Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qVVVV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qVVVV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qVVVV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qVVVV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) q
VVVV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qV
VVV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qVV
VV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qVVV
V
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qVVVV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)
[(p ) q) ^ p]) q,
la tabla de valores de verdad es
p q p ) qV V VV F FF V VF F V
(p ) q) ^ pVFFF
[(p ) q) ^ p]) qVVVV
Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.
() March 28, 2014 1 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.
p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
V
FFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VF
FFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFF
FVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFF
VFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFV
FVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVF
VV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFV
V
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
V
VVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VV
VVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVV
VVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVV
VVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVV
VVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVV
VV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVV
V
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V
(p)q)^(q)r)
VFFFVFVV
p)r
VFVFVVVV
[(p)q)^(q)r)])(p)r)
VVVVVVVV
() March 28, 2014 2 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo p ) q : Si quieres a tu novia, la respetas.
q ) r : Si respetas a tu novia, la escuchas cuando te habla.
p ) r : Si quieres a tu novia, la escuchas cuando te habla.
() March 28, 2014 3 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo p ) q : Si quieres a tu novia, la respetas.
q ) r : Si respetas a tu novia, la escuchas cuando te habla.
p ) r : Si quieres a tu novia, la escuchas cuando te habla.
() March 28, 2014 3 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Ejemplo p ) q : Si quieres a tu novia, la respetas.
q ) r : Si respetas a tu novia, la escuchas cuando te habla.
p ) r : Si quieres a tu novia, la escuchas cuando te habla.
() March 28, 2014 3 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Proposiciónp y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.
Demostración1) Primero veremos que si p y q son lógicamente equivalentes entoncesp , q es una tautología.
2) Segundo veremos que si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.
() March 28, 2014 4 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Proposiciónp y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.
Demostración1) Primero veremos que si p y q son lógicamente equivalentes entoncesp , q es una tautología.
2) Segundo veremos que si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.
() March 28, 2014 4 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Proposiciónp y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.
Demostración1) Primero veremos que si p y q son lógicamente equivalentes entoncesp , q es una tautología.
2) Segundo veremos que si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.
() March 28, 2014 4 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Proposiciónp y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.
Demostración1) Primero veremos que si p y q son lógicamente equivalentes entoncesp , q es una tautología.
2) Segundo veremos que si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.
() March 28, 2014 4 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Demostración de 1) Si p y q son lógicamente equivalentes entonces p , qes una tautología.
Como p y q son lógicamente equivalentes no podemos tener que una sea Fy la otra sea V.
Luego la tabla de verdad de p , q se reduce a
p q p () qV V VF F V
De donde se sigue que p , q es una tautología.
() March 28, 2014 5 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Demostración de 1) Si p y q son lógicamente equivalentes entonces p , qes una tautología.
Como p y q son lógicamente equivalentes no podemos tener que una sea Fy la otra sea V.
Luego la tabla de verdad de p , q se reduce a
p q p () qV V VF F V
De donde se sigue que p , q es una tautología.
() March 28, 2014 5 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Demostración de 1) Si p y q son lógicamente equivalentes entonces p , qes una tautología.
Como p y q son lógicamente equivalentes no podemos tener que una sea Fy la otra sea V.
Luego la tabla de verdad de p , q se reduce a
p q p () qV V VF F V
De donde se sigue que p , q es una tautología.
() March 28, 2014 5 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Demostración de 1) Si p y q son lógicamente equivalentes entonces p , qes una tautología.
Como p y q son lógicamente equivalentes no podemos tener que una sea Fy la otra sea V.
Luego la tabla de verdad de p , q se reduce a
p q p () qV V VF F V
De donde se sigue que p , q es una tautología.
() March 28, 2014 5 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Demostración de 2): Si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.
Como p , q es una tautología, tenemos que p , q es siempre verdadera.
Para que un si y sólo si sea verdadero necesitamos que las dosproposiciones tengan el mismo valor de verdad.
Luego p y q tienen el mismo valor de verdad es decir son lógicamenteequivalentes.
() March 28, 2014 6 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Demostración de 2): Si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.
Como p , q es una tautología, tenemos que p , q es siempre verdadera.
Para que un si y sólo si sea verdadero necesitamos que las dosproposiciones tengan el mismo valor de verdad.
Luego p y q tienen el mismo valor de verdad es decir son lógicamenteequivalentes.
() March 28, 2014 6 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Demostración de 2): Si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.
Como p , q es una tautología, tenemos que p , q es siempre verdadera.
Para que un si y sólo si sea verdadero necesitamos que las dosproposiciones tengan el mismo valor de verdad.
Luego p y q tienen el mismo valor de verdad es decir son lógicamenteequivalentes.
() March 28, 2014 6 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Demostración de 2): Si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.
Como p , q es una tautología, tenemos que p , q es siempre verdadera.
Para que un si y sólo si sea verdadero necesitamos que las dosproposiciones tengan el mismo valor de verdad.
Luego p y q tienen el mismo valor de verdad es decir son lógicamenteequivalentes.
() March 28, 2014 6 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p
v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p
(p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)
Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q
(p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)
Ley de Absorción[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Leyes Lógicas o Tautologías
Nombre ProposiciónProposiciónequivalente
Tautología
Involución v (v p) p v (v p), p
Idempotenciap ^ pp _ p
pp
(p ^ p), p(p _ p), p
Conmutatividadp ^ qp _ q
q ^ pq _ p
(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)
Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r
p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)
(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)
Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r
(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)
(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)
Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)
v p^ v qv p_ v q
v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)
Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción
[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p
[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p
() March 28, 2014 7 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
De�niciónUna función proposicional de una variable o indeterminada x , es todaoración en la que �gura x como sujeto u objeto directo, la cual, seconvierte en proposición para cada valor particular de x .
Las funciones proposicionales serán denotadas por P (x) , Q (x) , etc.
() March 28, 2014 8 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
De�niciónUna función proposicional de una variable o indeterminada x , es todaoración en la que �gura x como sujeto u objeto directo, la cual, seconvierte en proposición para cada valor particular de x .
Las funciones proposicionales serán denotadas por P (x) , Q (x) , etc.
() March 28, 2014 8 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
De�niciónUna función proposicional de una variable o indeterminada x , es todaoración en la que �gura x como sujeto u objeto directo, la cual, seconvierte en proposición para cada valor particular de x .
Las funciones proposicionales serán denotadas por P (x) , Q (x) , etc.
() March 28, 2014 8 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
EjemploAnalicemos la siguiente función proposicional
si x2 = 9 entonces x = 3,
No es una proposición, por que no podemos decidir sobre su verdad ofalsedad�ésta depende de los valores que tome la variable x .
P (3) es una proposición verdadera,P (�3) es una proposición falsa,P (1) es una proposición verdadera.
() March 28, 2014 9 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
EjemploAnalicemos la siguiente función proposicional
si x2 = 9 entonces x = 3,
No es una proposición, por que no podemos decidir sobre su verdad ofalsedad�ésta depende de los valores que tome la variable x .
P (3) es una proposición verdadera,P (�3) es una proposición falsa,P (1) es una proposición verdadera.
() March 28, 2014 9 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
EjemploAnalicemos la siguiente función proposicional
si x2 = 9 entonces x = 3,
No es una proposición, por que no podemos decidir sobre su verdad ofalsedad�ésta depende de los valores que tome la variable x .
P (3) es una proposición verdadera,P (�3) es una proposición falsa,P (1) es una proposición verdadera.
() March 28, 2014 9 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación
El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.
El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.
Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.
En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .
() March 28, 2014 10 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación
El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.
El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.
Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.
En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .
() March 28, 2014 10 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación
El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.
El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.
Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.
En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .
() March 28, 2014 10 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación
El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.
El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.
Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.
En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .
() March 28, 2014 10 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación
El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.
El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.
Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.
En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .
() March 28, 2014 10 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo: Analicemos la siguiente proposición: �Todos los bebes enproceso de gestación tienen derecho a vivir�.
Los elementos son los bebes en proceso de gestación y la cualidad: tienenderecho a vivir
P (x) : x tiene derecho a vivir
y el cuanti�cador universal se re�ere al conjunto A de todos los bebes enproceso de gestación.
() March 28, 2014 11 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo: Analicemos la siguiente proposición: �Todos los bebes enproceso de gestación tienen derecho a vivir�.
Los elementos son los bebes en proceso de gestación y la cualidad: tienenderecho a vivir
P (x) : x tiene derecho a vivir
y el cuanti�cador universal se re�ere al conjunto A de todos los bebes enproceso de gestación.
() March 28, 2014 11 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo: Analicemos la siguiente proposición: �Todos los bebes enproceso de gestación tienen derecho a vivir�.
Los elementos son los bebes en proceso de gestación y la cualidad: tienenderecho a vivir
P (x) : x tiene derecho a vivir
y el cuanti�cador universal se re�ere al conjunto A de todos los bebes enproceso de gestación.
() March 28, 2014 11 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:
8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.
Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente
�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó
�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos
v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen
derecho a vivir
9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir
() March 28, 2014 12 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:
8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ó
cualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.
Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente
�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó
�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos
v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen
derecho a vivir
9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir
() March 28, 2014 12 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:
8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.
Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente
�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó
�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos
v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen
derecho a vivir
9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir
() March 28, 2014 12 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:
8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.
Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente
�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó
�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos
v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen
derecho a vivir
9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir
() March 28, 2014 12 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:
8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.
Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente
�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó
�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos
v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen
derecho a vivir
9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir
() March 28, 2014 12 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:
8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.
Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente
�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó
�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos
v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen
derecho a vivir
9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir
() March 28, 2014 12 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:
8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.
Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente
�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó
�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos
v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen
derecho a vivir
9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir
() March 28, 2014 12 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias
v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)
Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:
9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.
8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.
() March 28, 2014 13 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias
v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)
v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)
Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:
9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.
8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.
() March 28, 2014 13 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias
v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)
Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:
9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.
8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.
() March 28, 2014 13 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias
v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)
Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:
9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.
8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.
() March 28, 2014 13 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias
v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)
Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:
9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.
8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.
() March 28, 2014 13 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias
v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)
Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:
9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.
8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.
() March 28, 2014 13 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias
v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)
Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:
9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.
8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.
() March 28, 2014 13 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto dede�nición de la variable x .
Ejemplo: Dada la función proposicional: P (x) : x2 = �1, consideremoslas proposiciones9x 2 R : P (x) Es falsa porque no existe ningún número real tal que x2 = �1,
9x 2 C : P (x)Es verdadera porque existe el número complejo x = 0+ 1ital que (0+ 1i)2 = �1.
() March 28, 2014 14 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto dede�nición de la variable x .
Ejemplo: Dada la función proposicional: P (x) : x2 = �1, consideremoslas proposiciones
9x 2 R : P (x) Es falsa porque no existe ningún número real tal que x2 = �1,
9x 2 C : P (x)Es verdadera porque existe el número complejo x = 0+ 1ital que (0+ 1i)2 = �1.
() March 28, 2014 14 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto dede�nición de la variable x .
Ejemplo: Dada la función proposicional: P (x) : x2 = �1, consideremoslas proposiciones9x 2 R : P (x) Es falsa porque no existe ningún número real tal que x2 = �1,
9x 2 C : P (x)Es verdadera porque existe el número complejo x = 0+ 1ital que (0+ 1i)2 = �1.
() March 28, 2014 14 / 14
Funciones Proposicionales. Cuanti�cación
El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto dede�nición de la variable x .
Ejemplo: Dada la función proposicional: P (x) : x2 = �1, consideremoslas proposiciones9x 2 R : P (x) Es falsa porque no existe ningún número real tal que x2 = �1,
9x 2 C : P (x)Es verdadera porque existe el número complejo x = 0+ 1ital que (0+ 1i)2 = �1.
() March 28, 2014 14 / 14