este
9
dominio, que desde los diferentes niveles educativos reflexionan frente al desarrollo
curricular, tratamiento de temáticas en los libros de texto y materiales didácticos entre
otros. Como asociación, la IASE, asume la responsabilidad de organizar el ICOTS y las
Round Table Conference asociadas al ICME (Batanero, 2001).
Estos son apenas algunos de los muchos eventos que son desarrollados alrededor del
mundo con la intención de consolidar una incluyente comunidad académica mediante la
participación de docentes, investigadores en Educación Matemática y profesionales en
general (de otras áreas de conocimiento), inquietos por la formación de ciudadanos
alfabetizados y competentes en el campo de la estocástica.
Dentro de la literatura disponible, encontramos reflexiones en torno al panorama actual de
los estándares a nivel de estocástica en términos de las competencias que debe adquirir y
desarrollar un estudiante y que a su vez han de ser manejadas por los profesores dadas las
necesidades de la sociedad actual frente al tratamiento de la información (Cuevas, 2012;
Batanero y Serrano, 1995). También hallamos interesantes recorridos históricos acerca de
los orígenes de la teoría del azar y su evolución (Fernández, 2007; Mateos-Aparicio, 2001),
así como de los diferentes significados que han sido asignados a la probabilidad bajo una
caracterización específica a lo largo de la historia y que siguen vigentes en la actualidad
(Batanero, 2005). De igual modo, aparece una gran variedad de estudios sobre didáctica de
la estadística que intentan mostrar vías de desarrollo para potenciar el pensamiento
aleatorio desde la sugerencia de secuencias didácticas para el trabajo de aula (Batanero,
2001; 2013; Batanero y Sánchez, 2013; Sánchez y Valdez, 2013).
Las producciones académicas en mención, son apenas una muestra del fructífero terreno
investigativo en el ámbito de la probabilidad.
10
En Colombia recién en el año 2014 se consolida la Asociación Colombiana de Educación
Estocástica (ACEdEst). La ACEdEst lideró la realización del I Encuentro Colombiano de
Educación Estocástica (ECEE) con el interés de favorecer un espacio de discusión y
participación en asuntos relacionados con la estadística y probabilidad en nuestro país.
En el ámbito nacional se han realizado aportaciones al campo del pensamiento
probabilístico con la intención de procurar alternativas de trabajo en la sala de clase.
En específico algunas de estas contribuciones refieren a propuestas de aula que toman en
cuenta aspectos tales como la inclusión de software y uso de TIC en el aula de clase
(Yañez, 2003, Jaimes, 2012; Gallo y Cisneros, 2011), sugerencias metodológicas y
propuestas de unidades didácticas (Acevedo, 2011; Acevedo, Jaramillo y Esteban, 2013;
Casas y González, (2001); Castaño, 2013; Garzón y García, 2009; Velásquez, 2014), los
juegos como estrategia didáctica y lúdica en el aula de clase (Morales y Restrepo, 2009),
entre otros.
En síntesis, observamos que hay una importante producción académica en torno al
pensamiento probabilístico y la Teoría de la Objetivación ciertamente inmersa en procesos
de investigación continuos.
Es así que con el ánimo de imbricar los elementos conceptuales y metodológicos de la TO
con los planteamientos vinculados al desarrollo del pensamiento probabilístico, nuestra
propuesta espera nutrir este campo de investigación, mediante el rastreo de rasgos
característicos de formas prototípicas de pensamiento histórica y culturalmente constituidas
de las maneras en que el saber probabilístico se instancia y se actualiza a través de la labor
conjunta en la sala de clase convirtiéndose en objeto de conciencia para los estudiantes,
entendiendo la probabilidad como “un patrón fijo de actividad reflexiva incrustado en el
mundo de cambio constante de práctica social mediada por artefactos” (Radford, 2006, p.
11
111), esto es, considerar la probabilidad como un objeto de la cultura, desplegando así
posibilidades de indagación al respecto.
1.2 Campo problemático
En las últimas tres décadas aproximadamente, investigadores en el campo de la Educación
Estocástica, se han preocupado por conducir estudios en torno al desarrollo de lo que se ha
denominado alfabetización cuantitativa en los ciudadanos (Ver por ejemplo, White, 1981;
Gal, 2002, 2003; Gal, Ginsburg, y Schau, 1997, Gal y Garfield, 1997; Garfield, 1994, 1995,
1999, 2002, 2003). Dicha alfabetización hace referencia a las disciplinas de probabilidad y
estadística como ciencias propias de los datos haciéndose necesario potenciar habilidades
para su tratamiento y análisis (Cuevas, 2012).
En palabras de Gal (1995, citado en Batanero 2005, p. 252), “una persona con cultura
probabilística sería capaz de comprender los enunciados de probabilidad en el contexto de
apuestas, votaciones o inversión en la bolsa, y tomar una decisión fundamentada en ellos”,
así pues la formación en probabilidades y manejo de la incertidumbre en diferentes
fenómenos aleatorios dotaría de herramientas matemáticas a los individuos para hacer
frente a estos sucesos que se presentan en la vida cotidiana.
Azcárate (2006) destaca la importancia de fortalecer la capacidad para el análisis,
interpretación y comunicación de la información en situaciones de la vida diaria cargadas
de incertidumbre (por ejemplo los juegos de azar, predicción del clima, inversiones
económicas), es decir situaciones inciertas que implican la toma de una decisión. En
contraste con este argumento, Bennet (1998, citado en Batanero, 2006, p. 1) aduce que “La
probabilidad es esencial para preparar a los estudiantes, puesto que el azar y los fenómenos
aleatorios impregnan nuestra vida y nuestro entorno”. De forma análoga, Sánchez (2009)
12
(citado en Insunza, 2011) plantea que el aprendizaje de la probabilidad en la escuela ayuda
a preparar a los estudiantes para la vida toda vez que los fenómenos azarosos y los eventos
aleatorios hacen parte de nuestro escenario cultural y permean nuestra vida personal y
profesional.
De acuerdo a lo anterior, parece ser que el abordar situaciones no deterministas en la sala
de clase no resulta ser un asunto menor, pues con y a través de ellas se procura propiciar la
toma decisiones, el planteamiento de conjeturas, la exposición de argumentos, etc.; en
ambientes donde los estudiantes tengan experiencias con la incertidumbre y el azar.
El acercamiento a este tipo de contextos en la escuela, abre posibilidades para el uso del
lenguaje, el reconocimiento del contexto de las situaciones, la capacidad para inquirir, la
interacción con otros individuos y con el entorno, los cuales parecen apoyarse en un
conjunto de creencias y actitudes culturalmente establecidas que influyen y subordinan la
interpretación de una situación particular de estudio.
Luego valdría la pena observar con atención las acciones que emprenden los estudiantes al
enfrentarse a situaciones no deterministas. Dado que en el dominio del pensamiento
probabilístico tratamos con entidades abstractas a diferencia de otros campos de las
matemáticas (Batanero, 2013), posiblemente puedan desencadenarse ciertas diferencias en
relación con la actividad matemática de los estudiantes en estos contextos.
Por ejemplo, en el campo del pensamiento numérico, sumar y restar se asumen como
operaciones inversas entre sí. Para iniciar el reconocimiento de estas operaciones (más allá
del algoritmo), puede utilizarse algún material concreto (botones, semillas, fichas) que
permita la experimentación de los estudiantes juntando o quitando unidades del material
utilizado. Al disponer de cierto número de botones, por ejemplo, podemos juntarlos para
13
determinar cuántos hay en total. Al deshacer la acción de “juntar” podemos regresar al
estado inicial.
Si esta operación (juntar – separar) se realiza repetidas veces bajo las mismas condiciones
el resultado sigue siendo el mismo.
En el contexto de lo aleatorio, estas ideas cambian. Por ejemplo, al lanzar una moneda al
aire si la primera vez cae cara no podemos asegurar que en el segundo lanzamiento caerá
de nuevo cara o que luego de una racha en donde se ha obtenido cara en lanzamientos
sucesivos, el lanzamiento justamente siguiente sea también cara; puesto que cada
lanzamiento corresponde a un evento único e irrepetible, y aunque el experimento sea
realizado bajo las mismas condiciones los resultados pueden ser diferentes cada vez.
El primer ejemplo presentado intenta ilustrar algunas características de las situaciones
deterministas como la reversibilidad y las respuestas únicas. El segundo ejemplo muestra
una situación no determinista o aleatoria, en donde la acción lanzar la moneda al aire es
presentada como evento único. Las características mencionadas (la reversibilidad y las
respuestas únicas), carecen de sentido en este tipo de situaciones, debido de un lado a la
imposibilidad de regresar al estado original del evento una vez iniciada la experiencia y de
otro debido a la ausencia de certeza predictiva del resultado.
Es justamente esta distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias o no
deterministas el punto de partida para el estudio de la probabilidad.
“Separar”
Descomponer
“Juntar”
Componer
14
Es así, que de acuerdo con las ideas expuestas líneas atrás, sentamos las bases para nuestra
investigación en el marco de los constructos teóricos de la Teoría de la Objetivación (TO) y
en aspectos conceptuales del pensamiento probabilístico, orientando la indagación hacia el
papel de la mediación semiótica (el cuerpo, el discurso, los artefactos, los signos y la
interacción social) en la actividad matemática de los y las estudiantes en ese proceso de
objetivación del saber en situaciones no deterministas. 10 Entendida la objetivación según lo
teorizado por Radford (2010, p. 44) como la relación con las “acciones encaminadas a
hacer evidente algo a alguien por ejemplo un cierto aspecto de un objeto concreto, como su
color, su tamaño o una propiedad matemática general , esto es, darse cuenta o ser
consciente de las relaciones matemáticas”. Mientras que los procesos de objetivación, se
constituyen en “procesos sociales a través de los cuales los individuos se familiarizan con
las formas culturales e históricamente constituidas de pensar” (Vergel, 2014a, p.59).
En suma, centramos la atención analítica en identificar, describir y analizar los medios
semióticos de objetivación a los cuales acuden los estudiantes así como los procesos de
objetivación desarrollados, en su labor conjunta, como una caracterización posible de
formas de pensamiento probabilístico al abordar tareas en torno a la asignación de
probabilidad de un evento. En consecuencia, buscamos responder la pregunta que da norte
al presente estudio:
¿Qué procesos de objetivación desarrollan estudiantes de grado décimo al abordar tareas
sobre asignación de probabilidad?
10 Las situaciones no deterministas o aleatorias son aquellas en las que no se puede saber con seguridad
absoluta lo que sucederá, es decir, son impredecibles (Batanero, 2013).
15
1.2.1 Objetivos
Con la intención de responder a la pregunta anterior, planteamos los siguientes objetivos
que de manera focalizada orientaron nuestras actuaciones:
Objetivo general
Describir y analizar los procesos de objetivación desarrollados por estudiantes de grado
décimo al abordar tareas referidas a asignación de probabilidad de un evento.
Objetivos específicos
• Describirlos medios semióticos de objetivación emergentes en la actividad matemática
de los estudiantes de grado décimo a partir de la implementación de una serie de tareas
en torno a la asignación de probabilidad de eventos.
• Caracterizar los medios semióticos de objetivación movilizados y analizar su evolución.
16
Capítulo 2
Marco teórico
A continuación presentamos los elementos teóricos que tuvimos en consideración para la
construcción y desarrollo de nuestra propuesta así como para la interpretación de la
actividad matemática de los estudiantes, atendiendo a la pregunta de investigación, los
constructos teóricos de la Teoría de la Objetivación y aspectos relacionados con el
pensamiento probabilístico.
2.1 Sobre la Teoría de la Objetivación - TO
La TO es una teoría de enseñanza – aprendizaje de las matemáticas que propone “la meta
de la Educación Matemática en términos de una dinámica política, social, histórica y
cultural encaminada a la creación dialéctica de sujetos éticos y reflexivos quienes se
posicionan críticamente en discursos y prácticas matemáticas histórica y culturalmente
constituidas siempre en evolución” (Radford, 2015a, p. 549). Esta mirada amplificada
intenta abarcar las dimensiones del ser humano que confluyen cuando se trabaja con ideas
matemáticas en la sala de clase en términos no cognitivistas esbozando una responsabilidad
formativa en la constitución del sujeto como miembro de una comunidad que subsume el
ámbito conceptual.
Esta postura se soporta en el materialismo dialéctico11 y trae a la base la idea de creación
dinámica y recíproca entre ser y cultura. Propone la idea de labor como “una forma social
de acción conjunta que incluye nociones de expresión del sujeto que labora” (Radford,
11 La Teoría de la Objetivación se inspira en la dialéctica de Georg Hegel, el materialismo histórico de Karl
Marx y de pensadores dialécticos como Lev S. Vygotski, Alexei N. Leontiev, Evald Ilyenkov y Theodor
Adorno (de Moura y Moretti, 2014, p. 36).
17
2014a, p. 137). Esta idea de labor es traída al centro de la TO como la categoría conceptual
fundamental, por cuanto es en la actividad conjunta que contactamos con los sistemas de
ideas culturales que regulan la manera en que percibimos el mundo y actuamos en él.
Estas ideas coinciden con lo expuesto por Hegel (2001) (citado en Radford, 2014a), quien
declaro, que es en la labor en donde acaece la recíproca formación del individuo y la
cultura. En efecto, se admite que es en la labor en donde se “aprende a estar con otros,
abrirse a la comprensión de otras voces y otras conciencias, en pocas palabras a Ser-con-
otros” (Radford, 2006, p.117), y nos topamos con el Otro, con su individualidad, de manera
que “en su sentido ontológico, la labor significa alteridad—el encuentro de eso que no soy
yo, y que al encontrarlo, me transforma” (Radford, 2014a, p. 138). Soy en tanto el Otro y su
presencia, me otorga existencia. Así, se determinan modos de relacionarnos en la clase de
matemáticas como una comunidad, reconociendo al Otro como parte constitutiva del Yo.
En la labor conjunta nos relacionamos con las dimensiones físicas (tangibles) y
conceptuales del mundo, de acuerdo con las formas de pensar y actuar asociadas a los
sistemas de ideas y a los significados que se encuentran a disposición en la cultura,
subyugados unos y otros al sentido histórico evolutivo de la traza demarcada por nuestros
antepasados. Para resumir, en palabras de Radford (2004a, p. 7) “las actividades que realiza
un individuo no son simplemente de él, pues dichas actividades han sido configuradas en el
curso de un proceso filogenético”, citando a Wartofsky (1979).
Desde esta perspectiva el pensamiento es concebido como una práctica social, como una
reflexión mediatizada del mundo que depende de la forma o modo de las actividades de los
individuos (Radford, 2006). Este argumento ya había sido esbozado por Davydov (1981,
citado en Vergel, 2014a, p.60) respecto a que “el pensamiento es el movimiento de formas
de actividad de la sociedad históricamente constituidas y apropiadas por aquél”.
18
Bajo estas premisas y en el marco de la concepción dialéctico materialista adoptada por la
TO, la enseñanza-aprendizaje integra un inseparable proceso, esto es, un “trabajo
conjunto12 sensible, material y conceptual de estudiantes y profesores encaminado a la
creación de sujetos reflexivos y éticos que se posicionan críticamente en prácticas
matemáticas histórico-culturalmente constituidas” (Radford, 2013b, pp. 6 - 7), que atiende
tanto a la dimensión del saber cómo a la dimensión del ser, al poner de presente la
importancia de ocuparse tanto del estudio de los conocimientos matemáticos como de la
formación del sujeto, que resultan inherentes a la actividad matemática de los participantes.
De ahí que para la TO el saber (knowledge) se constituya como la producción resultante de
la labor humana a través de generaciones como una “síntesis evolutiva culturalmente
codificada de maneras de hacer, pensar y relacionarse con otros y con el mundo” (Radford,
2015a, p. 549), que transita entre el general (como algo que puede ocurrir en términos de
potencialidad, posibilidad, formas conceptuales ideales) y el singular (como la ocurrencia
del hecho).
Dicho saber como potencialidad, como pura posibilidad y como entidad abstracta altamente
sofisticada y refinada a través del tiempo por la actividad humana y como legado
generacional del hacer, pensar y actuar de grupos sociales, solo puede llegar a ser objeto de
conciencia y pensamiento de las personas cuando es puesto en movimiento (cuando es
actualizado) a través la actividad conjunta sensual y material entendida como evento
irrepetible en el aula de clase de la que participan estudiantes y profesor, y que a su vez
media entre el general y el singular (Radford, 2015c).
12 Énfasis del original.
19
La actividad como particular, como mediación del general al singular, corresponde a un
proceso semiótico toda vez que estudiantes y profesores recurren a signos involucrándose
así en procesos de significación, lo que la dialéctica Hegeliana (Citado en Radford, 2013a,
p. 15) llamaría “la ascensión de lo abstracto a lo concreto”. Entonces, a través de la
actividad conjunta, el saber es actualizado (instanciado) dando lugar al conociendo
(knowing) como la concreción del contenido conceptual que aparece a través de la actividad
que media. Según Ilyenkov (1977 citado en Radford, 2013a, p. 17) el knowing “lleva el
sello de la actividad que media”, esto es, en palabras de Radford (2013a, 17) “el particular
es la actividad por la que el general aparece en el singular -o, en otras palabras, cómo el
saber es instanciado en el conociendo”. Pues el saber al ser actualizado a través de la
actividad conjunta, se convierte en objeto de conciencia y pensamiento en los estudiantes
(un sistema de ideas acerca de un objeto cultural).
De este modo, en la actividad de la sala de clase, las formas de colaboración humana
emergentes se basan en una ética comunitaria que fomenta modos de colaboración e
interacción que promueven el compromiso en el trabajo conjunto, el asumir la
responsabilidad hacia los demás miembros de la comunidad y el cuidado del otro (Radford,
2013b).
La labor que surge en el aula de clase se desarrolla en un espacio de acción conjunta entre
los participantes en donde concurren de forma coordinada el discurso, los gestos, los
Saber - Knowledge
Como pura posibilidad
(General)
Conociendo - Knowing Singular como
actualización del saber
(Singular)
Actividad
conjunta
(Particular)
Figura 1. General, particular y singular (Radford, 2015b)
20
artefactos y signos para pensar y actuar colectivamente. En este sentido, la TO teoriza la
ética comunitaria de la labor como togethering, que explica la manera ética en que los
individuos se comprometen, responden, y sintonizan el uno al otro, a pesar de sus
diferencias cognitivas, y emocionales (entre otras), en la búsqueda de una meta común, que
se fundamenta en la confianza y la responsabilidad (Radford, 2011).
2.1.1 Sobre los Medios Semióticos de Objetivación - MSO, los procesos de objetivación
(PO) y nodos semióticos
Para Charleton (1996, citado en Radford, 2003, p. 40),
El término objetivación tiene sus raíces en la palabra objeto cuyo origen deriva del
verbo en latín objetare que significa “lanzar algo en el camino, tirar antes”, y el sufijo
cacion que viene del verbo facere que significa “hacer” o “hacer para”.
La objetivación “es un proceso social que se lleva a cabo con otros” (Radford, 2015a. P.
551). Está vinculado con las acciones que conducen a arrojar algo delante de alguien, en
hacer visible o mostrar algo a alguien. Es así, que el proceso de objetivación del saber es
un proceso sensual y emocional de toma de conciencia de los objetos culturales, para lo
cual los sujetos nos valemos de diferentes recursos. Radford (2004b) teoriza estos recursos
como medios semióticos de objetivación, que corresponden a “objetos, artefactos, términos
lingüísticos, en general signos que se utilizan para hacer visible una intención y para llevar
a término una acción” (p. 19).
Dado que los procesos de producción de conocimiento, están incrustados en sistemas de
actividad que incluyen una amplia gama de medios físicos y sensuales de objetivación
(como las herramientas y el lenguaje), que dan forma corpórea y tangible al conocimiento,
el pensamiento adquiere un carácter mediatizado en el que los artefactos (objetos,
instrumentos, sistemas de signos, etc.), pasan a ser parte constitutiva y consustancial del
21
pensamiento. Estos, dan cuenta de la complejidad de los procesos de objetivación en
situaciones de enseñanza- aprendizaje.
La TO, sugiere que el pensamiento es producto de una práctica social. Para Radford, 2006,
p. 111) “los objetos son patrones fijos de actividad reflexiva incrustados en el mundo, en
cambio constante de la práctica social mediatizada por los artefactos”.13 En este sentido,
los objetos conceptuales se generan en el curso de la actividad matemática del sujeto, un
sujeto concreto y real permeado constantemente por las concepciones de otros sujetos, de
su cultura y su historia.
La vinculación de herramientas, signos, y dispositivos lingüísticos a través de los cuales
los sujetos organizan sus acciones en espacio y tiempo y que son utilizados
intencionalmente en el proceso de objetivación, en donde signo y pensamiento concurren
para dotar de sentido a los objetos conceptuales, no son simplemente elementos periféricos
de la actividad (Vergel, 2014b). En efecto, los signos al no reducirse a su mera
representación, nos conminan a inquirir acerca del tipo de actividad que ellos permiten
realizar (Vergel, 2014b).
En la TO, se distinguen dos procesos de objetivación a saber Iconicidad y Contracción. La
Iconicidad es caracterizada como una manera en que el sujeto nota rasgos similares de una
experiencia anterior y los aprovecha en una nueva situación para orientar sus acciones.
Paralelamente, Radford (2009a) llama Orquestación Icónica a la acción de los sujetos de
reformular un gesto de alguien más, con palabras, tonos e intenciones propias, es una
orquestación en el sentido de que es más que una copia que permite alcanzar la
comprensión de algo que es nuevo.
13 Cursivas del original
22
El proceso de objetivación Contracción Semiótica se refiere a las situaciones en las que los
estudiantes requieren resumir sus acciones, razonamientos o experiencias matemáticas. Este
proceso de objetivación lleva a discriminar entre lo que se considera relevante e irrelevante,
y conduce a una concentración de significado (es decir, a un menor recurso de palabras,
símbolos o a la utilización de términos más refinados y precisos), y a un nivel más
profundo de conciencia.
De esta manera, dado que la objetivación es ese proceso de dotar de sentido a los objetos
conceptuales de manera gradual, la Iconicidad y la Contracción son procesos que nos
permiten hacer la transición progresiva de falta de claridad, a una de esas capas más claras
de objetivación (Radford, 2008).
Hemos insistido que la actividad matemática, corresponde a una labor conjunta sensible y
material, razón por la cual es posible que los sujetos movilicen más de un medio semiótico
de objetivación de manera simultánea. Esto es, según Radford (2009a) “una parte de
actividad semiótica de los estudiantes donde la acción, gesto y palabra trabajan en conjunto
para lograr la objetivación del conocimiento” (p.7), emergiendo entonces la idea de nodo
semiótico
2.2. Sobre el pensamiento probabilístico
El MEN (2006) señala que “el pensamiento probabilístico o estocástico ayuda a tomar
decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por falta de
información confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar”
(p. 64). No nos resulta ajeno, que habitualmente empleamos este tipo de pensamiento en
diferentes escenarios y contextos tanto personales como profesionales (Por ejemplo, desde
la toma de decisiones del día a día como llevar o no consigo una sombrilla, tiempo de
23
espera para tomar el autobús, pronóstico del clima, realizar una inversión económica, etc).
Es decir, que hacemos uso del pensamiento probabilístico cuando nos encontramos frente a
situaciones de incertidumbre y nos permite prever o predecir hechos o comportamientos,
dentro de un rango de posibilidades, habilitándonos para tomar decisiones conscientes,
hacer inferencias o emitir juicios.
Es así, que la distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias, constituyen
el punto de partida para el estudio de la probabilidad. Pues en palabras de Batanero lo
determinista siempre ocurre en la misma forma mientras que lo aleatorio resulta ser
impredecible (es aleatorio porque es impredecible) debido a que en ocasiones hay muchas
causas que actúan independientemente y no podemos saber lo que ocurrirá (Comunicación
personal, 22 de Octubre de 2014).
2.2.1 Sobre la emergencia de probabilidad: algunos apuntes históricos
Parece ser que la probabilidad desde sus inicios ha estado vinculada con los juegos de azar.
Según Wilhelmi (2004, p. I) la etimología de la palabra azar deriva de árabe az-zahr que
significa “el dado de jugar”. Los hallazgos de vestigios de culturas antiguas así como
descubrimientos arqueológicos muestran que culturas como la egipcia, griega y romana
participaron de la práctica de juegos de azar mediante el uso lúdico de huesos de astrágalo
(hueso del talón en los mamíferos), tabas (nombre vulgar del astrágalo), “dados” los cuales
derivan de las tabas que al desgastarse perdían su forma rectangular y se hacían cúbicas.
Según Mateos-Aparicio (2001) el azar en las civilizaciones antiguas tenía una connotación
divina. Posiblemente, como una manera de predecir el futuro, “los sacerdotes o pitonisas
utilizaban la combinación que resultaba de lanzar cuatro tabas […] en los templos de los
24
dioses como procedimiento mediante el cual la Fortuna, los Hados o el Destino podían
expresar sus deseos” (Mateos-Aparicio, 2001, p. 2).
Sin embargo, las ideas sobre el azar, vendrían a ser formalizadas mucho tiempo después
que el hombre tuviera experiencias con el azar. En el siglo XVI, Cardano escribe el primer
tratado relacionado con el mundo del azar, titulado Liber de Ludo Alae, publicado sólo
hasta 1663. En su obra, Cardano abordó la idea clásica de la probabilidad sin definirla
manera explícita mediante la relación entre el número total de resultados y el número de
resultados favorables e introdujo un rango para asignar un valor de probabilidad p entre 0 y
1, a un suceso cuyo resultado se desconoce con antelación (Fernández, 2007).
El inicio del estudio y formalización de la probabilidad parece señalarse en los albores del
siglo XVII, con las comunicaciones escritas entre Blas Pascal (1623-1662) y Pierre Fermat
(1601-1665). Pascal, matemático, físico y filósofo junto con Fermat, matemático y juez, se
dan a la tarea de resolver lógica y matemáticamente problemas relacionados con juegos de
azar, respecto a apuestas ventajosas en el lanzamiento de un dado y a métodos de reparto en
juegos inconclusos, planteados por el caballero de Meré quien era un experto jugador
perteneciente a la alta sociedad. Posteriormente, Huygens (1629-1695) entra en contacto
con Pascal y Fermat poniendo a su consideración su obra De Ratiocinis in Ludo Aleae
(1657). Así, Pascal, Fermat y Huygens se destacan por haber establecido los fundamentos
modernos de la teoría de la probabilidad desarrollada a lo largo del siglo XVIII.
Entre los intelectuales que realizaron aportaciones importantes al desarrollo conceptual del
campo de la probabilidad, se encuentra Jacques Bernoulli (1654-1705), quien estudió la
manera de calcular la probabilidad de un suceso. A continuación, estas ideas son retomadas
por Laplace (1749-1827) y desarrolla el modelo que actualmente conocemos como la
definición clásica de probabilidad, que más que una definición, ofrece un método para
25
cuantificar numéricamente el valor de probabilidad de un evento que cuenta con un número
finito de posibilidades. Durante los siglos siguientes matemáticos y estudiosos de la
probabilidad (Por ejemplo, Abraham De Moivre (1667-1754); Thomas Bayes (1702-
1761)), con sus aportes lograron que el campo se consolidara de manera definitiva.
Es claro entonces, que las ideas sobre azar y probabilidad son tan antiguos como la
civilización misma y su constitución teórica ha sido un proceso interesante donde paradojas
y situaciones de la vida real llevaron a celebres pensadores a interesarse por este dominio
conceptual. Al respecto Batanero (2006) aduce de manera concluyente que
La construcción de la teoría de la probabilidad no ha sido sencilla, y es sólo el esfuerzo
y el aprendizaje a partir del análisis de los propios errores, lo que llevó al progreso de la
misma (Batanero, Henry y Parzysz, 2005). Una mirada a la historia permite tomar
conciencia de que los objetos probabilísticos no son inmutables, sino fruto del ingenio y
la construcción humana para dar respuesta a situaciones problemáticas. (p. 2)
La cita anterior pone de presente la idea de saber probabilístico como una síntesis
histórica y cultural de actividad humana que ha sido refinada a través de
generaciones (Radford, 2013a).
Llegados a este punto, nos parece conveniente mencionar que nuestra intención con esta
breve revisión de la literatura, es hacer extensiva una invitación al lector a reflexionar en
torno a la emergencia histórica de la probabilidad (y sus aspectos conceptuales asociados),
su proceso evolutivo, la complejidad intrínseca y extrínseca que la ha acompañado y el
reconocimiento de su constitución como resultado del trabajo humano conjunto.
Los antecedentes históricos acerca de la génesis del pensamiento probabilístico, nos
conducen a pensar acerca de la relevancia de procurar escenarios para el estudio de la
probabilidad en la sala de clase. La experiencia empírica a través de la experimentación y
26
simulación (en concordancia con sus orígenes en los jugos de azar) se constituyen en una
oportunidad de aprendizaje, que brindan la oportunidad de llevar a los y las estudiantes a la
formalización y modelización matemática de fenómenos asociados con elementos
probabilísticos a través de un proceso gradual.
En efecto, creemos que favorecer contextos que ofrezcan la potencialidad de interacción
con juegos y/o con experiencias de la cotidianidad, contribuirán a que de manera
progresiva, los estudiantes se aproximen a una toma de conciencia de la incertidumbre, la
irreversibilidad y el azar presente en ellos. Es decir, notar la naturaleza no determinista de
las situaciones toda vez que no es posible concluir a priori acerca de un experimento,
aunque este, se repita muchas veces bajo las mismas condiciones dada la característica
aleatoria de los resultados.
Gal (2005, citado en Sánchez, 2009, p. 63) argumenta que “el aprendizaje de la
probabilidad permite acercar a los estudiantes a tener contacto y familiarizarse con eventos
aleatorios presentes en su cotidianidad, de allí su importancia en tanto utilidad para la
vida”. Así que resulta vital que los estudiantes se aventuren a hacer estimaciones (como
intuición inicial del azar)14, cualitativas o cuantitativas para la designación del valor de
probabilidad de eventos o sucesos. Esto es, tener la ocasión de manejar diferentes grados
de incertidumbre en una situación no determinista, que lo capaciten para la toma de
decisiones de manera razonada en este tipo de contextos, teniendo a su disposición
herramientas conceptuales y operativas.
14 Esto es, permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades de los eventos o
sucesos, así sean inicialmente un poco arbitrarias, que comienzan con asignar probabilidad 0 a la
imposibilidad o a la máxima improbabilidad de ocurrencia; asignar ½ a cualquiera de dos alternativas que se
consideran igualmente probables, y asignar 1 a la necesidad o a la máxima probabilidad de ocurrencia (MEN,
2006, p. 65).
27
Por tanto el aprendizaje de la probabilidad requiere por parte del maestro conocer y
comprender a profundidad los conceptos probabilísticos, las concepciones de sus
estudiantes acerca de ellos y explorar de manera crítica las aportaciones investigativas en el
campo a propósito de su enseñanza. En palabras de Agnelli (2009) “La Probabilidad es una
rama viva de la matemática y el avance en la construcción de su teoría amplía sus campos
de interés y sus interconexiones con otras ramas de la matemática” (p. 26).
2.2.2 Sobre la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad
Estudios en el campo de la Educación Estocástica, particularmente los referidos a la
enseñanza y el aprendizaje en el dominio del pensamiento probabilístico, muestran que las
contribuciones académicas pueden ubicarse en tres estadios o períodos a partir de la
segunda mitad del siglo XX según Jones y Thornton (2005).
El primero de ellos, corresponde al estadio Piagetano (años 50’s y los 60´s). Piaget e
Inhelder desde una mirada psicológica, centraron sus investigaciones en el desarrollo de la
estructura cognitiva del pensamiento probabilístico en estudiantes jóvenes. Si bien, su
interés no estuvo dirigido hacia una visión curricular de la probabilidad en la escuela, puede
afirmarse que sus trabajos abrieron posibilidades de indagación y estimularon estudios
posteriores sobre el fenómeno de enseñanza-aprendizaje de esta disciplina.
El período comprendido en las décadas de los años 70´s y 80´s, se conoce como el estadio
Post-Piagetano. Continuando en la línea de trabajo a nivel psicológico trazada en el estadio
anterior, emergen en esta etapa, estudios acerca de la naturaleza de las concepciones e
intuiciones con Fischbein (1975), distinguiendo estas últimas entre intuiciones primarias
(emergentes de la experiencia individuales de los sujetos en relación con su experiencia) y
secundarias (Las intuiciones secundarias como aquellas que son adquiridas a través de la
28
instrucción en la escuela). Por su parte, Tversky y Kahneman (1974) adelantaron estudios
acerca de las estrategias y heurísticas a las que recurren las personas para manifestar juicios
probabilísticos en situaciones no deterministas. Green (1983), sugirió un test acerca de las
intuiciones probabilísticas en niños, determinando argumentos correctos e incorrectos para
determinar si una sucesión era aleatoria o no.
Estas investigaciones evidenciaron una necesidad latente y ambientaron transformaciones
curriculares a nivel mundial en términos de la inclusión de las disciplinas de estadística y
probabilidad en los planes de estudios, durante los años 90´s en adelante, lo cual se
corresponde al período contemporáneo.
En esta fase, las pesquisas fueron focalizadas específicamente en temas concernientes al
fenómeno de enseñanza-aprendizaje. Watson, Collis, y Moritz, (1997), trataron de desvelar
las creencias que los estudiantes han consolidado en su experiencia previo a la escuela.
Batanero y Serrano, (1999) y Jones, Langrall, Thornton y Mogill, (1999), realizaron
propuestas a nivel de didáctica y experimentos de enseñanza para abordar aspectos
conceptuales de la probabilidad en la sala de clase. Pratt (2000) presentó posibilidades de
trabajo probabilístico mediante la incorporación de la tecnología. También, Batanero,
Henry y Parzysz (2005) ampliaron la mirada clásica de la probabilidad al incluir en sus
estudios una perspectiva frecuencial y subjetiva. Gal (2002), postuló la idea de
alfabetización cuantitativa (numérica) haciendo alusión a la estadística y a probabilidad.
Empieza a acuñarse el término cultura estadística la cual tiene en cuenta elementos tales
como los conocimientos y destrezas, el razonamiento estadístico, las intuiciones y las
actitudes.
Podemos observar que en cada uno de los períodos esbozados anteriormente, se presentan
algunas evidencias de estudios llevados a cabo por la comunidad académica en diferentes,
29
movidos por el interés de inquirir en torno a aspectos asociados a la enseñanza-aprendizaje
de la probabilidad
en edad escolar.
Estas aportaciones han contribuido para que el campo de la Educación Estocástica se
consolide como una disciplina joven con problemas propios vinculados a la estadística y la
probabilidad.
2.2.3 Sobre los Significados de probabilidad
Siguiendo a Sánchez (2013, p. 41), la noción de probabilidad se manifiesta como el
resultado del “esfuerzo por cuantificar lo aleatorio, el azar o la incertidumbre”, el cual ha
seguido un complejo proceso de evolución, en términos de formalización, al parecer debido
a los enfoques emergentes cronológicamente hablando.
Para comenzar, creemos oportuno señalar que en congruencia con la evolución de los
aspectos conceptuales vinculados a la probabilidad, es posible distinguir sus significados
históricos asociados (intuitivo, clásico, frecuencial, subjetivo, axiomático), los cuales
siguen presentes en la actualidad.
El significado intuitivo de la probabilidad, corresponde a las ideas intuitivas primarias que
los niños y adultos forman a lo largo de su vida en ausencia del estudio propiamente dicho
de la probabilidad haciendo uso explícito de frases y expresiones para asignar la
probabilidad a situaciones de incertidumbre de la vida cotidiana y los juegos de azar.
Los estudiantes ante ciertas situaciones pueden comparar la verosimilitud de sucesos con
palabras del lenguaje cotidiano (seguro, más probable, menos probable, imposible), de
acuerdo a conocimiento previo sobre las condiciones de realización del experimento. Por
ejemplo, el capitán de un equipo de fútbol habitualmente escoge sello en el lanzamiento de
30
una moneda para elegir la cancha, porque en otras oportunidades ha ganado con esta
elección, luego él, tiene la creencia que cada vez que lo haga sucederá (como un evento de
ocurrencia segura). Es decir que la probabilidad es asignada de modo cualitativo con base
en creencias individuales y carece de formalismo matemático.
El significado Laplaciano o clásico, refiere a la cuantificación numérica de la probabilidad
de un evento que puede suceder un número finito de veces con igualdad de posibilidades de
ocurrencia, a partir de una fracción que liga al numerador el número de casos favorables y
al denominador el número de todos los casos posibles (conocida como regla de Laplace).
P (A) = 𝑁𝑜.𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑁𝑜. 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Por ejemplo al lanzar de un dado cúbico de seis caras, la probabilidad del evento caer
número impar correspondería a tres casos favorables {1,3,5}, de seis casos posibles
{1,2,3,4,5,6}. Usando la regla de Laplace se obtendría:
P (Caer número impar) = 3
6
El significado frecuencial o empírico, hace uso de la idea de frecuencia relativa para la
asignación del valor de probabilidad de eventos. En este caso, se recurre a un número
considerable de ensayos de un experimento, de tal manera que se procure un acercamiento
a la probabilidad teórica, esto es, el límite al cual tiende la frecuencia relativa a estabilizarse
a un valor fijo. Esta propiedad se conoce como ley de los grandes números (establecida por
Jacob Bernouilli).
P(A) = lim𝑛→∞
𝑓
𝑛
f : número de veces que aparece A.
n : número de veces que se realiza
experimento
31
Por ejemplo podría sugerirse un experimento en el cual se lance una moneda al aire un
número grande de veces (100 o 1000 lanzamientos) bajo las mismas condiciones, para notar
que el número de caras y sellos obtenidos tenderá a estabilizarse al valor 0.5, esto es,
acercarse a la probabilidad teórica a través de la experimentación. Es decir, que si lanzamos
la moneda y obtenemos cara 529 veces, la probabilidad aproximada será de 0.529. Hoy en
día contamos con software que nos permite hacer estas simulaciones de manera rápida.
El Significado subjetivo, se apoya en la opinión personal de los sujetos, sus experiencias
previas o su intuición, y a partir de una evaluación de toda la información disponible se
asigna un valor de probabilidad al evento que se fundamenta en la creencia de posibilidad
de ocurrencia del mismo. Por ejemplo:
Consideremos […] la probabilidad de que un individuo particular viva más de 35
años. Es verdad que poseemos información estadística sobre sus posibilidades de
supervivencia a esta edad, pero hay muchas consideraciones que podrían influenciar
un cambio en esta probabilidad, si tuviésemos que estimarla. Por ejemplo, el hecho de
que el sujeto sufriera cierta enfermedad, como cáncer o sida, o que fuese piloto de
carreras. (Batanero, 1995, p. 5)
El Significado axiomático, atañe a modelos matemáticos que permiten realizar una
descripción e interpretación de los fenómenos aleatorios en la realidad, presentando un
amplio espectro de aplicación en diferentes esferas del conocimiento y campos de actividad
humana. El modelo matemático propuesto por Kolmogorov (siglo XX), fundamentado en la
teoría de conjuntos para establecer una axiomática con solidez matemática, fue aceptada
independiente al significado otorgado a la naturaleza de la probabilidad.
Definición axiomática (Canavos, 1988, p. 34):
32
Sea S cualquier espacio muestral de cierto experimento aleatorio y E cualquier evento
de éste. Se llamará función de probabilidad sobre el espacio muestral S a P (E) si
satisface los siguientes axiomas:
.
Este modelo sigue vigente en la actualidad, guardando el espacio para su tratamiento en
niveles universitarios.
En concordancia con los significados de la probabilidad y según lo argumentado por
Azcárate (2006), acerca de los distintos momentos históricos
Podemos suponer que para unas personas el azar y lo aleatorio será, por ejemplo, todo
aquello que tiene que ver con la "suerte" o el "destino" y por tanto incontrolable; para
otros simplemente el producto de nuestra ignorancia sobre ciertos fenómenos, sobre
las causas que los originan o sobre su funcionamiento, lo que conlleva su imposible
control; en algunos casos, la explicación considerada puede estar más en función de la
complejidad intrínseca de los fenómenos y por tanto, de la imposibilidad de una
predicción exacta de su resultado; etc. (p. 3.)
De este modo, resulta fundamental que el maestro tenga conocimiento acerca de los
significados históricos de la probabilidad para ser trabajados en la escuela, pues presentan,
en palabras de Batanero (Batanero, 2005, p.260) “el carácter multifacético de la
probabilidad de ahí que su enseñanza no puede limitarse a una de estas diferentes
perspectivas, en razón de que están ligadas dialécticamente”. Toda vez, que cada uno de los
significados pone de relieve variadas características asociadas a la probabilidad (ver tabla
1. P (E) 0.
2. P (S) = 1.
3. Si, para los eventos E1, E2, E3,…..,
Ei Ej = para toda i ≠ j, entonces
P(E1 P(E1) + P(E2) + P(E3) + ……
33
1) y esto a su vez determinaría sus campos de acción en términos de utilidad y pertinencia
de acuerdo al contexto.
Significado Campos de
problemas
Algoritmos y
procedimientos
Elementos
lingüísticos
Definiciones y
propiedades
Algunos
conceptos
relacionados
Intuitivo
Sorteo
Adivinación
Manipuladores de
generadores de azar: cartas,
dados…
Lenguaje ordinario Opinión impredecible,
creencia
Suerte
Destino
Clásica
Cálculo de
esperanzas o
riesgos en
juegos de azar
Combinatoria
Proporciones
Análisis a priori de la
estructura del
experimento
Listado de
sucesos
Formulas
combinatorias
Cociente de casos
favorables y
posibles
Equiprobabilidad
de sucesos simples
Esperanza
Equitatividad
Independencia
Frecuencial
Estimación de
parámetros en
poblaciones
Registros de datos
estadísticos a posteriori
Ajuste de curvas
matemáticas
Análisis matemático
Simulación
Tablas de
gráficos
estadísticos
Curvas de
densidad
Tablas de
números
aleatorios
Tablas de
distribuciones
Límite de las
frecuencias relativas
Carácter objetivo
basado en la
evidencia empírica
Frecuencia
relativa
Universo
Variable
aleatoria
Distribución de
probabilidad
Subjetiva
Mejora del
conocimiento
sobre sucesos
inciertos,
incluso no
repetibles
Teorema de Bayes
Asignación subjetiva de
probabilidades
Expresión de la
probabilidad
condicional
Carácter subjetivo
Revisable con la
experiencia
Probabilidad
condicional
Distribuciones a
priori y a
posteriori
Axiomática
Cuantificar la
incertidumbre
de resultados
en
experimentos
aleatorio
abstractos
Teoría de conjuntos
Álgebra de conjuntos
Teoría de la medida
Símbolos
conjuntistas
Función medible Espacio
muestral
Espacio de
probabilidad
Conjuntos de
Borel
Aunque presentamos el amplio espectro en torno a los significados históricos de la
probabilidad y sus principales elementos característicos documentados en la literatura, es de
mencionar que para efectos de nuestra propuesta nos concentramos en los significados de
probabilidad intuitivo y clásico para la adaptación de las tareas y análisis de la actividad
desplegada a propósito de las mismas. Tomamos esta decisión con el propósito de acotar
nuestro campo de indagación, considerando que estos fueron los primeros significados que
Tabla 1. Elementos que caracterizan los diferentes significados de probabilidad (Batanero 2005)
34
aparecieron en la historia de la probabilidad y además son los que con mayor fuerza se
trabajan en la escuela.
Destacamos además que nuestro foco analítico se constituye en observar con detenimiento
cuáles medios de expresión (verbales, escritos, gestuales, entre otros) son movilizados por
los estudiantes durante la actividad matemática, y cómo estos son empleados con un destino
de comunicación de ideas matemáticas asociadas a la probabilidad (azar, incertidumbre,
casos o chances, etc.), dando forma tangible y corpórea al pensamiento probabilístico en la
labor conjunta de estudiantes y profesor ambientada por las tareas. Nos interesa rastrear
cómo es que aparecen esas formas de pensar acerca del objeto probabilidad,
conceptualizado, desde la TO, como una síntesis de formas cultural e históricamente
codificadas de acción, reflexión y pensamiento que se encuentran a la base de situaciones
no deterministas.
2.2.4 Algunas definiciones consideradas en el estudio
Para efectos de la selección, adaptación de las tareas, y el análisis de la actividad
matemática de los estudiantes, hacemos explícito el significado de los siguientes términos
(Canavos, 1988; Batanero, 2003).
Matemáticamente, la probabilidad sería cualquier función medible normada de un algebra
de sucesos en el intervalo [0, 1].
Un evento, es un grupo de resultados contenidos en el espacio muestral, cuyos miembros
tiene una característica común.
Eventos mutuamente excluyentes, son eventos que no tiene resultados comunes, esto es que
no pueden aparecer simultáneamente.
Eventos simples, son los que están formados por un solo resultado del experimento.
35
Eventos compuestos, son los que están formados por dos o más resultados del experimento;
es decir, por dos o más sucesos elementales.
Evento seguro, es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por
todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Se asigna valor numérico 1.
Eventos posibles, son los que tienen posibilidad de suceder dentro de un rango específico.
Se asigna un valor numérico real entre 0 y 1.
Evento imposible, es el que nunca se verifica. Se asigna valor numérico 0.
Espacio muestral, corresponde al conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento de tipo aleatorio. Este puede ser discreto (si su resultado puede ponerse en
correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos) o continuo (si sus
resultados consisten en u intervalo de número reales).
Regla de Laplace: Corresponde al cociente entre el número de casos favorables del evento
observado en relación con el número de casos posible.
Eventos equiprobables: Cuando los eventos del espacio muestral tienen igualdad de
ocurrencia en el experimento, esto es, tienen la misma probabilidad. Esta no puede
separarse de la simetría estadística (confirmada desde la experiencia a través de registros
estadísticos)
36
Capítulo 3
Metodología
En el presente capítulo exponemos los referentes metodológicos considerados en el diseño,
planeación y puesta en marcha de nuestro estudio. Atendemos por un lado a la pregunta de
investigación y objetivos propuestos y de otro a los constructos teóricos presentados líneas
atrás.
3.1 Diseño metodológico
Proyectamos nuestro diseño metodológico fundamentado en un enfoque de investigación
cualitativa de carácter descriptivo e interpretativo. Este enfoque, nos permitió discriminar
elementos para la interpretación, descripción y análisis de los procesos de objetivación
desarrollados por estudiantes de grado décimo durante la actividad matemática manifiesta
al abordar tareas de tipo no determinista sobre asignación de probabilidad bajo los
principios de la TO.
De acuerdo con Ramírez, Arcila, Buriticá, y Castrillón (2004), el enfoque cualitativo
presenta procedimientos flexibles, orientados a la exploración y el descubrimiento. Así, a lo
largo de la investigación fue posible añadir o ajustar instrumentos y las formas en que
podrían ser recogidos los datos, de manera que aportaran información en procura de
establecer comprensiones acerca del fenómeno que nos propusimos observar.
De manera que ubicados en este enfoque de investigación, el diseño metodológico que
sugerimos, corresponde a la adaptación del modelo propuesto por Radford (2010a),
manteniendo su naturaleza cíclica, ajustada por supuesto, a nuestras necesidades (figura 2).
37
Figura 2. Diseño metodológico
Contemplamos dentro del diseño cuatro fases. Esta estructuración, nos permitió organizar y
planificar nuestras acciones en tiempo y espacio conducentes a la responder la pregunta
orientadora y a la consecución de los objetivos de investigación.
3.1.1 Fases del diseño
A continuación presentamos la descripción de cada una de las fases del diseño
metodológico propuesto.
Fase I: Revisión y análisis documental
Esta fase, en particular, resultó ser transversal a las demás pues mediante la revisión de la
literatura disponible logramos delimitar el campo de acción respecto a los antecedentes,
orientaciones teóricas y metodológicas que demandaba la investigación de acuerdo a como
avanzábamos en el proceso.
Dicha revisión, nos posibilitó establecer categorías analíticas a priori, esto es, categorías
teóricas (Tabla 2), que resultaron útiles para la selección y adaptación de las tareas (en
concordancia con las orientaciones teóricas) así como para el análisis de la labor conjunta
revelada en el momento de su implementación, con relación a los medios semióticos de
objetivación y su evolución (Radford 2006, 2008, 2010).
38
Nuestra unidad de análisis se constituyó en la actividad matemática de los estudiantes en
torno al despliegue de medios de expresión al encontrarse en el contexto de tareas no
deterministas en términos de asignación de probabilidad de eventos.
Fase II: Selección y adaptación de las tareas
Para explicitar los alcances de nuestra propuesta (como hemos mencionado en ciertos
apartados del escrito), nos ubicamos en los significados intuitivo y clásico de la
probabilidad. Teniendo como referente nuestros intereses investigativos, consideramos
tareas que resultaron susceptibles de ser adaptadas, enmarcadas en el escenario del juego
por la génesis histórica de la probabilidad, pues como señala Fernández (2007),
El término probabilidad es sumamente complejo debido al distinto uso que se hace de
él, tanto en el lenguaje común como en el de las ciencias, incluyendo los campos de
las matemáticas y la filosofía. El mismo concepto de probabilidad puede tener una
doble vertiente, epistemológica y aleatoria, pero ambas aparecen sugeridas por un
fenómeno muy antiguo: los juegos de azar. (p. 1)
CATEGORÍAS TEÓRICAS PRELIMINARES
Medios semióticos de
objetivación
(MSO)
Gesto
Conteo
Actividad perceptual
Lenguaje (escrito – oral)
Señalamientos
Inscripciones
Ritmicidad
Uso de artefactos
Nodo semiótico
Procesos de
Objetivación
(PO)
Contracción semiótica
Iconicidad
Figura 3. Categorías de análisis.
Figura #. Categorías de análisis
Tabla 2. Categorías teóricas MSO - PO
39
Posterior a la selección de cada tarea, procedimos a su adaptación y diseño de preguntas
enfocadas a la comparación cualitativa de las probabilidades propiciando un escenario
donde los estudiantes movilizaran contenido matemático que pudiera hacerse evidente
mediante la discusión, compartir argumentos, escuchar y ser escuchado, enunciación de
formas culturales prototípicas de expresar probabilidad (expresiones verbales, gestos,
símbolos numéricos entre otros).
Con el propósito de validar las tareas en términos de determinar su pertinencia a nivel
didáctico y disciplinar, las sometimos a juicio de experto15 (Conversación personal, mayo
26 de 2015). Para este fin contamos con los aportes y retroalimentación de un maestro
externo a la investigación. A continuación presentamos sus observaciones principales:
• Todas las tareas pueden ser realizadas con la población que se propone. Son claras y están
acorde a la edad de los estudiantes.
• Existe una organización y sistematización de los juegos.
• Determinar desde dónde se enfoca el razonamiento probabilístico en relación con los
resultados emergentes la intervención en aula de las tareas.
• Tener cuidado con el volumen de información que se recolecte pues podría dificultar el
análisis.
Finalmente, como producto de los aportes del experto se implementaron tres tareas que
giraron en torno a la asignación de probabilidad de eventos simples en situaciones de tipo
no determinista vinculado a generadores de azar (monedas, dados, urnas), las cuales
15 Para el juicio de experto contamos con la colaboración del Doctor Pedro Gerardo Rocha Salamanca,
experto en Educación Estadística y miembro del grupo de investigación CRISÁLIDA de la Universidad
Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá – Colombia.
40
buscaban rastrear evidencias de ciertas formas de pensamiento cultural e históricamente
aceptadas en relación con los elementos relacionados en la tabla 3.
Orientamos nuestra búsqueda y selección de tareas relacionadas con juegos de azar, en
consonancia de un lado con los orígenes de carácter lúdico, empírico y social de la
probabilidad (Wilhelmi, 2004; Fernández, 2007) y de otro por su presencia en la
cotidianidad (Batanero, 2013). De este modo, las tareas “cara y sello” y “¿Quién llega
primero?” (figura 3), corresponden a una adaptación de Martin (2009). 16
Creimos pertinente que en las dos tareas se privilegiara la manipulación concreta de
generadores de azar (moneda y dado respectivamente), con la intención de originar
16 Maestra del equipo de contenido - Área Matemática en Portal Educativo de la ANEP "Uruguay Educa"
(www.uruguayeduca.edu.uy).
Adaptación de las tareas
Tareas
propuestas
Tarea 1: Cara y sello Tarea 2: ¿Quién llega primero? Tarea 3: Blanco y negro
Elementos
Teóricos
• Eventos de probabilidad simple.
• Experimentación, simulación,
formulación de predicciones y
conclusiones.
• Azar (no reversibilidad) y variabilidad.
• Tipos de suceso (seguro, posible e
imposible).
• Posibilidad, grado de creencia
(cualitativa – cuantitativa).
• Experimento aleatorio y suceso
(resultado) aleatorio.
• Regla de Laplace
• Actividad matemática de los estudiantes
en términos de labor conjunta.
• TO: MSO Y PO en tareas de asignación
de probabilidad (recurso a gestos,
palabras, artefactos,…).
• .
Figura 4. Ficha informativa de las tareas
Tabla 3. Elementos considerados para la adaptación de las tareas
41
secuencias de resultados aleatorios, que reflejaran la variación, la no reversibilidad y la
imposibilidad de predicción de los eventos presentes en ellas.
Para el acercamiento a las tareas a través del juego, brindamos de modo inicial a los
estudiantes las reglas y el material necesario con que se llevaría a cabo la experiencia y su
correspondiente registro. Posterior al juego, se propuso responder algunos interrogantes a
propósito de la experiencia, encaminando la movilización de contenido matemático en
torno al objeto probabilidad, de acuerdo a las maneras culturalmente aceptadas de pensar,
actuar y referir probabilidad y sus características asociadas, las cuales podrían expresarse
de modos variados. Con ello, procuramos que los y las jóvenes explicitaran sus acciones e
intenciones para establecer el valor de probabilidad de ocurrencia de los eventos, al permitir
su comparación cualitativa o cuantitativa bajo una dinámica de discusión argumentada
Figura 3. Tomado y adaptado de Martin, (2009).
42
Llegados a este punto, destacamos que si bien las tareas estuvieron pensadas con el fin de
responder la pregunta y dar cuenta de los objetivos de investigación, estas también
estuvieron preñadas de contenido matemático seleccionado a nuestro criterio.
Las tareas en mención, buscaban abordar situaciones no deterministas en relación con la
asignación del valor probabilidad a eventos. En la tarea “cara y sello”, se esperaba una
distinción de la equiprobabilidad presente y de la naturaleza mutuamente excluyente de los
eventos, toda vez que los resultados no podían ocurrir de manera simultánea. Mientras que
en la tarea ¿Quién llega primero?”, la equiprobabilidad estaba asociada a la caída de
cualquiera de las caras del dado, en donde los eventos resultaban ser mutuamente
excluyentes. Sin embargo, en esta tarea, aparece una designación de carriles con
especificaciones de avance para cada uno de ellos, en este caso, las probabilidades
asignadas a los carriles al no ser equiprobables permitían su comparación para tomar
decisiones en el juego.
En ambas tareas contemplamos la posibilidad de que los estudiantes con base en sus
conocimientos previos y en la experimentación, formularan predicciones acerca del tipo de
evento (seguro, posible e imposible), establecieran implícita o explícitamente el espacio
muestral y posiblemente el recurso a la regla de Laplace para expresar probabilidad sin
descartar otras posibilidades de expresión.
De acuerdo al tipo de tarea sugerido, esperábamos que en la actividad conjunta de los
estudiantes se suscitara la recogida organización y análisis de datos producto de la
experiencia empírica, identificación de la frecuencia absoluta de cada evento, distinción
entre casos favorables, casos no favorables y casos totales en cada tarea, entre otros.
43
Figura 4. Tarea 3 Tomado y adaptado de Sánchez, y Valdez, (2013).
La tercera tarea “Blanco y negro”, corresponde a la adaptación de una tarea propuesta por
Sánchez (2013), y las preguntas subsiguientes tuvieron la intención de inquirir a los
estudiantes frente a una situación no determinista en dónde a diferencia de las tareas
anteriores los jóvenes no manipularon material concreto y el análisis de la misma no resulto
ser producto de la experiencia ya que la tarea contaba con una representación icónica de la
situación. Esto con el fin de observar si los MSO movilizados presentaban diferencias
respecto a las tareas “cara y sello” y “¿Quién llega primero”.
La primera pregunta de la tarea, tenía la intención de rastrear si los estudiantes lograban
establecer el valor de verdad de la afirmación allí expuesta, a través de argumentos
(matemáticos y no matemáticos), mientras que en la segunda se buscaba establecer la
comparación de las probabilidades usando diferentes medios expresarla (representaciones
numéricas, palabras, dibujos).
44
De manera análoga a las tareas anteriores, en la tarea “Blanco y negro”, también queda
implícita la naturaleza mutuamente excluyente de los eventos allí dispuestos, y la idea de
equiprobabilidad hace referencia a la comparación de la probabilidad, como un rango de
posibilidad favorable vinculado a la ocurrencia del evento sacar ficha negra en la urna A y
B, en términos de equivalencia.
En síntesis, la selección y adaptación de las tareas, se constituyeron en acciones teóricas
pensada en el marco del significado intuitivo y clásico de la probabilidad (dado que fueron
los primeros significados emergentes en la historia de la probabilidad), con el fin de llevar a
cabo un estudio exploratorio que nos permitiera un primer acercamiento a esas formas de
pensar acerca de la probabilidad estableciendo así limites a nuestro campo de indagación.
Podemos afirmar que con y a través de las tareas, se procuró que en la actividad matemática
de los y las jóvenes, se reflexionara a partir de su interacción en términos de colaboración y
cooperación en ese esfuerzo conjunto de objetivación del saber (en nuestro caso asociado a
la probabilidad), que nos ayudara a encontrar evidencias de los MSO (representaciones
semióticos escritos, lingüísticos y corporales) a los que posiblemente recurrieran los
estudiantes al trabajar en aula con este tipo de situaciones y su posible convergencia en
términos de alimentar los PO.
Fase III: Implementación de las tareas y recolección de datos
Realizamos nuestro estudio con una población de 24 estudiantes de grado décimo (15-17
años), pertenecientes a una institución educativa de carácter privado con jornada única
ubicado en la ciudad de Bogotá (Colombia).
La institución educativa ubicada al sur de la ciudad ofrece servicio educativo desde kínder a
grado undécimo, en modalidad académica. Creemos pertinente mencionar, que grado
décimo es el primer grado de la educación media, razón por la cual este grupo de
45
estudiantes en otros momentos de su escolaridad ha tenido acercamientos al trabajo
probabilístico en el aula de clase, según lo contemplado en los planes de estudio
institucionales y lo dialogado con los maestros del área de matemáticas.
La intervención de aula (respecto a las tareas mencionadas en la fase II) con los estudiantes
la llevamos a cabo durante tres sesiones entre los meses de julio y agosto de 2015, cada una
con una duración de dos horas clase (equivalente a 100 minutos), las cuales fueron dirigidas
y acompañadas por la autora de este estudio. Posteriormente, a través de entrevistas
focalizadas basadas en las tareas,17 buscamos establecer claridades acerca de las maneras de
proceder (particularmente en las hojas de trabajo) de los y las jóvenes, los argumentos
utilizados y las justificaciones emergentes que desvelaran de algún modo las intenciones de
sus acciones.
Las tareas fueron planteadas para la totalidad de los estudiantes del curso (21 estudiantes),
debido a que no fue posible trabajar únicamente con un grupo reducido de estudiantes en un
espacio diferente al aula de clase.
Para cada sesión concebimos los tres momentos de la actividad del salón de clases
propuestos por Radford (2006) a saber: 1) Trabajo en pequeños grupos, en donde los
estudiantes se acercan a la tarea y responden de manera conjunta las preguntas propuestas
para la misma, 2) Intercambio entre pequeños grupos, a través de los cuales se reunieron
dos grupos para compartir las respuestas a los cuestionamientos de la tarea, 3) Discusión
general, donde organizados alrededor del salón (en media luna) compartimos resultados,
17 Las entrevistas basadas en tareas hacen posible enfocar la atención de la investigación de manera más
directa en los procesos de los sujetos que abordan las tareas de matemáticas, y no sólo en los patrones de
respuestas correctas e incorrectas en los resultados que producen (Goldin, 2000, p. 520).
46
toda vez que según los principios de la TO la importancia de la interacción social radica en
que esta resulta ser consustancial del aprendizaje.
Desarrollamos las sesiones dentro del aula que los estudiantes usualmente ocupan (el
colegio cuenta con salones fijos por curso) y fueron grabadas en video. Reiteramos que la
intervención de aula estuvo dirigida por la autora, ya que en ese momento era profesora
titular de matemáticas de grado décimo en la institución donde recolectamos los datos de
investigación.
Recolección de la información: En coherencia con lo anterior frente a la consecución de la
información tuvimos en cuenta la actividad matemática de los estudiantes desde diferentes
fuentes como producción escrita en las hojas de trabajo de los estudiantes, video grabación
de la sesión y entrevistas basadas en la tarea; ya que éstos permitieron recolectar
información variada del mismo fenómeno con el propósito de contar con información
suficiente y necesaria para nuestro estudio.
A continuación presentamos el esquema de recolección de la información (figura 5)
relacionado con nuestro interés de investigación siguiendo a Miranda et. al. (2007) (citado
por Vergel 2014a, p.53).
Figura 5. Proceso de recolección de la información
RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
Grabación
en video
Hojas de
trabajo
Transcripción
de episodios
Análisis
47
Grabación en video: Producto de la implementación en aula de las tres tareas propuestas y
la entrevista se recolectaron cuatro videos (tres de las tareas y uno de entrevistas) los
cuales aportan evidencia del trabajo en pequeños grupos y de la socialización general. Las
entrevistas a las que hacemos mención estuvieron relacionadas con las tareas18.
Hojas de trabajo: Este insumo físico fue recogido por nosotros en cada sesión y
posteriormente escaneamos de ellas aquellas partes que aportaban información al estudio
como evidencia de los registros escritos.
Transcripción de episodios: Con el propósito de reducir y seleccionar la información
recolectada a través de videograbación, identificamos apartes del video en donde se
presentara movilización de MSO y ciertos indicios sobre el desarrollo del PO relacionados
con formas de acción y reflexión asociadas al pensamiento probabilístico.
Seleccionamos y transcribimos apartes o secciones del material capturado en video que a
nuestro juicio y en consideración de los elementos teóricos, resultaron relevantes de
acuerdo a nuestros objetivos de investigación (Radford y Sabena, 2015b). Los
denominamos “episodios”. Cada uno de ellos está conformado por la transcripción de
líneas discursivas denotadas por la letra L, un número que las acompaña para indicar el
orden de intervención de los sujetos en la conversación y el nombre de quien interviene.
En algunos casos se usan corchetes para describir las expresiones corporales movilizadas
las cuales aparecen en cursiva para diferenciarlas de las expresiones orales.
18 Según Goldin (2000), las entrevistas de este tipo tienen un doble propósito de: (a) observar el
comportamiento matemático, por lo general en un contexto de resolución de problemas, y (b) las inferencias
de las observaciones acerca de los procesos cognitivos del individuo que enfrenta la tarea, es decir, permiten
ir más allá de lo escrito en términos de facilitar la comprensión de lo realizado por los estudiantes.
48
También se anexan imágenes de apoyo como evidencia del rastreo de medios semióticos de
objetivación, procesos de objetivación y nodos semióticos, desde el componente perceptual
en contraste con las líneas discursivas.
Análisis: Aquí presentamos el análisis de la información suministrada por los instrumentos
utilizados en la investigación, rastreando aspectos de convergencia en coherencia con los
objetivos y pregunta de investigación en el marco de los principios de la TO y el
pensamiento probabilístico.
Constitución de datos: Para la constitución de los datos de investigación, contrastamos
diferentes fuentes de información cuya elección se constituyó en una acción teórica, toda
vez que el rastreo de formas de pensamiento probabilístico se fundamenta en los elementos
teóricos de la TO. En particular la actividad matemática de los y las jóvenes fue susceptible
de interpretación a partir de las categorías analíticas respecto a la movilización de MSO y al
desarrollo de los PO alrededor de tareas de tipo no determinista, identificada y analizada en
las transcripciones de los episodios seleccionados, en la actividad kinestésica y gestual, la
información contenida en las hojas de trabajo y en las entrevistas realizadas a los
estudiantes basadas en las tareas que fueron registradas en video.
Para ello, concentramos nuestra mirada en los grupos de trabajo y estudiantes que durante
la labor desplegaron variada actividad semiótica en procura de rastrear formas de
expresión, acción y reflexión relacionadas con desarrollo del pensamiento probabilístico.
Con el fin de condensar la información que considerábamos relevante optamos por
registrarla en una matriz (Tabla 4). A continuación presentamos los ítems dispuestos en
ella.
Nombre de la tarea: Corresponde al nombre asignado a la tarea en cuestión.
49
Evidencia - Tiempo: Corresponde a los segmentos del video que consideramos relevantes
que proporcionaron evidencia para ser analizada y reportada en el escrito.
MSO – PO: Medios semióticos de objetivación y procesos de objetivación emergentes
durante la actividad matemática de los estudiantes.
A continuación presentamos a manera de ejemplo (figura 6) parte de un ejercicio de
organización y sistematización de la información de uno de los episodios seleccionados:
Episodio 2: Es lo mismo [4:04-6:03]
Tarea Evidencia –
Tiempo
Codificación de MSO – PO
Cara y sello
Episodio 1 (Brujería)
[2:10 – 2:32]
Episodio 2 (Es lo mismo)
[ 4:04-6:04]
Episodio 3 (Usando
números)
[ 6:11-7:15]
MSO corporeizados, lengua natural Señalamientos con los dedos, con el lápiz - lengua natural (descripciones exhaustivas o poco claras) - gesto rostro - movimiento corporal.
MSO palabras clave, uso de deícticos Descripción uso de palabras clave, deícticos temporales y espaciales
MSO representaciones numérica Uso de porcentajes, fracciones, decimales
Nodo semiótico (NS) sincronía de varios registros
Aparición de varios MSO al mismo tiempo (unos se apoyan en otros)
Evocación de un MSO para usarlo de nuevo
Traer a la experiencia formas de actuar en situaciones pasadas
Concentración de significado
Economía de recursos, expresiones refinadas
Foto3
Figura 6. Ejemplo transcripción e identificación de MSO y PO
Tabla 4. Criterios para la sistematización de la información de los episodios.
50
Fase IV: Análisis e interpretación de la información
El análisis es producto de la triangulación de los datos (producción en las hojas de trabajo
de los estudiantes, video grabación, entrevistas basadas en las tareas) basada en una
interpretación de la teoría con el fin de establecer conclusiones respecto a la convergencia
de resultados. Los medios semióticos de objetivación se rastrearon y analizaron en los
fragmentos (video grabados e instrumentos) seleccionados durante el desarrollo de las
tareas.
Bisquerra (1989, citado en Arias, 2009), menciona que en la triangulación de datos se
recolectan los datos desde diversas fuentes de información para su contrastación,
considerando las dimensiones: temporal (se recogen los datos de distintos momentos o
fases para revisar la constancia de los resultados), espacial (se comparan datos recogidos en
diferentes lugares para confirmar los resultados) y personal (se recurre a distintos sujetos
para comprobar el sostenimiento y validez de los datos). Para el caso de esta investigación
tuvimos en cuenta la dimensión temporal y la dimensión personal, en tanto para la primera
se presentaron distintos momentos de recolección de datos, por ejemplo, producciones de
Ta
rea
1:
Ca
ra y
sel
lo
Evid
en
cia
: E
pis
od
io 2
“E
s lo
mis
mo”
[ 4:0
4-6
:04
]
Codificación de MSO – PO
MSO corporeizados, registro lengua natural: Movimiento de las manos y los dedos, registro lengua natural, Gesto
rostro, movimiento de la cabeza, contracción de los hombros, Intercambio de miradas
MSO palabras clave, uso de deícticos (espaciales, temporales): Frecuente, lo mismo, suerte, la misma probabilidad
de veces, nivelado, equilibrado, cualquiera puede ganar
MSO registro numérico (razones, porcentajes, decimales): No hay evidencia explícita
Nodo semiótico (NS) sincronía de varios registros: L5, L18, L20-21
Evocación de un MSO para usarlo de nuevo: Uso de tablas para registrar el resultado del juego (muestra de
evocación de organización de datos)
Concentración de significado : No hay evidencia
Tabla 5. Ejemplo de sistematización de la información. Episodio 2 “Es lo mismo”
51
los estudiantes en hojas de trabajo y posteriormente entrevistas basadas en las tareas. La
segunda dimensión la evidenciamos en las diferentes producciones matemáticas de distintos
estudiantes. Dado que el proceso de recolección de la información se llevó acabo en la sala
de clase, aunque en distintas condiciones, no consideramos la dimensión espacial en
términos de lo planteado por Bisquerra (1989).
52
Capítulo 4
Análisis multimodal
Como anunciamos en la metodología, nuestra unidad de análisis corresponde a la actividad
matemática de los estudiantes. Así que, una vez constituidos los datos de investigación,
procedimos a su análisis siguiendo la metodología propia de la TO en contraste con las
ideas matemáticas emergentes relacionadas con el pensamiento probabilístico.
Dotamos de sentido la información al diferenciar la información pertinente de la que no era,
en términos de la pregunta de investigación. En este sentido, y siguiendo ideas de Radford,
Edwards y Arzarello (2009), planteamos que en el acto de conocer se articulan recursos
cognitivos, físicos y perceptuales al abordar ideas matemáticas, desde la concepción
multimodal del pensamiento humano, como vehículo de comunicación de significados.
4.1. Descripción
Nuestros análisis siguieron la metodología propuesta desde la TO, denominada
“metodología multi-semiótica”, que considera, por un lado que el aprendizaje puede ser
definido como un proceso semiótico social en donde “acciones sensuales, perceptuales,
kinestésicas, gestuales, lingüísticas y simbólicas” (Radford, 2015d, p. 561), emergen en la
actividad siempre en movimiento. De otro lado, brinda una explicación psicológica de los
signos (que pueden ser escritos y orales, como también signos encarnados como los gestos
y la postura del cuerpo). Aquí se pone de relieve, cómo los signos significan y cómo se
constituyen en herramientas de reflexión que permiten a los individuos planificar sus
acciones (Radford y Sabena, 2015b) en tiempo y espacio.
53
De manera que rastreamos las señales que evidenciaban “procesos de significación en los
que se lanzan los estudiantes cuando tratan de comprender formas de razonamiento
matemático histórico y culturalmente constituido” (Radford, 2013c, p.13), en nuestro caso
particular, asociadas a tareas no deterministas.
Enfatizamos que nuestro propósito principal, se constituyó en el análisis de la articulación
de los recursos semióticos movilizados por los estudiantes durante la actividad matemática,
lo que en términos de Vergel (2014a, p.111) llamaríamos “un espectro de recursos
semióticos que se movilizan sincronizadamente o no”.
Es más, considerando la actividad matemática en términos de labor conjunta entre alumnos
y profesores como intersubjetiva, sensual y material, implica en palabras de Nemirovsky
(2003, citado en Arzarello, 2006, p. 282) que "la comprensión de un concepto matemático
en lugar de tener una esencia de definición, abarca diversas actividades sensorio motoras,
que se vuelven más o menos activo, dependiendo del contexto".
Cabe señalar que los episodios que seleccionamos fueron analizados bajo una concepción
micro genética siempre que observamos en detalle y en ciertos espacios de tiempo la
movilización de MSO (Radford, 2015b) (registro de lengua natural, gestos, expresiones
faciales, manipulación de herramientas, etc.). Rastreamos los recursos semióticos
desplegados en la labor conjunta de estudiantes y profesor que nutrieran a su vez los PO
desarrollados, en procura de aproximar una interpretación de lo ocurrido en contraste con la
TO y elementos del pensamiento probabilístico, frente a cómo se produce la emergencia de
estas formas de pensamiento en la labor.
54
De manera que tanto los elementos introducidos en el marco teórico y en el diseño
metodológico, así como las ideas que sustentan la pertinencia de un análisis de tipo
multisemiótico en nuestro estudio, nos facultan para presentar los análisis que siguen.
4.2 Análisis de la actividad matemática
4.2.1 Tarea 1: Cara y Sello
Presentamos a continuación el análisis del despliegue de recursos semióticos de estudiantes
de grado 10° asociados a la tarea,19 la cual concebimos desde el juego por la génesis
histórica de la probabilidad (Fernández, 2007).
A propósito de lo anterior, compartimos las ideas en relación con el juego de Huizinga
(1943) y Argemí (1991) (citados en Rocha, Vergel y León, 2006, p. 329) quienes asignan a
las conductas de juego un papel muy importante en la constitución de grupos sociales por
considerarlas generadoras de culturas, pues a partir del juego se promueven formas de
interacción como acción conjunta, en tanto se propician las condiciones para la emergencia
y seguimiento de reglas de acción social explicitas o no, que han de ser acordadas y
cumplidas (respetar el turno, ceder el turno) y de acción material como otra forma de
regular el comportamiento de los jugadores dentro del juego (manipulación de fichas,
monedas, entre otros. Figura 7), lo cual nos parece se encuentra en concordancia con los
planteamientos de la TO referidos a que la cultura suscita modos de acción y de reflexión
en el mundo pues “vivir en una cultura, crecer en ella, implica una práctica especial a través
de la cual sensibilidades perceptivas, manuales e intelectuales son desarrolladas” (Radford,
2004a, p.8).
19 La tarea trata de eventos mutuamente excluyentes e indaga por la idea de equiprobabilidad.
55
Dado que la tarea giró en torno a un juego de lanzamiento de monedas y su posterior
análisis, la actitud de los estudiantes hacia el mismo fue de compromiso, apertura y
confianza.
Con relación a los registros de juego de las partidas llevado por los estudiantes, pudimos
observar conteo sistemático, uso de representaciones tabulares y pictóricas, uso de
artefactos. En la figura 8 presentamos apartes del instrumento físico de algunos estudiantes
en los cuales aparecen inscripciones organizadas de forma tabular, estas fueron acordadas
por cada pareja evidenciando diversidad en la producción. En la foto 1 se hace uso de
palabras culturalmente asociadas a los juegos de azar “ganar y perder”. En las foto 2 y 3
aparece la misma idea del registro anterior sin embargo las inscripciones varían en ellas
ganar es asociado a la inscripción “chulo” y número “1” mientras que perder está asociado
a la inscripción “equis” y número “0”20.
Para Steinbring (1991, citado en Azcárate, 2006) son
Dos los elementos básicos para el desarrollo del pensamiento estocástico: los medios
de representación de los datos obtenidos en las situaciones y la actividad que con ellos
se realice. […] un elemento que refleja las posibles interacciones entre el modelo
20 Estas ideas e intenciones fueron corroboradas a través de entrevistas realizadas a los estudiantes en relación
con su producción en las hojas de trabajo.
Figura 7. Interacción durante el juego
56
matemático y el caso individual es su modelización mediante los diferentes medios de
representación, como tablas o gráficos. (p.5)
Así pues, las tablas parecen ser evocadas por los estudiantes como una manera de organizar
la información suministrada durante el juego. Esto es evidencia de un proceso de iconicidad
desarrollado por los estudiantes mediante la utilización de un esquema trabajado en otro
momento de su escolaridad que transfieren a esta nueva situación. En palabras de Radford
(2008, p. 94), la iconicidad “es el proceso a través del cual los estudiantes se basan en
experiencias previas para orientar sus acciones en una nueva situación”.
En la foto 4, a través del uso de artefactos culturales como el celular, los estudiantes
sistematizaron los resultados del juego en cada partida, posteriormente esta información
consignó en la hoja de trabajo a manera de registro escrito como forma de comunicación
pictórica respecto al jugador que ganó cada partida.
Creemos que tanto en el caso del uso del celular así como el recurso a organizaciones
tabulares resultan ser parte del conjunto de los recursos disponibles en el contexto de las
múltiples acciones semióticas (Radford, et al., 2009) que resultan coadyuvar en este caso en
un proceso de sistematización y conteo en el registro del juego.
Foto 1 Foto 2 Foto 3
Figura 8. Representaciones tabulares tarea 1
Foto 4
57
Esto es, según Radford (2006, 2012) que los artefactos vienen a ser parte de la manera en
que llegamos a pensar y conocer; pues los artefactos encarnan formas particulares de
cognición y comunicación. Los artefactos llevan consigo una inteligencia de la actividad
cognitiva de generaciones pasadas la cual solo puede ser reconocida a través de la actividad
conjunta.
De ahí que las acciones realizadas por los estudiantes en los registros del juego llevan
consigo una carga cultural en relación a la organización de datos como una manera de
acercarse a la experiencia. El objeto de la actividad parece revelarse progresivamente en su
conciencia manifestando ciertas características asociadas al pensamiento probabilístico
como las secuencias aleatorias producto de la manipulación del generador de azar, la
incertidumbre frente a la imposibilidad de predicción y a la toma de conciencia respecto a
la no reversibilidad en este caso del lanzamiento de la moneda.
Veamos ahora algunas producciones escritas de los estudiantes a propósito de las preguntas
a) y b) de la tarea:
La experiencia vivida por los estudiantes en el juego, fue descrita mediante del uso la
lengua natural. Su emergencia se dio al momento de responder los cuestionamientos en
relación con el juego. Las descripciones intentan desde el lenguaje natural justificar
argumentos asociados con el azar y la aleatoriedad.
Figura 9.Producción Julián y Edwin. a) con sello, pues era muy frecuente y a raíz de
ello fue mejor opción b) No, para los dos casos era la misma probabilidad de ganar, ya
que era independiente quien escojiera cara o sello (Transcripción literal del original).
58
Por ejemplo, Julián y Edwin (figura 9), utilizan la palabra “frecuente” vinculándola a la
caída de la moneda en uno de sus lados, dada la aparición reiterada de un resultado. Esto
hace parte del razonamiento inicial de los estudiantes acerca de la probabilidad basado en la
experiencia de la manipulación del generador de azar (moneda). Aquí la palabra frecuente
no está asociada con el significado de probabilidad frecuencial, sino más bien con cierto
tipo de racha que se produjo durante el experimento.
Los estudiantes reconocen que para efectos del juego no hay condicionamientos previos
cuando enuncian la frase clave “misma probabilidad”, esta parece vislumbrar una idea
primaria emergente de la experiencia en relación con la equiprobabilidad en términos del
significado clásico (Batanero, 2005), que para la situación en cuestión es aplicable a un
número finito de resultados. Además, cuando mencionan “era independiente quien
escogiera cara o sello”, muestran una idea de azar en el reconocimiento de la
incertidumbre presente en el juego respecto a la imposibilidad de predecir lo que sucederá
en cada lanzamiento como una característica asociada al azar. A su vez, desvela la idea de
independencia probabilística de eventos siempre que la ocurrencia de uno no influye en la
ocurrencia del otro.
Figura 10. Producción Esteban y Diego. a) mejor opción “cara”, porqué fue con la
qué se ganó más veces. b) uno nunca sabe quien va a ganar solo fue suerte, ambos
teníamos misma probabilidad de ganar (Transcripción literal del original).
.
59
En la producción de Esteban y Diego (figura 10) se deja entrever aspectos relacionados con
el azar en términos de suerte. Aquí el signo lingüístico “suerte” sugiere una aparente
imparcialidad respecto a lo que puede ocurrir como resultado del juego (ganar o no) lo cual
estaría en coherencia con el significado de probabilidad intuitivo (Batanero, 2005);
evidenciando por un lado la incertidumbre como una característica aleatoria del fenómeno y
asociando lo incierto con las intuiciones primarias de los estudiantes que han sido
adquiridas directamente con la experiencia en su entorno socio cultural y que tienen que ver
con la fortuna o el destino. De otro lado, esbozan el carácter incontrolable de los resultados
en el juego (Azcárate, 2006,) en tanto no se analiza que la experiencia resulta aleatoria,
puesto que “depende de una compleja interacción de causas y su resultado no puede ser
calculado previamente ya que son fenómenos que realizados en las mismas condiciones
pueden tener diferentes resultados” (Azcárate, 2006, p. 11), es decir que la no reversibilidad
del evento “lanzar la moneda” queda implícita.
Según Halliday (1982, p. 42):
el lenguaje sólo surge a la existencia cuando funciona en algún medio. No experimentamos
el lenguaje en el aislamiento, sino siempre en relación con algún escenario, con algún
antecedente de personas, actos y sucesos de los que derivan su significado las cosas que se
dicen.
Cuando Esteban y Diego mencionan que “ambos teníamos la misma probabilidad de
ganar”, se desvela la idea de equitatividad presente en el juego (igual número de jugadores,
igual número de chances en la moneda, igual número de casillas por carril). Esta podría
estar relacionada con nociones proto-probabilísticas sobre equiprobabilidad de sucesos
simples en tanto igualdad de posibilidades (semejante al caso anterior de Julián y Edwin).
En la producción que presentamos a continuación se movilizan símbolos numéricos.
60
En la figura 11 aparecen producciones de los estudiantes en las cuales se recurre a
proporciones, decimales y porcentajes, es decir, representaciones numéricas que soportan
formas de cuantificar la probabilidad al parecer en relación al significado clásico (Batanero,
2005), en un esfuerzo por vincular las frecuencias relativas en el contexto del juego y el
generador aleatorio, en consecuencia el procedimiento que utilizan para asignar valor de
probabilidad corresponde a argumentaciones estimativas de la probabilidad evocando la
regla de Laplace (proporción entre los casos favorables y desfavorables del fenómeno), en
un intento por encontrar un resultado numérico dando lugar a errores de significación de los
elementos presentes en la razón matemática (Por ejemplo, las expresiones 12/6 y 6/12 son
tomadas como equivalentes).
A continuación presentamos un aparte del material audiovisual de los episodios
considerados.
Figura 11. Uso de símbolos matemáticos
61
Episodio 1: Brujería [2:11–2:30]
En este episodio se muestra cómo Julián, a través del registro de la lengua natural (L2 y L4)
y el gesto indexical (ver Foto 3), presenta una idea de azar culturalmente codificada
(Radford, 2004a), es decir, una forma de pensar acerca del azar que hace parte de un
Sistema Semiótico Cultural de Significación, esto es, opiniones, creencias, significados etc.
dentro de un esquema cultural.
Cuando el estudiante dice en L2 “Pues Wiwí le hizo brujería”, desvela una significación del
azar asociada a “lo mágico”, en un intento por buscar una causa posible que dé cuenta de lo
L1. Profesora: Juli, ¿me explicas el registro por favor? [Señalando el registro escrito que llevaban
en el cuaderno, foto 2].
L2. Julián: Pues Wiwí le hizo brujería profe es en serio [Señalando con el dedo índice el listado
realizado, foto 3].
L3. Profesora: ¿Cómo?, ¿Qué pasó ahí?
L4. Julián: Pues profe, me ganó en todas yo creo que eso tiene más magnetismo hacia un lado que
hacia el otro
L5. Profesora: ¿Será?
L6. Julián: Pues yo creo porque…vea! solo gané una vez [acompaña lo dicho con un
señalamiento, foto 4]
L7. Profesora: ¿Quieren cambiar de moneda?
L8. Julián: ¡Me encantaría profe! porque…¡Wiwí usted le está haciendo brujería!
Foto 1 “El
registro”
Foto 3 Foto 2 Foto 4
62
ocurrido durante la experiencia. Estas concepciones culturales sugieren que la creencia en
fuerzas ocultas o supersticiones utilizadas para explicar fenómenos aleatorios se encuentran
ligadas al determinismo. En términos de Batanero:
La dificultad está en que hay que considerar no sólo el suceso que ha ocurrido
realmente o incluso el suceso de interés sino todos los sucesos que podrían ocurrir. En
la investigación del desarrollo del concepto de azar se ha mostrado que los niños,
como algunos adultos supersticiosos, están confinados estrechamente al determinismo:
creen en fuerzas ocultas que expliquen los fenómenos aleatorios. (Batanero, 2001, pp.
20-21)
Ahora bien, en consideración al argumento presentado en L4 “Pues profe, me ganó en
todas yo creo que eso tiene más magnetismo hacia un lado que hacia el otro”, continúa
proyectando una idea determinista frente a la causa del evento, pues muestra una
dependencia causal de lo incierto (contraste de los números a izquierda y derecha del
registro). Esta forma de significación acerca del azar, según Fischbein (citado en Batanero,
2013, p. 7), sugiere la búsqueda de “dependencias causales que reducen lo incierto, incluso
en situaciones donde no existen tales dependencias, por ejemplo “la mala suerte”, […]
influenciado por las tradiciones culturales y educativas de la sociedad moderna, que
orientan el pensamiento hacia explicaciones deterministas”.
Esta idea de azar en términos del significado intuitivo de la probabilidad es expresada por
Julián a través de la lengua natural apoyándose con el gesto indexical (señalamiento) que
como menciona Vergel (2013) interviene de manera preponderante en la expresión de sus
intencionalidades y en su proceso de conceptualización. Por tanto, aquí, el gesto no es un
mero ayudante de la palabra sino que trabaja con ella en términos de igualdad en la
actividad de comunicación y su uso tiene la intención de comunicar un significado
63
(Kendon, 2000, citado en Tabensky, 2004), para este caso, asociado al carácter azaroso de
la experiencia.
Así, en consideración a la simultaneidad presentada en la movilización de recursos
semióticos como el lenguaje natural–gesto indexical-actividad perceptual es muestra de la
constitución de un nodo semiótico (cuando elocuta “solamente gané una vez” y apunta con
el dedo, concentrando su mirada), es decir, un fragmento de la actividad semiótica de Julián
en donde la intención perceptiva, la lengua natural y el gesto indexical, en tanto medios
semióticos de objetivación, actúan sincronizadamente y se complementan para objetivar un
saber (Vergel, 2013), en este caso asociado al azar.
Episodio 2: Es lo mismo [4:04-6:03]
L1Jessica: [Leyendo la respuesta en relación con la primera pregunta] Nosotras respondimos que fue mejor
escoger sello, ya que la mayoría de veces ganó Laura que fueron cuatro veces.
L2. Profesora: ¿Cuál es el argumento para eso?
L3. Laura: Pues que la mayoría de veces ganó
L4. Profesora: ¿Ese es el argumento? ¿Haber ganado la mayoría de veces?…si hubiesen jugado no sé diez veces,
quince veces, veinte veces, ¿Habría pasado lo mismo? [En este momento Laura hace un gesto en rostro y con la
mano foto 1]
L5. Laura: ¿Quién sabe? [Al parecer en una actitud que desvela cierto grado de incertidumbre]
L6. Jessica: Pues depende
L7. Profesora. ¿De qué?
L8.Laura: Es que no sé… porque tenían como la misma probabilidad de veces, porque era una y una
L9. Profesora. Cuándo dices la misma probabilidad de veces, ¿A qué te refieres?
L10. Laura: Pues es que no sé cómo explicarlo.
L11. Profesora: Dame un ejemplo
L12: Laura: Pues que como había una cara y solo un sello era como lo mismo, o sea ¿Cómo se diría?…usted me
entiende [refiriéndose a Jessica, buscando complemento con su mirada foto 2] como…podría ganar cualquiera de
los dos o sea no habría una que tuviera digamos entre comillas más suerte que ganara uno que el otro
L13. Profesora: ¿Por qué?
L14. Laura: Porque era ¡la misma cantidad! solo había una cara y un sello [realiza signo en el aire, dedo índice-
cara / dedo corazón-sello. Foto 3]… ¿Si?
64
Aquí, el uso del registro de la lengua natural (L5) de la estudiante junto con sus expresiones
corporales (foto 1) dejan entrever una idea de azar, que al parecer estaría asociada con el
desconocimiento de las causas que determinan los eventos caer cara o caer sello. Esta idea
concuerda con el argumento de Batanero (1995) respecto a la imposibilidad de dominar la
incertidumbre en tanto correspondería a
[…] una primera fase histórica exploratoria en el desarrollo de la idea de aleatoriedad
que se extendería, según Bennet (1993) desde la antigüedad hasta el comienzo de la
Edad Media […] los dispositivos aleatorios como dados o huesos de astrágalo, se
usaron […] para tomar decisiones y en los juegos cuando se quería impedir dar ventaja a
alguna de las partes interesadas, puesto que se suponía que lo aleatorio no podía ser
controlado humanamente. (p. 16)
L15. Profesora: [refiriéndose a Jessica] ¿Le entendiste?
L16. Jessica: ¡Sí!
L17. Profesora: ¿Podrías explicármelo con tus palabras?
L18. Jessica: Pues que ella dice que…digamos en una moneda no hay algo que diga que siempre va a caer… va a
caer ¿Qué?…va caer sello sino que igualmente, cualquiera puede ganar [acompañando su discurso con el
movimiento de la cabeza y los hombros, foto 4] porque es como algo de suerte como…algo al azar [en este
momento Laura complementa el argumento de Jessica con el movimiento de la mano foto 5]
L19. Laura: O sea no habría uno como que siempre…no es que no sé cómo explicarlo, tengo la idea pero no sé
cómo decirlo
L20. Jessica: No habría [mira a Laura y complementa de la idea foto 6] algo como que pesara más como que…
L21. Laura: ¡Sí! Que uno siempre fuera digamos a ese [señalamiento con la mano foto 7] a caer ese como lo
mismo.
Foto 7 Foto 1 Foto 2 Foto 5 Foto 6
Foto 3 Foto 4
65
Ahora bien, la sincronía de MSO (el gesto en el rostro de Laura y el movimiento en la
mano) apoyan una intención comunicativa frente a lo incierto como característica del azar
que luego es reforzada de modo verbal con el interrogante “¿Quién sabe?”. Este segmento
de actividad semiótica constituye un nodo semiótico puesto que aparecen de manera
simultánea múltiples modalidades de expresión como la palabra, el gesto y el movimiento
corporal. Según Radford (2003), estas funciones modales son utilizadas intencionalmente y
actúan juntas para instaurar formas estables de conciencia, evidenciar sus intenciones y
orientar sus acciones en procura de alcanzar el objeto de la actividad.
Podemos observar, para este caso, el carácter no predictivo de la experiencia. Los datos
sugieren que la expresión semiótica de irreversibilidad queda implícita, en tanto no es
posible obtener los mismos resultados al repetir la experiencia bajo las mismas condiciones.
En la línea L17 la profesora, a través de la pregunta a Jessica “¿Podrías explicármelo con
tus palabras?”, extiende una invitación a la estudiante a interactuar en un espacio relacional
de labor conjunta (Radford, 2014a) emergente entre Laura, Jessica y la profesora.
De acuerdo con la lógica de producción dialéctico materialista que subraya la TO “el saber
es producido colectivamente21. La profesora y las estudiantes trabajan juntas con el fin de
adelantar posibles interpretaciones matemáticas y líneas de acción” (Radford, 2014b, p. 8).
En este caso, en torno a la tarea, pues dicha producción refiere a formas colectivas de hacer
y pensar.
En las líneas L8 y L12 del diálogo aparece un indicio de equiprobabilidad expresado desde
el registro semiótico de la lengua natural utilizando frases clave “era como lo mismo”
“porque era una y una”, dotándolas con un carácter de equivalencia e igualdad en términos
del reconocimiento de que los resultados del experimento son equiprobables en tanto los
21 Énfasis del original.
66
dos sucesos se encuentran bajo las mismas condiciones, así que la probabilidad de
ocurrencia de ellos resultaba ser la misma.
En la foto 2 se muestra la mirada de Laura hacia Jessica, gesto que es complementado por
la frase “usted me entiende” (L12), buscando apoyo en ella. Según Radford (2014b) el
sujeto necesita del otro para desarrollarse. Laura es en tanto la actuación de Jessica. Vergel
(2014b) sostiene que la intersubjetividad reside en la medida en que los interlocutores de
una situación comunicativa comparten una perspectiva. Según este autor
el énfasis en el sujeto como un ente social pone en cuestión el concepto mismo de
identidad, al introducir la categoría de la alteridad como parte constituyente del Yo,
como su antecedente obligado y referente necesario. Al sujeto se le concibe más allá
del eje egocéntrico, para ubicarlo en la red de relaciones dialógicas que establece
consigo mismo y con la alteridad (en realidad, con una multiplicidad de otros). ( p. 71)
De igual manera, la foto 6 sugiere un proceso social que se evidencia en tanto existe un
sujeto determinado por el discurso y por las actuaciones del Otro. Laura y Jessica son en
tanto lo que dice o lo que deja de decir una u otra. Entre L18 y L21 hay complementación
en las líneas discursivas de Laura y Jessica generando un solo argumento pero configurado
por expresiones lingüísticas y corporales de las dos estudiantes.
Por ejemplo, en L18 cuando Jessica dice “Pues que ella dice que…digamos en una moneda
no hay algo que diga que siempre va a caer… va a caer ¿Qué?…va caer sello sino que
igualmente cualquiera puede ganar porque es como algo de suerte como…algo al azar”,
Laura su vez con el movimiento de la mano (foto 5) complementa el argumento de Jessica.
A continuación, mientras Laura en L19 declara “O sea no habría uno como que
siempre…no es que no sé cómo explicarlo, tengo la idea pero no sé cómo decirlo”, es
Jessica en L20 al elocutar “No habría algo como que pesara más como que…”, quien
67
complementa lo dicho por Laura. En ese momento hay un cruce de miradas entre ellas y
mientras Jessica extiende la última frase (más como que…) parece hacer un llamado a
Laura a completar la idea. Vergel (en prensa-1) señala que hay que considerar la dimensión
lingüística como un aspecto clave en la producción matemática de los estudiantes durante
una interacción comunicativa. Observemos que las producciones lingüísticas de las dos
estudiantes, en el sentido de complementariedad, revelan una relación de intersubjetividad,
la cual, según Wertsch (1998, citado por Vergel, 2014b, p. 71),
El problema básico de la intersubjetividad humana se vuelve […] una cuestión que
tiene que ver con qué sentido y bajo qué condiciones dos personas que se involucran
en un diálogo pueden trascender sus mundos privados diferentes. Y la base lingüística
para esta empresa no es, según sostengo, un repertorio fijo de significados “literales”
compartidos, sino bosquejos muy generales y parcialmente negociados de contratos
concernientes a la clasificación y atribución inherente al lenguaje ordinario.
Lo anterior muestra que el proceso de objetivación es un proceso social y emocional que se
lleva a cabo con Otros. En el episodio, Laura y Jessica se constituyen como sujetos al
participar de la labor que “incluye nociones de expresión subjetivas, propias y de desarrollo
racional y de satisfacción estética” (Donham, 1999, citado en Radford, 2013b, p. 5). Es así,
que las estudiantes piensan, reflexionan, sufren, proceden, disfrutan, etc., en el marco de la
actividad conjunta de acuerdo con las configuraciones disponibles histórica y culturalmente
establecidas para actuar y relacionarse en la sala de clase (Radford, 2014a). En palabras de
Radford (Comunicación personal, octubre 18 de 2014) “Yo no puedo existir en mi
singularidad, para existir necesito al Otro”, reconociendo al Otro como parte constitutiva
del Yo, esto es, la idea de alteridad.
68
Con la enunciación de Laura en L14 “Porque era ¡la misma cantidad! solo había una cara
y un sello… ¿Si?”, el uso de los dedos (dedo índice-cara / dedo corazón-sello) y el
movimiento de la mano (foto 3) como un signo al aire que acompaña la frase “solo había
una cara y un sello”, conforman un nodo semiótico toda vez que aparecen simultáneamente
en esta pieza de la actividad semiótica de Laura con el propósito de apoyarse mutuamente
con la intención de comunicar una idea relacionada con la igualdad de posibilidades
(chances en la moneda) en la manipulación del generador de azar.
Laura en L14 moviliza los MSO mencionados líneas atrás para referir las caras de la
moneda, mientras que en L21 al declarar “¡Sí! Que uno siempre fuera digamos a ese, a
caer ese como lo mismo” y el movimiento de la mano (foto 7), hace referencia tanto a la
moneda como al experimento.
En estos dos momentos de la actividad matemática de Laura, a través de sus acciones
kinestésicas (movimientos corporales como signos encarnados en el cuerpo), hace uso de lo
que el psicólogo alemán Karl Bühler (1979/1963) llamó deixis am phantasma para denotar
el señalamiento a objetos no presentes en una situación discursiva. En los casos
presentados, dicha deixis refiere a la moneda en ausencia física de ella. Aquí consideramos
entonces la deixis realizada por Laura como un signo en el aire, concibiendo el signo según
lo propuesto por Eco (2000, p. 22) “como cualquier cosa que pueda considerarse como
substituto significante de cualquier otra cosa”, para el caso, en correspondencia a un objeto
material, dentro de un contexto social y cultural en el que tiene lugar la experiencia.
En síntesis y siguiendo a Vergel (2014b, p. 66),
Para comprender el significado de los signos, no los podemos reducir simplemente a
lo que ellos representan. Debemos comprender el tipo de actividad que ellos permiten
realizar. […] Por tanto, el signo cumple el papel de una operación significativa. Aún
69
más, los signos no se limitan únicamente a su función representativa, y la elección de
ellos no es neutra o independiente y dicha elección orienta el destino en el cual se
expresa el pensamiento, el destino de la comunicación.
En L18 y foto 4 aparece de nuevo un nodo semiótico al concurrir el movimiento corporal
de la cabeza y hombros de Jessica junto con el registro de la lengua natural. Acompañando
la frase “si no que igualmente cualquiera puede ganar”, el movimiento de la cabeza de la
estudiante y el movimiento de los hombros de Jessica (foto 5), apoya la comunicación de
una idea de equiprobabilidad según el significado clásico de probabilidad (Batanero, 2005)
en relación a lo que podríamos llamar probabilidad temprana, es decir, una cuantificación
de la probabilidad en un plano perceptual mediante el recurso a palabras y gestos. En este
segmento de la actividad de Jessica, la incertidumbre alcanza el nivel de enunciación.
También emerge una distinción implícita de eventos mutuamente excluyentes en tanto la
moneda caerá en una de las dos caras, sin embargo, no podría caer cara y sello
simultáneamente en su lanzamiento.
Por su parte, Jessica en L18 elocuta: “Pues que ella dice que…digamos en una moneda no
hay algo que diga que siempre va a caer… va a caer ¿Qué?…va caer sello sino que
igualmente, cualquiera puede ganar, porque es como algo de suerte como…algo al azar”.
Estos dos MSO unidos al movimiento de la mano de Laura (a través del cual indica con dos
de sus dedos las caras de la moneda (leve giro)), se complementan para tomar conciencia de
la imposibilidad de predicción presente en la tarea. Observemos en esta parte del episodio
que variados medios semióticos de objetivación, provenientes de estudiantes diferentes
(Jessica y Laura), juegan roles distintos en la idea de objetivar, como ya señalamos, la
imposibilidad de predicción. Denominamos a este segmento de la actividad semiótica
70
conjunta un nodo semiótico social.22 Aquí podemos vislumbrar como las distintas voces se
complementan en un esfuerzo de Jessica y Laura para dotar con un carácter aleatorio la
experiencia llevada a cabo en la labor conjunta.
Episodio 3: Números [6:11-7:08]
22La idea de nodo semiótico social que estamos proponiendo proviene del constructo nodo semiótico
elaborado por Radford (2003). El énfasis que queremos plantear en este análisis evidencia la conjugación de
dos actividades semióticas distintas (desplegadas por sujetos distintos).
L1. Juliana: Los casos favorables que son seis [señala con el lápiz y encierra con un trazo suave la
fracción numerador y denominador foto 1] con el total de los casos totales [encierra trazo suave los
números seis en la hoja de trabajo foto 2] si, entonces lo que hicimos fue dividirlo y sacamos el cincuenta
por ciento [encierra con un trazo suave sobre la hoja de trabajo el 50% foto 3], el cincuenta por ciento de
sello y el cincuenta por ciento de cara
L2. Alison: Las posibilidades de que caiga sello o que caiga cara [señalamiento con el dedo foto 4]
L3. Juliana: O sea seis veces puede caer sello y seis veces puede caer cara [señalamiento con el lápiz foto
5] y ya eso sería como…
L4. Alison: Ahí podemos decir que son iguales las probabilidades de que caigan [inaudible] porque acá
hay [señalamiento con el dedo foto 6] cincuenta y cincuenta
L5. Profe: ¿Para completar 100? Y ¿Cuál sería el 100?
L6. Juliana: El cien por ciento…doce [Juliana señala con el dedo, foto 7] o sea seis veces del sello y seis
veces de la cara [encerrando en un ovalo un número seis en la hoja de trabajo foto 7].
L7.Alison: Ella va a lanzar seis veces la moneda y yo seis veces entonces el total de las veces que
lanzamos van a ser doce que sería el total de lo que puede caer cara [Inclinación de las manos a la
izquierda foto 8] o puede caer sello [Inclinación de las manos a la derecha, foto 8].
Foto 2 Foto 1
71
En este episodio las estudiantes recurren a la utilización de representaciones numéricas
(figura 12) las cuales incluyen representación numérica decimal, representación numérica
porcentual y representación numérica fraccionaria.
Figura 12. Representaciones numéricas
Foto 7 Foto 8
Foto 6 Foto 5
Foto 3 Foto 4
72
Estas representaciones parecen mostrar por parte de las estudiantes una toma de conciencia
de la igualdad de condiciones frente a las opciones en el lanzamiento de la moneda, en
relación a la experiencia la cual aparece como independiente del jugador y de la escogencia
del lado de la moneda. Esa toma de conciencia, siguiendo a Radford (2014a, p. 142),
[…] es relación al mundo—relación concreta. Es esta la idea que Vygotsky expresa en
1925 cuando dice: “la conciencia debe ser vista como un caso particular de la
experiencia social” (Vygotsky, 1979). […] “la estructura de la conciencia es la
relación con el mundo externo”.
Alison y Juliana presentan las condiciones equitativas del juego a partir el uso de símbolos
numéricos como una manera de concentrar el significado de equiprobabilidad presente en la
experiencia, asociándolo con la regla de Laplace. Más específicamente, estas dos
estudiantes cuantifican la probabilidad de ocurrencia del evento: caer cara - caer sello, a
través del recurso a representaciones numéricas en el sentido clásico de probabilidad
(Batanero, 2005). Así, el método utilizado por las estudiantes para el cálculo de
probabilidades, sugiere una incertidumbre y una imposibilidad de predicción en un evento
simple que cuenta con un número finito de posibilidades y con condiciones simétricas. Se
deduce, entonces, que hay presencia de una aleatoriedad cuantitativa (al presentar un rango
numérico de la posibilidad en que puede ocurrir cada uno de los eventos: 6
12, 0.5, 50%,), que
se aleja de una percepción determinista de la probabilidad.
Dicha concentración de significado, según la TO, corresponde al proceso de objetivación
denominado Contracción semiótica, en donde Alison y Juliana hacen un esfuerzo por
discriminar la información que parece ser relevante del juego poniendo de relieve los
elementos centrales del mismo. Para el caso, la mencionada equiprobabilidad (como
73
igualdad de posibilidades de obtener cara o sello) conlleva a proponer una forma de pensar
acerca de la incertidumbre a través de la movilización de representaciones numéricas, es
decir, se hace una economía en los MSO movilizados por las estudiantes que desvelan un
nivel más profundo de conciencia (Radford, 2008).
En ese acto de toma de conciencia (objetivación), Alison y Juliana están volviendo aparente
lo potencial (Radford, 2004a). A través de la actividad matemática conjunta de las jóvenes,
el saber (como concepto, como objeto de la cultura) es puesto en movimiento. Para Radford
et al., (2014b), el saber es concebido como movimiento, como una secuencia de acciones
culturales e históricamente codificadas que son instanciadas continuamente en la práctica
social, en la labor conjunta. De acuerdo a la dialéctica materialista, los conceptos
corresponden a entidades sociales-histórico-culturales que como menciona Ilyenkov (2012,
citado en Radford, 2014b, p. 7) poseen “posibilidades de interpretación, unas que ya han
sido conocidas y otras que aún no han sido inventadas”, es decir el saber como pura
posibilidad. De hecho, en la epistemología Hegeliana, la noción abstracta o Saber es algo
que tiene que encontrar determinación en el evento de su actividad.
Según Radford (2004a), en palabras de Vygotsky:
El medio socio-cultural del niño ofrece a éste direcciones de desarrollo y formas de
apropiación del saber23 y de la experiencia humana. A través de los recursos
materiales y conceptuales del medio socio-cultural, el niño puede efectuar las
generalizaciones y las síntesis sobre las cuales reposa la formación de conceptos. (p. 7)
El episodio sugiere que la actividad matemática de Alison y Juliana es consustancial al
pensamiento, pues en este caso se encuentra claramente relacionado con las características
propias de los juegos de azar.
23 Énfasis del original.
74
Juliana, al presentar en L1 su argumento mediante la frase “los casos favorables que son
seis”, y al complementarla luego con la declaración “con el total de los casos totales”,
proyecta sus intenciones para actuar en consecuencia usando la regla de Laplace. Aquí,
Juliana realiza acciones sobre números. Sin embargo, estas acciones no son ingenuas pues
están cargadas de un destino comunicativo. Cuando Juliana dice “lo que hicimos fue
dividirlo y sacamos el cincuenta por ciento”, y concluye “el cincuenta por ciento de sello y
el cincuenta por ciento de cara“, esboza un esfuerzo por evidenciar el sustento matemático
al cual recurrió usando representaciones numéricas. Estas representaciones, se constituyen
en evidencia del proceso de objetivación Iconicidad desarrollado por Juliana como
resultado de evocar una regla de cuantificación del azar a partir de la simetría presente en el
juego. Podemos decir, entonces, que las expresiones matemáticas consignadas por Juliana y
Alison en su hoja de trabajo corresponden a inscripciones que tienen en sí determinaciones
sensibles de las estudiantes las cuales fueron decantadas en el transcurso de su labor
conjunta.
La verbalización mediante la movilización de la lengua natural, conjugado con la actividad
perceptual (punteo usando el lápiz y a la vez el encerramiento de algunas expresiones
numéricas consignadas en la hoja de trabajo - foto 1, 2 y 3), permiten que Juliana fije su
atención en los aspectos que considera notables de la experiencia para ofrecer una
explicación de la misma a la profesora. En este segmento de la actividad se evidencia un
nodo semiótico (Radford, 2008) en tanto aparece una coordinación de movimiento
corporal, palabras y símbolos donde el saber llega ser objetivado. Es decir, que emerge una
conjugación sincrónica de signos que indican el propósito que orienta la vía de acción de la
Juliana preñados por experiencias escolares previas enmarcadas en unas formas
culturalmente codificadas de actuar y reflexionar acerca del azar.
75
En las líneas discursivas L1a L4 las estudiantes se complementan discursivamente. Es decir
que a través de sus argumentos, se otorgan mutua existencia en términos de alteridad.
Juliana en la parte final de L1 con “el cincuenta por ciento de sello y el cincuenta por
ciento de cara” recibe apoyo por parte de Alison en L2 “las posibilidades de que caiga
sello o que caiga cara” quien también acompaña la expresión verbal elocutada con el
señalamiento de las inscripciones en la hoja de trabajo (dos flechas, una apunta a la palabra
cara y la otra a la palabra sello, foto 4). Continúa Juliana en L3 “o sea seis veces puede
caer sello y seis veces puede caer cara” y mientras señala con el lápiz emite la frase
inconclusa “y ya eso sería como…”, instando a Alison a participar activamente en la
reconstrucción verbal conjunta de los argumentos que sustentan lo escrito, quien luego en
L4 concluye “ahí podemos decir que son iguales las probabilidades de que
caigan”…”porque acá hay”…”cincuenta y cincuenta”.
Bajtín (1929/1992, citado en Vergel, 2014b) señala,
cómo desde la temprana adquisición del lenguaje y a lo largo de la vida, el hombre
se inicia como un ser social y se desarrolla como tal construyendo su individualidad
a partir del otro, de las acciones y del discurso del otro, para continuar con este una
íntima y compleja relación. El sujeto social se forma discursivamente, en el proceso
comunicativo de yo con el otro, es decir que el discurso propio se construye en
relación con el discurso ajeno, en el proceso de una íntima y constante interacción.
Así pues, en Bajtín el ser presenta un carácter intrínsecamente dialógico, “ser es ser
para otro y a través del otro para mí”. (p. 72)
A través de la actividad conjunta entre Alison y Juliana, se deja entrever la naturaleza
colectiva de producción del saber como pura posibilidad, en tanto posibilidades del
conociendo (knowing) y del volviéndose (becoming) de las estudiantes, en esa concurrencia
76
de subjetividades al suscitar la emergencia de la solidaridad y compromiso con el Otro
como parte de la ética comunitaria (Radford, 2014b) inherente a la labor. La sala de clase
aparece como un espacio público de encuentro de subjetividades de estudiantes y profesor
incrustadas en formas culturalmente evolucionadas de ser y ser con Otros.
Así, el saber que antes era pura posibilidad de interpretación de la aleatoriedad presente en
la experiencia del juego propuesta en la tarea en términos cualitativos o cuantitativos, es
actualizado a través de la labor conjunta de las estudiantes y presentado como una forma de
interpretación particular, en este caso asociada al significado clásico de probabilidad.
En L7 el gesto realizado por Alison (foto 8) muestra una intención comunicativa diferente
al realizar el movimiento con las manos, es decir que el signo en el aire de Alison
corresponde a una deixis am phantasma corporeizando la situación a través del uso de sus
manos, pues al inclinarlas a la derecha está indicando que la moneda cae en sello y cuando
las inclina a la izquierda indica que cae cara.
Estos gestos unidos al registro de la lengua natural reflejan el modo de pensar de Alison,
“gesto y discurso son parte de un mismo acto de representar, es decir que juntos constituyen
una misma unidad de significado” (Mc Neil, 2000, citado en Manghi, 2010, p. 44). Alison
hace tangible su pensamiento a partir del recurso tanto a gestos como al registro de la
lengua natural en términos de la igualdad de posibilidades. En esta caso, deja implícita la
idea de incertidumbre y no predictibilidad como sugiere su declaración “puede caer cara o
puede caer sello”, explicitando el espacio muestral {cara, sello} que consta de dos
elementos. Parece ser que aunque ambos resultados son posibles con una cuantificación del
valor de probabilidad de 50%, no es posible asegurar a priori el resultado que se obtendrá
cada vez.
77
4.2.2 Tarea 2: ¿Quién llega primero?
En la anterior tarea se puso de manifiesto algunos de los MSO a los cuales acudieron los
estudiantes y PO desarrollados para objetivar formas de pensamiento con relación al azar y
la probabilidad en una tarea en donde los resultados eran equiprobables. En esta nueva
tarea, propusimos mantener el criterio de experimentación a partir del juego, mediante la
manipulación de un generador aleatorio (un dado cúbico convencional de seis caras) con el
propósito de observar si en ese proceso de objetivación del saber los estudiantes
reproducían lo trabajado en la tarea 1 o si se incorporan nuevas estrategias. 24
El juego que involucra la tarea 2 corresponde a un evento mediado por las condiciones de
cada carril, por ejemplo: lanzar un dado y avanzar con número par, lanzar un dado y caer
mayor que uno.
Al iniciar la experiencia cada jugador se ve abocado a tomar decisiones respecto a la
elección del carril por donde ha de circular. Para ello, necesita determinar el valor de
probabilidad de que ocurra el suceso (valor de cada carril) y la consecuente comparación de
ellas para precisar el grado de posibilidad de ocurrencia del mismo (sucesos probables,
improbable, seguro, poco probables) y de esta manera ganar la carrera.
Durante las partidas, tuvieron la oportunidad de cambiar de carril o mantenerse en el
elegido y a continuación realizaron como grupo un análisis de la experiencia. De manera
análoga al juego anterior, los estudiantes llevaron un registro libre del juego (de las partidas
jugadas). En este caso, el generador aleatorio esgrime un espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6}
de seis elementos y las posibilidades de los jugadores están determinadas por el carril
escogido. Los estudiantes advirtieron que la elección del carril no resultaba ser neutra, pues
24 La tarea “¿Quién llega primero?” varió respecto a la tarea “Cara y Sello” manipulación de generadores de
azar y toma de decisiones en consideración del valor de probabilidad. La logística de trabajo fue la misma.
78
en el juego como experimento aleatorio no era posible conocer con antelación el resultado
al lanzar el dado.
Dadas las características de juego, el trabajo con Otros fue ineludible. Al procurar el
respeto de las reglas del juego, el consenso frente a cómo llevar el registro de las partidas,
la búsqueda de una explicación colectiva a los resultados obtenidos de la experiencia, etc.;
los estudiantes se involucran en un proceso de subjetivación “mediante los cuales
encuentran otras voces y perspectivas y llegan a ser sujetos culturales históricos únicos”
(Comunicación personal, octubre 18 de 2014), se reconocen y son reconocidos como
miembros de una comunidad, en nuestro caso, de la comunidad de la sala de clase.
Respecto a la sistematización del juego, el recurso a representaciones tabulares fue
utilizado en todos los grupos.
Figura 13. Representaciones tabulares tarea 2
79
La información de las partidas jugadas fue presentada mediante el uso discriminado de filas
y columnas facilitando la visualización y organización de los datos (figura 13). Esto es, que
las representaciones tabulares emanan como artefactos culturales que facultan a los
estudiantes a pensar en cierta dirección. Según Radford (2006),
El carácter mediatizado del pensamiento se refiere al papel, en el sentido de Vygotsky
(1981), que desempeñan los artefactos (objetos, instrumentos, sistemas de signos, etc.)
en la realización de la práctica social. Los artefactos son parte constitutiva y
consustancial del pensamiento, se piensa con y a través de los artefactos culturales. (p.
107)
De acuerdo con Vergel (en prensa-2), para Leontiev (1969) la herramienta es el producto de
la cultura material que posee, en la forma más evidente y material, los principales rasgos de
las creaciones humanas. La herramienta, en este caso la representación tabular, “es un
objeto social en el que se han concretado y fijado operaciones de trabajo históricamente
elaboradas”. (pp. 3 - 4)
De esta forma, las representaciones tabulares como artefactos culturales que median la
actividad conjunta de los estudiantes se constituyen en una fuente de adquisición del saber
en un plano material que lleva consigo la sabiduría histórica de la actividad cognitiva de las
generaciones pasadas (Radford, 2006).
Posiblemente el recurso a este artefacto cultural (representación tabular) corresponde a un
proceso de objetivación de Iconicidad colectivo toda vez que el registro fue consensuado en
el equipo de trabajo trayendo a esta situación remembranzas de experiencias pasadas25
(organización de la información en tablas). Sin embargo, aunque difieren de las utilizadas
25 Argumento corroborado a partir de las entrevistas basadas en la tarea.
80
en la tarea 1 debido a las características del juego en relación con el generador de azar y el
número de jugadores, mantienen la esencia e intención organizacional de la información.
A continuación presentamos algunas producciones de los estudiantes en sus hojas de
trabajo.
Frente a los ítems a) y b) de la tarea, emerge el uso de la lengua natural para sintetizar lo
observado durante el juego.
En la producción conjunta de Juan, David y Edwin (figura 14), al escribir “las casillas
tienen una gran importancia, dependiendo de cuál se escoge puede que haya mayor
probabilidad de moverse en una casilla”, se desvela una toma de conciencia respecto a una
no equiprobabilidad presente en el experimento que reside en la distinción del espacio
muestral con relación a las condiciones por carril.
Cuando los estudiantes escriben “mayor probabilidad de moverse” esbozan una
aproximación cualitativa al valor de probabilidad haciendo referencia a una idea vinculada
a la frecuencia relativa de las posibilidades de ocurrencia de cada evento. Al mencionar la
palabra clave “probabilidad”, parece ser que estudiantes realizan una comparación de las
posibilidades de obtener lo estipulado en cada carril a partir de la experiencia. Esto coincide
Figura 14. Producción Juan, David y Edwin
81
con las ideas de Fischbein (1987, citado en Batanero, 2013, p. 4) sobre las intuiciones como
“procesos cognitivos que intervienen directamente en las acciones prácticas o mentales”,
para el caso, respecto a la probabilidad de un evento al basarse en la experiencia empírica y
en juicios de valor subjetivos, ya que para ellos fue posible distinguir la mayor o menor
probabilidad de los eventos en el experimento aleatorio aun en ausencia de valores
numéricos.
Así mismo, la palabra clave “notamos” llama la atención en un aspecto que a juicio de los
estudiantes resultó ser relevante dentro de la práctica del juego y parece ser parte del
proceso de objetivación de una forma de pensamiento asociado a la probabilidad como
grado de incertidumbre frente a la ocurrencia de un evento capturando la idea de no
equiprobabilidad de los carriles. La condición asociada a los carriles hace que no haya
igualdad de posibilidad de ocurrencia y aunque no es posible controlar los resultados del
dado (predicción), sí se puede estimar rangos valorativos de obtener algunos valores.
A continuación, los estudiantes mencionan que “todos los probamos las diferentes casillas
para saber si la suerte era en nosotros, o la probabilidad realmente variaba dependiendo
de cada casilla de probabilidad”. Según lo expresado por ellos, aparece un significado
intuitivo de probabilidad (Batanero, 2005) con un matiz determinista que asocia a la
“suerte” la posibilidad de ocurrencia de cada evento dentro de la experiencia.
Figura15. Producción Juliana, Alison y Daniel.
82
Juliana, Alison y Daniel (figura 15) presentan en primer lugar una explicación verbal del
consenso al que llegaron declarando que “Hay más posibilidades de que saque en el dado
un número mayor que 1 porque hay cinco opciones diferentes”. A continuación aparece una
combinación de palabras y símbolos (=, números, flechas) que intentan plasmar la
experiencia atendiendo al espacio muestral que ofrece el dado y las condiciones que
presenta cada carril. La palabra “posibilidades” aparece en la producción relacionada con
los eventos (carril) y a su vez indica una breve explicación. La flecha sugiere un vínculo
entre las caras del dado que ofrecen favorabilidad para cada uno de los eventos. En la
producción escrita de los jóvenes, el proceso de objetivación frente a la designación del
valor de probabilidad de los eventos está mediatizado por la movilización de MSO como
números, palabras escritas y símbolos.
Estos signos plantean una determinación asociada a la incertidumbre. Juliana, Alison y
Daniel lograron identificar que el valor de probabilidad de los carriles no era equiprobable
en términos del número de caras favorables para cada evento a partir de su discriminación y
escogencia. Podemos observar que el registro escrito sugiere un indicio primario de espacio
muestral, como una forma de expresar una especie de proto-probabilidad a priori.
A continuación, identificamos el recurso a represenatciones escritas como MSO
ligeramente diferenciados para expresar el valor de probabilidad de cada carril.
Foto 1 Foto 3 Foto 2
Figura16 Modos de expresión semiótica del valor de probabilidad
83
En los tres registros presentados en la figura 16 es evidente el uso de la regla de Laplace
(1985/1914, citado en Batanero, 2005, p. 254) “como una fracción cuyo numerador es el
número de casos favorables y cuyo denominador el número de todos los casos posibles”,
para designar la probabilidad de cada carril. Las producciones de la foto 1 y 2 corresponden
a un proceso de objetivación de Iconicidad toda vez que traen a esta nueva experiencia
formas de representación de la probabilidad (figura 17) que emergió en el momento de la
socialización de la tarea “cara y sello” como una manera de cuantificar en términos
numéricos el valor de probabilidad. Sin embargo, aunque en la socialización en mención no
aparece la idea Laplaciana en todo el sentido de la palabra, si aparece la evocación de
referir probabilidad como una fracción que permite la comparación de dos elementos
presentes en la experiencia. En el juego ¿Quién llega primero? y de acuerdo a las
producciones podemos observar que los estudiantes usaron la regla de Laplace pues parece
ser que el espacio muestral del generador aleatorio (el dado) brindo la posibilidad de
recordar la relación casos favorables/casos totales vinculado a las condiciones por carril.
Figura17. Algunos registros escritos. Socialización tarea cara y sello.
84
Del mismo modo las tres producciones muestran una concentración de significado del valor
de probabilidad como un proceso de objetivación de Contracción semiótica que se dio entre
dos representaciones diferentes (figura 18 y 19) (Registro lengua natural (palabras escritas)
- Registro numérico (fracciones) e icónico; Registro lengua natural (palabras escritas) -
Registro numérico (fracciones, decimales, porcentajes), y dentro del mismo registro (figura
20) en términos de cambio de registro (Registro numérico (fracciones) - Registro numérico
(porcentajes) – Registro numérico (porcentajes)), en dónde se asigna significado
equivalente a las expresiones para designar el valor de probabilidad.
Figura18. Concentración de significado.
Lengua natural (palabras escritas) - Representación numérica (fracciones) e icónico
Figura 19. Concentración de significado.
Lengua natural (palabras escritas) - Representación numérica (fracciones, decimales, porcentajes)
85
En la producción de los estudiantes (figura 16), en la foto 1 aparece la designación del
carril a partir de su color y a continuación se relaciona con un cociente de la forma a/b en
donde a, b ϵ {1, 2, 3, 4, 5, 6} (a representa número de casos favorables y b representa el
número total de casos), a manera de definir la equiprobabilidad de ocurrencia de cualquiera
de las seis caras del dado y la no equiprobabilidad de los valores de probabilidad de los
carriles. Estas ideas están vinculadas al significado clásico de probabilidad (Batanero,
2005). El signo igual, que relaciona el color del carril con su expresión numérica (foto 1),
sugiere un significado como indicador de cierta conexión o correspondencia, esto es según
Molina, Castro, y Castro (2007, p. 9) un “significado impreciso del signo igual que refiere a
su uso entre objetos no matemáticos o de distinta naturaleza, como, por ejemplo […] entre
expresiones matemáticas y no matemáticas”.
En la foto 2 emerge en palabras la condición por carril, una representación icónica de dados
con las opciones posibles que parece desvelar una idea inicial de espacio muestral y una
fracción que parece establecer relación entre dichas opciones posibles con el total de caras
Figura 20. Concentración de significado. Cambio de registro numérico
(Fracciones, decimales, porcentajes)
86
del dado. Es decir que detrás de la representación gráfica queda implícita la designación del
espacio muestral.
En la fotografía 3 aparecen fracciones, decimales, porcentajes y palabras con la condición
de cada carril. En la producción de los estudiantes, el igual signo igual tiene preñado el
significado de Expresión de una equivalencia (Molina y Castro, 2006) al indicar que las
expresiones que se disponen a ambos lados del signo igual hacen referencia al mismo
objeto matemático. Este significado tiene tres acepciones diferentes según el tipo de
expresiones que compongan ambos miembros: Equivalencia estricta, simbólica y
numérica. Esta última es la que aparece en el escrito, pues presenta expresiones en ambos
miembros que tienen un mismo valor numérico, es decir, representan a un mismo número
(3
6= 0,5 ).
Estos hallazgos en el dominio del pensamiento probabilístico, creemos, se encuentran en
asonancia con lo sugerido por Radford (2013a), en tanto el saber (para nuestro caso de
estudio el saber asociado al no determinismo) ha sufrido prolongados procesos de
refinamiento y concreciones producto del ingenio y curiosidad humana a lo largo de la
historia que han quedado codificados en la memoria cultural y práctica con los que nos
topamos en espacios escolarizados y no escolarizados. El saber (Knowledge) se materializó
a través de la labor conjunta de los estudiantes de cada grupo, que dentro de un marco
cultural ya tiene impregnada unas formas de hacer, pensar y reflexionar acerca de los
objetos matemáticos puestos en juego. En las hojas de trabajo se muestra que este saber
asociado a situaciones aleatorias, como pura posibilidad, encontró formas de ser expresado
a través del registro de la lengua natural, registros numéricos, gráficos, que dieron cuenta
87
de MSO diferentes movilizados para dotar de sentido al objeto cultural valor de
probabilidad.
Episodio : Es más movido [1:30-1:45]
En L1, la intervención de la profesora a través de la pregunta “¿Ésta es la partida que están
jugando?”, centra la atención del grupo en la partida actual del juego, con el propósito de
establecer si los estudiantes mediante la experiencia llevada a cabo hasta ese momento
lograban establecer juicios a priori de las posibilidades por carril o por cuál carril resultaba
más conveniente circular en tanto se contaba con más opciones para ganar. La profesora se
involucra e involucra a los estudiantes en una mirada conjunta del juego. En L3 cuando la
maestra enuncia “Y acá, ¿quién ganó?”, es Juliana inicialmente quien acepta la invitación
de participar en la actividad y menciona en L4 “Daniel con número mayor que uno”. A
continuación, Alison se compromete con la labor que ha emergido y en L5 elocuta “Pues es
que mayor probabilidad de que pueda avanzar más rápido”, y acompaña su declaración
L1. Profesora: ¿Ésta es la partida que están jugando? [Refiriéndose al registro de juego
llevado por el grupo]
L2. Alison: sí, esta es
L3. Juliana: ¡Ésta! [Señala con el lápiz el registro actual de la partida]
L3. Profesora. Y acá, ¿quién ganó?
L4. Juliana: Daniel con número mayor que uno
L5. Alison: Pues es que mayor probabilidad de que pueda avanzar más rápido [señalando
en el tablero de juego con el dedo meñique el carril de color rosado foto 2]
L6. Profesora: ¿Será? ¿Por qué creen eso?
L7. Juliana: Pues…porque es más movido
Foto 1
88
con un movimiento corporal (foto 1). Continúa en L6 la Profesora “¿Será?, ¿Por qué creen
eso?, y Juliana en L7 concluye con la frase “Pues porque es más movido”.
Lo declarado por Alison (L5) y Juliana (L7) sugiere una percepción sensible de la
incertidumbre, en términos del movimiento – rapidez con que se mueve la ficha que circula
por el carril con la condición avanza con No. mayor que 1. La movilización de contenido
matemático es implícita y al parecer se relaciona con la frecuencia relativa del evento en
términos de apariciones de cierto tipo de caras en el dado, que para el caso favorecía a
Daniel. En términos microgenéticos, podemos observar en este pasaje de la labor conjunta,
cómo emergen rastros o características de un tipo de pensamiento, que no es el pensamiento
probabilístico en todo el sentido de la palabra, sino más bien un tipo de pensamiento
probabilístico temprano e intuitivo que surge de la experiencia (lanzar el dado y avanzar
según el criterio del carril) y propulsa en las jóvenes argumentaciones valorativas para
cuantificar la probabilidad como grado de creencia desde el uso del registro de la lengua natural
que se aleja de cálculos numéricos. Según García, Medina, y Sánchez (2014).
La probabilidad es una disciplina cuyo aprendizaje puede ayudar a desarrollar una
forma de pensamiento diferente de la que proporciona el aprendizaje de otras áreas de
la matemática (Fischbein y Snarch, 1997). En efecto, la probabilidad emergió de la
preocupación de resolver problemas asociados a situaciones de azar e incertidumbre
(Hacking, 1975; Batanero, Henry y Parzysz, 2005), conceptos que son ajenos a los
objetos de las demás ramas de la matemática. (p. 6)
De este modo, lo que emerge de la experiencia del juego es que la actividad en tanto evento
es consustancial al pensamiento, pues la manera como Juliana y Alison están pensando
probabilísticamente parece estar vinculada con las características del juego.
89
Lo anteriormente descrito muestra que la interacción discursiva, los gestos, las acciones,
etc., son desarrolladas en lo que Radford (2011, p. 6) denomina “un espacio de acción
conjunta en donde el pensamiento emerge como un fenómeno colectivo”. Este autor sugiere
la introducción de la categoría analítica togethering,
que da cuenta de la forma ética en la que los individuos se involucran, responden, y
sintonizar el uno al otro, a pesar de su desarrollo cognitivo, emocional y otras
diferencias. […] togethering no se refiere a cualquier forma en que los individuos se
reúnen para hacer algo, sino que captura la actividad práctica conjunta que tiene como
finalidad la realización de un objeto motivado colectivamente. (Radford, 2011, p. 236)
En este sentido, el saber asociado a la probabilidad se vuelve objeto de pensamiento a
través de la actividad.
4.2.3 Tarea 3: Blanco y negro
Para el desarrollo de esta tarea los estudiantes no realizaron experiencia empírica dado que
se contó con una representación icónica de la situación. Con esta tarea pretendíamos
inquirir sobre el valor de probabilidad de manera implícita y su posterior comparación. La
implementación varió respecto a las anteriores, ya que en la primera parte los estudiantes
tuvieron la oportunidad de enfrentarse a la tarea de forma individual, en esta parte se invitó
a los estudiantes a no borrar sus escritos. Cabe resaltar que aquí se les insinuó responder de
acuerdo a lo que cada uno interpretaba en los ítems propuestos ya que uno de los propósitos
era precisamente que el docente interviniera lo menos posible, con el fin de no sesgar o
condicionar las respuestas. Durante el trabajo individual empezaron a ser evidentes medios
semióticos utilizados por los estudiantes como el punteo y señalamiento, uso de
representaciones gráficas, para explicar algún tipo de simetría.
90
Estos MSO fueron gestos movilizados por los estudiantes para ellos mismos, los cuales les
ayudaron a definir y organizar sus intenciones y acciones personales para abordar la
situación. El acercamiento inicial a la tarea y la aproximación cualitativa del valor de
probabilidad de las urnas pasa primero por la actividad perceptual de los jóvenes dando
forma sensible y corpórea al pensamiento. Según Radford (2010b, p. XXXVI) las palabras
o gestos, son signos en sí mismos, que se constituyen en determinaciones sensibles de los
sujetos,
[…] los signos son considerados en un sentido amplio, como algo que abarca lo
escrito, los términos lingüísticos orales, símbolos matemáticos, gestos, etc. (Arzarello,
2006; Ernest, 2008; Radford, 2002). […] los signos no son considerados como meros
indicadores de la actividad mental. […] los signos son considerados como partes
constitutivas de pensamiento. En términos más precisos, […] pensar es una actividad
sensual reflexiva mediada por signos encarnados en la corporeidad de la acción,
Figura 21.Momento de trabajo individual
91
gestos y artefactos […]. El pensamiento es una forma versátil y sofisticada de acción
sensual, dónde diversos sentidos colaboran en el curso de una experiencia
multisensorial del mundo (Radford, 2009b).
De este modo los signos dan forma tangible al pensamiento tanto para comunicar a otros como para
mí mismo.
Posterior al trabajo individual, los estudiantes se reunieron en grupos de cuatro personas
para compartir sus resultados, escuchar a otros, llegar a acuerdos, y generar una producción
colectiva de sus razonamientos a propósito de la situación planteada por la tarea.
A continuación presentamos el análisis de David y Alison quienes hacían parte del mismo
equipo de trabajo. Hemos dividido el episodio en dos partes que a nuestro juicio presenta
un importante valor en consideración a nuestro objeto de estudio.
Episodio: El contraste y mi complemento
L1 David: Bueno yo pienso que es la misma probabilidad
L2. Profesora: O sea ¿no importaría si se elige A o se elige B?
L3. David: No, porque digamos las fichas blancas limitan la probabilidad, digamos o sea acá hay un
total de 4 fichas [señalando la urna A foto 1] y aquí hay ocho fichas [señalando la urna B foto 2] […]
acá podemos decir que hay el doble de fichas [urna B foto 3] que acá [urna A foto 4]. Entonces yo
corroboro esto […] digamos mira como la urna A tiene un total de cuatro fichas tres son negras y una
blanca digamos ehhh la probabilidad sería el cien por ciento son las cuatro fichas entonces cien
dividido en cuatro que es el total de las fichas es veinticinco por ciento pues veinticinco por ciento es la
probabilidad de que cualquier ficha salga.
Foto 1 Foto 2 Foto 3 Foto 4
92
En esta primera parte del episodio, David hace referencia a objetos icónicos a través del uso
del deíctico espacial acá. Llama la atención sobre la urna a la cual está haciendo referencia
para apoyar sus argumentos. El movimiento kinestésico de las manos también apoya su
intención comunicativa y centra la mirada en lo que desea poner de relieve cada vez. Para
el caso su intención es argumentar número total de balotas presentes en cada urna,
estableciendo una relación parte – todo, esto es, balotas negras y total de balotas asignando
a éste último el valor de 100% y encuentra el valor de probabilidad de cada balota
(independiente del color) para luego calcular el valor de acuerdo al total de balotas negras
cuando elocuta “la probabilidad sería el cien por ciento son las cuatro fichas entonces cien
dividido en cuatro que es el total de las fichas es veinticinco por ciento pues veinticinco por
ciento es la probabilidad de que cualquier ficha salga”. Asocia al total de balotas por urna
como el cien por ciento, es decir que está considerando de modo implícito el considerar el
evento de escoger una u otra urna como mutuamente excluyentes pues aunque no lo
menciona cada urna tiene la misma probabilidad de ser escogida (50%). Cuando menciona
“acá podemos decir que hay el doble de fichas”, está estableciendo una relación de
equivalencia entre el número de balotas y el número de balotas blancas.
David recurre a su movimiento corporal y a la verbalización de uso de expresiones
numéricas posiblemente porque en palabras de Batanero (2006)
[…] la probabilidad no es una propiedad física tangible- por tanto objetiva de los
sucesos que nos afectan (como sería el peso, color, superficie, temperatura) sino una
percepción o grado de creencia en la verosimilitud de la persona que asigna la
probabilidad sobre la plausibilidad de ocurrencia del suceso (que ocurrirá o no). (p. 5)
93
De acuerdo a lo mencionado por David (L5) en contraste con su producción escrita,
claramente identifica una congruencia o verosimilitud de las probabilidades basándose en la
observación del número de balotas en cada una de ellas.
Sus argumentos reposan en respaldos porcentuales que sugieren simetría de posibilidades
en las urnas y a su vez esboza una perspectiva clásica de la probabilidad. Y finalmente
decide que resulta indiferente la urna elegida toda vez que su valor de probabilidad es
equivalente.
Foto 5. Producción de David
L4: Profesora: ¿En cuál urna?
L5. David: La A, digamos que salga una negra otra blanca una negra y así, veinticinco por ciento es la
probabilidad de cada ficha entonces como hay tres fichas negras, entonces sumé tres veces veinticinco que
sería setenta y cinco por ciento, setenta y cinco por ciento sería la probabilidad de que salgan fichas negras.
Y veinticinco sería solo la ficha blanca. Entonces este caso se me presenta digamos con la urna B digamos
la probabilidad de que saque cualquier ficha es doce punto cinco por ciento, el cien por ciento dividido en
ocho que es el total de las fichas entonces doce punto cinco es la probabilidad de cada ficha que salga
entonces otra vez lo sume seis veces que es el total de las negras y eso me dio el setenta y cinco por ciento
otra vez o sea setenta y cinco por ciento es la probabilidad de que salgan fichas negras y veinticinco [foto5]
94
En esta parte del episodio Alison recurre a la realización de señalamientos utilizando su
esfero. De manera análoga Alison hace uso de los señalamiento y el deíctico espacial acá
para focalizar la atención en los aspectos que ella considero relevantes. Alison
presuntamente observa que en la urna hay el doble de balotas de cada color respectoa a la
urna al decir “si acá hay cuatro […] acá hay ocho”. Estas acciones semióticas denotan
L6. Alison: Ehhhh pues para mí era como ya te había dicho hay las mismas probabilidades ya que en
la B [Señala con el esfero la urna B foto 1] aumentan como… las fichas, si acá hay cuatro [Desliza
horizontalmente el esfero la urna A foto 2] acá hay ocho [Señala con el esfero la urna B foto 3.]. Acá
hay una sola blanca [Señala con el esfero la balota blanca en la urna A foto 4 ] y entonces acá ya
aumenta la ficha blanca si [Señala con el esfero la balota blanca en la urna A foto 5 ]…lo mismo
pasa con las negras entonces pues como que de hecho acá [Señala con el esfero la expresión ¾ foto
6] o sea que en la A son tres negras de cuatro fichas totales y acá en la B son seis negras de ocho
totales [Señala con el esfero la expresión 6/8 foto 7]
Foto
2
Foto
1
Foto
4
Foto
5
Foto
3
Foto
7
Foto
6
95
determinaciones sensibles de Alison. El deíctico acá, está relacionado con la representación
icónica presente en la tarea. Aquí, el lenguaje natural sirve de apoyo a la comunicación del
pensamiento de Alison, lo cual sugiere que algunos elementos de este lenguaje (deícticos espaciales
y temporales, por ejemplo) quedan implícitos, atrapados, en el registro numérico (Vergel, En
prensa-2).
Los dos estudiantes llegaron a cuantificar el valor de probabilidad mediante
representaciones numéricas diferentes. Estas se complementan y enriquecen, cuestión que
se hace evidente cuando Alison dice “Entonces yo digo que es la misma probabilidad y
pues yo lo concreté con lo que él hizo y entonces llegamos a un acuerdo pues de que era
igual”.
Las expresiones numéricas utilizadas por Alison y David materializan o actualizan el saber
probabilístico, entendido como una síntesis histórica y culturalmente codificada de hacer y
L7. Profesora: ¿Qué significa la bolita que tienes dibujada al lado de cada número?
L8. Alison: Ehhhh acá las fichas negras [señala en la fracción la bolita negra] y acá que son de las
dos [Señala en la fracción la bolita pintada, mitad negro mutad blanco] blancas y negras. Entonces
yo digo que es la misma probabilidad y pues yo lo concreté con lo que él hizo [Refiriéndose a
David] y entonces llegamos a un acuerdo pues de que era igual
Foto 8. Producción de Alison
96
reflexionar sobre el azar en términos numéricos. Trabajando juntos, los estudiantes han
logrado capturar ciertos aspectos del pensamiento probabilístico que han empezado a ser
claros e incorporados en el background de los estudiantes. Esto es, siguiendo a Wartofsky
(1987, citado en Radford, 2015c, p. 2), “[…] la adquisición del saber es fundamentalmente
un modo de acción humana […] inseparable de la historicidad de estos modos, esto es, de
su cambio histórico y el desarrollo”.
97
Capítulo 5
Conclusiones y resultados
Para dar norte a nuestro estudio, propusimos la pregunta orientadora ¿Qué procesos de
objetivación desarrollan estudiantes de grado décimo al abordar tareas sobre asignación
de probabilidad?. Esta pregunta la operativizamos a través del objetivo general y los
objetivos específicos.
De acuerdo con el primer objetivo específico Describir los medios semióticos de
objetivación emergentes en la actividad matemática de los estudiantes de grado décimo a
partir de la implementación de una serie de tareas en torno a la asignación de
probabilidad de eventos, debemos mencionar que a partir de la revisión documental tanto
de la TO como de la literatura relacionada con el pensamiento probabilístico, adaptamos
tres tareas sobre asignación de valor de probabilidad y su validación se realizó al
someterlas a juicio de experto en términos disciplinares y didácticos. Las tareas fueron
implementadas en tres sesiones de clase (100 min. Aprox.).
Las tareas tuvieron un sentido lúdico que propició un ambiente de confianza para la
discusión, intercambio de argumentos, escuchar y ser escuchado, es decir, que facilitara una
participación activa de los estudiantes en la actividad conjunta.
Con la idea de juego de azar (en términos de la emergencia histórica del estudio de la
probabilidad), que se encontraba a la base de las tareas se evidenció la imposibilidad de
predicción de eventos aleatorios, y llevar un registro del juego facultó a los estudiantes a
aventurarse a generar y comprobar hipótesis.
98
En términos disciplinares, las tareas permitieron el recuento sistemático, la sistematización
de la información (recogida, organización y análisis de datos), la designación del valor
probabilidad de eventos a partir de la comparación cualitativa y cuantitativa de las
probabilidades de los sucesos en procura de llevar a los estudiantes a la movilización de
contenido matemático para la realización de comparaciones y comprobaciones a sus
conjeturas.
Con relación a los MSO emergentes en la actividad matemática de los estudiantes, podemos
afirmar que se establecieron categorías teóricas para su identificación (gestos, actividad
perceptual, señalamientos, inscripciones, uso de artefactos, ritmicidad, lenguaje). Contamos
con las categorías de Contracción semiótica e Iconicidad como procesos de objetivación
para analizar la evolución de los MSO que nutren estos procesos. Más específicamente, la
Contracción semiótica como concentración de significado en palabras clave o expresiones
numéricas y la Iconicidad como la evocación de un modo de reflexión que es traído a nueva
experiencia. También logramos identificar nodos semióticos al momento en el que los
estudiantes movilizaban en un segmento de la actividad semiótica de manera sincrónica
más de un recurso.
El gesto, los signos indexicales, las representaciones semióticas, entre otros, como MSO y
su inherente carácter mediatizador en contextos relacionados con el azar y la probabilidad
pueden ser interpretados desde la TO (Radford, 2005), como parte de los medios que
facultan a los estudiantes para percatarse de los aspectos conceptuales (en el caso aquí
presentado) del objeto valor de probabilidad, pues coadyuvaron a los estudiantes a advertir
las relaciones matemáticas, a materializar sus intenciones y planear sus acciones.
99
Respecto al segundo objetivo específico Caracterizar los medios semióticos de
objetivación movilizados y analizar su evolución, a continuación explicitamos los MSO
movilizados durante el desarrollo de las tareas:
Describir– (lengua natural), este MSO fue introducido por los estudiantes, en donde se
utilizó en sus escritos palabras del lenguaje cotidiano y palabras clave “a la suerte” “la
posibilidad de” “entonces era lo mismo”, “este tenía más posibilidades
Señalamiento - (Kinestésico -signo en el aire), este medio semiótico en especial fue
empleado para hacer visible algo. Funcionó como apoyo a la parte discursiva. Muestra de
actividad perceptual.
Representaciones tabulares - (Registro escrito), emergió como una forma de llevar el
registro de juego
Representaciones numéricas – (Registro escrito), se presentaron representaciones
numéricas en forma de fracción, porcentajes y decimales. Estas representaciones
funcionaron como un sustento matemático relacionando parte – parte, todo – parte y parte
- todo., este último como evocación de la regla de Laplace según el significado clásico de
probabilidad.
Deixis, uso de deícticos espaciales “digamos acá son”,” “por aquí se mueve más rápido” –
deixis en fantasma, en ausencia del objeto. La emergencia de los deícticos permitió a los
estudiantes planificar sus acciones en tiempo y espacio para el abordaje de las tareas en
términos de la cuantificación del azar presente en las experiencias.
Uso de artefactos, emergió el uso de artefactos culturales como la calculadora para la
transformación de representaciones numéricas (fracción – porcentajes – decimales) y el
celular para llevar un registro del juego.
100
Gestos, como signos portadores de significado aparecieron en la actividad matemática con
una intención comunicativa en apoyo a la parte discursiva.
A su vez encontramos los siguientes nodos semióticos, toda vez que se presentaron registros de
diferente naturaleza de manera sincrónica.
Discurso (lengua natural) – Movimiento corporal (kinestésico)- proveniente de un solo
estudiante, las explicaciones hechas de manera verbal (palabra hablada) se acompañaban de
movimiento de las manos o señalamientos con los dedos o el lápiz (signos en el aire).
Discurso (lengua natural) – Movimiento corporal (kinestésico), provenientes de estudiantes
diferentes, en la labor conjunta el discurso de un estudiante fue acompañado por el discurso y la
actividad perceptual de otro configurando un solo argumento.
De acuerdo al análisis multimodal de la actividad matemática de los estudiantes,
encontramos Procesos de Objetivación,
Contracción semiótica, Concentración de significado, en un esfuerzo por discriminar la
información que relevante del juego. Para el caso, la mencionada equiprobabilidad (como
igualdad de posibilidades de obtener cara o sello) conlleva a proponer una forma de pensar
acerca de la incertidumbre a través de la movilización de representaciones numéricas
Iconicidad, las tablas parecen ser evocadas por los estudiantes como una manera de
organizar la información suministrada durante el juego. Esto es evidencia de un proceso de
iconicidad desarrollado por los estudiantes mediante la utilización de un esquema trabajado
en otro momento de su escolaridad que transfieren a esta nueva situación.
También se presentó Iconicidad al evocar la regla de Laplace utilizada por otros estudiantes
durante la socialización de la tarea 1 y que fue utilizada por algunos de ellos en las tareas 2
y 3.
101
Creemos que los resultados encontrados vinculados al pensamiento probabilístico
ambientados por la tarea, propiciaron en los estudiantes la emergencia de múltiples modos
de materializar su pensamiento (uso de tablas, celulares, palabras, registros escritos) que
parecen desvelar formas de pensamiento apoyadas en ideas relacionadas con el azar e ideas
primarias de equiprobabilidad, que muestran ciertos grados de conciencia del objeto
conceptual.
En cuanto al análisis microgenético realizado, logramos inferir que los diversos recursos
semióticos MSO movilizados por los estudiantes en la tarea (los gestos, el habla, la mirada,
la escritura, y movimiento corporal) son portadores de significado y funcionan como
mediatizadores del pensamiento en la actividad de matemática en la sala de clase a
propósito de tareas no deterministas..
De esta manera, se dio cumplimiento al objetivo general Describir y analizar los procesos
de objetivación desarrollados por estudiantes de grado décimo al abordar tareas referidas
a asignación de probabilidad de un evento,
Según Elizarrarás (2014, p. 18), el “pensamiento probabilístico es la capacidad de todo
individuo (como ser social) para advertir la incertidumbre que suele presentarse en diversas
situaciones en su interacción con el entorno”, y la importancia de su estudio parece ser
validada por un lado en tanto su aplicabilidad en diferentes contextos y campos del saber y
de otro por aportar al fortalecimiento del pensamiento crítico y reflexivo en los individuos
(en términos de soluciones alternativas de problemas, toma de decisiones, entre otros)
fundamentado en argumentos matemáticos que le proveen de un cristal estructurado para
leer fenómenos reales.
102
Reflexionar sobre este complejo y a la vez útil pensamiento, nos conmina a considerar
algunos elementos que han sido objeto de estudio en Educación Estocástica desde la idea
de probabilidad como cuantificación del grado de creencia frente a la ocurrencia de un
evento en relación a su espacio muestral y la identificación de los elementos que lo
componen.
En consideración al análisis reportado de la actividad matemática de los estudiantes,
identificamos algunos vectores26 que a nuestro juicio revelan rasgos que, sin ser
exhaustivos, caracterizan el desarrollo del pensamiento probabilístico. Estos estarían
asociados a:
Irreversibilidad del fenómeno.
Incertidumbre frente a la imposibilidad de predicción.
Azar respecto a las secuencias aleatorias producto de la manipulación de generadores
de azar.
Creemos que estos vectores han estado presentes en la evolución histórica de este tipo de
pensamiento como un esfuerzo humano colectivo que ha sido refinado a través de la
historia y lleva consigo la huella de formas de reflexionar y actuar de generaciones pasadas.
Los hallazgos en este estudio respecto a los MSO movilizados durante la actividad
matemática de los estudiantes podrían imbricarse con los vectores mencionados líneas atrás
al sugerir un estudio mucho más minucioso y exhaustivo de los MSO, su evolución y una
posible caracterización de estratos de pensamiento probabilístico, lo cual nos permitiría
profundizar en la comprensión de estas formas de pensamiento, a su vez que tendríamos
luces acerca de la manera como emerge este tipo de pensamiento.
26 Estos vectores coinciden parcialmente con las Grandes Ideas propuestas por Gal, (2005).
103
Resaltamos que el presente estudio es un acercamiento inicial a observar como aparecen las
formas de pensamiento probabilístico en la sala de clase, abriendo posibilidades de
indagación a la luz de la TO. Es una invitación a fortalecer esta línea de investigación.
Sugerimos algunos cuestionamientos que quedan abiertos a propósito de este estudio,
Formular un estudio que analice la actividad matemática alrededor de tareas diseñadas
para cada uno de los significados de probabilidad.
Caracterizar estratos de generalidad, que puedan verse como formas de pensamiento
probabilístico que faciliten comprender la emergencia de este pensamiento en
estudiantes jóvenes.
Explorar a fondo las formas de expresión frente a los vectores señalados líneas atrás,
pues dada la naturaleza de los objetos conceptuales en el campo de la probabilidad, es
posible que las formas de pensamiento probabilístico esgriman unas características
particulares y diferenciadas respecto al pensamiento determinista.
Desde la posición ética de la TO en términos de considerar el proceso de objetivación
como un proceso emocional desde una perspectiva histórico cultural, valdría la pena
indagar en el campo del Dominio Afectivo en Matemática educativa en su componente
emocional, en particular acerca de las categorías de aburrimiento e interés en la clase de
probabilidad en torno a una serie de tareas sugeridas. Dado que este tema ha sido
ampliamente estudiado a nivel psicológico, sería interesante encontrar puntos de
convergencia con una postura sociocultural como la TO.
104
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