Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 1/33
Álgebra LinealMa1010
Propiedades de los DeterminantesDepartamento de Matemáticas
ITESM
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 2/33
Propiedades
En esta sección se hace una lista de laspropiedades más importantes de losdeterminantes. Para hacer una ilustración de lasmismas, ejemplificaremos con una matriz 3× 3pero aplican para matrices de cualquier orden.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 3/33
1. Para cualquier matriz A, A y su transpuestatienen el mismo determinante:
|AT | = |A|
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 3/33
1. Para cualquier matriz A, A y su transpuestatienen el mismo determinante:
|AT | = |A|
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 4/33
2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de susrenglones (o columnas) por una constantedistinta de cero, entonces |B| = k |A|.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 4/33
2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de susrenglones (o columnas) por una constantedistinta de cero, entonces |B| = k |A|.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
kb1 kb2 kb3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 4/33
2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de susrenglones (o columnas) por una constantedistinta de cero, entonces |B| = k |A|.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
kb1 kb2 kb3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 ka3
b1 b2 kb3
c1 c2 kc3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 5/33
3. Si B se obtiene de A intercambiando dosrenglones (o columnas) cualesquiera|B| = −|A|.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 5/33
3. Si B se obtiene de A intercambiando dosrenglones (o columnas) cualesquiera|B| = −|A|.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b1 b2 b3
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 5/33
3. Si B se obtiene de A intercambiando dosrenglones (o columnas) cualesquiera|B| = −|A|.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b1 b2 b3
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a3 a2 a1
b3 b2 b1
c3 c2 c1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 6/33
4. Si B se obtiene de A sumando un múltiplo deun renglón (o columna) a otro renglón (ocolumna), entonces |B| = |A|.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 6/33
4. Si B se obtiene de A sumando un múltiplo deun renglón (o columna) a otro renglón (ocolumna), entonces |B| = |A|.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
ka1 + b1 ka2 + b2 ka3 + b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 6/33
4. Si B se obtiene de A sumando un múltiplo deun renglón (o columna) a otro renglón (ocolumna), entonces |B| = |A|.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
ka1 + b1 ka2 + b2 ka3 + b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 ka2 + a3
b1 b2 kb2 + b3
c1 c2 kc2 + c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 7/33
5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior),su determinante es el producto de loselementos de la diagonal principal.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 7/33
5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior),su determinante es el producto de loselementos de la diagonal principal.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 .. ..
0 a22 ..
0 0 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= a11 a22 a33
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 8/33
6. Si A tiene un renglón (o columna) de ceros,entonces |A| = 0.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 8/33
6. Si A tiene un renglón (o columna) de ceros,entonces |A| = 0.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
0 0 0
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 8/33
6. Si A tiene un renglón (o columna) de ceros,entonces |A| = 0.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
0 0 0
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 0
b1 b2 0
c1 c2 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 9/33
7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que soniguales, entonces |A| = 0.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 9/33
7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que soniguales, entonces |A| = 0.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 9/33
7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que soniguales, entonces |A| = 0.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a1
b1 b2 b1
c1 c2 c1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 10/33
8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que sonmúltiplos entre sí, entonces |A| = 0.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 10/33
8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que sonmúltiplos entre sí, entonces |A| = 0.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
ka1 ka2 ka3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 10/33
8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que sonmúltiplos entre sí, entonces |A| = 0.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
ka1 ka2 ka3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 ka1
b1 b2 kb1
c1 c2 kc1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 11/33
9. Si A es cualquier matriz de n× n y k escualquier escalar, entonces
|kA| = kn |A|
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 12/33
10. El determinante de un producto de matrices esel producto de los determinantes de losfactores.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 12/33
10. El determinante de un producto de matrices esel producto de los determinantes de losfactores.
|AB| = |A| |B|
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 12/33
10. El determinante de un producto de matrices esel producto de los determinantes de losfactores.
|AB| = |A| |B|
|A1 A2 · · ·Am| = |A1| |A2| · · · |A3|
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 13/33
Teorema
Si A es invertible, entonces
|A−1| =1
|A|
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 13/33
Teorema
Si A es invertible, entonces
|A−1| =1
|A|
Demostraci onComo AA
−1 = I, tomando determinantes yaprovechando que el determinante de un productoes el producto de los determinantes se tiene
|A| ·∣
∣A−1∣
∣ = 1
de donde |A−1| = 1/ |A| �
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 14/33
Ejemplo
Obtenga el determinante de cada matriz:
1. A =
6 −5 −1
0 0 0
−2 −2 4
2. B =
1 1 4
3 3 2
−6 −6 6
3. C =
−6 1 6
5 5 −1
−10 −10 2
4. D =
−2 6 6
0 2 −4
0 0 −3
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 14/33
Ejemplo
Obtenga el determinante de cada matriz:
1. A =
6 −5 −1
0 0 0
−2 −2 4
2. B =
1 1 4
3 3 2
−6 −6 6
3. C =
−6 1 6
5 5 −1
−10 −10 2
4. D =
−2 6 6
0 2 −4
0 0 −3
Respuesta:■ |A| = 0, pues tiene un renglón de ceros.
■ |B| = 0, pues tiene una columna repetida (la primera y la segunda).
■ |C| = 0, pues un renglón es un múltiplo de otro (el 3 es -2 por el 2).
■ |D| = (−2)(2)(−3) = 12, pues es una matriz triangular.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 15/33
Ejemplo
Si A y B son matrices 2× 2 tales que |A| = 4 y |B| = −1, calculelos determinantes de las matrices:1. BA
2. AB
3. ABT
4. ATB
5. ATBA
−1
6. −5ARespuesta:
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 15/33
Ejemplo
Si A y B son matrices 2× 2 tales que |A| = 4 y |B| = −1, calculelos determinantes de las matrices:1. BA
2. AB
3. ABT
4. ATB
5. ATBA
−1
6. −5ARespuesta:1) |BA| = |B| · |A| = (−1)(4) = −4,2) |AB| = |A| · |B| = −4,3) |AB
T | = |A| · |BT | = |A| · |B| = (4)(−1) = −4
4) |ATB| = |AT | · |B| = |A| · |B| = −4
5) |ATBA
−1| = |AT | · |B| · |A−1| = (4)(−1)(1/4) = −1
6) | − 5A| = (−5)2 · |A| = (25)(4) = 100 �
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 16/33
La adjunta de una matriz cuadrada
Sea A = [aij] una matriz n× n y sea Cij elcofactor de aij. A la matriz n× n cuyo elemento(i, j) es el cofactor Cij se le llama la matriz decofactores de A. A la transpuesta de la matriz decofactores de A se le llama la adjunta de A y se lesimboliza por adj(A):
adj(A) =
C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
......
. . ....
Cn1 Cn2 · · · Cnn
T
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 17/33
Ejemplo
Determine la matriz adjunta de la matriz
A =
2 0 −1
1 −2 1
−3 1 −3
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 17/33
Ejemplo
Determine la matriz adjunta de la matriz
A =
2 0 −1
1 −2 1
−3 1 −3
Soluci on
Calculemos todos los cofactores posibles:
C11 = (−1)1+1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−2 1
1 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 5, C12 = (−1)1+2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1
−3 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
C13 = (−1)1+3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −2
−3 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −5, C21 = (−1)2+1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 −1
1 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −1
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 18/33
C22 = (−1)2+2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 −1
−3 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −9, C23 = (−1)2+3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0
−3 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −2
C31 = (−1)3+1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 −1
−2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −2, C32 = (−1)3+2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 −1
1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3
C33 = (−1)3+3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0
1 −2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −4
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 18/33
C22 = (−1)2+2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 −1
−3 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −9, C23 = (−1)2+3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0
−3 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −2
C31 = (−1)3+1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 −1
−2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −2, C32 = (−1)3+2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 −1
1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3
C33 = (−1)3+3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0
1 −2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −4
Por tanto
adj(A) =
5 0 −5
−1 −9 −2
−2 −3 −4
T
=
5 −1 −2
0 −9 −3
−5 −2 −4
�
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 19/33
Resultado clave 1
Teorema
Sea A una matriz n× n, entonces:
A · adj(A) = |A| In
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 19/33
Resultado clave 1
Teorema
Sea A una matriz n× n, entonces:
A · adj(A) = |A| In
Demostraci on
Considere el producto B = A · adj(A). El elemento (i, j) de B es:
bij = (renglón i de A) · (columna j de adj(A))
= [ai1 ai2 · · · ain]
Cj1
Cj2
...
Cjn
= ai1Cj1 + ai2Cj2 + · · ·+ ainCjn
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 20/33
Existen dos casos sobre i y j:■ i = j: en este caso bij coincide con la expansión de |A| en el
renglón i.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 20/33
Existen dos casos sobre i y j:■ i = j: en este caso bij coincide con la expansión de |A| en el
renglón i.■ i 6= j: en este caso bij coincide con la expansión en el renglón j
de una matriz donde el renglón i de A ha sido reemplazado porrenglón j. Es decir, el determinante de una matriz que tiene unrenglón repetido. Por tanto, tal determinante debe ser cero y asípara i 6= j se tiene bij = 0.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 20/33
Existen dos casos sobre i y j:■ i = j: en este caso bij coincide con la expansión de |A| en el
renglón i.■ i 6= j: en este caso bij coincide con la expansión en el renglón j
de una matriz donde el renglón i de A ha sido reemplazado porrenglón j. Es decir, el determinante de una matriz que tiene unrenglón repetido. Por tanto, tal determinante debe ser cero y asípara i 6= j se tiene bij = 0.
Por tanto,
bij =
|A| si i = j
0 si i 6= j
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 20/33
Existen dos casos sobre i y j:■ i = j: en este caso bij coincide con la expansión de |A| en el
renglón i.■ i 6= j: en este caso bij coincide con la expansión en el renglón j
de una matriz donde el renglón i de A ha sido reemplazado porrenglón j. Es decir, el determinante de una matriz que tiene unrenglón repetido. Por tanto, tal determinante debe ser cero y asípara i 6= j se tiene bij = 0.
Por tanto,
bij =
|A| si i = j
0 si i 6= j
Así
A · adj(A) = |A| In �
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 21/33
El determinante: medida de invertibilidad
Teorema
Una matriz A es invertible si y sólo si |A| 6= 0.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 21/33
El determinante: medida de invertibilidad
Teorema
Una matriz A es invertible si y sólo si |A| 6= 0.
Demostraci on
■ Si |A| 6= 0, por el teorema anterior A · adj(A) = |A| In. Haciendoálgebra con la expresión tenemos:
A ·
(
1
|A|adj(A)
)
= In
de donde se deduce que A es invertible y que A−1 = 1
|A|adj(A).
■ Si A es invertible, entonces existe A−1 tal que AA
−1 = I.Tomando determinantes se tiene |A| · |A−1| = |I| = 1. Por tanto,|A| no puede ser cero �
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 22/33
Determinate y la unicidad de un sistema
Teorema
El sistema n× n consistente Ax = b: tieneinfinitas soluciones si y sólo si |A| = 0.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 22/33
Determinate y la unicidad de un sistema
Teorema
El sistema n× n consistente Ax = b: tieneinfinitas soluciones si y sólo si |A| = 0.En particular: el sistema homogéneocuadrado Ax = 0 tiene una solución distintade 0 si y sólo si |A| = 0.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 22/33
Determinate y la unicidad de un sistema
Teorema
El sistema n× n consistente Ax = b: tieneinfinitas soluciones si y sólo si |A| = 0.En particular: el sistema homogéneocuadrado Ax = 0 tiene una solución distintade 0 si y sólo si |A| = 0.
Demostraci onAx = b tiene infinitas soluciones ssi las columnasde A forman un conjunto linealmente dependientessi al aplicar rref a A queda al menos una variablelibre ssi al aplicar rref a A quedan menos de npivotes ssi A no es invertible ssi |A| = 0 �
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 23/33
Determinantes y dependencia lineal
Teorema
Las columnas de una matriz n× n A formanun conjunto linealmente dependiente si ysólo si |A| = 0. En particular, un conjunto den vectores en R
n es linealmente dependientesi y sólo si al formar con ellos una matriz y alobtener el determinante de esta se obtienecero.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 24/33
Método práctico de cálculo
En la práctica para calcular el determinante de unamatriz se utiliza variante del el método deGauss-Jordan ( qué curioso,¿verdad?) La idea sebasa en el siguiente hecho: Si se aplica unaoperación elemental a una matriz A:
Aop−→ B
el determinante de A cambia de la siguientemanera:
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 25/33
1) Si Op es del tipo Ri ↔ Rj:
|A| = −|B|
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 25/33
1) Si Op es del tipo Ri ↔ Rj:
|A| = −|B|
Recuerde la regla: Un cambio de renglonescambia el signo del determinante .
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 26/33
2) Si Op es del tipo Ri ← cRi entonces
|A| =1
c|B|
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 27/33
3) Si Op es del tipo Ri ← Ri + cRj entonces
det(A) = det(B)
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 27/33
3) Si Op es del tipo Ri ← Ri + cRj entonces
det(A) = det(B)
Recuerde la regla: Las operaciones deeliminación no cambian el determinante .
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 28/33
El método consiste en aplicar a la matriz sólo lasoperaciones de intercambio y eliminación paraconvertir la matriz original en una matrizescalonada.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 28/33
El método consiste en aplicar a la matriz sólo lasoperaciones de intercambio y eliminación paraconvertir la matriz original en una matrizescalonada. El determinante de la última matrizserá simplemente el producto de los elementos dela diagonal principal.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 28/33
El método consiste en aplicar a la matriz sólo lasoperaciones de intercambio y eliminación paraconvertir la matriz original en una matrizescalonada. El determinante de la última matrizserá simplemente el producto de los elementos dela diagonal principal. Cada cambio de renglónimplicará un cambio en el signo.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 29/33
Ejemplo del método práctico
Ejemplo
Obtenga el determinante de la matriz
A =
0 0 4
1 2 3
−5 −13 −12
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 30/33
SoluciónApliquemos el algoritmo de Eliminación Gaussiana:
A0 = A =
0 0 4
1 2 3
−5 −13 −12
R1↔R2−−−−→ A1 =
1 2 3
0 0 4
−5 −13 −12
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 30/33
SoluciónApliquemos el algoritmo de Eliminación Gaussiana:
A0 = A =
0 0 4
1 2 3
−5 −13 −12
R1↔R2−−−−→ A1 =
1 2 3
0 0 4
−5 −13 −12
Así |A| = − |A1|.
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 31/33
Continuando con el algoritmo de Gauss:
A1 =
1 2 3
0 0 4
−5 −13 −12
R3←R3+5R1−−−−−−−−→ A2 =
1 2 3
0 0 4
0 −3 3
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 31/33
Continuando con el algoritmo de Gauss:
A1 =
1 2 3
0 0 4
−5 −13 −12
R3←R3+5R1−−−−−−−−→ A2 =
1 2 3
0 0 4
0 −3 3
Así |A| = − |A1| = − |A2|.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 32/33
Asimismo:
A2 =
1 2 3
0 0 4
0 −3 3
R2↔R3−−−−→ A3 =
1 2 3
0 −3 3
0 0 4
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 32/33
Asimismo:
A2 =
1 2 3
0 0 4
0 −3 3
R2↔R3−−−−→ A3 =
1 2 3
0 −3 3
0 0 4
Así |A| = − |A2| = − (−1) |A3| = |A3|.
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 32/33
Asimismo:
A2 =
1 2 3
0 0 4
0 −3 3
R2↔R3−−−−→ A3 =
1 2 3
0 −3 3
0 0 4
Así |A| = − |A2| = − (−1) |A3| = |A3|. Como
|A3| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 3
0 −3 3
0 0 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (1) (−3) (4) = −12
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 32/33
Asimismo:
A2 =
1 2 3
0 0 4
0 −3 3
R2↔R3−−−−→ A3 =
1 2 3
0 −3 3
0 0 4
Así |A| = − |A2| = − (−1) |A3| = |A3|. Como
|A3| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 3
0 −3 3
0 0 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (1) (−3) (4) = −12
tenemos |A| = −12 �
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 33/33
Ejemplo
Calcule |A|, si A con las operaciones:
1. R1 ↔ R4(intercambio)
2. R1 ← −6R1(escalamiento)
3. R3 ← R3 − 2R1(eliminación)
4. R2 ↔ R3(intercambio)
5. R4 ← R4 − 4R2(eliminación)
se convierte en la matriz escalonada:
B =
5 5 −4 −5
0 −5 4 −5
0 0 3 4
0 0 0 −2
Propiedades-transponiendo-escalando-intercambiando-eliminando-de triangulares-con renglonescero-con renglonesrepetidos-con renglonesmultiplos-del producto porun escalar-de un producto-de la matrizinversaadj(A)Clave 1Clave 2Clave 3Clave 4AlgoritmoEjemplo
Propiedades de los Determinantes Álgebra Lineal - p. 33/33
Ejemplo
Calcule |A|, si A con las operaciones:
1. R1 ↔ R4(intercambio)
2. R1 ← −6R1(escalamiento)
3. R3 ← R3 − 2R1(eliminación)
4. R2 ↔ R3(intercambio)
5. R4 ← R4 − 4R2(eliminación)
se convierte en la matriz escalonada:
B =
5 5 −4 −5
0 −5 4 −5
0 0 3 4
0 0 0 −2
Soluci on Se tiene:
|A| = (−1) ·
(
1
−6
)
· (1) · (−1) · (1) · |B| = −25�