Leccion 11: Derivadas parciales y direccionales.
Gradiente
Introduccion al Calculo Infinitesimal
I.T.I. Gestion
Recordar:
- Calculo de lımites
- Reglas de derivacion
Derivadas parciales
f : R2 → R funcion de dos variables, (x0, y0) ∈ R2
• La derivada parcial de f respecto de x en el punto (x0, y0)
viene dada por
∂f
∂x(x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)
h∈ R
Derivadas parciales
f : R2 → R funcion de dos variables, (x0, y0) ∈ R2
• La derivada parcial de f respecto de x en el punto (x0, y0)
viene dada por
∂f
∂x(x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)
h∈ R
• La derivada parcial de f respecto de y en el punto (x0, y0)
viene dada por
∂f
∂y(x0, y0) = lim
h→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)
h∈ R
Derivadas parciales
f : R2 → R funcion de dos variables, (x0, y0) ∈ R2
• La derivada parcial de f respecto de x en el punto (x0, y0)
viene dada por
∂f
∂x(x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)
h∈ R
• La derivada parcial de f respecto de y en el punto (x0, y0)
viene dada por
∂f
∂y(x0, y0) = lim
h→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)
h∈ R
• Alguna de ellas podrıa no existir (±∞)
Derivadas parciales
Ejemplos:
1. f (x, y) = 3xy + xy2, (x0, y0) = (1, 1)
∂f
∂x(1, 1) = 4,
∂f
∂y(1, 1) = 5
Derivadas parciales
Ejemplos:
1. f (x, y) = 3xy + xy2, (x0, y0) = (1, 1)
∂f
∂x(1, 1) = 4,
∂f
∂y(1, 1) = 5
2. f (x, y) = ex+y2 − x, (x0, y0) = (0, 1)
∂f
∂x(0, 1) = e− 1,
∂f
∂y(0, 1) = 2e
Derivadas parciales
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2
Idea general:
∂f
∂x(x0, y0)→ mantenemos fija la variable y, y derivamos
respecto la variable x
∂f
∂y(x0, y0)→ mantenemos fija la variable x, y derivamos
respecto la variable y
Derivadas parciales
f : R2 → R, (a, b) ∈ R2
Interpretacion geometrica:
∂f
∂x(a, b) coincide la pendiente de la recta tangente
a cierta curva C1 en la superficie {z = f (x, y)}
C1 ≡ Interseccion de {z = f (x, y)} con el plano {y = b}(pasa por (a, b, f (a, b)))
- Notese que la curva C1 surge de mantener la variable y
constantemente igual a b, mientras que la variable x
se mueve en un entorno de a
Derivadas parciales
f : R2 → R, (a, b) ∈ R2
Interpretacion geometrica:
∂f
∂x(a, b) ≡ Pendiente de T1, recta tangente a C1 en (a, b, f (a, b))
Derivadas parciales
f : R2 → R, (a, b) ∈ R2
Interpretacion geometrica:
∂f
∂y(a, b) coincide la pendiente de la recta tangente
a cierta curva C2 en la superficie {z = f (x, y)}
C1 ≡ Interseccion de {z = f (x, y)} con el plano {x = a}(pasa por (a, b, f (a, b)))
- Igualmente, la curva C2 surge de mantener la variable x
constantemente igual a a, mientras que la variable y
se mueve en un entorno de b
Derivadas parciales
f : R2 → R, (a, b) ∈ R2
Interpretacion geometrica:
∂f
∂y(a, b) ≡ Pendiente de T2, recta tangente a C2 en (a, b, f (a, b))
- archivo derivadasparciales.mws de Maple
Calculo de las derivadas parciales
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2
- Si f esta definida globalmente→ Reglas habituales de derivacion,
considerando una variable como constante, y derivando
respecto la otra variable
Calculo de las derivadas parciales
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2
- Si f esta definida globalmente→ Reglas habituales de derivacion,
considerando una variable como constante, y derivando
respecto la otra variable
- Si f es una funcion definida a trozos → En los puntos
particulares, hay que recurrir a la definicion
Ejemplos:
1. f (x, y) = (x2 + y)ecos(2xy)
2. f (x, y) = Ln(x2 + y3) + sin(xey)
3. f (x, y) =x2 + y3 + 2xy
exy2
4. f (x, y) =ex − e2y
x3 + 3xy2
5. f (x, y) =Ln(sin(xy
2))
x2 ex2+2y4
6. f (x, y) =
3x2y − 2x3
x2 + y4, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Ejemplos:
7. f (x, y) =
e4x2
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
1, (x, y) = (0, 0)
8. f (x, y) =
x22y + x2
Ln(x2 + y2 + 1), (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
9. f (x, y) =
y − xy + x2
3x4 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Derivadas direccionales
f : R2 → R funcion de dos variables, (x0, y0) ∈ R2
Sea u = (u1, u2) ∈ R2 direccion unitaria (√u21 + u22 = 1)
• La derivada direccional de f en (x0, y0), segun la direccion u
viene dada por
D(u1,u2)f (x0, y0) = limh→0
f((x0, y0) + h(u1, u2)
)− f (x0, y0)
h
= limh→0
f (x0 + hu1, y0 + hu2)− f (x0, y0)
h∈ R
Derivadas direccionales
f : R2 → R funcion de dos variables, (x0, y0) ∈ R2
Sea u = (u1, u2) ∈ R2 direccion unitaria (√u21 + u22 = 1)
• La derivada direccional de f en (x0, y0), segun la direccion u
viene dada por
D(u1,u2)f (x0, y0) = limh→0
f((x0, y0) + h(u1, u2)
)− f (x0, y0)
h
= limh→0
f (x0 + hu1, y0 + hu2)− f (x0, y0)
h∈ R
- Puede no existir para alguna direccion u ∈ R2 (±∞)
Derivadas direccionales
f : R2 → R funcion de dos variables, (x0, y0) ∈ R2
Sea u = (u1, u2) ∈ R2 direccion unitaria (√u21 + u22 = 1)
• La derivada direccional de f en (x0, y0), segun la direccion u
viene dada por
D(u1,u2)f (x0, y0) = limh→0
f((x0, y0) + h(u1, u2)
)− f (x0, y0)
h
= limh→0
f (x0 + hu1, y0 + hu2)− f (x0, y0)
h∈ R
- Las derivadas parciales → caso particular
(u = (1, 0) o u = (0, 1))
Derivadas direccionales
f : R2 → R funcion de dos variables, (x0, y0) ∈ R2
Sea u = (u1, u2) ∈ R2 direccion unitaria (√u21 + u22 = 1)
• La derivada direccional de f en (x0, y0), segun la direccion u
viene dada por
D(u1,u2)f (x0, y0) = limh→0
f((x0, y0) + h(u1, u2)
)− f (x0, y0)
h
= limh→0
f (x0 + hu1, y0 + hu2)− f (x0, y0)
h∈ R
- Para cada punto (x0, y0) y cada direccion (u1, u2), tendremos
una derivada direccional
Derivadas direccionales
Ejemplos:
1. f (x, y) = 3xy + xy2, (x0, y0) = (1, 1)
u =
(1√2,1√2
), Duf (1, 1) =
9√2
u =
(1√10,
3√10
), Duf (1, 1) =
19√10
2. f (x, y) = ex2y, (x0, y0) = (1, 3)
u =
(1√2,1√2
), Duf (1, 3) =
7e3√2
Derivadas direccionales
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2, u ∈ R2 unitario
Interpretacion geometrica:
Duf (a, b) coincide la pendiente de la recta tangente
a cierta curva T en la superficie {z = f (x, y)}
T ≡ Interseccion de {z = f (x, y)} con el plano vertical P
determinado por la direccion u = (u1, u2), y que pasa
por (x0, y0, f (x0, y0))
Nota: P = {(x, y, z) ∈ R3 : u2x− u1y = c}, con c ∈ R
Derivadas direccionales
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2, u ∈ R2 unitario
Interpretacion geometrica:
Duf (x0, y0) ≡ Pendiente de la recta tangente a T en (x0, y0, f (x0, y0))
- archivo derivadasdireccionales.mws de Maple
Derivadas direccionales
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2, u ∈ R2 direccion
- Si u no es unitario, se considerara el correspondiente
vector unitariou
||u||∈ R2, que determina la misma direccion
Derivadas direccionales
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2, u ∈ R2 direccion
- Si u no es unitario, se considerara el correspondiente
vector unitariou
||u||∈ R2, que determina la misma direccion
- Para que la interpretacion geometrica anterior se verifique,
tenemos que tomar siempre direcciones unitarias al calcular
las derivadas direccionales
Gradiente
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2
• El gradiente de f en el punto (x0, y0) se define como
∇f (x0, y0) =(∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0)
)
Gradiente
f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2
• El gradiente de f en el punto (x0, y0) se define como
∇f (x0, y0) =(∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0)
)
- Si alguna derivada parcial no existe en (x0, y0) ⇒⇒ No existe el gradiente de f en (x0, y0)
- Para cada punto de R2, el gradiente cambia
- Interesantes propiedades cuando f es diferenciable
Gradiente
Ejemplo:
f (x, y) = 3xexy + Ln(x2 + y2 + 1)
∇f (0, 0) = (3, 0)
∇f (1, 0) = (6 + Ln(2), 3)
∇f (1, 1) = (6e + 23, 3e +
23)
Calculo de las derivadas direccionales cuando f es diferenciable
f : R2 → R diferenciable en (x0, y0) ∈ R2
u = (u1, u2) ∈ R2 direccion unitaria
Se vera que, en esta situacion,
Duf (x,y0) = 〈∇f (x0, y0), (u1, u2)〉
Ejercicios:
Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones:
1. f (x, y) = x2y − xy3
2. f (x, y) = x2 − y
3. f (x, y) = x3y + exy2
4. f (x, y) = xyex − 2x2ey
5. f (x, y) =
y3
x2+y2si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Ejercicios:
Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones:
6. f (x, y) =
x−y2x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
7. f (x, y) =
x2
x2+y2si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).