Transformaciones Lineales
PREGUNTA: Que significa que T : A → B sea una funcion del conj A alConj B?.
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Transformaciones Lineales
PREGUNTA: Que significa que T : A → B sea una funcion del conj A alConj B?.
Recuerde que al subconjunto de B formado por todas las imagenes de loselementos de A lo llamamos conjunto imagen de T y lo denotamosIm(T).
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Transformaciones Lineales
DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Consideremos la funcion T : R3 → R2, tal que
T
x
y
z
=
(
x − 2y2z − x
)
. Verifiquemos que T es una transformacion lineal.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea T : R3 → P2, tal que T
a
b
c
= (a+ c)x + 2bx2. Verifique
que T es una transformacion lineal.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea T : R2 → P2, tal que T
(
a
b
)
= 1 + ax + 2bx2. Determine si
T es una transformacion lineal.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea A una matriz m × n y sea T : Rn → Rm la funcion tal que
T(x) = Ax . Determinemos si T es una transformacion lineal.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea A una matriz m × n y sea T : Rn → Rm la funcion tal que
T(x) = Ax . Determinemos si T es una transformacion lineal.
OBS A las transformaciones lineales, T(x) = Ax , las llamamostransformaciones matriciales.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea A una matriz m × n y sea T : Rn → Rm la funcion tal que
T(x) = Ax . Determinemos si T es una transformacion lineal.
OBS A las transformaciones lineales, T(x) = Ax , las llamamostransformaciones matriciales.
Por ejemplo
T
(
x
y
z
)
=
(
x − 2y
2z − x
)
= x
(
1
−1
)
+ y
(
−2
0
)
+ z
(
0
2
)
=
(1 −2 0
−1 0 2
)
︸ ︷︷ ︸
A
(
x
y
z
)
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Verifique que la funcion que a cada punto de R2 le asigna el punto
de su reflexion a traves del Eje X es una transformacion lineal.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Verifique que la funcion que a cada punto de R2 le asigna el punto
de su reflexion a traves del Eje X es una transformacion lineal.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Verifique que la funcion que a cada punto de R2 le asigna el punto
de su reflexion a traves del Eje X es una transformacion lineal.
De aqui, es facil ver que la funcion en cuestion es T : R2 → R2, donde
T
(
a
b
)
=
(
a
−b
)
.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Verifique que la funcion que a cada punto de R2 le asigna el punto
de su reflexion a traves del Eje X es una transformacion lineal.
De aqui, es facil ver que la funcion en cuestion es T : R2 → R2, donde
T
(
a
b
)
=
(
a
−b
)
= a
(
1
0
)
+ b
(
0
−1
)
=
(1 0
0 −1
)
︸ ︷︷ ︸
(
a
b
)
.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Verifique que la funcion que a cada punto de R2 le asigna el punto
de su reflexion a traves del Eje X es una transformacion lineal.
De aqui, es facil ver que la funcion en cuestion es T : R2 → R2, donde
T
(
a
b
)
=
(
a
−b
)
= a
(
1
0
)
+ b
(
0
−1
)
=
(1 0
0 −1
)
︸ ︷︷ ︸
(
a
b
)
.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea T : V → W la funcion tal que T(v) = 0 para todo v ∈ V .Verifique que T es una transformacion lineal.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea T : V → W la funcion tal que T(v) = 0 para todo v ∈ V .Verifique que T es una transformacion lineal.
SOL Sean v1 y v2 vectores de V . Por ser V un espacio vectorial,v1 + λv2 ∈ V y por tanto, T(v1 + λv2) = 0. De otro lado,T(v1) + λT(v2) = 0+ λ0 = 0.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea T : V → W la funcion tal que T(v) = 0 para todo v ∈ V .Verifique que T es una transformacion lineal.
SOL Sean v1 y v2 vectores de V . Por ser V un espacio vectorial,v1 + λv2 ∈ V y por tanto, T(v1 + λv2) = 0. De otro lado,T(v1) + λT(v2) = 0+ λ0 = 0.
OBS A esta transformacion lineal la llamamos transformacion nula.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea T : V → V la funcion tal que T(v) = v para todo v ∈ V .Verifique que T es una transformacion lineal.
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DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea T : V → V la funcion tal que T(v) = v para todo v ∈ V .Verifique que T es una transformacion lineal.
SOL Sean v1 y v2 vectores de V . Por ser V un espacio vectorial,v1 + λv2 ∈ V y por tanto, T(v1 + λv2) = v1 + λv2. De otro lado,T(v1) + λT(v2) = v1 + λv2.
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Transformaciones Lineales
DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,
1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)
2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)
EJEM Sea T : V → V la funcion tal que T(v) = v para todo v ∈ V .Verifique que T es una transformacion lineal.
SOL Sean v1 y v2 vectores de V . Por ser V un espacio vectorial,v1 + λv2 ∈ V y por tanto, T(v1 + λv2) = v1 + λv2. De otro lado,T(v1) + λT(v2) = v1 + λv2.
OBS A esta transformacion lineal la llamamos transformacion identica.
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean T : V → W una transformacion lineal, v1, v2, . . . , vn vectoresde V y λi ∈ R. Entonces,
T(λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + · · ·+ λnT(vn).
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean T : V → W una transformacion lineal, v1, v2, . . . , vn vectoresde V y λi ∈ R. Entonces,
T(λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + · · ·+ λnT(vn).
CORO Sean T : V → W una transformacion lineal, entonces,
T(0) = 0.
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean T : V → W una transformacion lineal, v1, v2, . . . , vn vectoresde V y λi ∈ R. Entonces,
T(λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + · · ·+ λnT(vn).
CORO Sean T : V → W una transformacion lineal, entonces,
T(0) = 0.
OBS: El TEO anterior tambien establece que, para el caso de lastransformaciones lineales de R
n a Rm, las rectas son enviadas en rectas o
puntos y los planos son enviados en planos, rectas o puntos. Es decir,
Una T .L envia subespacios de dimension k en un subespacio dedimension igual o menor a k
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V yT : V → W y S : V → W dos transformaciones lineales.
T = S, si y solo si, S(v1) = T(v1),S(v2) = T(v2), . . . ,S(vn) = T(vn).
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V yT : V → W y S : V → W dos transformaciones lineales.
T = S, si y solo si, S(v1) = T(v1),S(v2) = T(v2), . . . ,S(vn) = T(vn).
DEM: (⇒) TRIVIAL.
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V yT : V → W y S : V → W dos transformaciones lineales.
T = S, si y solo si, S(v1) = T(v1),S(v2) = T(v2), . . . ,S(vn) = T(vn).
DEM: (⇒) TRIVIAL.
(⇐) Sea v ∈ V entonces ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn
T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)
= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V yT : V → W y S : V → W dos transformaciones lineales.
T = S, si y solo si, S(v1) = T(v1),S(v2) = T(v2), . . . ,S(vn) = T(vn).
DEM: (⇒) TRIVIAL.
(⇐) Sea v ∈ V entonces ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn
T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)
= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)
= λ1S(v1) + λ2S(v2) + . . .+ λnS(vn)
= S(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)
= S(v)
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
(⇒) Sea v ∈ V luego ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn. ahora siwi = T(vi ) entonces
T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)
= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
(⇒) Sea v ∈ V luego ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn. ahora siwi = T(vi ) entonces
T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)
= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
(⇒) Sea v ∈ V luego ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn. ahora siwi = T(vi ) entonces
T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)
= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)
= λ1w1 + λ2w2 + . . .+ λnwn
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
(⇒) Sea v ∈ V luego ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn. ahora siwi = T(vi ) entonces
T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)
= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)
= λ1w1 + λ2w2 + . . .+ λnwn
Veamos la unicidad de esta transformacion. Supongamos que existen dostransformaciones lineales T y S tales que T(vi ) = wi = S(vi ). porteorema, S = T
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
EJEM: Sea T : P2 → R3 la transformacion lineal tal que
T(1) = (1 0 0)T , T(x) = (1 1 0)T y T(x2) = (1 1 1)T .
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
EJEM: Sea T : P2 → R3 la transformacion lineal tal que
T(1) = (1 0 0)T , T(x) = (1 1 0)T y T(x2) = (1 1 1)T .
SOL: Dado que 1, x , x2 es la base canonica de P2, entoncesa+ bx + cx2 = a(1) + b(x) + c(x2),
T(a+bx+cx2) = aT(1)+bT(x)+cT(x2) = a
100
+b
110
+c
111
=
a+ b +b + c
c
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
EJEM: Dados los vectores u1 = (−1 3 − 2)T y u2 = (2 0 1)T de R3,
encontremos una transformacion lineal T de R2 en el plano
H = gen{u1,u2} de R3.
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
EJEM: Dados los vectores u1 = (−1 3 − 2)T y u2 = (2 0 1)T de R3,
encontremos una transformacion lineal T de R2 en el plano
H = gen{u1,u2} de R3.
SOL: Hallemos a la T.L de T : R2 → H.
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
EJEM: Dados los vectores u1 = (−1 3 − 2)T y u2 = (2 0 1)T de R3,
encontremos una transformacion lineal T de R2 en el plano
H = gen{u1,u2} de R3.
SOL: Hallemos a la T.L de T : R2 → H. Si tomamos {e1, e2}, la basecanonica de R
2, podemos definir T(e1) = u1 y T(e2) = u2, de talmanera que
T
(
x
y
)
= xT(e1) + yT(e2) = x
−13−2
+ y
201
=
−x + 2y3x
−2x + y
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Teoremas de Transformaciones Lineales
TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .
EJEM: Dados los vectores u1 = (−1 3 − 2)T y u2 = (2 0 1)T de R3,
encontremos una transformacion lineal T de R2 en el plano
H = gen{u1,u2} de R3.
SOL: Hallemos a la T.L de T : R2 → H. Si tomamos {e1, e2}, la basecanonica de R
2, podemos definir T(e1) = u1 y T(e2) = u2, de talmanera que
T
(
x
y
)
= xT(e1) + yT(e2) = x
−13−2
+ y
201
=
−x + 2y3x
−2x + y
Existe otra transformacion lineal de R2 en el plano H?
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Espacios Vectoriales Asociados a una Trans Lineal
Nucleo T
DEF: Dada una transformacion lineal T : V → W , definimos nucleo deT como el conjunto Nu(T) de todos los vectores de V cuya imagen es elvector 0 de W . En otras palabras,
Nu(T) = {v ∈ V : T (v) = 0}.
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Espacios Vectoriales Asociados a una Trans Lineal
Nucleo T
DEF: Dada una transformacion lineal T : V → W , definimos nucleo deT como el conjunto Nu(T) de todos los vectores de V cuya imagen es elvector 0 de W . En otras palabras,
Nu(T) = {v ∈ V : T (v) = 0}.
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Espacios Vectoriales Asociados a una Trans Lineal
Imagen de T
DEF: Dada una transformacion lineal T : V → W , definimos imagen deT como el conjunto Im(T) de todos los vectores w de W para los cualesexiste un vector v de V , tal que T(v) = w. En otras palabras,
Im(T) = {w ∈ W : existe v ∈ V tal que T(v) = w}.
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Espacios Vectoriales Asociados a una Trans Lineal
Imagen de T
DEF: Dada una transformacion lineal T : V → W , definimos imagen deT como el conjunto Im(T) de todos los vectores w de W para los cualesexiste un vector v de V , tal que T(v) = w. En otras palabras,
Im(T) = {w ∈ W : existe v ∈ V tal que T(v) = w}.
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Imagen y Rango de T
EJEM: Consideremos la transformacion lineal T : M2×2 → M2×2, tal
que T
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 c + d
)
e identifiquemos el Nu(T) e Im(T).
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Imagen y Rango de T
EJEM: Consideremos la transformacion lineal T : M2×2 → M2×2, tal
que T
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 c + d
)
e identifiquemos el Nu(T) e Im(T).
SOL: Porque el
Nu(T) ={
(
0 0−r r
)
: r ∈ R
}
y Im(T) ={
(
r s
0 t
)
: r , s, t ∈ R
}
Algebra Lineal Basica
Imagen y Rango de T
EJEM: Consideremos la transformacion lineal T : M2×2 → M2×2, tal
que T
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 c + d
)
e identifiquemos el Nu(T) e Im(T).
SOL: Porque el
Nu(T) ={
(
0 0−r r
)
: r ∈ R
}
y Im(T) ={
(
r s
0 t
)
: r , s, t ∈ R
}
EJEM: Sea T : P2 → R3 la transformacion lineal
T (a+ bx + cx2) =
a+ b + c
b + c
c
. Identifiquemos Nu(T) e Im(T).
Algebra Lineal Basica
Imagen y Rango de T
EJEM: Consideremos la transformacion lineal T : M2×2 → M2×2, tal
que T
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 c + d
)
e identifiquemos el Nu(T) e Im(T).
SOL: Porque el
Nu(T) ={
(
0 0−r r
)
: r ∈ R
}
y Im(T) ={
(
r s
0 t
)
: r , s, t ∈ R
}
EJEM: Sea T : P2 → R3 la transformacion lineal
T (a+ bx + cx2) =
a+ b + c
b + c
c
. Identifiquemos Nu(T) e Im(T).
SOL: Porque elNu(T) = {0} y Im(T) = R
3
Algebra Lineal Basica
Imagen y Rango de T
EJEM: Consideremos la transformacion lineal T : M2×2 → M2×2, tal
que T
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 c + d
)
e identifiquemos el Nu(T) e Im(T).
SOL: Porque el
Nu(T) ={
(
0 0−r r
)
: r ∈ R
}
y Im(T) ={
(
r s
0 t
)
: r , s, t ∈ R
}
EJEM: Sea T : P2 → R3 la transformacion lineal
T (a+ bx + cx2) =
a+ b + c
b + c
c
. Identifiquemos Nu(T) e Im(T).
SOL: Porque elNu(T) = {0} y Im(T) = R
3
En efecto, la Im(T) = R3 pues dado (p q r)T ∈ R
3 existe p(x) ∈ P2 talque T((p − q) + (q − r)x + rx2) = (p q r)T
Algebra Lineal Basica
Imagen y Rango de T
EJEM: Determine cuales de las siguientes funciones son transformacioneslineales. En caso de que sean Hallar su Nucleo y Imagen como susdimensiones
T : R3 → R2 tal que T(a b c)T = (2a b − 3c)T
T : R2 → P1 tal que T(a b)T = (1 + a)− 2bx
T : R → P2 tal que T(a) = a+ 2ax + 3ax2
T : P2 → P2 tal que T(a + bx + cx2) = a+ x − (b + c)x2
T : P2 → P1 tal que T(p(x)) = p′(x)
T : P2 → P3 tal que T(p(x)) = xp(x)
T : M2×2 → P2 tal que T
(
a b
c d
)
= a+ bx + cx2
T : R3 → R2 tal que T (a b c)T = (a 2b − 3c)T
T : R2 → R3 tal que T (a b)T = (−3a b + a b)T
T : R3 → R2 tal que T(x y z)T = (x − y x − z)T
T : R3 → R3 tal que T(x y z)T = (x − y + z 0 0)T
Algebra Lineal Basica
Imagen Y Rango de T
TEO Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformacionlineal. Entonces
Nu(T) es subespacio vectorial de V .
Im(T) es subespacio vectorial de W .
Algebra Lineal Basica
Imagen Y Rango de T
TEO Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformacionlineal. Entonces
Nu(T) es subespacio vectorial de V .
Im(T) es subespacio vectorial de W .
DEM 1 El vector 0 es un elemento de Nu(T), ası que Nu(T) 6= ∅.
Algebra Lineal Basica
Imagen Y Rango de T
TEO Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformacionlineal. Entonces
Nu(T) es subespacio vectorial de V .
Im(T) es subespacio vectorial de W .
DEM 1 El vector 0 es un elemento de Nu(T), ası que Nu(T) 6= ∅. Ahorasea, u, v ∈ Nu(T) y un escalar λ ∈ R, luego tenemos que T(u) = 0 yT(v) = 0, de modo que
T(u+ λv) = T(u) + λT(v) = 0+ λ0 = 0
de donde concluimos que u+ λv estan en Nu(T).
Algebra Lineal Basica
Imagen Y Rango de T
TEO Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformacionlineal. Entonces
Nu(T) es subespacio vectorial de V .
Im(T) es subespacio vectorial de W .
DEM 1 El vector 0 es un elemento de Nu(T), ası que Nu(T) 6= ∅. Ahorasea, u, v ∈ Nu(T) y un escalar λ ∈ R, luego tenemos que T(u) = 0 yT(v) = 0, de modo que
T(u+ λv) = T(u) + λT(v) = 0+ λ0 = 0
de donde concluimos que u+ λv estan en Nu(T).
DEM 2 Como 0 ∈ Im(T), ası que Im(T) 6= ∅.
Algebra Lineal Basica
Imagen Y Rango de T
TEO Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformacionlineal. Entonces
Nu(T) es subespacio vectorial de V .
Im(T) es subespacio vectorial de W .
DEM 1 El vector 0 es un elemento de Nu(T), ası que Nu(T) 6= ∅. Ahorasea, u, v ∈ Nu(T) y un escalar λ ∈ R, luego tenemos que T(u) = 0 yT(v) = 0, de modo que
T(u+ λv) = T(u) + λT(v) = 0+ λ0 = 0
de donde concluimos que u+ λv estan en Nu(T).
DEM 2 Como 0 ∈ Im(T), ası que Im(T) 6= ∅. Ahora, si w1,w2 ∈ Im(T)y un escalar λ ∈ R, tenemos que existen v1, v2 ∈ V tales que T(v1) = w1
y T(v2) = w2, de modo que
w1 + λw2 = T(v1) + λT(v2) = T(v1 + λv2)
de donde concluimos que w1 + λw2 estan en Im(T).Algebra Lineal Basica
Matriz Asociada a una Transformacion Lineal
DEF: Dadas la transformacion lineal T : V → W y las basesB = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V y W , respectivamente, definimos lamatriz asociada a T respecto a las bases B y B′ a la matriz
[AT ]BB
′
=
[
[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′
]
.
denotaremos simplemente por AT a la matriz asociada a latransformacion lineal, respecto a las bases dadas.
Algebra Lineal Basica
Matriz Asociada a una Transformacion Lineal
DEF: Dadas la transformacion lineal T : V → W y las basesB = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V y W , respectivamente, definimos lamatriz asociada a T respecto a las bases B y B′ a la matriz
[AT ]BB
′
=
[
[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′
]
.
denotaremos simplemente por AT a la matriz asociada a latransformacion lineal, respecto a las bases dadas.
EJEM: Sea T : P2 → R2 la transformacion lineal tal que
T(a+ bx + cx2) =
(
a− b
c
)
y sean B = {1, 1 + x , 1 + x − x2} y B′ = {e1, e2} bases de P2 y R2,
respectivamente. Encontremos
AT =
.Algebra Lineal Basica
Matriz Asociada a una Transformacion Lineal
DEF: Dadas la transformacion lineal T : V → W y las basesB = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V y W , respectivamente, definimos lamatriz asociada a T respecto a las bases B y B′ a la matriz
[AT ]BB
′
=
[
[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′
]
.
denotaremos simplemente por AT a la matriz asociada a latransformacion lineal, respecto a las bases dadas.
EJEM: Sea T : P2 → R2 la transformacion lineal tal que
T(a+ bx + cx2) =
(
a− b
c
)
y sean B = {1, 1 + x , 1 + x − x2} y B′ = {e1, e2} bases de P2 y R2,
respectivamente. Encontremos
AT =
(
1 0 00 0 −1
)
.Algebra Lineal Basica
Matriz Asociada a una Transformacion Lineal
DEF: Dadas la transformacion lineal T : V → W y las basesB = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V y W , respectivamente, definimos lamatriz asociada a T respecto a las bases B y B′ a la matriz
[AT ]BB
′
=
[
[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′
]
.
denotaremos simplemente por AT a la matriz asociada a latransformacion lineal, respecto a las bases dadas.
EJEM: Sea P el plano generado por u1 = (1 0 1)T y u2 = (0 2 1)T ysea R : P → R
3 la transformacion lineal tal que
R(λu1 + βu2) = (λ β λ+ β)T
y sean B = {u1,u2} y B′ = {e1, e2, e3} bases de P y R3,
respectivamente. Encontremos
AT =
. Algebra Lineal Basica
Matriz Asociada a una Transformacion Lineal
DEF: Dadas la transformacion lineal T : V → W y las basesB = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V y W , respectivamente, definimos lamatriz asociada a T respecto a las bases B y B′ a la matriz
[AT ]BB
′
=
[
[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′
]
.
denotaremos simplemente por AT a la matriz asociada a latransformacion lineal, respecto a las bases dadas.
EJEM: Sea P el plano generado por u1 = (1 0 1)T y u2 = (0 2 1)T ysea R : P → R
3 la transformacion lineal tal que
R(λu1 + βu2) = (λ β λ+ β)T
y sean B = {u1,u2} y B′ = {e1, e2, e3} bases de P y R3,
respectivamente. Encontremos
AT =
1 00 11 1
. Algebra Lineal Basica
Todas las transformaciones lineales son matriciales
Algebra Lineal Basica
Todas las transformaciones lineales son matriciales
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V y W espaciosvectoriales de dimension finita y las bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V
y W , respectivamente, la matriz, AT , es la unica matriz tal que, paratodo v ∈ V ,
[T(v)]B′ = AT [v]B.
Algebra Lineal Basica
Todas las transformaciones lineales son matriciales
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V y W espaciosvectoriales de dimension finita y las bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V
y W , respectivamente, la matriz, AT , es la unica matriz tal que, paratodo v ∈ V ,
[T(v)]B′ = AT [v]B.
DEM: Sea v ∈ V entonces ∃λi ∈ R tal que [v]B = (λ1 λ2 . . . λn)T ,
entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn. Luego,
T(v) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn).
EJER 16: Probar la unicidadAlgebra Lineal Basica
Todas las transformaciones lineales son matriciales
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V y W espaciosvectoriales de dimension finita y las bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V
y W , respectivamente, la matriz, AT , es la unica matriz tal que, paratodo v ∈ V ,
[T(v)]B′ = AT [v]B.
DEM: Sea v ∈ V entonces ∃λi ∈ R tal que [v]B = (λ1 λ2 . . . λn)T ,
entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn. Luego,
T(v) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn).
Pero, por la invariancia de las coordenadas en bases,
[T(v)]B′ = λ1[T(v1)]B′ + λ2[T(v2)]B′ + . . .+ λn[T(vn)]B′ .
Ası que, por definicion de Ax , tenemos que
[T(v)]B′ = AT [v]B.
EJER 16: Probar la unicidadAlgebra Lineal Basica
Todas las transformaciones lineales son matriciales
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V y W espaciosvectoriales de dimension finita y las bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V
y W , respectivamente, la matriz, AT , es la unica matriz tal que, paratodo v ∈ V ,
[T(v)]B′ = AT [v]B.
Algebra Lineal Basica
Todas las transformaciones lineales son matriciales
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V y W espaciosvectoriales de dimension finita y las bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V
y W , respectivamente, la matriz, AT , es la unica matriz tal que, paratodo v ∈ V ,
[T(v)]B′ = AT [v]B.
EJEM: Sea T : P2 → R2 la transformacion lineal tal que
T(a + bx + cx2) =
(
a− b
c
)
y sean B = {1, 1 + x , 1 + x − x2} y
B′ = {e1, e2} bases de P2 y R2. Aquı AT =
(
1 0 00 0 −1
)
Algebra Lineal Basica
Todas las transformaciones lineales son matriciales
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V y W espaciosvectoriales de dimension finita y las bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V
y W , respectivamente, la matriz, AT , es la unica matriz tal que, paratodo v ∈ V ,
[T(v)]B′ = AT [v]B.
EJEM: Sea T : P2 → R2 la transformacion lineal tal que
T(a + bx + cx2) =
(
a− b
c
)
y sean B = {1, 1 + x , 1 + x − x2} y
B′ = {e1, e2} bases de P2 y R2. Aquı AT =
(
1 0 00 0 −1
)
Al resolver la
ecuacion a+ bx + cx2 = λ1(1) + λ2(1 + x) + λ3(1 + x − x2), tenemos
que [a+ bx + cx2]B =
a− b
b + c
−c
Finalmente, comprobamos que
[T(a+ bx + cx2)]B′ = AT [a+ bx + cx2]B, ya que
(
a− b
c
)
=
(
1 0 00 0 −1
)
a− b
b + c
−c
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
DEM:
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
DEM: (1) Tenemos que
v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0W
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
DEM: (1) Tenemos que
v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0Wsi y solo si [T(v)]B′ = 0Rm
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
DEM: (1) Tenemos que
v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0Wsi y solo si [T(v)]B′ = 0Rm
si y solo si AT [v]B = 0Rm
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
DEM: (1) Tenemos que
v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0Wsi y solo si [T(v)]B′ = 0Rm
si y solo si AT [v]B = 0Rm
si y solo si [v]B ∈ NAT.
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
DEM: (1) Tenemos que
v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0Wsi y solo si [T(v)]B′ = 0Rm
si y solo si AT [v]B = 0Rm
si y solo si [v]B ∈ NAT.
(2) Similarmente
w ∈ Im(T) si y solo si existe v ∈ V tal que T(v) = w
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
DEM: (1) Tenemos que
v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0Wsi y solo si [T(v)]B′ = 0Rm
si y solo si AT [v]B = 0Rm
si y solo si [v]B ∈ NAT.
(2) Similarmente
w ∈ Im(T) si y solo si existe v ∈ V tal que T(v) = w
si y solo si [w]B′ = [T(v)]B′ = AT [v]B
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
DEM: (1) Tenemos que
v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0Wsi y solo si [T(v)]B′ = 0Rm
si y solo si AT [v]B = 0Rm
si y solo si [v]B ∈ NAT.
(2) Similarmente
w ∈ Im(T) si y solo si existe v ∈ V tal que T(v) = w
si y solo si [w]B′ = [T(v)]B′ = AT [v]Bsi y solo si [w]B′ ∈ CAT
.
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
EJEM: Calculemos Im(T) y Nu(T) usando una matriz asociada T, para
T : P2 → M2×2 tal que T(a + bx + cx2) =
(
a+ b b − c
c + a a+ c
)
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
EJEM: Calculemos Im(T) y Nu(T) usando una matriz asociada T, para
T : P2 → M2×2 tal que T(a + bx + cx2) =
(
a+ b b − c
c + a a+ c
)
SOL Sean B y B′ las bases canonicas de P2 y M2×2. Luego
AT =
1 1 0
0 1 −1
1 0 1
1 0 1
Ahora calculemos CATy NAT
usando UT .Cuidado! CAT6= CUT
yFAT
= FUT
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
EJEM: Calculemos Im(T) y Nu(T) usando una matriz asociada T, para
T : P2 → M2×2 tal que T(a + bx + cx2) =
(
a+ b b − c
c + a a+ c
)
SOL Sean B y B′ las bases canonicas de P2 y M2×2. Luego
AT =
1 1 0
0 1 −1
1 0 1
1 0 1
UT =
1 1 0
0 1 −1
0 0 0
0 0 0
Ahora calculemos CATy NAT
usando UT .Cuidado! CAT6= CUT
yFAT
= FUT
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
EJEM: Calculemos Im(T) y Nu(T) usando una matriz asociada T, para
T : P2 → M2×2 tal que T(a + bx + cx2) =
(
a+ b b − c
c + a a+ c
)
SOL Sean B y B′ las bases canonicas de P2 y M2×2. Luego
AT =
1 1 0
0 1 −1
1 0 1
1 0 1
UT =
1 1 0
0 1 −1
0 0 0
0 0 0
Ahora calculemos CATy NAT
usando UT .Cuidado! CAT6= CUT
yFAT
= FUTEs decir,
CAT= gen
{
(1 0 1 1)T , (1 1 0 0)T}
NAT= gen{(−1 1 1)T}
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
EJEM: Calculemos Im(T) y Nu(T) usando una matriz asociada T, para
T : P2 → M2×2 tal que T(a + bx + cx2) =
(
a+ b b − c
c + a a+ c
)
SOL Finalmente, calculemos los vectores de P2 y M2×2 que tienen comocomponentes en las bases B y B′ los vectores de CAT
y Nu(T). Por tanto
Im(T) = gen{
(
1 01 1
)
,
(
1 10 0
)
}
Nu(T ) = gen{−1 + x + x2}
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
SOL Finalmente, calculemos los vectores de P2 y M2×2 que tienen comocomponentes en las bases B y B′ los vectores de CAT
y Nu(T). Por tanto
Im(T) = gen{
(
1 01 1
)
,
(
1 10 0
)
}
Nu(T ) = gen{−1 + x + x2}
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
EJER: Calcule τ(T) y κ(T), para T : M2×2 → P1 tal que
T
(
a b
c d
)
= a+ 2b + (a− 4c − 5d)x
DEF: La nulidad de T se define como κ(T) = dim(Nu(T)), y el Rangode T se define como τ(T) = dim(Im(T)). Claramente
κ(T) + τ(T) = dim(V ),
Algebra Lineal Basica
Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT
TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm
espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces
1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT
2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
OBS Importante
Nu(T) ⊆ Dom(T) y Nu(T) subespacio de V
NATsubespacio de R
n,Si v ∈ Nu(T) entonces [v]B ∈ NAT
, Cuidado! v /∈ NAT
Im(T) ⊆ Codom(T) y Im(T) subespacio de W .CAT
subespacio de Rm
Si w ∈ Im(T), entonces [w]B′ ∈ CAT, Cuidado! w /∈ CAT
.
DEF: La nulidad de T se define como κ(T) = dim(Nu(T)), y el Rangode T se define como τ(T) = dim(Im(T)). Claramente
κ(T) + τ(T) = dim(V ),
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V ,
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B;
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B = P(AT [v]B) = (PAT )[v]B
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B = P(AT [v]B) = (PAT )[v]B
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B = P(AT [v]B) = (PAT )[v]B
= (PAT )(P−1[v]B′) = (PATP
−1)[v]B′
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B = P(AT [v]B) = (PAT )[v]B
= (PAT )(P−1[v]B′) = (PATP
−1)[v]B′
Finalmente,[T(v)]B′ = (PATP
−1)[v]B′
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B = P(AT [v]B) = (PAT )[v]B
= (PAT )(P−1[v]B′) = (PATP
−1)[v]B′
Finalmente,A′T [v]B′ = [T(v)]B′ = (PATP
−1)[v]B′
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .
De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que
[T(v)]B′ = P[T(v)]B = P(AT [v]B) = (PAT )[v]B
= (PAT )(P−1[v]B′) = (PATP
−1)[v]B′
Finalmente,A′T [v]B′ = [T(v)]B′ = (PATP
−1)[v]B′
Como la matriz asociada a T es unica, entonces
A′T = PATP
−1
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
EJEM: Verifiquemos el teorema, considere la Transf lineal T : R2 → R2,
T
(
x
y
)
=
(
x + y
2x − y
)
con las bases B = {
(
10
)
,
(
11
)
} y B′ = {e1, e2}
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
EJEM: Verifiquemos el teorema, considere la Transf lineal T : R2 → R2,
T
(
x
y
)
=
(
x + y
2x − y
)
con las bases B = {
(
10
)
,
(
11
)
} y B′ = {e1, e2}
SOL Aqui
PBB′ =
(
1 10 1
)
, AT =
(
−1 12 1
)
, A′T =
(
1 12 −1
)
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
EJEM: Verifiquemos el teorema, considere la Transf lineal T : R2 → R2,
T
(
x
y
)
=
(
x + y
2x − y
)
con las bases B = {
(
10
)
,
(
11
)
} y B′ = {e1, e2}
SOL Aqui
PBB′ =
(
1 10 1
)
, AT =
(
−1 12 1
)
, A′T =
(
1 12 −1
)
Entonces
PAT =
(
1 10 1
)(
−1 12 1
)
=
(
1 22 1
)
=
(
1 12 −1
)(
1 10 1
)
= A′TP
Algebra Lineal Basica
Trans lineales T : V → V
TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces
A′TP = PAT
donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′
T es la matriz asociada a T respecto a B′.
Matrices semejantes
Decimos que A(n) y B(n) son matrices semejantes, si y solo si, existe unamatriz invertible P , tal que BP = PA o lo que es lo mismo, B = PAP−1.
Algebra Lineal Basica
Isomorfismos
NOTA: Aunque hay infinidad de espacios vectoriales, veremos quemuchos de ellos son esencialmente el mismo respecto a la estructura deespacio vectorial.
Algebra Lineal Basica
Isomorfismos
NOTA: Aunque hay infinidad de espacios vectoriales, veremos quemuchos de ellos son esencialmente el mismo respecto a la estructura deespacio vectorial.
DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion lineal inyectiva, siy solo si, para cada w ∈ Im(T), existe un unico v ∈ V tal que T(v) = w.
Algebra Lineal Basica
Isomorfismos
NOTA: Aunque hay infinidad de espacios vectoriales, veremos quemuchos de ellos son esencialmente el mismo respecto a la estructura deespacio vectorial.
DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion lineal inyectiva, siy solo si, para cada w ∈ Im(T), existe un unico v ∈ V tal que T(v) = w.
Algebra Lineal Basica
Isomorfismos
NOTA: Aunque hay infinidad de espacios vectoriales, veremos quemuchos de ellos son esencialmente el mismo respecto a la estructura deespacio vectorial.
DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion lineal inyectiva, siy solo si, para cada w ∈ Im(T), existe un unico v ∈ V tal que T(v) = w.
EJEM: Determine la inyectividad de T
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 c + d
)
y
T(a + bx + cx2) =
a+ b + c
b + c
c
Algebra Lineal Basica
Caracterizacion inyectividad
TEO: Sea T : V n → W es una transformacion lineal. La transformacionT es inyectiva, si y solo si, Nu(T) = {0}.
Algebra Lineal Basica
Caracterizacion inyectividad
TEO: Sea T : V n → W es una transformacion lineal. La transformacionT es inyectiva, si y solo si, Nu(T) = {0}.
Algebra Lineal Basica
Caracterizacion inyectividad
TEO: Sea T : V n → W es una transformacion lineal. La transformacionT es inyectiva, si y solo si, Nu(T) = {0}.
DEM: ⇒ Supongamos que T es una transformacion lineal inyectiva.Como T(0) = 0, por la inyectividad de T, el vector 0 tiene que ser elunico elemento de Nu(T), por tanto Nu(T) = {0}.
Algebra Lineal Basica
Caracterizacion inyectividad
TEO: Sea T : V n → W es una transformacion lineal. La transformacionT es inyectiva, si y solo si, Nu(T) = {0}.
DEM: ⇒ Supongamos que T es una transformacion lineal inyectiva.Como T(0) = 0, por la inyectividad de T, el vector 0 tiene que ser elunico elemento de Nu(T), por tanto Nu(T) = {0}.
⇐ Supongamos que Nu(T) = {0} y veamos que si T(u) = T(v),entonces u = v. Como T(u) = T(v), entoncesT(u− v) = T(u)− T(v) = 0 lo que implica que u− v ∈ Nu(T). Pero,como Nu(T) = {0}, entonces u− v = 0 y por tanto u = v.
Algebra Lineal Basica
Caracterizacion inyectividad
TEO: Sea T : V n → W es una transformacion lineal. La transformacionT es inyectiva, si y solo si, Nu(T) = {0}.
TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal inyectiva y{v1, v2, . . . , vn} es un conjunto de vectores l .i ., entonces{T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es un conjunto de vectores l .i .
Algebra Lineal Basica
Caracterizacion inyectividad
TEO: Sea T : V n → W es una transformacion lineal. La transformacionT es inyectiva, si y solo si, Nu(T) = {0}.
TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal inyectiva y{v1, v2, . . . , vn} es un conjunto de vectores l .i ., entonces{T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es un conjunto de vectores l .i .
DEM: Supongamos que
λ1T(v1) + λ2T(v2) + · · ·+ λnT(vn) = 0.
Luego,T(λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn) = 0.
Como T es inyectiva, λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0, lo que implica,λ1 = λ2 = · · · = λn = 0, por lo tanto, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es l .i .
Algebra Lineal Basica
Sobreyectividad
DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion linealsobreyectiva, si y solo si, Im(T) = W .
Algebra Lineal Basica
Sobreyectividad
DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion linealsobreyectiva, si y solo si, Im(T) = W .
Algebra Lineal Basica
Sobreyectividad
DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion linealsobreyectiva, si y solo si, Im(T) = W .
EJEM: Determine si T : M2×2 → M2×2 dada por
T
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 c + d
)
y T : P2 → R2 dada por
T(a + bx + cx2) =
(
a− b
c
)
son sobreyectivas.
Algebra Lineal Basica
Sobreyectividad
DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion linealsobreyectiva, si y solo si, Im(T) = W .
EJEM: Determine si T : M2×2 → M2×2 dada por
T
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 c + d
)
y T : P2 → R2 dada por
T(a + bx + cx2) =
(
a− b
c
)
son sobreyectivas.
DEF: Diremos que una transformacion lineal T : V → W es unisomorfismo, si y solo si, T es una transformacion lineal inyectiva ysobreyectiva.
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
EJER: T : R3 → P2, dada por T
a
b
c
= a+ bx + cx2 un isomorfismo.
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
EJER: T : R3 → P2, dada por T
a
b
c
= a+ bx + cx2 un isomorfismo.
TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal, condim(V ) = dim(W ), entonces
si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
EJER: T : R3 → P2, dada por T
a
b
c
= a+ bx + cx2 un isomorfismo.
TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal, condim(V ) = dim(W ), entonces
si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
DEM: ⇒ Si T es inyectiva y {v1, v2, . . . , vn} es una base de V , entonces,{T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T).
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
EJER: T : R3 → P2, dada por T
a
b
c
= a+ bx + cx2 un isomorfismo.
TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal, condim(V ) = dim(W ), entonces
si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
DEM: ⇒ Si T es inyectiva y {v1, v2, . . . , vn} es una base de V , entonces,{T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T). Ası que
dim(Im(T)) = dim(V ) = dim(W )
entonces W = Im(T), de donde concluimos que T es sobreyectiva.Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
EJER: T : R3 → P2, dada por T
a
b
c
= a+ bx + cx2 un isomorfismo.
TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal, condim(V ) = dim(W ), entonces
si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
EJER: T : R3 → P2, dada por T
a
b
c
= a+ bx + cx2 un isomorfismo.
TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal, condim(V ) = dim(W ), entonces
si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
DEM: ⇒ Si T es sobreyectiva, entonces como
dim(Im(T)) = dim(W )hip= dimV .
Algebra Lineal Basica
Espacios Vectoriales Isomorfos
DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .
EJER: T : R3 → P2, dada por T
a
b
c
= a+ bx + cx2 un isomorfismo.
TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal, condim(V ) = dim(W ), entonces
si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
DEM: ⇒ Si T es sobreyectiva, entonces como
dim(Im(T)) = dim(W )hip= dimV .
Luego, dim(Nu(T)) = 0; es decir, Nu(T ) = {0}, de donde podemosconcluir, que T es inyectiva.
Algebra Lineal Basica
Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
Algebra Lineal Basica
Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , ,
Algebra Lineal Basica
Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T),
Algebra Lineal Basica
Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva.
Algebra Lineal Basica
Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W ,
Algebra Lineal Basica
Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W , por tanto,
dim(V ) = dim(Im(T)) = dim(W ).
Algebra Lineal Basica
Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W , por tanto,
dim(V ) = dim(Im(T)) = dim(W ).
DEM: (⇒) Supongamos que dim(V ) = dim(W ) y sean {v1, v2, . . . , vn}y {w1,w2, . . . ,wn} bases de V y W .
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W , por tanto,
dim(V ) = dim(Im(T)) = dim(W ).
DEM: (⇒) Supongamos que dim(V ) = dim(W ) y sean {v1, v2, . . . , vn}y {w1,w2, . . . ,wn} bases de V y W .
Ahora, construyamos un isomorfismo T : V → W ,
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W , por tanto,
dim(V ) = dim(Im(T)) = dim(W ).
DEM: (⇒) Supongamos que dim(V ) = dim(W ) y sean {v1, v2, . . . , vn}y {w1,w2, . . . ,wn} bases de V y W .
Ahora, construyamos un isomorfismo T : V → W , definiendolo como
T (vi ) = wi i = 1, 2, . . . , n
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W , por tanto,
dim(V ) = dim(Im(T)) = dim(W ).
DEM: (⇒) Supongamos que dim(V ) = dim(W ) y sean {v1, v2, . . . , vn}y {w1,w2, . . . ,wn} bases de V y W .
Ahora, construyamos un isomorfismo T : V → W , definiendolo como
T (vi ) = wi i = 1, 2, . . . , n
T es sobreyectiva ya que {w1,w2, . . . ,wn} es base de Im(T) y de W , loque implica que Im(T) = W .
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W , por tanto,
dim(V ) = dim(Im(T)) = dim(W ).
DEM: (⇒) Supongamos que dim(V ) = dim(W ) y sean {v1, v2, . . . , vn}y {w1,w2, . . . ,wn} bases de V y W .
Ahora, construyamos un isomorfismo T : V → W , definiendolo como
T (vi ) = wi i = 1, 2, . . . , n
T es sobreyectiva ya que {w1,w2, . . . ,wn} es base de Im(T) y de W , loque implica que Im(T) = W . Ahora, como dim(V ) = dim(W ), entoncesNu(T) = {0},
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W , por tanto,
dim(V ) = dim(Im(T)) = dim(W ).
DEM: (⇒) Supongamos que dim(V ) = dim(W ) y sean {v1, v2, . . . , vn}y {w1,w2, . . . ,wn} bases de V y W .
Ahora, construyamos un isomorfismo T : V → W , definiendolo como
T (vi ) = wi i = 1, 2, . . . , n
T es sobreyectiva ya que {w1,w2, . . . ,wn} es base de Im(T) y de W , loque implica que Im(T) = W . Ahora, como dim(V ) = dim(W ), entoncesNu(T) = {0}, es decir, T es inyectiva
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
Matriz asociada, inyectividad y sobreyectividad
TEO: Sean T : V n → Wm una transformacion lineal, y AT la matrizm × n asociada a T. Entonces,
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
Matriz asociada, inyectividad y sobreyectividad
TEO: Sean T : V n → Wm una transformacion lineal, y AT la matrizm × n asociada a T. Entonces,
1 T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene n
pivotes.
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
Matriz asociada, inyectividad y sobreyectividad
TEO: Sean T : V n → Wm una transformacion lineal, y AT la matrizm × n asociada a T. Entonces,
1 T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene n
pivotes. No Hay var. LIBRES
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
Matriz asociada, inyectividad y sobreyectividad
TEO: Sean T : V n → Wm una transformacion lineal, y AT la matrizm × n asociada a T. Entonces,
1 T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene n
pivotes. No Hay var. LIBRES
2 T es sobreyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene m
pivotes.
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
Matriz asociada, inyectividad y sobreyectividad
TEO: Sean T : V n → Wm una transformacion lineal, y AT la matrizm × n asociada a T. Entonces,
1 T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene n
pivotes. No Hay var. LIBRES
2 T es sobreyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene m
pivotes. Hay var. LIBRES
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Isomorfismo y dimension
TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces
dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .
Matriz asociada, inyectividad y sobreyectividad
TEO: Sean T : V n → Wm una transformacion lineal, y AT la matrizm × n asociada a T. Entonces,
1 T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene n
pivotes. No Hay var. LIBRES
2 T es sobreyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene m
pivotes. Hay var. LIBRES
3 T es un isomorfismo, si y solo si, AT es invertible.
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Suma y producto por λ de transformaciones lineales
DEF: Dadas dos transformaciones lineales T,S : V → W y un escalarλ ∈ R, definimos la funcion (T+ S) : V → W , tal que
(T+ S)(v) = T(v) + S(v), para todo v ∈ V
y definimos la funcion (µT) : V → W , tal que
(µT)(v) = µ[T(v)], para todo v ∈ V .
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Suma y producto por λ de transformaciones lineales
DEF: Dadas dos transformaciones lineales T,S : V → W y un escalarλ ∈ R, definimos la funcion (T+ S) : V → W , tal que
(T+ S)(v) = T(v) + S(v), para todo v ∈ V
y definimos la funcion (µT) : V → W , tal que
(µT)(v) = µ[T(v)], para todo v ∈ V .
EJEM: Dadas las transformaciones lineales T,S : R2 → P1, tal que
T
(
a
b
)
= a+ bx y S
(
a
b
)
= a− 2bx , calcule
(T+ S)
(
−25
)
− 3T
(
−25
)
.
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Suma y producto por λ de transformaciones lineales
DEF: Dadas dos transformaciones lineales T,S : V → W y un escalarλ ∈ R, definimos la funcion (T+ S) : V → W , tal que
(T+ S)(v) = T(v) + S(v), para todo v ∈ V
y definimos la funcion (µT) : V → W , tal que
(µT)(v) = µ[T(v)], para todo v ∈ V .
TEO: Si T,S : V → W son transformaciones lineales y λ es un escalar,entonces las funciones
(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .
son transformaciones lineales.
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Suma y producto por λ de transformaciones lineales
DEF: Dadas dos transformaciones lineales T,S : V → W y un escalarλ ∈ R, definimos la funcion (T+ S) : V → W , tal que
(T+ S)(v) = T(v) + S(v), para todo v ∈ V
y definimos la funcion (µT) : V → W , tal que
(µT)(v) = µ[T(v)], para todo v ∈ V .
TEO: Si T,S : V → W son transformaciones lineales y λ es un escalar,entonces las funciones
(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .
son transformaciones lineales.
DEM: Sean v1, v2 ∈ V , entonces...
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Suma y producto por λ de transformaciones lineales
DEF: Dadas dos transformaciones lineales T,S : V → W y un escalarλ ∈ R, definimos la funcion (T+ S) : V → W , tal que
(T+ S)(v) = T(v) + S(v), para todo v ∈ V
y definimos la funcion (µT) : V → W , tal que
(µT)(v) = µ[T(v)], para todo v ∈ V .
TEO: Si T,S : V → W son transformaciones lineales y λ es un escalar,entonces las funciones
(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .
son transformaciones lineales.
DEM: Sean v1, v2 ∈ V , entonces...
(S+ T)(v1 + v2) = (S+ T)(v1) + (S+ T)(v2)
(S + T )(λv) = λ(S+ T)(v),
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Suma y producto por λ de transformaciones lineales
DEF: Dadas dos transformaciones lineales T,S : V → W y un escalarλ ∈ R, definimos la funcion (T+ S) : V → W , tal que
(T+ S)(v) = T(v) + S(v), para todo v ∈ V
y definimos la funcion (µT) : V → W , tal que
(µT)(v) = µ[T(v)], para todo v ∈ V .
TEO: Si T,S : V → W son transformaciones lineales y λ es un escalar,entonces las funciones
(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .
son transformaciones lineales.
DEM: Sean v1, v2 ∈ V , entonces...
(µT)(v1 + v2) = (µT)(v1) + (µT)(v2)
(µT)(λv) = λ[(µT)(v)],
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Suma y producto por λ de transformaciones lineales
DEF: Dadas dos transformaciones lineales T,S : V → W y un escalarλ ∈ R, definimos la funcion (T+ S) : V → W , tal que
(T+ S)(v) = T(v) + S(v), para todo v ∈ V
y definimos la funcion (µT) : V → W , tal que
(µT)(v) = µ[T(v)], para todo v ∈ V .
TEO: Si T,S : V → W son transformaciones lineales y λ es un escalar,entonces las funciones
(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .
son transformaciones lineales.
DEF: El conjunto de las transformaciones lineales de V en W lodenotaremos por L(V ,W ), es decir
L(V ,W ) = {T : T : V → W es un trans lineal}
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L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
TEO: Dadas las transformaciones lineales R ,S,T ∈ L(V ,W ) y losescalares λ, µ, entonces
1 R + (S+ T) = (R + S) + T2 S+ T = T+ S3 T+ 0 = 0+ T = T4 T+ (−T) = (−T) + T = 05 λ(S+ T) = λS+ λT6 (λ+ µ)T = λT+ µT7 (λµ)T = λ(µT) = µ(λT)8 1T = T9 0T = 0
y por tanto L(V ,W ) es un espacio vectorial.
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L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
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L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que
(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U
Algebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que
(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U
Algebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que
(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U
TEO: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales,(S ◦ T) : U → W es tambien una transformacion lineal.
Algebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que
(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U
TEO: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales,(S ◦ T) : U → W es tambien una transformacion lineal.
DEM: Sean u,u1,u2 ∈ U y λ ∈ R,...
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L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que
(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U
TEO: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales,(S ◦ T) : U → W es tambien una transformacion lineal.
DEM: Sean u,u1,u2 ∈ U y λ ∈ R,... entonces
(S ◦ T)(u1 + u2) = S[T(u1 + u2)] = S[T(u1) + T(u2)]
= S[T(u1)] + S[T(u2)] = (S ◦ T)(u1) + (S ◦ T)(u2).
(S ◦ T)(λu) = S[T(λu)] = S(λT(u))
= λ[S[T(u)]] = λ(S ◦ T)(u).
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L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que
(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U
TEO: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales,(S ◦ T) : U → W es tambien una transformacion lineal.
EJEM: Dadas las transformaciones lineales T : R3 → P1 y S : P1 → R2,
tal que T
a
b
c
= (a+ b) + cx y S(α− βx) =
(
α− ββ
)
calculemos
(S ◦ T)
−21−2
=
,
Algebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que
(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U
TEO: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales,(S ◦ T) : U → W es tambien una transformacion lineal.
EJEM: Dadas las transformaciones lineales T : R3 → P1 y S : P1 → R2,
tal que T
a
b
c
= (a+ b) + cx y S(α− βx) =
(
α− ββ
)
calculemos
(S ◦ T)
−21−2
=
Pregunta ¿T ◦ S = S ◦ T?,Algebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que
(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U
TEO: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales,(S ◦ T) : U → W es tambien una transformacion lineal.
EJEM: Dadas las transformaciones lineales T : R3 → P1 y S : P1 → R2,
tal que T
a
b
c
= (a+ b) + cx y S(α− βx) =
(
α− ββ
)
calculemos
(S ◦ T)
−21−2
=
Pregunta ¿T ◦ S = S ◦ T?, NOOOOOOOOOOOOOOOOOOAlgebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
TEO: Sean R , S y T transformaciones lineales tales que, en cada caso,las composiciones estan bien definidas y sea λ un escalar, entonces
1 (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R).2 T ◦ (S+ R) = (T ◦ S) + (T ◦ R).3 (T+ S) ◦ R = (T ◦ R) + (S ◦ R).4 λ(T ◦ S) = (λT) ◦ S = T ◦ (λS).5 I ◦ T = T ◦ I = T.6 0 ◦ T = 0 y T ◦ 0 = 0.
Algebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
TEO: Sean R , S y T transformaciones lineales tales que, en cada caso,las composiciones estan bien definidas y sea λ un escalar, entonces
1 (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R).2 T ◦ (S+ R) = (T ◦ S) + (T ◦ R).3 (T+ S) ◦ R = (T ◦ R) + (S ◦ R).4 λ(T ◦ S) = (λT) ◦ S = T ◦ (λS).5 I ◦ T = T ◦ I = T.6 0 ◦ T = 0 y T ◦ 0 = 0.
TEO: Sean T,S : U → V y R : V → W transformaciones lineales y seanAT , AS y AR sus matrices asociadas, entonces
1 T+ S tiene matriz asociada AT + AS .2 λT tiene matriz asociada λAT .3 −T tiene matriz asociada −AT .4 T− S tiene matriz asociada AT − AS .5 R ◦ T tiene matriz asociada ARAT .
Algebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
TEO: Sean T,S : U → V y R : V → W transformaciones lineales y seanAT , AS y AR sus matrices asociadas, entonces
1 T+ S tiene matriz asociada AT + AS .2 λT tiene matriz asociada λAT .3 −T tiene matriz asociada −AT .4 T− S tiene matriz asociada AT − AS .5 R ◦ T tiene matriz asociada ARAT .
Algebra Lineal Basica
L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
TEO: Sean T,S : U → V y R : V → W transformaciones lineales y seanAT , AS y AR sus matrices asociadas, entonces
1 T+ S tiene matriz asociada AT + AS .2 λT tiene matriz asociada λAT .3 −T tiene matriz asociada −AT .4 T− S tiene matriz asociada AT − AS .5 R ◦ T tiene matriz asociada ARAT .
DEM: (5) Sean B, B′ y B′′ bases de U, V y W . Por la definicion dematriz asociada a una transformacion lineal,
[(R ◦ T)(u)]B′′ = [R(T(u))]B′′ = AR [T(u)]B′ = AR(AT [u]B) = (ARAT )[u]B
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L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones
TEO: Sean T,S : U → V y R : V → W transformaciones lineales y seanAT , AS y AR sus matrices asociadas, entonces
1 T+ S tiene matriz asociada AT + AS .2 λT tiene matriz asociada λAT .3 −T tiene matriz asociada −AT .4 T− S tiene matriz asociada AT − AS .5 R ◦ T tiene matriz asociada ARAT .
DEM: (5) Sean B, B′ y B′′ bases de U, V y W . Por la definicion dematriz asociada a una transformacion lineal,
[(R ◦ T)(u)]B′′ = [R(T(u))]B′′ = AR [T(u)]B′ = AR(AT [u]B) = (ARAT )[u]B
por la unicidad de la matriz asociada a R ◦ T, la matriz asociada a(R ◦ T) respecto a las bases B y B′ es ARAT .
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Transformacion Inversa
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Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
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Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
Algebra Lineal Basica
Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
EJEM: Verifique que T : R2 → P1 tal que T(
ab
)
= (a+ b) + (a− b)x esuna transformacion lineal invertible.
Algebra Lineal Basica
Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
EJEM: Verifique que T : R2 → P1 tal que T(
ab
)
= (a+ b) + (a− b)x esuna transformacion lineal invertible.
SOL: Veamos que S : P1 → R2 tal que S(c + dx) =
(c + d
2,c − d
2
)T
es una transformacion lineal tal que T ◦ S = IP1y S ◦ T = IR2
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Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.
Algebra Lineal Basica
Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.
DEM: (⇒) Supongamos que T es invertible y que S es su inversa. Ydemostremos que T es biyectiva.
Algebra Lineal Basica
Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.
DEM: (⇒) Supongamos que T es invertible y que S es su inversa. Ydemostremos que T es biyectiva. T es inyectiva pues tomando
T(v1) = T(v2) ⇒ S(T(v1)) = S(T(v2)), esto es, v1 = v2.
Algebra Lineal Basica
Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.
DEM: (⇒) Supongamos que T es invertible y que S es su inversa. Ydemostremos que T es biyectiva. T es inyectiva pues tomando
T(v1) = T(v2) ⇒ S(T(v1)) = S(T(v2)), esto es, v1 = v2.
T es sobreyectiva pues para un w ∈ W tenemos
S(w) = v ⇒ T(S(w)) = T(v), esto es, ∃v ∈ V , T(v) = w
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Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.
DEM: (⇒) Supongamos que T es invertible y que S es su inversa. Ydemostremos que T es biyectiva. T es inyectiva pues tomando
T(v1) = T(v2) ⇒ S(T(v1)) = S(T(v2)), esto es, v1 = v2.
T es sobreyectiva pues para un w ∈ W tenemos
S(w) = v ⇒ T(S(w)) = T(v), esto es, ∃v ∈ V , T(v) = w
Por tanto T es un isomorfismoAlgebra Lineal Basica
Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.
DEM: (⇐) Supongamos que T es un isomorfismo, ası que T es inyectivay sobreyectiva.
Algebra Lineal Basica
Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.
DEM: (⇐) Supongamos que T es un isomorfismo, ası que T es inyectivay sobreyectiva. Sea w ∈ W , entonces ∃!, v ∈ V , tal que T(v) = w.
Algebra Lineal Basica
Transformacion Inversa
DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que
(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV
donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.
TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.
DEM: (⇐) Supongamos que T es un isomorfismo, ası que T es inyectivay sobreyectiva. Sea w ∈ W , entonces ∃!, v ∈ V , tal que T(v) = w.
Ahora, definimos a S, ası S(w) = v, cuando T(v) = w. Es facil verificarque S es la inversa de T; por tanto, T es invertible.
Algebra Lineal Basica
Transformacion lineal invertible y matriz asociada AT
NOTA: En general no es facil determinar si T es un isomorfismoencontrando su transformacion inversa. Afortunadamente, si unatransformacion lineal es invertible es suficiente determinar que AT esinvertible.
Algebra Lineal Basica
Transformacion lineal invertible y matriz asociada AT
NOTA: En general no es facil determinar si T es un isomorfismoencontrando su transformacion inversa. Afortunadamente, si unatransformacion lineal es invertible es suficiente determinar que AT esinvertible.
TEO: Sean B y B′ bases de los espacios vectoriales V y W , T : V → W
una transformacion lineal y AT la matriz asociada de la base B a B′.Entonces
1 T es invertible, si y solo si, AT es invertible.
2 Si T es invertible, entonces A−1T es la matriz asociada a la
transformacion lineal T−1, respecto a las bases B′ y B.
Algebra Lineal Basica
Transformacion lineal invertible y matriz asociada AT
NOTA: En general no es facil determinar si T es un isomorfismoencontrando su transformacion inversa. Afortunadamente, si unatransformacion lineal es invertible es suficiente determinar que AT esinvertible.
TEO: Sean B y B′ bases de los espacios vectoriales V y W , T : V → W
una transformacion lineal y AT la matriz asociada de la base B a B′.Entonces
1 T es invertible, si y solo si, AT es invertible.
2 Si T es invertible, entonces A−1T es la matriz asociada a la
transformacion lineal T−1, respecto a las bases B′ y B.
EJEM: Verifique que T : R2 → P1 tal que T(
ab
)
= (a+ b) + (a− b)x esuna transformacion lineal invertible.
Algebra Lineal Basica
Transformacion lineal invertible y matriz asociada AT
NOTA: En general no es facil determinar si T es un isomorfismoencontrando su transformacion inversa. Afortunadamente, si unatransformacion lineal es invertible es suficiente determinar que AT esinvertible.
TEO: Sean B y B′ bases de los espacios vectoriales V y W , T : V → W
una transformacion lineal y AT la matriz asociada de la base B a B′.Entonces
1 T es invertible, si y solo si, AT es invertible.
2 Si T es invertible, entonces A−1T es la matriz asociada a la
transformacion lineal T−1, respecto a las bases B′ y B.
EJEM: Verifique que T : R2 → P1 tal que T(
ab
)
= (a+ b) + (a− b)x esuna transformacion lineal invertible.
SOL: Veamos que S : P1 → R2 tal que S(c + dx) =
(c + d
2,c − d
2
)T
es una transformacion lineal tal que T ◦ S = IP1y S ◦ T = IR2
Algebra Lineal Basica