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La ley de Benford para el segundo dígito y los
resultados electoralesen México
Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa
Emiliano CalderónFacultad de Ciencias, UNAM
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Ley de Benford
• Prueba estadística que permite descubrir números fabricados
• Utilizada por administraciones tributarias para revisar declaraciones de impuestos
• Recientemente se ha extendido su aplicación al análisis de resultados electorales
• Se basa en un análisis de la frecuencia de utilización de cada dígito, del 0 al 9
• Todos suponemos que, en cualquier conjunto de números, cada dígito aparece con la misma frecuencia. Sin embargo, esto no es así
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Ley de Benford
Distribución logarítmica del primer dígito de varias cantidades que ocurren naturalmente y que son resultado de operaciones aritméticas
Hill, 1995
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Ley de Benford
Hill, 1995
Distribución logarítmica del segundo dígito de varias cantidades que ocurren naturalmente y que son resultado de operaciones aritméticas
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Distribución generalizada
Hill, 1995
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Diekmann, 2004
Probabilidades predichas por la ley de Benford paradígitos hasta de cuarto orden
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Diekmann, 2004
Distribución del primer dígito para datos no fabricados
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Diekmann, 2004
Distribución del segundo dígito para datos no fabricados
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Para resultados electorales:
• La distribución del primer dígito no cumple con la ley de Benford. Esto se debe a que el número de candidatos es limitado y mucho menor que el número de votantes
• La distribución de los dígitos de orden superior (segundo, tercero, etc.) sí tiene que cumplir con la ley de Benford. Estos números sólo se derivan de operaciones aritméticas comunes
• El conteo del segundo dígito a nivel sección debe ajustarse a la distribución de Benford
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• La bondad del ajuste de los datos observados con respecto a la distribución esperada se determina mediante la función
(ji^2, ji cuadrada)
• Los valores observados serán confiables si ji cuadrada es menor que el valor crítico 16.91
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Mebane, 2006a
Valores de ji^2 para el conteo de votos en las eleccionesmexicanas de 2006
Los valores de ji^2 superiores a 16.91son preocupantes
(Conteo de dígitos anivel sección.)
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Mebane, 2006a
Valores de ji^2 para el conteo de votos en las eleccionesmexicanas de 2006
(Conteo de dígitos anivel casilla.)
Los valores de ji^2 superiores a 16.91son preocupantes
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Valores de ji^2 parael conteo de votospor distrito
Los valores de ji^2 superiores a 16.91son preocupantes
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![Page 19: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/20.jpg)
Distritos con alteraciones graves
![Page 21: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/21.jpg)
Mebane, 2006b
Estados que presentananomalías en el conteode votos.Se consideran las elecciones de presidente, senadoresy diputados.
![Page 22: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/22.jpg)
8_2; N=895; chiB=39.32
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segundo dígito
Fre
cuen
cia
IFE Benford
Distribución de dígitos para el distrito 2 de Chihuahua
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PAN;8_2; N=252, chiB=13.49
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segundo dígito
Frec
uenc
ia
IFE Benford
Distribución de dígitos para el distrito 2 de Chihuahua
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APM; 8_2; N=251; chiB=18.68
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segundo dígito
Frec
uenc
ia
IFE Benford
Distribución de dígitos para el distrito 2 de Chihuahua
![Page 25: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/25.jpg)
PBT; 8_2; N=252; chiB=4.94
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segundo dígito
Fre
cuen
cia
IFE Benford
Distribución de dígitos para el distrito 2 de Chihuahua
![Page 26: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/26.jpg)
NA; 8_2; N=40; chiB=26.11
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segundo dígito
Fre
cuen
cia
IFE Benford
Distribución de dígitos para el distrito 2 de Chihuahua
![Page 27: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/27.jpg)
ASCD; 8_2; N= 100; chiB=22.87
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segundo dígito
Fre
cu
en
cia
IFE Benford
Distribución de dígitos para el distrito 2 de Chihuahua
![Page 28: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/28.jpg)
La distribución del segundo dígito en numerosos distritos no se ajusta a la ley de Benford
Número de anomalías Número de distritos
0 90
1 111
2 52
3 34
4 8
5 4
6 1
Total de distritos con anomalías 210
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0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Nulo[state == "AGUASCALIENTES"]
P_
P_
pe
r[st
ate
==
"A
GU
AS
CA
LIE
NT
ES
"]
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.5
0.0
0.5
Nulo[state == "CHIHUAHUA"]
P_
P_
pe
r[st
ate
==
"C
HIH
UA
HU
A"]
Aguascalientes Chihuahua
Takahashi, 2006
Diferencia porcentual Calderón-AMLO contra porcentaje de votos anulados
![Page 30: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/30.jpg)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.5
0.0
0.5
Nulo[state == "DISTRITO FEDERAL"]
P_
P_
pe
r[st
ate
==
"D
IST
RIT
O F
ED
ER
AL
"]
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.5
0.0
0.5
Nulo[state == "GUANAJUATO"]
P_
P_
pe
r[st
ate
==
"G
UA
NA
JUA
TO
"]
Takahashi, 2006
Distrito Federal Guanajuato
![Page 31: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/31.jpg)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Nulo[state == "NUEVO LEON"]
P_
P_
pe
r[st
ate
==
"N
UE
VO
LE
ON
"]
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
Nulo[state == "MORELOS"]
P_
P_
pe
r[st
ate
==
"M
OR
EL
OS
"]
Morelos Nuevo León
Takahashi, 2006
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• En estados como Chihuahua, Guanajuato y Nuevo León, el porcentaje de votos nulos es mayor cuando la diferencia Calderón-AMLO es menor
• El porcentaje de representantes de casillas de la coalición PBT era muy baja en los estados arriba mencionados
• Es posible que en esos estados se haya anulado un porcentaje inusualmente elevado de votos correspondientes a PBT
![Page 33: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/33.jpg)
Conclusiones
• El conteo del segundo dígito para la votación se aparta significativamente de la distribución de Benford
• Es posible que haya habido alteraciones en el conteo de votos que induzcan valores de ji^2 excepcionalmente elevados para numerosos distritos
• Es necesario hacer un recuento de todos los votos para verificar los datos proporcionados por el IFE.
![Page 34: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/34.jpg)
• Universidad de Cornell:
W. R. Mebane
Y. Takahashi
• Universidad de Berkeley:
J. Sekhon
Agradecimientos
![Page 35: La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa Emiliano Calderón Facultad de Ciencias,](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062519/5665b4601a28abb57c90fe03/html5/thumbnails/35.jpg)
Referencias• Diekmann, A. (2004) Not the First Digit! Using Benford’s
Law to Detect Fraudulent Scientific Data
• Hill, T. P. (1995) A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law. Statistical Science 10 (4), 354-363
• Mebane, W. R. (2006a) Election Forensics: Vote Count and Benford’s Law. 2006 Summer Meeting of the Political Methodology Society
• Mebane, W. R. (2006b) Comunicación personal
• Takahashi, Y. (2006) Comunicación personal