Iniciación a la Resistencia de los Materiales
•TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS
•de J.A.G. Taboada
Texto de referencia:
PARTE 1 : Resistencia
Objeto:
COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS
DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
CAPITULO IX:
POTENCIAL INTERNO
TEOREMAS ENERGÉTICOS
Lección 17:
Lección 17 : Indice
• 17.1 .- Introducción al Potencial Interno.
• 17.3 .- Teorema de Clapeyron. Expresiones del potencial
interno.
• 17.4 .- Teorema de reciprocidad de Maxwell - Betti.
Lección 18 : Indice
• 18.1 .- Teorema de Castigliano.
Integrales de Mohr.
• 18.2 .- Teorema inverso de Castigliano.
• 18.3 .- Sistemas hiperestáticos exteriormente.
Teorema de Menabrea o de la energía mínima.
• 18.4 .- Sistemas hiperestáticos interiormente.
• 18.5 .- Entramados de barras articuladas.
Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.
F
F
dF
F
d
dW = (F + dF)·d F·(dF·L/SE) + dF2·L/SE
W = L
S· E
F · dF
0
F F 2· L
2 · S ·E
=
W =1
2F ·
Teorema de Clapeyron
L
Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.
W =1
2F .
Teorema de Clapeyron
FL
=F 2
2SESu =
V
W=
2.E
2 L2=
2
2 E=
2.E
2
Energía de deformación por unidad de Volumen
W =
L
F 2· dx
2 · S ·E
Deformaciones en cortadura
GG
= G
G=
E
2 (1 + )
Módulo de elasticidad transversal,
Módulo de esfuerzo cortante,
Módulo de rigidez a cortadura
Energía de deformación en cortadura por unidad de Volumen
W = 2
F ·
u =
2G =
G 2
Energía de deformación en tracción por unidad de Volumen
u =
2E =
E
2
Energía de deformación en cortadura por unidad de Volumen
Energía de deformación provocada por las “” en Flexión
B
dx
dy = · dx
dW’ = ½ ·(·B·dy)·( ·dx) = (·B·dy·dx)/2G
dV = (·B·dy) = / G
V· Me
B·Iz =
dW = s dW’·dS = dx/2G s (·B·dy) = dx/2G s B·dy ·(V·
Me/B·Iz)2
dW = V2 ·dx/(2G ·Iz2) s (Me2/B) ·dy = V2 ·dx/(2G ·Sr)
Iz2 .
s (Me2/B) ·dy
Sr =W = V2 ·dx
2G ·SrL
V2 ·dx2G ·S
L f c= f c= S . Sr
Energía de deformación en Flexión
W = 2
F · u =
2E =
E
2
Energía de deformación en Flexión
= M·yIz
V= dS·dx
dW= u·V = M2·dx/2EIz
W=
L
M2·dx2EIz
FORMULACIÓN :
Cálculo de tensiones y deformaciones r=
T · r
Ip=
T
GIp
I p=·R4
2=
225000·W
n·
Energía de deformación en Torsión
W =
2F · u =
2G =
G
2
Energía de deformación en Torsión
= T·r
Ip
dW = ½ · T·d
d = []·dx = T·dx/G·Ip
dW = ½ · T2·dx/G·Ip
V = (2··r·dr)· dx
T2 ·dx2G ·Ip
L f TW =
Energía de deformación
T2 ·dx2·G ·Ip
L f T ·W =
W = V2 ·dx2G ·Sr
LV2 ·dx2G ·S
L f c ·=W =
F 2· dx
2 · S ·E
L
W= M2·dx2EIzL
Expresiones de potencial interno
• Módulo de Resiliencia: – Máxima energía de deformación, por unidad de volumen
que se puede almacenar en un cuerpo sin que se produzcan deformaciones permanentes.
dW = ½ · [T]·[]
UTotal = UN + UV + UMF + UMT
V2 ·dx2·G ·S
L f c ·U = F2· dx
2 · S ·E
L + M2·dx2·E·Iz
L+ T2 ·dx
2·G ·IpL f T ·+
Teorema de Maxwell - Betti
W1+2 = ½·F1·1+ F1·2 + ½·F2·2
W2+1 = ½·F2·2+ F2·1 + ½·F1·1
Si: W1+2 = W2+1 => F1·2 = F2·1
Los coeficientes de influencia recíprocos son iguales
V2 ·dx2·G ·S
L f c·U = F2· dx
2 · S ·E
L + M2·dx2·E·Iz
L+ T2 ·dx
2·G ·IpL f T·+
Teorema de Castigliano
La derivada parcial del potencial interno de un sistema elástico, sometido a un conjunto de acciones, respecto a una de ellas es igual a la proyección, sobre la dirección y sentido de la acción, del correspondiente desplazamiento de su punto de aplicación originado por el conjunto de todas ellas.
F = ∂U/∂F = ∫(∂MF2 /∂F) ·dx/(2·E·Iz) = ∫ MF ·(∂MF/∂F) ·dx/(E·Iz)
M =∂U/∂M = ∫(∂MF2 /∂M) ·dx/(2·E·Iz) = ∫MF ·(∂MF/∂M)
·dx/(E·Iz)
Resolución de Pórtico
D
A
C
B
L
L
I
I I
P
VB=0
HB=0
B=0
Resolución de Pórtico
MF = 0
FV = 0
FH = 0
-
--
-
-
+D
A
C
B
L
L
I
I I
P
B=0
=(3·L·MB -HB·(L2/2+ L2+L2/2)-P·(L2/8+ L2/2)+RB·(L2/2+L2)/E·Iz
VB=0
=(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz
=(MB·(2·L2) -HB·(5/3·L3 )-P·(3·L3/8) + RB·L3)/E·Iz
HB=0
= (3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz
P·5·L/8 = 3·MB - HB·2·L + RB·3·L/2
P·29·L/48 = 3·MB/2 - HB·L + RB·4·L/3
P·3·L/8 = 2· MB – 5·HB·L /3 + RB·L
RB = P /2 HB = P /8 MB = P·L /24
VB=0
HB=0
B=0
-
-
-
-
+
D
A
C
L
L
P+
++
Resolución de Pórtico
B
VB=0
B= =(3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz
VB1 = (MB·(L2/2+ L2))/E·Iz
VB2 = (-HB·(L2·L/2+L2/2 ·L))/E·Iz
VB3 = (-P·(L2/8·(L/2+2/3·L/2)+ L2/2·L))/E·Iz
VB4 = (RB·(L2/2·2/3·L+L2 ·L))/E·Iz
VB= =(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz
Resolución de PórticoHB=0
B= = (3·L·MB -HB·2·L2-P·5·L2/8+RB·3·L2/2)/E·Iz
VH1 =(MB·(2·L2/2+ L2))/E·Iz
VH2 =(-HB · (2·L2/2 ·2/3·L + L3))/E·Iz
VH3 =(-P·(L2/8·L+L2/2·L/2))/E·Iz
VH4 = (RB·(L2/2·L+L2 ·L/2)/E·Iz VB=0
HB=0
B=0
-
-
-
-
+
D
A
C
L
L
P+
++
B
-
+
VB= =(MB·(3L2/2) -HB·L3 -P·(29·L3/48) + RB·(4·L3/3))/E·Iz
HB= =(MB·(2·L2) -HB·(5/3·L3 )-P·(3·L3/8) + RB·L3)/E·Iz
VB=0
HB=0
B=0
Resolución de Pórtico
MF = 0
FV = 0
FH = 0
D
A
C
B
L
L
I
I I
P
M1 = MB - HB·x 0 < x < L
M2 = MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L
M3 = MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x
0 < x < 1/2L
M4 = MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L
x
x
x
x
B= 0 =∂U/∂MB = L M1·(∂M1/∂M)·dx/(E·Iz) +
+ L/2 M2·(∂M2/∂M)·dx/(E·Iz) +
+ L/2 M3·(∂M3/∂M)·dx/(E·Iz) + L
M4·(∂M4/∂M)·dx/(E·Iz)
Resolución de PórticoM1 = MB - HB·x 0 < x < L M2 = MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L
M3 = MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4 = MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L
B=0 =∂U/∂MB = L M1·(∂M1/∂M)/(E·Iz) + L/2 M2·(∂M2/∂M)/(E·Iz) + L/2 M3·(∂M3/∂M)/(E·Iz) + L
M4·(∂M4/∂M)/(E·Iz) =
= L (MB - HB·x) ·(∂M1/∂M)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·x)·(∂M2/∂M)/(E·Iz) +
+L/2 (MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x)·(∂M3/∂M)/(E·Iz) + L (MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(∂M4/∂M)/(E·Iz) =
(∂M1/∂MB)= (∂M2/∂MB)= (∂M3/∂MB)= (∂M4/∂MB)= 1
= [(MB x- ½·HB·x2)/(E·Iz)]L + [(MB x - HB·L x + ½·RB· x2)/(E·Iz) ]L/2 + [(MB x - HB·L·x + RB·(1/2·L·x +
½·x2) - P· ½·x2)/(E·Iz) )]L/2 + [(MB ·x - HB· ½·x2 + RB·L·x - P·1/2·L·x)/(E·Iz)]L =
= (3M-2H·L+3/2·R·L-5/8·P·L)·L/(E·Iz)
Resolución de PórticoM1 = MB - HB·x 0 < x < L M2 = MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L
M3 = MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4 = MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L
BH=0 =∂U/∂HB =
= L M1·(∂M1/∂ HB)/(E·Iz) + L/2 M2·(∂M2/∂ HB)/(E·Iz) + L/2 M3·(∂M3/∂ HB)/(E·Iz) + L M4·(∂M4/∂ HB)/(E·Iz) =
= L (MB - HB·x) ·(-x)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·x)·(-L)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x)·(-L)
+
+L (MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(-x)/(E·Iz) =
(∂M1/∂HB)= -x ; (∂M2/∂HB)= -L ; (∂M3/∂HB)= -L ;(∂M4/∂MB)= -x
= [(-MB ·½·x2 + 1/3·HB·x3)/(E·Iz)]L + [(- MB ·L·x + HB· L2 ·x· - ½·RB·L· x2)/(E·Iz) ]L/2 + [(- MB ·L·x +
HB· L2 ·x - RB·(1/2· L2 ·x + ½·L·x2) + P· L·½·x2)/(E·Iz) )]L/2 + [(- MB ·½·x2 + HB· 1/3·x3 - RB·L ·½·x2 +
P·1/2·L ·½·x2 )/(E·Iz)]L =(-2M+5/3·H·L-R·L -3/8·P·L)·L2/(E·Iz)
Resolución de PórticoM1 = MB - HB·x 0 < x < L M2 = MB - HB·L + RB·x 0 < x < 1/2L
M3 = MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4 = MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L 0 < x < L
BR=0 =∂U/∂RB =
= L M1·(∂M1/∂ RB)/(E·Iz) + L/2 M2·(∂M2/∂ RB)/(E·Iz) + L/2 M3·(∂M3/∂ RB)/(E·Iz) + L M4·(∂M4/∂ RB)/(E·Iz) =
= L (MB - HB·x) ·(0)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·x)·(x)/(E·Iz) + L/2 (MB - HB·L + RB·(1/2·L+x) -
P·x)·(1/2·L+x)
+L (MB - HB·x + RB·L - P·1/2·L)·(L)/(E·Iz) =
(∂M1/∂RB)= 0 ; (∂M2/∂HB)= x ; (∂M3/∂HB)= ½·L+x ;(∂M4/∂MB)= L
= [(MB ·½·x2 - ½·HB·L·x2 + RB· 1/3·x3) /(E·Iz)]L/2 + [( MB ·1/2·L·x - ½·HB·L2 ·x· + ¼·RB·L2·x +
¼·RB·L·x2 – ¼·P· L·x2)/(E·Iz) ]L/2 + [(MB ·½·x2 - ½·HB·L·x2 + RB·¼·L·x2 + RB 1/3·x3) - P·
L·1/3·x3)/(E·Iz) )]L/2 +
[( MB ·L·x – ½·HB· L·x2 + RB· L2 ·x - P·1/2· L2 ·x )/(E·Iz)]L =(3/2·M-H·L+4/3·R·L-29/48·P·L)L2/(E·Iz)
Resolución de Pórtico
P·5·L/8 = 3·MB - HB·2·L + RB·3·L/2
P·29·L/48 = 3·MB/2 - HB·L + RB·4·L/3
P·3·L/8 = 2· MB – 5·HB·L /3 + RB·LRB = P /2
HB = P /8
MB = P·L /24
3·M – 2·H·L + 3/2·R·L - 5/8·P·L = 0
-2·M + 5/3·H·L - R·L - 3/8·P·L = 0
3/2·M - H·L + 4/3·R·L - 29/48·P·L = 0