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HIPERBOLAINTEGRANTES:Adriana Borja Angie Gamero
Andrea De la Rosa
LA HIPERBOLA • Es el lugar geométrico de los puntos del plano
tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos.
ELEMENTOS DE LA HIÉRBOLA • se considera una hipérbola centrada en el
origen de coordenadas y cuyos ejes se encuentran sobre los ejes de coordenadas.
• LOS FOCOS: Son dos puntos fijos del plano.
• EL EJE FOCAL: es la recta que pasa por los focos.
• Los focos y el eje focal siempre están juntos en el mismo eje
• LOS VERTICES: son los puntos en los cuales la hipérbola corta el eje focal
• EL EJE TRANSVERSO: es el segmento que tiene por extremos los vértices de la hipérbola.
• EL CENTRO: es el punto medio del eje transverso también puede estar dentro del origen y fuera del origen. Siempre esta en medio de los vértices y los focos
• EL EJE NORMAL: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal.
• EL EJE CONJUGADO: es el segmento perpendicular al eje transverso, en el centro. El eje conjugado esta contenido en el eje normal.
• LAS ASINTOTAS: Son dos rectas a las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola, al extenderse infinitivamente.
ECUACION CANONICA DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN(0,0)
Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X • La hipérbola con centro (0,0)y focos en
f1 (-c,0) y f2 (c,0) tal que la diferencia de las distancia de un punto p (x,y)de la hipérbola a los focos es 2ª, tienen por ecuación canónica, la expresión:
• - = 1Donde a,b,c > o,c> a y =- • - = 1Donde a,b,c >o c >a y = -
• Ejemplo:Encuentra cada uno de los elementos de la siguiente hipérbola y grafícala:
Es una hipérbola con centro en el origen y como el primer término contiene a , ésta es una hipérbola con eje focal sobre el eje x, entonces se trata de una ecuación del tipo .
Coordenadas del centro
Semidistancia focal
y
Coordenadas de los focos y y
Coordenadas de los
vértices y
y
Coordenadas de los
extremos del eje conjugado y
y
Semieje transverso
Semieje conjugado
ECUACION CANONICA DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN(0,0) Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y
• EJEMPLO:Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: , , y , respectivamente. Determina la ecuación de la hipérbola.SOLUCION:Podemos notar que el centro de la hipérbola es el origen y además el eje focal es paralelo al eje y, ya que las abscisas de cada uno de los puntos son las mismas.
• La ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal paralelo al eje y es Busquemos los datos que no conocemos.
Como y entoncesA=1
Además, como y entoncesc=3El único dato que nos falta es para calcularlo utilizamos la expresión , ya que tenemos los valores de c=3 y a =1
Para determinar la ecuación, sustituimos los valores a=1 y en entonces
ECUACION CANONICA DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN(h,k)
Y EJE FOCAL AL EJE X • La hipérbola con centro en (h,k), focos
f1(h-c,k) y f2 (h+c,k)tal que la diferencia de las distancias de cualquier punto P(x,y) de la hipérbola, a los focos es 2a, tiene por ecuación canónica:
- =1, con c > a y =-
• Los elementos de la hipérbola con centro fuera del origen (h,k) y eje focal al eje x
• Focos: (h-c,k) (h+c,k)• Vértices: (h-a,k) (h+a,k)• Longitud del eje transverso: 2a• Longitud del eje conjugado: 2b • Eje normal: paralelo al eje y • Asíntotas: y-k=(x-h) y-k=-(x-h)
• Ejemplo:Encuentra cada uno de los elementos de la siguiente hipérbola y grafícala:
Solucion:Es una hipérbola con centro fuera del origen y como el primer término contiene a , ésta es una elipse con eje focal paralelo al eje x, entonces se trata de una ecuación del tipo
Coordenad
as del centro
y
Semidistan
cia focal
y
Coordenad
as de los
focos
y
y
Coordenad
as de
los vérti
ces
y
y
Coordenad
as de los
extremos del
eje
conjugado
y
y
Semieje
transverso
Semieje
conjugado
COMPROMISO:
1.Encuentra cada uno de los elementos de la siguiente hipérbola y grafícala:
2.Determina la ecuación de la hipérbola usando los siguientes datos: el centro está en el origen, vértice en y el extremo del eje conjugado es .