Las imágenes de la presentación han sido obtenidas del libro:
Physics for Scientists and EngineersPaul A. Tipler • Gene Mosca Copyright © 2004 by W. H. Freeman & Company
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Puente Colgante
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Catenaria
f: flecha a: vano A, B: puntos de amarre
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Equilibrio de hilo sobre superficies
Lisas
Rugosas: cabrestante
Objetivos
� Estudiar el equilibrio de sistemas estructurales de gran importanciay aplicación en ingeniería: hilos y cables
� Conocer los conceptos de hilo y tensión
� Establecer las condiciones del equilibrio de un hilo referido a unsistema de ejes cartesianos y a un sistema de ejes centrados encada punto del hilo (ecuaciones intrínsecas)cada punto del hilo (ecuaciones intrínsecas)
� Aplicar las condiciones del equilibrio en el caso particular defuerzas paralelas
� parábola de puente colgante� catenaria
� Estudiar el equilibrio de hilos apoyados sobre superficies lisas ysuperficies rugosas, aplicación: cabrestante, amarres, frenos….
Conceptos Previos
Hilo: una de las estructuras más importante en losproyectos de construcción, ya que va a soportar el peso delas otras partes y transmitirlo hasta la cimentación o apoyoscorrespondientes.
Hilo: sistema estructural unidimensional delgado quetrabaja sometido a momentos flectores pequeños.trabaja sometido a momentos flectores pequeños.
Concepto de Hilo
Sistema material
Deformable
Unidimensional
distancia entre dos puntos cualesquiera es infinitesimalContinuo
bajo estímulos externos cambia de forma o configuración
curva o línea geométrica
Flexible
Torsionable
Inextensible
no existen fuerzas interiores que se opongan a la flexión
no existen fuerzas interiores que se opongan a la torsión
la longitud es constante
no sufre alargamiento
No tiene elasticidad
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Equilibrio de hilo sobre superficies
Lisas
Rugosas: cabrestante
Ecuación vectorial del equilibrio de Hilos
1Tv
∑ =
=∑
0
0rr
rr
M
FM1
Tv
−ds
∑ = 0PM
0r
rr
=+ds
TdF
dsFr
M1
M
0rrr
=+ TddsF
Ecuaciones cartesianas del equilibrio de Hilos
0=
+ds
dxT
ds
dX
0=+ dyT
dY
0=
+ds
dxTdXds
0=+ dyTdYds0=
+ds
Tds
Y
0=
+ds
dzT
ds
dZ
0=
+ds
TdYds
0=
+ds
dzTdZds
0r
rr
=+ds
TdF 0
rrr=+ TddsF
Ecuaciones cartesianas del equilibrio de Hilos
Casos Particulares:
- Si la fuerza es perpendicular a un eje, la proyección de la tensión sobre ese eje es constante
0; =⇒⇒= XOXlarperpendicuOYparalelojYFrr
CteTTCtedx
Tdx
Td x ==== αcos;;0 CteTTCte
dsT
dsTd x ====
αcos;;0
- Si la fuerza es paralela a un eje, el momento de la tensión respecto a ese eje es constante
CteuT =⋅ rr
CteuT =∧ rr
Ecuaciones cartesianas del equilibrio de Hilos
Caso general:
La fuerza F depende de la posición, de la orientación del elementodiferencial ds en el espacio y de la posición de ds sobre la curvade equilibrio
dzdydx
zyx
−
−
;;
,,
sdsdsds
−
− ;;
1222
=
+
+
ds
dz
ds
dy
ds
dx
Condición geométrica:
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Equilibrio de hilo sobre superficies
Lisas
Rugosas: cabrestante
Triedro de Frenet
utun T
r
ut
un
Triedro de Frenet
bur
tur
Plano rectificante
nur
Plano normal
Plano osculador
Triedro de Frenet
bur
Plano normal
Plano
nur
tur
Plano osculador
Plano rectificante
Fórmulas de Frenet
ntb uuurrr ∧=
kds
dzj
ds
dyi
ds
dxut
rrrr ++=
ds
udk
ds
zdj
ds
ydi
ds
xdu t
n
rrrrr ρρ =
++=2
2
2
2
2
2
nt u
ds
ud rr
ρ1=
Ecuaciones intrínsecas del equilibrio de Hilos
0=+ds
dTFt
0=+ TF
ds
dTFt −=
TF −=0=+
ρFn
0=bF
ρFn −=
0=bF
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Equilibrio de hilo sobre superficies
Lisas
Rugosas: cabrestante
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
0r
rr
=+ds
TdF 0
rrr
rr=+ rd
ds
TdrdF
0rrrrr
=+ tuTdrdF
Si las fuerzas derivan de un potencial UF ∇−=rr
0=+− dTdU
CteUT +=
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Equilibrio de hilo sobre superficies
Lisas
Rugosas: cabrestante
Fuerzas Paralelas
Tr
Fr
Fuerza paralela al eje OY
jYFrr
=Z
Proyección de la tensión sobre el eje OX constante
CteT =
X
Y
CteTx =
La figura de equilibrio es plana
21 CxCCz =−
Ecuación diferencial que resuelve el equilibrio:
0=+′ YdsyCd
Fuerzas Paralelas
Proyección de la tensión sobre el eje OX constante
CteT x =
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Equilibrio de hilo sobre superficies
Lisas
Rugosas: cabrestante
Puente Colgante Cuenca
Brookling-Manhatan
Puente Colgante
Brookling-Manhatan
Santa Fe (Argentina)
Puente Colgante
Olafsund
Puente Colgante
Vizcaya
Puente Colgante
ATr
AXT
AYTBTr
BXT
BYT
AB
Carga q distribuida uniformemente según la horizontal
Luz = L
f
y
y0
Puente Colgante
ds
dx
jYFrr
=qdxYds −=
0cos TCT ==αdx
Ecuación diferencial que resuelve el equilibrio:
0=+′ YdsyCd dxT
qyd
0
=′ xT
qy
0
=′
∫ ∫=y
y
x xdxT
qdy
0 0
0
2
0
0 2x
T
qyy =−
Puente Colgante: Tensiones
jTiTT AYAXA
rrr+=
jTiTT BYBXB
rrr+−=
TTT ==
máxBA TTT ==
mínTT =0
0TTT BXAX ==
2
LqTT BYAY ==
2
0
0 21
+=
T
LqTT
Puente Colgante: Tensiones
;cos 0TT =α ;cos
0
αT
T =α
α21
1cos
tg+=
2
0 ´1 yTT +=xT
qytg ´==α
2
0
0 21
+=
T
LqTT
22
YX TTT +=
T0
Para x=L/2 Puntos A, B
Puente Colgante: Tensiones
0cos TTTX == α
Cálculo vectorial
Tr
XT
YT
ααsenTTY =
22
YX TTT +=
X
Y
T
T
T
Tsensenytg ====
αα
ααα
coscos´
22YX TTT −=22
XY TTT −=
Puente Colgante: Tensiones
0TTsenTX == β
+=
Cálculo vectorial
Tr
XT
YT
βcosTTY =β
22YX TTT +=
Y
X
T
T
T
Tsensenytg ====
ββ
ββα
coscos´
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Equilibrio de hilo sobre superficies
Lisas
Rugosas: cabrestante
Catenaria
ATr
AXT
AYTBTr
BXT
BYT
AB
Catenaria
Consideramos el peso del hilo por unidad de longitud: p (N/m)
Luz = L
f
y0 =a
Funciones Hiperbólicas
2
xx eeShx
−−=
xx eeChx
−+=122 =− xShxCh
2
eeChx
+=
∫ +=+
CArgShxx
dx21
jYFrr
=pY −=
Ecuación diferencial que resuelve el equilibrio:
0cos TCT ==α
Catenaria
dxyds 2´1+=
22 dydxds +=
Ecuación diferencial que resuelve el equilibrio:
0=+′ YdsyCd dsT
pyd
0
=′ dxyT
pyd 2
0
´1+=′
∫ ∫=+
´
020 ´1
y x
a
dx
y
dy
a
xaChy =
apT =0
a
xShy =´ ∫ ∫=y x
ydx
a
xShdy
00
Catenaria: Tensiones
;cos 0TT =α ;cos
0
αT
T =α
α21
1cos
tg+=
a
xChT
a
xShTT 0
2
0 1 =+=a
xShytg == ´α
aa
22YX TTT +=
a
a
xaChy = py
a
yTT == 0
Catenaria
paT
pyT
==
0sss
psT
totalAB
y
2===
Catenaria: Tensiones
0cos TTTX == α
Cálculo vectorial
Tr
XT
YT
ααsenTTY =
22
YX TTT +=
X
Y
T
T
T
Tsensenytg ====
αα
ααα
coscos´
22YX TTT −=22
XY TTT −=
Catenaria : tendido eléctrico
T0 T0T0 -T0-T0-T0
Las componentes horizontales de la tensión se anulan
Catenaria : tendido eléctrico
Las componentes horizontales de la tensión se anulan, excepto en los extremos: tirantes
tTtT
ϕ ϕ
0TTtx =
ϕcosttx TT = ϕcos0T
Tt =
tTtT
Catenaria: cálculo del arco
dss
222 say +=
a
y
ds
a
catenariaparámetroa
semiarcodellongituds
alturay
:
:
:
Catenaria Asimétrica
A
B
C
AB
CA
TT
TT
>=
y f
y0 =a
C
M yA
yB
xAxB
paTT
pyT
pyT
M
BB
AA
====
0
mínBxAx TTTT === 0
MBBy
AMAy
psT
psT
==
Catenaria Asimétrica
MBAMtotalAB ssss +==
222
222
MBB
AMA
say
say
+=+=
a
xaChy
a
xaChy
BB
AA
=
=
Conceptos fundamentales
Ecuación vectorial del equilibrio de hilos
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones intrínsecas
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Programa
Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas
Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas
Parábola de puente colgante
Catenaria
Equilibrio de hilo sobre superficies
Lisas
Rugosas: cabrestante
Equilibrio sobre una superficie con rozamiento
dsRn
r
dsFr
r
nur
tur
A B
R R
1Tr
2Tr
Equilibrio estricto: A �B
dsRdsFTT nr
rrrr++= 12
Frr
= 0
ϕd
1T 2T
nnn
trr
uRR
uFF
F
rrr
rrr
−=
−=
= 0
0r
rrr
==+ds
TdRF nr
Ecuación diferencial del equilibrio
Equilibrio sobre una superficie con rozamiento
0=++−− ntnntr uR
Tu
ds
dTuRuF
rrrrrr
nr RFds
dT rr== µ
R
T
ds
dT µ=
nRR
Tds
r= ds
RT
dTRds
µ= ρRdds=
ϕµdT
dT = µϕ=0
lnT
TµϕeTT 0=
Equilibrio sobre una superficie con rozamiento
µϕeTT 0= Ejemplo:
ππϕ
µ
62
3
5,0
====
n
vueltasn
0000.123
0 TeTT == π
WW
NN
000.121
000.121
⇒
⇒
Cabrestante
Cabrestante
Cabrestante
Cabrestante
Cabrestante
Cabrestante
Cabrestante
Cabrestante
Cabrestante
Aplicación Ingeniería Agroforestal
Cabrestante
Aplicación Ingeniería Agroforestal
Cabrestante
Aplicación Ingeniería Naval
Cabrestante
Aplicación Ingeniería Naval
Cabrestante
Aplicación Ingeniería Naval