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Negociación del valor relativo (spreads) en la curva de rendimiento TES, un proceso
Orstein Uhlenbeck Cointregrado, ajustado por ACP ¹
Jaime Alonso Restrepo Mejía.
Resumen Realizar negociación de valor relativo sobre la curva de los bonos de deuda pública de la republica de Colombia parecería algo simple. Sin embargo, en la práctica se demuestra totalmente lo contrario. El riesgo en este tipo de negociación, donde el manejo del spread entre una referencia y otra puede ampliarse más de los límites de riesgo asignados, podría generar como resultado de dicha estrategia en una negociación con pérdidas importantes por tiempo indeterminado a no ser de cancelar la negociación rápidamente. A continuación se presenta una metodología que disminuye de forma importante la probabilidad de pérdidas y aumenta la probabilidad de éxito en este tipo de negocio, utilizando herramientas econométricas, de estadística multivariada y de series de tiempo, suponiendo que el spread está gobernado matemáticamente por la ecuación diferencial parcial del tipo de reversión a la media llamada Orstein-Uhlenbeck. El proceso anteriormente descrito será ajustado por medio del Análisis de Componentes Principales para luego aplicar el método de Cointegración de dos pasos de Engle-Granger para aquellos títulos que hacen parte del primer componente, es decir aquellos que contribuyendo en más del 50% a la variación del sistema. Palabras Claves: Renta Fija, Valor relativo, Cointegración Clasificación JEL: G12, G14, G17, C10, C22
¹ Trabajo presentado para optar por el título de Magister en Economía de la Pontificia Universidad Javeriana.
Negotiating relative value (spreads) in the TES yield curve, a Cointegrated Orstein
Uhlenbeck process, adjusted by PCA ¹
Jaime Alonso Restrepo Mejía.
Abstract Negotiating relative value (spreads) in government bonds and especially in the Colombian bond market seems so simple. However, in practice it proves quite the opposite. The risk in this type of negotiation, where the management of the spread between a reference and the other can be extended over assigned risk limits, could generate as a result of this strategy in major losses indefinitely unless you cancel rapidly the trade. In this research I give a methodology that significantly reduces the probability of losses and increases the probability of success in this type of business, using econometric tools, and multivariate statistical time series, assuming that the spread between two bonds is governed mathematically by the partial differential equation of the type of mean reversion called Ornstein-Uhlenbeck. The process described in this study will be adjusted by the means of the Principal Component Analysis and then applying the method of two-step cointegration describe by Engle-Granger for those securities that are part of the first component, i.e. those that contribute more than 50% of the variation of the system.
Keywords: Fixed Income, Relative Value, Cointegration JEL Classification: G12, G14, G17, C10, C22
¹ This paper is presented as a final research to obtain a master´s degree in economics from the Pontificia Universidad Javeriana.
Tabla de contenido
SECCIÓN 1. ............................................................................................................................ 1
Introducción .......................................................................................................................... 1
Sección 2. ............................................................................................................................. 4
Revisión de la literatura sobre el tema. .............................................................................. 4
b. Artículos Relacionados .................................................................................................. 11
Sección 3 ............................................................................................................................ 16
3.1. Especificación del modelo propuesto: ....................................................................... 16
Debilidades de la metodología anterior ............................................................................ 17
Paso 1). Conocimiento experto y teoría económica: ...................................................... 18
Paso 2). Inspección visual: ................................................................................................ 24
Paso 3).Pruebas Estadísticas (Tests) .............................................................................. 26
Sección 4: Aplicación y Resultados del modelo. ............................................................. 28
Sección 5 Conclusiones. ................................................................................................... 38
Apéndice 1.......................................................................................................................... 39
Revisión del concepto O-U: .............................................................................................. 39
Apéndice 2.......................................................................................................................... 41
Revisión del concepto de Análisis de Componentes Principales (ACP). ...................... 41
Sección 6: Bibliografía. ...................................................................................................... 42
Tabla de Gráficos Inspección Visual
Gráfico 1 Tes 2024 vs Tes 2014……………………………………………………….25
Gráfico 2 Tes 2015 vs Tes 2024……………………………………………………….25
Gráfico 3 Tes 2020 vs Tes 2018………………………………………………………25
Gráfico 4 Distribución por pesos de los componentes………………………………..31
Gráfico 5 Comportamiento de las tasas de interés de los bonos y residuos………..34
Gráfico 6 Comportamiento de las tasas de interés de los bonos y residuos………..35
Gráfico 7 Raíces inversas en círculo unitario………………………………………….37
Tablas
Tabla 1- Bonos de deuda pública de la República de Colombia………………………28
Tabla 2- Matriz de Correlaciones de Tasas de interés de los bonos…………………..29
Tabla 3- ACP distribuido por componentes en orden de importancia………………...29
Tabla 4- Pesos de las variables dentro del componente más importante…………….30
Tabla 5- Resultados de las pruebas de raíz unitaria …………………………………...31
Tabla 6- Resultado de Prueba de Causalidad de Granger…………………………….32
Tabla 7- Resultado de test de cointegración E-G y P-O………………………………..33
Tabla 8-Prueba de Johansen de Causalidad………….……………………………….36
Tabla 9-Relación entre variables en el VEC…………………………………………….36
1
Sección 1.
Introducción
En las áreas de negociación de las entidades financieras colombianas como a
nivel internacional se tienen grupos de personas (negociadores o traders) que
compran y venden diferentes activos con cumplimiento el mismo día, o en otros casos
para mantener dichos activos “en posición” por un período de tiempo t (donde t > 3
días). Estos grupos de personas conforman unidades de negocio con asignación de
presupuestos que por lo general no son nada despreciables. Dentro de estas
unidades de negocio se tienen por ejemplo: negociación de monedas, negociación de
títulos de deuda pública emitida en moneda local (COP), deuda pública emitida en
moneda diferente al COP regularmente en USD, negociación de títulos o bonos
corporativos y negociación de productos derivados como forwards, futuros, opciones y
swaps. Existe igualmente un grupo de persona que conforman la unidad de ALM
(Asset Liability Management) que se encuentran localizados físicamente en la misma
área, pero su filosofía de negociación a pesar de usar los mismos activos financieros
tienen unos objetivos claramente diferentes. Dentro de esta gran variedad de unidades
de negocio se encuentra la negociación de la deuda pública o títulos de deuda pública
TES. Alexander Gibllin y Weddington III (2002) plantean tres tipos de estrategias que
realizan específicamente los fondos de cobertura que bien podrían aplicarse a nuestro
entorno; a saber: Estrategia Direccional, Estrategia de Arbitraje y Estrategia Clásica de
Cobertura.
En la estrategia direccional la idea es que los negociadores de bonos tomen
posiciones largas o cortas en una determinada temporalidad con el fin de vender o
recomprar bonos y generar utilidad. Esta estrategia usualmente es la más común y la
toma de decisión se fundamenta en un alto porcentaje en análisis técnico o en análisis
fundamental.
2
En la estrategia de cobertura clásica, la idea es comprar un bono pero no
venderlo sino mantenerlo y cuando el mercado se encuentre en contra de la posición,
tomar una cobertura con un futuro y neutralizar la posible pérdida (no necesariamente
cuando se encuentre en contra de la posición, la cobertura puede tomarse en el futuro
mucho antes). La idea está orientada a una estrategia llamada de “carry trade” con el
fin de mantener la diferencia entre el costo de tener la posición del bono comprado
contra el rendimiento que este activo produce. Este tipo de estrategia es muy común
pero en mercados donde el desarrollo de los futuros de bonos no es profundo (líquido)
las estrategias serán muy limitadas en la consecución de los objetivos planteados.
La estrategia de arbitraje es aquella que hace referencia a comprar y vender al
mismo tiempo dos activos y generar utilidad con un riesgo menor a las dos estrategias
anteriormente mencionadas. Duarte, Fan y Longstaff (2005) definen las estrategias de
arbitraje más usadas en los mercados internacionales, estas son: El arbitraje del
spread en la curva de permutas financieras swaps, el arbitraje en la curva de tipos de
interés, el arbitraje de las tasas de interés en hipotecas, el arbitraje de volatilidad y el
arbitraje de estructura de capital.
En Colombia, el arbitraje más común de todos los anteriormente expuestos es
el arbitraje en la curva de tipo interés. Según Dubil (2004) dentro de este grupo de
arbitraje se encuentran diferentes estrategias: Una hace referencia a la estrategia de
cupón cero vs cupón del bono (más conocida por sus siglas en inglés como STRIPS),
otra estrategia hace referencia al arbitraje cubierto con duración y por último la
estrategia de spreads entre bonos de deuda pública con diferentes vencimientos.
Todas estas estrategias son conocidas como estrategias de valor relativo y es por
tanto en este punto en donde se desarrolla la presente investigación; específicamente
en la negociación del spread relativo (SR) entre bonos de deuda pública con diferentes
vencimientos.
A pesar de que la mayor fuente de utilidad proviene de estrategias
direccionales, la negociación del valor relativo (spreads) ha venido ganando más
atención en el mercado financiero colombiano en años recientes. Sin embargo y como
se mostrará más adelante, la metodología que usa el mercado actualmente no es la
3
más adecuada y por tanto se presenta otra metodología a consideración, más robusta,
de forma tal que al tomar decisiones de negociación en un spread las probabilidades
de éxito sean mayores a las basadas en el método conocido como “Z score” (puntaje
estandarizado) o también conocido como el método de la distancia.
La metodología propuesta se basa en el modelo de cointegración presentado
por Engle y Granger (1987), aplicado en este caso a los spreads de los bonos de
deuda pública que componen la curva de rendimiento; todo lo anterior basado y
ajustado con la metodología de análisis de componentes principales (ACP),
metodología ésta última, desarrollada de forma clara y concisa en Jolliffe (2002),
Basilevsky (1994) y Duntenman (1989).
La idea entonces es crear una metodología de mínimo riesgo para capturar
desequilibrios generados en la curva de rendimientos a través de spreads. La
metodología es considerada de mínimo riesgo debido a que se trata de negociar el
spread que al momento indicado tenga una oportunidad de arbitraje hacia el mercado
es decir se toma una posición larga (corta) en una referencia contra una posición corta
(larga) neutralizando ambas posiciones y obteniendo solamente el exceso del
desequilibrio (beneficio).
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Sección 2.
Revisión de la literatura sobre el tema.
Se podría decir que existen tres personas a las cuales se les atribuye el
descubrimiento del arbitraje, más comúnmente conocida como el arbitraje estadístico.
Este tipo de modelaje financiero se centró en principio sobre acciones aunque como
veremos en el desarrollo la presente investigación, también se aplica al arbitraje entre
el spread generado por las tasas de interés de bonos con características
homogéneas. Paul Wilmott, Profesor investigador y consultor en el área de las
matemáticas aplicadas a las finanzas en Wilmott (2005) dice haber sido él y su grupo
de investigadores los que entre diciembre de 1979 y enero de 1980 descubrieron el
tema. Sin embargo, dan crédito al área de de investigaciones cuantitativas de Morgan
Stanley en cabeza de Gerry Bamberger quienes descubrieron una versión mejorada
del arbitraje estadístico en el año de 1982.
Ahora, Pole (2007), Vidgamurthy (2004) y Gatev, Goetzman y Rouwenhorst
(2006) dan crédito al mismo Morgan Stanley pero a otro grupo de investigadores
cuantitativos, a cargo de Nunzio Tartaglia por el año de 1985. Dentro de este grupo de
investigadores y otros más que se han unido desde aquella época en adelante a
desarrollar modelos matemáticos y estadísticos de arbitraje, se podría decir que
existen cuatro modelos que son los más conocidos y aplicados en los mercados
financieros, los cuales se describen a continuación:
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a). Modelos. a.1) Método del Spread Estocástico.
Este método escrito por Elliott, Vanderhoek y Malcom (2005), se fundamenta
matemáticamente en un proceso de reversión a la medida mediante la ecuación:
𝑥𝑘+ 1 - 𝑥𝑘 = 𝑎 − 𝑏 . 𝑥𝑘 . 𝜏 + 𝜍 . 𝜏. 휀𝑘+1 (1)
Donde 𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∈ ℝ
휀𝑅 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑖𝑑 𝐺𝑢𝑎𝑢𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑁 0,1
𝜍 ≥ 0
𝑏 > 𝑜
El proceso descrito por la ecuación (1) revierte a la media 𝜇 =𝑎
𝑏 con parámetro de
fuerza de ajuste b.
Podríamos escribir la ecuación (1) como:
𝑥𝑘+1 = 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝑥𝑘 + 𝐶 ∙ 휀𝑘+1 (2)
Con 𝐴 = 𝑎 ∙ 𝜏 ≥ 0
𝐵 = 1 − 𝑏 ∙ 𝜏 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 < 𝐵 < 1
𝐶 = 𝜍 ∙ 𝜏
Adicionalmente:
𝑥𝑘 ≅ 𝑋 𝑘 . 𝜏 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑋 𝑡 |𝑡 ≥ 𝑜
Que satisface la ecuación diferencial estocástica:
𝑑𝑥 𝑡 = 𝑎 − 𝑏. 𝑥 𝑡 . 𝑑𝑡 + 𝜍 ∙ 𝑑𝜔(𝑡) (3)
Donde:
{ω(t)│t≥o} 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝑟𝑜𝑤𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟.
6
La observación del proceso 𝑌𝑘 𝑑𝑒 𝑋𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:
𝑌𝑘 = 𝑋𝑘 + 𝐷. 𝑊𝑘 (4)
Donde
𝑊𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑖. 𝑖. 𝑑 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑁 0,1 𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 휀𝑘 𝑦 𝐷 > 0
Asumimos que: 0 ≤ 𝐶 < 𝐷 para valores pequeños de
y recordemos que 𝐶 = 𝜍. 𝜏
Estableciendo:
𝑌𝑘= 𝜍. 𝑦0, 𝑦1, 𝑦2 …… . . 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑝𝑜𝑑𝑟í𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝑋𝑘 = 𝐸[𝑥𝑘 |𝑦𝑘]
Para poder estimar, necesitamos conocer los valores de A, B, C, D de los datos
observados, es decir que :
𝑌𝑘 = 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑘
Se asume que el spread observado presenta ruido pero tiene un proceso de
reversión a la media 𝑥𝑘
Caso 1
Si 𝑌𝐾 > 𝜒𝑘 | 𝜒𝑘−1 = 𝐸 𝜒𝑘 |𝑦𝑘−1
El spread sería muy significativo y el negociador podría tornar una posición larga en el
spread del negocio y realizar un beneficio (utilidad) cuando ocurra la corrección.
Caso 2
Si 𝑌𝐾 < 𝜒𝑘 | 𝜒𝑘−1
El negociador podría tomar una posición corta en el spread y realizarán un beneficio
(utilidad) cuando ocurra la corrección.
7
a.2) Método Estocástico de Spread Residual.
Este método propuesto por Do, Faff y Hamza (2006) parte del supuesto de que
existe un equilibrio relativo entre la medición de los activos. Al existir un precio
construido por un estado en desequilibrio, éste será cuantificado a través de una
función llamada “función de spread residual”, de la forma 𝐺(𝑅𝑡𝐴 ,𝑅𝑡
𝐵 , 𝑈𝑇) donde U
denota un vector exógeno de información presente en el equilibrio. El término “spreads
residual” hace una referencia al hecho de que la función descrita anteriormente
captura accesos por arriba o por debajo de un spread de largo plazo el cual podría
tomar valores diferentes de cero, dependiendo de la cuantificación del spread. Debido
a las fuerzas del mercado, el valor relativo del spread debería volver (revertirse) a su
estado de equilibrio en el largo plazo.
Sea 𝑋 el estado de tener un precio fuera del equilibrio o un llamado spread
residual, respecto a un nivel determinado de equilibrio. La dinámica del proceso está
gobernada por una ecuación aplicada tomada de Vasicek (1977) que sigue un
proceso de Ornstein Uhlenbeck (ver Anexo1).
𝑑𝑋𝑡 = 𝑘 𝜃 − 𝑋𝑡 .𝑑𝑡 + 𝜍. 𝑑 𝐵𝑡 (5)
El precio fuera de equilibrio es:
𝑌𝑡 = 𝐺𝑡 = 𝑋𝑡 + 𝑊𝒕 (6)
Estas dos ecuaciones constituyen el modelo de espacio-estado del error en el
precio de equilibrio definido con respecto a un equilibro establecido entre los dos
activos. El objetivo central de este método es poder especificar la función residual del
spread G. Para obtener este objetivo uno de los caminos es usar modelos de
estadística multivariada como el modelo de factores que ha sido aplicado con éxito en
la teoría del portafolio APT de S. Ross.
8
a.2.1) Aproximación al Control Estocástico.
Mudchanatongsuk, Primbs y Wong (2008) se basan en el análisis de los dos
métodos anteriores, para encontrar una solución óptima, cerrada utilizando la conocida
ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman. Esta aproximación no se considera un nuevo
método ya que el proceso sigue siendo de orden Ornstein Uhlenbeck (ver Anexo1). La
estructura de aproximación en principio es muy similar a las planteadas en los
métodos a.1 y a.2 veamos:
Si tenemos: M (t) = Activo libre de riesgo, r = Tasa de interés libre de riesgo (en
Compuesto Continuo) entonces:
dM (t) = r. M (t). dt (7)
Si hacemos
A(t) = Activo 1 y B(t) = Activo 2
Donde B(t) sigue un proceso de movimiento browniano geométrico
𝑑𝐵 𝑡 = 𝜇. 𝐵 𝑡 . 𝑑𝑡 + 𝜍. 𝐵 𝑡 . 𝑑𝑍(𝑡) (8)
Donde: μ = 𝑇𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝜍 = 𝑉𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑍 𝑡 = 𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑏𝑟𝑜𝑤𝑛𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟
Ahora: x(t) = spread de dos activos
x(t)= ln𝐴(𝑡) − ln𝐵 𝑡
x(t) sigue siendo un proceso O-U (ver Anexo 1).
dx(t)= k(𝜃 − 𝑋(𝑡)).𝑑𝑡 + ƞ . 𝑑𝑤(𝑡) (9)
Donde 𝑘 𝜃 − 𝑋 𝑡 es la tendencia y representa el cambio instantáneo esperado en
el spread en el momento t.
9
θ = Nivel de equilibrio de largo plazo donde el spread debería revertir.
k = Tasa de reversión (o fuerza) que debe ser positiva para garantizar estabilidad
alrededor del valor de equilibrio.
ƞ = Es el parámetro de desviación estándar y determina la volatilidad del spread
w(t)= Es el movimiento Browniano Estándar donde ρ (Rho) denota el coeficiente de
correlación entre Z(t) y w(t).
Usando el lema de ITŌ obtenemos la dinámica de A(t) así:
𝑑𝐴 𝑡 = 𝜇 + 𝑘 𝜃 − 𝑋 𝑡 + 1
2 . ƞ2 + 𝜌. 𝜍. ƞ . 𝐴 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜍. 𝐴 𝑡 𝑑𝑧 𝑡
+ 𝑛. 𝐴 𝑡 . 𝑑𝑤(𝑡) (10)
Donde Ρ. σ. Ƞ = Covarianza entre el proceso de wiener w(t) y Z(t).
Ahora, se dice que V(t) es el valor de financiamiento (propio) del portafolio y h(t) y ĥ(t)
sean los pesos asignados en el portafolio al activo 1 y al activo 2. Se requiere entonces
que: h(t)= – ĥ(t). Finalmente, observe que el peso del portafolio en el activo libre de
riesgo es 1.
Uniendo lo anteriormente expuesto se dice que la dinámica del valor del beneficio del
portafolio estará dada por la ecuación:
𝑑𝑉 𝑡 = 𝑉 𝑡 (𝑡) .𝑑𝐴(𝑡)
𝐴(𝑡)+ ĥ 𝑡 .
𝑑𝛽 (𝑡)
𝛽(𝑡)+
𝑑𝑀(𝑡)
𝑀(𝑡) } (11)
Finalmente:
𝑑𝑉 𝑡 = 𝑉 𝑡 . 𝑡 . 𝑘 𝜃 − 𝑋 𝑡 .1
2ƞ2 + 𝜌. 𝜍. ƞ + 𝑟 𝑑𝑡 + ƞ. 𝑑𝑤(𝑡) (12)
10
a.3 Método de la Distancia.
Este método propuesto por Gatev, Goetzman y Rouwenhorst (2006), tiene un
componente adicional al proceso de reversión a la media contemplado en los métodos
anteriores. El aporte a resaltar en este método, es que teniendo los activos motivo del
análisis, se miden sus diferencias al cuadrado de forma histórica y cuando las
diferencias (distancias) se separan (alejan) de cierto nivel, se realiza la negociación.
El método contempla algunas técnicas de negociación como por ejemplo el
nivel de entrada en el negocio, el nivel de salida y el nivel del número de desviaciones
en términos de la volatilidad usada. Algunos autores como por ejemplo Martellini,
Priaulet y Priaulet (2003) llaman a este método Z-score o puntaje estandarizado ya
que la distancia es obtenida por medio de las diferencias entre los activos
estandarizados, es decir del rendimiento se resta la media y se divide por la desviación
estándar (de dichos rendimiento).
a.4 Método de la Cointegración.
El método de la cointegración fue propuesto y demostrado de forma general
por Engle y Granger (1987) y planteado con anterioridad en Granger (1981) y Granger
y Weiss (1983). Las ideas a desarrollar en este punto, siguen los planteamientos
expuestos en Montenegro (2007), Asteriou y Hall (2007) y en Vidyamurthy (2004).
De forma concisa, el análisis se basa en una combinación lineal entre dos variables:
𝑋𝑡 𝑒 𝑌𝑡 estimada por una regresión de la forma
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 (13)
Donde
ǔ𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝛽1 − 𝛽2
𝑋𝑡 (14)
11
Siendo ǔ𝒕 los residuos. Ahora, sí ǔ𝒕 ~ I(0), entonces las variables 𝑋𝑡 𝑒 𝑌𝑡 se
dice que estarán cointegradas. Podemos entonces expresar la relación entre 𝑋𝑡 𝑒 𝑌𝑡
utilizando un mecanismo de corrección de error que corrige desviaciones de corto
plazo hacia la relación que nos interesa que es la de largo plazo así:
∆𝑌𝑡 = 𝑎𝑜 + 𝑏1 ∆𝑋𝑡 − 𝜋. 𝑢 𝑡−1 + 𝑌𝑡 (15)
Donde:
𝑏1= Mide el impacto del cambio que Xt tendría en Yt.
𝜋 = Efecto de ajuste que mide cuanto es corregido debido al desequilibrio.
b. Artículos Relacionados
Existen varios artículos a nivel internacional que aplican un análisis de
cointegración a las tasas de interés de deuda pública. Se revisaran cuatro trabajos en
orden de importancia que se consideran de gran aporte a la presente investigación. Se
aclara de antemano que en ninguno de estos trabajos se aplican el 100% de las ideas
(metodologías) aquí propuestas, lo que hace más interesante el aporte de esta
investigación.
b.1 Trabajo de Hall, Anderson y Granger (1992):
Este es uno de los trabajos más importantes sobre cointegración aplicado a la
tasa de interés de tesoros americanos. El problema básico es explicar el porqué las
tasas de interés de diferentes vencimientos parecen moverse en forma coordinada a
través del tiempo. La posible solución al problema de explicar este fenómeno es bien
interesante y nada fácil ya que el comportamiento de las tasas de interés por lo
general no se considera como un proceso estocásticamente estacionario. Sin
embargo diversos trabajos como en Engle y Granger (1987), muestran como sí es
posible trabajar con este tipo de variables. El planteamiento parte de contemplar la
12
estructura de la curva de rendimiento basado en un cálculo de las tasas futuras de
forma recursiva partiendo del concepto propuesto por Fisher, Keynes y Hicks.
Donde:
𝑅 𝑘, 𝑡 = 1
𝑘 .
𝑘∑
𝑗 = 1 𝐹(𝑗, 𝑡) Para k =1,2,3 (16)
Donde: 𝐹(𝑗, 𝑡) son tasas futuras. La relación se asume como:
𝐹 𝑗, 𝑡 = 𝐸𝑡 𝑅 1, 𝑡 + 𝑗 − 1 + ⋀. (j, t) (17)
La primera parte de la ecuación al lado derecho son las expectativas basadas
en información disponible en t. La segunda parte de la ecuación al lado derecho es la
prima de riesgo. Sustituyendo se obtiene:
𝑅 𝑘, 𝑡 = 1
𝑘∙
𝑘∑
𝑗 = 1 𝐸𝑡 𝑅 1, 𝑡 + 𝑗 − 1 + 𝐿 (𝑘, 𝑡 ) (18)
Donde:
𝐿 𝑘, 𝑡 = 1
𝑘 ∙
𝑘∑
𝑗 = 1 ⋀. (j, t) (19)
Como dicen Campbell y Schiller (1988): “Muchas variables económicas
pueden estar cointegradas cuando son correctamente medidas, algunas veces de
forma natural o algunas veces en unidades logarítmicas. Algunos ejemplos muy
usados son el consumo, el ingreso, las tasas de interés y los precios de las acciones
con sus dividendos”.
Sabemos por la ecuación (18) que:
𝑅 (𝑘, 𝑡) = 1
𝑘 ∙
𝑘∑
𝑗 = 1 ∙ 𝐸𝑡 𝑅 1, 𝑡 + 𝑗 − 1 + 𝐿. 𝑘 + 𝑡
13
Reorganizando:
𝑅 𝑘, 𝑡 − 𝑅 1, 𝑡 = 1
𝑘. ∑ ∑ ∙ 𝐸𝑡 ∆𝑅 1, 𝑡 + 𝑗 + 𝐿(𝑘, 𝑡)
𝑗=𝑖𝑗=1
𝑘=1𝑖=1 (20)
Donde:
∆𝑅 𝑘, 𝑠 = 𝑅 𝑘, 𝑠 − 𝑅 (𝑘, 𝑠 − 1); ∆𝑅 1, 𝑡 y 𝐿 𝑘, 𝑡 son estacionarias.
Dadas dichas condiciones, el lado izquierdo de la ecuación es también
estacionario en donde (1, −1)𝑇 es un vector de cointegración para:
𝑋 𝑡 = [𝑅(𝑘, 𝑡),𝑅 (1, 𝑡)]𝑇
Lo cual implica que cada tasa de interés R(k,t) está cointegrada con R(1,t) y
que los spreads entre 𝑅 𝑘, 𝑡 𝑦 𝑅(1, 𝑡) son combinaciones lineales estacionarias de
𝑋 𝑡 que resultan de la cointegración de 𝑋 𝑡 . La modelación de los datos se realiza
bajo la ecuación planteada en Engle y Granger (1987) de la forma:
∆𝑋 𝑡 = −𝛿 𝑆 𝑡 − 1 − 𝜇 + 𝐶 𝐵 ∙ ∆𝑋 𝑡 − 1 + 𝑑 𝐵 휀(𝑡) (21)
Donde 𝑆 𝑡 − 1 − 𝜇 es el término de corrección de error y 𝛿 es una matriz de
coeficientes de ajustes. El resultado de la investigación de este artículo muestra que a
pesar de que las tasas de interés de los bonos de diferentes vencimientos se separan
unas de otras en el corto plazo, se ajustan cuando los spreads entre ellas se desvían
de un umbral de valor de equilibrio 𝜇. Se concluye por lo tanto que es apropiado
modelar la estructura de las tareas de interés de los tesoros americanos como un
sistema cointegrado.
14
b.2. Trabajo de Bradley y Lumpkin (1992).
El documento examina la posible relación temporal de las observaciones de las
tasas de los tesoros americanos analizando siete vencimientos diferentes. El análisis
contempla: tasas de interés a tres meses, un año, tres, cinco, siete, diez y treinta años.
El supuesto aplicado en el documento parte de la hipótesis de las expectativas de la
estructura de tasas de interés.
Se asume entonces que los inversores son neutrales al riesgo del tipo de
interés y consideran que bonos de diferentes vencimientos son sustitutos perfectos. Se
plantea entonces que las tasas de interés de largo plazo son un promedio del
comportamiento de las tasas de interés de corto plazo y del valor de las tasas de
interés de corto plazo a futuro. Si existen diferencias en las tasas de interés de forma
importante, existe la posibilidad de un arbitraje y por lo tanto dicho exceso se
eliminaría. Se usa el proceso (modelo) de dos pasos propuesto por Engle y Granger
(1987) para determinar si las tasas de interés analizadas pertenecen a un sistema
cointegrado.
El resultado es un claro soporte a la idea de que existe un equilibrio en la
estructura de tasas de interés de rendimientos que evita que alguna referencia (de un
bono específico) se desvíe de manera importante de una línea media por un período
de tiempo considerablemente largo.
b.3 Trabajo de Ramaprasad Bhar (1994).
En este estudio se analizan seis bonos del tesoro australiano convencimiento
de trece semanas a quince años. El estudio es una clara extensión del trabajo de
Bradley y Lumpkin (1992) pero aplicado al mercado de bonos del Tesoro Australiano.
La metodología se basa en el modelo de dos pasos de Engle y Granger (1987). El
resultado, es una clara evidencia de que las tasas de interés del tesoro australiano
15
están cointegradas. Intuitivamente se dice que este comportamiento cointegrado
sugiere que los movimientos de las tasas de interés son posibles pero sin desviarse de
forma significativa unas de otras ya que habría posibilidad de arbitrar y generar
utilidades de forma importante.
b.4.Trabajo de Stock y Watson (2006).
En su libro de econometría, Stock y Watson (2006) plantean un ejercicio
interesante para analizar la relación existente entre la tasa de interés del corto plazo
(90 días) del mercado de tesoros americanos y la tasa del bono del tesoro americano
de un año. A pesar de que es un estudio sencillo y con sólo dos bonos se confirma
que aplicando el modelo de cointegración para estos dos activos los análisis arrojados
por las pruebas de raíces unitarias y del modelo en sí, dan crédito para poder afirmar
que el modelaje de las dos tasas de interés mencionadas anteriormente pertenecen a
un sistema cointegrado.
16
Sección 3
3.1. Especificación del modelo propuesto:
3.1.1. Método usado por el mercado para negociar valor relativo (spreads).
La metodología más usada por el mercado colombiano es muy cercana a la
planteada Gater, Goetzman y Rouwenhorst (2006). El cual como se ha visto, es
llamado el método de la distancia. Algunas aplicaciones a tasas de interés utilizando
esta metodología está en Nath (2003), en Martellini, Priaulet y Priaulet (2003) y en
Choudhry (2004). La metodología que se plantea, es tomar las tasas de interés
negociadas por el mercado de los bonos de deuda pública y establecer una
comparación entre dos tasas de interés pertenecientes a dos referencias distintas. De
esta manera se identifica un spread en donde se aplica un análisis estadístico histórico
realizando una estandarización. Lo que se busca es establecer una puntuación o
medición conocida como z-score o puntaje estandarizado, que no es más que la
medida de dispersión alrededor de un valor de análisis, en este caso el valor de
análisis usado es la media del spread.
La fórmula del cálculo es: 𝑁𝑆 =S−μ
α∙ σ
Donde: 𝑁𝑆: 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜
𝑆: 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠
𝜇: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑
𝜍: 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑
𝛼: 𝑒𝑠 𝑒𝑙𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙
𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑
17
Se recuerda que:
𝛼 = ±1 Corresponde a un 68% del área bajo la curva de distribución normal.
𝛼 = ±2 Corresponde a un 95%.
𝛼 = ±3 Corresponde a un 99,7%.
Al aplicar la metodología estadística anterior, se obtiene un nuevo valor
estandarizado (NS) y se comprueba si es un valor significativo planteando una prueba
de hipótesis de la forma:
Ho : NS = N
H1 : NS ≠ N
Donde N = Valor normal si se encuentra dentro de los parámetros del área de la
distribución normal establecidos anteriormente. Los valores usados para α son: 1%,
5% y 10%.
El resultado de la evaluación de la prueba de hipótesis, es aquella donde, si se
rechaza Ho, el valor del spread estaría en una región critica, por lo tanto se debería
negociar el spread.
Debilidades de la metodología anterior
Algunas debilidades que se deben tener en cuenta al momento negociar un
spread bajo este método son:
1. ¿Cuál debería ser el valor de α cuando aplicamos las pruebas estadísticas?
α = +/-1,+/-2,o +/-3?. Recordemos que este es el factor que multiplica el
término σ.
2. No existe un método de medición para determinar la fortaleza de la relación
entre cada uno de los bonos motivo del análisis.
18
3. No se puede determinar cual bono vender y/o cuál bono comprar.
4. En el análisis estadístico se estandariza bajo el supuesto de normalidad, sin
embargo en la práctica, se ha comprobado por diferentes metodologías y por
varios investigadores, que las distribuciones en finanzas son puntudas en la
parte central de la distribución y poseen colas pesadas.
5. En la metodología expuesta se trabaja con las tasas de interés que se obtienen
de la curva de rendimiento directamente, es decir, que no tienen en cuenta el
efecto que genera la reinversión de los intereses pagados por los cupones del
título lo que distorsiona el análisis.
3.1.2. Método propuesto: Negociación de valor relativo aplicando cointegración ajustado por análisis de componentes principales (ACP).
El método propuesto se basa en el método de dos pasos de cointegración
propuesto por Engle y Granger (1987). Adicionalmente se aplica el análisis de
componentes principales (ver Anexo2) para determinar los bonos que más
importancia tienen en el tipo de movimiento de la curva de rendimiento. Para mostrar
el desarrollo de las ideas se seguirá el planteamiento de Stock y Watson (2006).
Los autores Stock y Watson (2006) plantean que para determinar si dos
variables son cointegradas debemos seguir tres pasos que son: 1) Uso del
conocimiento experto y teoría económica, 2) Inspección visual de las series de análisis
y 3) Pruebas (tests) estadísticos que soportan o rechazan el análisis anterior.
Aplicando el anterior procedimiento se expondrán las ideas así:
Paso 1). Conocimiento experto y teoría económica:
Durante varios años se ha tenido experiencia por parte del autor de la presente
investigación en la negociación de diferentes activos financieros para tesorerías
pertenecientes a bancos nacionales como internacionales. En el área de tasas de
interés, las posiciones direccionales son las más comunes, sin embargo las
19
negociaciones de valor relativo (spreads) cada vez son más atractivas, pero el análisis
para la toma de decisiones se fundamenta en el método visto anteriormente, el cual es
el de mayor uso y sencillez para los negociadores del mercado. Uno de los grandes
problemas al cual se enfrentan los negociadores, es el hecho de que se negocia el
valor relativo (spread) y pasado un tiempo prudencial (t), este spread no se cierra (es
decir no converge) sino que se amplía cada vez mas hasta llegar al punto de alcanzar
el nivel de pérdida máxima permitida (stop loss) por las área de riesgo de las entidades
financieras. Debido a lo anterior se procede a cerrar la posición obteniendo una
pérdida importante en el libro de negociación de la entidad respectiva.
La experiencia muestra que la negociación se realiza sin tener muy claro si el
nivel de entrada en el valor relativo (spread) es el adecuado, si los dos bonos motivo
de la negociación tienen una relación estadísticamente importante o si por el contrario
la liquidez de un bono afecta la negociación de otro y por lo tanto el valor relativo
(spread) no se ajustará rápidamente. Sin embargo, detrás de estas prácticas de
mercado existe realmente una teoría económica que se fundamenta en la hipótesis de
expectativas que se popularizó por los escritos de Fisher (1930), Keynes (1930) y
Hicks (1953).
Para aplicar esta teoría y comprobar que realmente está vigente, se usaron los
documentos de Marín y Rubio (2001), Campbell, Lo y MacKinlay (1997) y Cox
Ingersoll y Ross (1981).
La hipótesis pura de expectativas de forma sencilla, manifiesta que los bonos
se valoran de tal forma que las tasas de interés de corto plazo deben ser iguales a las
expectativas de las tasas de interés futuras (o futuras implícitas) por tanto podemos
establecer la siguiente relación:
1 + 𝑟𝑛 𝑛 = 1 + 𝑟𝑓1
0 ∙ 1 + 𝑟𝑓21 … 1 + 𝑟𝑓𝑛
𝑛−1 (22)
20
Donde r es la tasa de interés cupón cero. Por tanto esta curva de cupón cero, es una
media geométrica de las tasas futuras implícitas 𝑟𝑓 . Por consiguiente:
(1 + 𝑟𝑓𝑛𝑛−1)^(𝑛− 𝑛−1 ) =
1+𝑟𝑛 𝑛
1+ 𝑟𝑛−1 𝑛−1 (23)
Es decir: 1 + 𝑟𝑛 𝑛
1 + 𝑟𝑛−1 𝑛−1
(1 + 𝑟𝑓𝑛𝑛−1)^(𝑛− 𝑛−1 )
Si usamos un determinado período de tiempo en las ecuaciones (22) o (23)
diremos que:
La tasa de interés esperada de un bono que vence en t=2 deberá ser igual a la tasa de
interés que con certeza tiene el bono que vence en t=1
1 = 𝐸 𝑃𝑏21 (24)
Donde Pb= precio del bono.
𝑃𝑏21 = Precio del bono al final del t = 1 hasta el final del t = 2.
En valor presente:
1
𝑃𝑏1=
𝐸 𝑃𝑏21
𝑃𝑏2 (25)
𝑃𝑏1 = precio del bono para el período t =1 desde hoy (t = 0).
Ahora la tasa de interés obtenida al invertir en un bono a un año (t = 1)
volviendo a reinvertir el flujo de caja total obtenido al final de dicho período, en otro
bono, con vencimiento de un año, deberá ser igual a la tasa de interés garantiza de
una inversión en un bono a dos años.
1
𝑃𝑏2=
1
𝑃𝑏1∙ 𝐸
1
𝑃𝑏21 (26)
21
Sin embargo las ecuaciones (25) y (26) deberían ser iguales de la forma:
1
𝑃𝑏1 = 𝐸
𝑃𝑏21
𝑃𝑏2 y
1
𝑃𝑏2 =
1
𝑃𝑏1∙ 𝐸
1
𝑃𝑏21
Reemplazando
1
𝑃𝑏2 =
𝐸 𝑃𝑏21
𝑃𝑏2 ∙ 𝐸 [
1
𝑃𝑏21]
Finalmente, reorganizando y cancelando algunos términos obtenemos:
𝐸 1
𝑃𝑏21 =
1
𝐸 𝑃𝑏21
(27)
Aplicando el teorema de Jensen obtenemos como conclusión que esta
igualdad no se satisface, a menos que el 𝑃𝑏21
sea determinístico, lo cual no tendría
sentido en un funcionamiento de libre mercado. Por lo anterior, la hipótesis pura de
expectativas da paso a un análisis más ajustado al mercado llamado simplemente
hipótesis de expectativas, que a diferencia de lo planteado anteriormente, donde los
excesos de rendimiento (desviaciones de las tasas futuras implícitas) debería ser cero,
la nueva hipótesis permite excesos de rendimientos pero siempre y cuando estos
sean constantes. Diremos entonces que la hipótesis de expectativas es un análisis
más general que la hipótesis pura de expectativas, permitiendo diferencias en las
tasas de interés futuras implícitas, siendo estas constantes pero que dependan del
vencimiento de los bonos. Generalmente estas diferencias existentes se conocen con
el nombre de prima de riesgo.
No es motivo de la presente investigación analizar quienes están a favor o en
contra de tales postulados los cuales como es bien conocido, son muchos los
investigadores y académicos de una lado como del otro. Incluso, otras teorías han
22
salido de la academia al mercado, buscando otra alternativa de solución. Lo más
importante de las anteriores hipótesis que se plantean, es poder identificar la
introducción implícita que se hace al concepto de equilibrio. Para el desarrollo de esta
idea se seguirá el planteamiento de Barnerjee, Dolado, Galbraith y Hendry (2003) en
donde se define un estado de equilibrio como: “Aquel que no tiene tendencia a
cambiar”.
Generalmente se considera a las finanzas como una disciplina que presenta
una forma de equilibro estable. Es decir que cuando se tiene un equilibrio inestable,
éste no durará mucho tiempo debido a la generación de choques estocásticos de la
economía. Por tanto, el concepto de equilibrio podríamos decir que son estados a los
cuales un sistema es atraído. La descripción del sistema sería a través de la
expresión:
𝑓 𝑋1, 𝑋2,𝑋3, …𝑋𝑛 = 0.
Si consideramos 𝑛 variables descritas en la función como 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3,… 𝑋𝑛
cuando exista una relación entre ellas y se mantenga, diremos entonces que el
sistema está en equilibrio. Sin embargo la relación entre dichas variables algunas
veces no pueden ser armónicas en el corto plazo, lo que generaría una desviación,
pero lo importante es que en el largo plazo existirá una relación más fuerte que hará
que el sistema converja a través del tiempo. Esto nos introduce a que en el largo
plazo, las variables descritas en el sistema deberán tener un movimiento
correlacionado los cuales serán especificadas por cada sistema. Esta idea se podría
representar como
𝑋1 = 𝛽𝑋2
De esta forma denotamos una relación lineal de largo plazo entre 𝑋1 y 𝑋2.
Teniendo el concepto de equilibrio expuesto por Barnerjee, Dolado, Galbraith y Hendry
(2003) más claro, aplicaremos ahora las ideas expuestas por Black (1985) sobre el
23
equilibrio, ruido e información pero ya en el entorno de los mercados financieros
motivo de esta investigación. Ante la pregunta ¿Por qué si el valor relativo (spread)
entre dos bonos se desvía de un valor de equilibrio (o umbral) los negociadores siguen
operando sin darse cuenta?. Sin embargo, pasado cierto tiempo, se comienza a
revertir la tendencia hacia la media del equilibrio. Para dar respuesta aplicamos
entonces la relación expuesta por Black (1985):
𝑃 𝑡 = 𝐼𝑡 + 𝑁𝑡 (28)
Donde:
P(t) = Precio del Bono
𝐼𝑡 = Información
𝑁𝑡= Ruido
El mercado de los activos financieros será más líquido a medida que aumenten
las estrategias de negociación, estas estrategias se basan en la información 𝐼𝑡 y en el
ruido 𝑁𝑡 . Existen variedad de grupos de inversores que usan una estrategia o la otra,
sin embargo, para los que negocian basados en información 𝐼𝑡 la velocidad de llegar
al precio por medio de un “shock” es tal que la mayoría de veces este grupo de
negociadores termina usando la estrategias del ruido 𝑁𝑡 , es decir que tanto los que
negocian en la estrategia del ruido 𝑁𝑡 , como los que usan la estrategia de información
𝐼𝑡 , al final terminan haciendo que el impacto en el precio P(t) sea mayor ocasionado
por el mismo ruido 𝑁𝑡 que por la misma información 𝐼𝑡 .
El negociar con una estrategia basada en el ruido 𝑁𝑡 es usar opiniones,
sentimientos, herramientas diversas de análisis que “suponen” un comportamiento
determinado del activo. Por otra parte, el negociar con una estrategia basada en
información 𝐼𝑡 es aplicar análisis basado en información que ha sido publicada.
Cuando 𝑵𝒕 > 𝑰𝒕 => 𝑷(𝒕) se aleja del equilibrio, esto hace que el P(t) sea imperfecto
y por tanto se debería corregir por parte de agentes del mercado que tengan
conocimiento y por consiguiente 𝑵𝒕 > 𝑰𝒕 => 𝑷(𝒕) volverá a su estado de equilibrio
de largo plazo. Es importante hacer claridad de que si no existieran las estrategias de
24
los inversores basadas en el ruido 𝑁𝑡 no habría una negociación significativa en los
activos financieros. Merton (1971) desarrolla todo una serie de reglas en un modelo en
tiempo continuo, donde muestra que en el largo plazo los precios (o valor relativo)
deben converger a un nivel de equilibrio cuando estos se desvían de manera
importante.
Paso 2). Inspección visual:
En este apartado se presenta, como su nombre lo indica, una representación
gráfica del comportamiento del valor relativo (spread) de diferentes pares de bonos de
deuda pública de Colombia. La idea es poder observar una estructura de
convergencia, o de reversión a la media en un horizonte de largo plazo. Por medio de
la inspección visual, se obtienen las primeras conclusiones sobre la relación del valor
relativo entre activos del análisis, aunque no tiene soporte estadístico, es un
metodología que ha sido usada por los investigadores con buenos resultados
prácticos.
25
Gráfico 1 TES 2024 vs TES 2014
Gráfico 2 TES 2015 vs TES 2014
Gráfico 3 TES 2020 vs TES 2018
26
Paso 3). Pruebas Estadísticas (Tests)
Las pruebas comúnmente usadas son aquellas que hacen referencia al
planteamiento de una hipótesis. Es decir que la hipótesis de raíz unitaria se acepta o
no se acepta (se rechaza) en la serie de datos de análisis. Se plantea de forma
general y siguiendo a Patterson (2011) que:
𝐻𝑜 : 𝜌 = 1
𝐻𝑎 : 𝜌 < 1
¿Pero qué podríamos decir del significado de raíz unitaria?
Si consideramos un modelo AR(1) y siguiendo a Asteriou y Hall (2007) y a Pfaff
(2008).
𝑌𝑡 = 𝜌 𝑌𝑡−1 + 휀𝑡 (29)
Podemos tener tres posibles casos:
𝑖 𝜌 < 1 La serie es estacionaria
𝑖𝑖 𝜌 > 1 𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑜𝑡𝑎
𝑖𝑖𝑖 𝑃 = 1 𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑧 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎
El interés de las pruebas se ubica en la alternativa 𝑖𝑖𝑖 donde:
𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + 휀𝑡 Siendo 𝜌 = 1
Donde
휀𝑡 𝑁 𝑖. 𝑖. 𝑑 (0, 𝜍2)
Ahora sí:
𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝑌𝑡−1 − 𝑌𝑡−1 휀𝑡 (30)
27
∆𝑌𝑡 = 휀𝑡 y como 휀𝑡 es ruido blanco, entonces:
∆𝑌𝑡 es una serie estacionaria.
Por lo tanto las pruebas de raíz unitaria más usadas y que se aplican en la presente
investigación son:
Prueba de Dickey Fuller Aumentado (ADF): (1979) y Dickey y Fuller (1981).
Prueba de Phillips y Perrón (PP): Presentado en el artículo de Elliot,
Nothemberg y Stock (1996).
Prueba de KPSS, Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin, 1992:
28
Sección 4
Aplicación y Resultados del modelo.
Se ha realizado la aplicación de todo lo expuesto en la presente investigación al
mercado de tasas de interés de los bonos de deuda pública interna de la república de
Colombia. Para desarrollar y obtener los resultados deseados se ha usado
programación de algoritmos en MatLAb®, Eviews®, Stata® y XLStat® con el objetivo
de comparar resultados entre programas y a su vez utilizar algunas subrutinas que son
más eficientes entre dichos programas. Los bonos que se han tenido en cuenta se
presentan a continuación en la Tabla 1.
Titulo Fecha Emisión Fecha Vencimiento
COLTES 6 Abril/13 17-Abr-09 17-Abr-13
COLTES 9.25 Mayo/14 14-May-08 14-May-14
COLTES 8 Octubre/15 28-Oct-05 28-Oct-15
COLTES 7.25 Junio/16 15-Jun-09 15-Jun-16
COLTES 11.25 Octubre/18 24-Oct-07 24-Oct-18
COLTES 11 Julio/20 24-Jul-05 24-Jul-20
COLTES 10 Julio/24 24-Jul-08 24-Jul-24
Tabla 1- Bonos de deuda pública de la República de Colombia
De la anterior canasta de bonos homogéneos, es decir mismo riesgo de crédito
y mismas características, se determina cuales son los bonos que poseen una mayor
relación entre sí en términos de su variabilidad y de esta forma se estructura el
análisis. Para esto se aplica inicialmente la técnica de ACP (Análisis de Componentes
Principales) desarrollada por Hotelling obteniendo los siguientes resultados
presentados en la Tabla 2:
29
Matriz de Correlaciones (Triangular Inferior)
1.0000
0.4568 1.0000
0.7680 0.4288 1.0000
0.3493 0.3564 0.4191 1.0000
0.6581 0.2923 0.6341 0.3629 1
0.7280 0.3328 0.7591 0.4770 0.7717 1
Tabla 2- Matriz de Correlaciones de tasas de interés de los bonos de deuda
pública
El análisis de ACP se comienza con la matriz de correlaciones Tabla 2 (sin
embargo algunos autores manifiestan que también es posible hacer el análisis usando
matriz de varianza-covarianza) usando para esto la diferencia de los precios de los
bonos y luego estacionalizando los datos. Al aplicar el proceso estadístico se obtiene
los valores propios por componente, el porcentaje de varianza capturado por cada
componente en orden de importancia y su acumulado como se muestra en la Tabla 3.
Valores
Propios CP1 CP2 PC3 PC4 PC5 PC6
EigenValue 3.686 0.850 0.687 0.368 0.229 0.180
% Variance 61.426 14.171 11.449 6.141 3.815 2.998
Cumulative % 61.426 75.597 87.046 93.187 97.002 100.000
Tabla 3- ACP distribuido por componente en orden de importancia.
30
Teniendo los resultados de los componentes se determinan los más importantes
como son: El Componente Principal 1 (CP1), el CP2 y el CP3 capturando más del
87% de la variación total del sistema. A continuación se determina que el componente
más importante para el análisis que será aquel que capture más del 50% de
explicación de la variación del sistema. Para esto se observa que el CP1 es el más
interesante e importante y en el cual centramos el análisis. Dentro del CP1 analizamos
la importancia de cada una de las variables que lo componen y obtenemos los pesos
que cada variable tiene en el CP1 como se muestra en la Tabla 4
Pesos dentro CP1
Var1 (Tes14) 0.4531
Var2 (Tes15) 0.2958
Var3 (Tes 16) 0.4582
Var4 (Tes 18) 0.3104
Var5 (Tes20) 0.4276
Var6 (Tes24) 0.4670
Tabla 4- Pesos de las variables dentro del componente más importante.
Con la anterior Tabla 4, se logra obtener el primer objetivo que es reducir la
dimensión del análisis, a unas pocas variables siendo las resultantes de un proceso de
identificación en orden de importancia. Por lo tanto la estructura del análisis se centrará
en las Variables 1, 3, 5 y 6 del CP1. Dichas variables de análisis corresponden a los
bonos TES con vencimientos TES14 (1), TES16 (3), TES20 (5), y TES24 (6). En la
Gráfica 4 se observa donde estará centrado el análisis.
31
Gráfica 4- Distribución por pesos de los componentes.
Luego de obtener los resultados anteriores se aplica las técnicas econométricas
descritas en la investigación. A cada una de las variables que se han definido como
variables objetivo del análisis (del punto anterior) se realizan las respectivas pruebas
de raíz unitaria. Los métodos de pruebas son ADF, PP y KPSS (Dickey Fuller
Aumentado, Phillips Perron y Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin) en la Tabla 5
muestra los resultados.
Tabla 5- Resultados de Pruebas de Raíz Unitaria.
1 2 3 4 50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Principal Component
Var
ianc
e E
xpla
ined
(%)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Variables
Pruebas t-est Prob t-est Prob t-est Prob t-est Prob
Dickey-Fuller Aumentado- A nivel -1.23 0.66 -0.59 0.87 -0.92 0.78 -0.72 0.84
Dickey-Fuller Aumentado-1ra. Diferencia -15.61 0.00 -16.78 0.00 -15.09 0.00 -17.61 0.00
Phillips-Perron-A nivel -1.00 0.75 -0.62 0.86 -0.62 0.86 -0.66 0.85
Phillips-Perron-1ra. Diferencia -15.55 0.00 -16.77 0.00 -14.94 0.00 -17.62 0.00
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin-A nivel 1.26 0.463(5%) 1.47 0.463(5%) 1.48 0.463(5%) 1.68 0.463(5%)
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin-1ra.Diferencia 0.12 0.463(5%) 0.15 0.463(5%) 0.17 0.463(5%) 0.11 0.463(5%)
Bono 14 Bono 16 Bono 20 Bono 24
32
Los resultados de las pruebas en niveles muestran que las variables de análisis
tienen raíz unitaria y que al realizar primera diferencia se rechaza la hipótesis nula de
raíz unitaria obteniendo un orden de integración de I(1) es decir la serie es
estacionaria. Teniendo las pruebas de raíz unitaria y antes de aplicar el análisis de
cointegración mediante el modelo de E-G (Engle - Granger) se aplica una herramienta
para determinar dentro del grupo de variables de análisis, la causalidad entre ellas.
Este ha sido una de las varías críticas que ha tenido el método de E-G en el cual no se
identifica en la ecuación qué papel juegan las variables de análisis, es decir cuál es la
variable endógena y cuál es la exógena. En la Tabla 6 obtenemos el resultado de la
causalidad de Granger.
Tabla 6- Resultado de Prueba de Causalidad de Granger.
Con el resultado anterior se desarrolla entonces el método de E-G. La idea es
realizar un test al comportamiento de los residuos de la regresión. Si los estadísticos
salen significativos entonces se dice que se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria y
los residuos serian estacionarios.
En la Tabla 7 se observa el resultado de la prueba ADF que es la planteada en el
método de E-G.
Prueba de Causalidad de Granger F-Est Prob. Ho H1
T20 NO Granger Cause T14 4.36509 0.0135 Rechazo Acepto
T14 NO GC T20 0.87918 0.4162 Acepto Rechazo
T14 NO GC T24 2.85744 0.059 Rechazo Acepto
T24 NO GC T14 1.34531 0.262 Acepto Rechazo
T24 NO GC T16 1.08222 0.3401 Acepto Rechazo
T16 NO GC T24 1.30214 0.2735 Acepto Rechazo
T20 NO GC T24 12.1051 9.00E-06 Rechazo Acepto
T24 NO GC T20 3.04685 0.049 Rechazo Acepto
T20 NO GC T16 11.1499 2.00E-05 Rechazo Acepto
T16 NO GC T20 3.329 0.0372 Rechazo Acepto
T16 NO GC T14 4.09177 0.0176 Rechazo Acepto
T14 NO GC T16 9.96777 6.00E-05 Rechazo Acepto
33
Tabla 7- Resultado de los Test de Cointegración por medio de E-G y P-O
En todos los casos los resultados son significativos lo cual muestra que si existe
cointegración entre las variables de análisis. Para evaluar el resultado de la prueba de
ADF, no se usan las tablas comunes de raíz unitaria sino que se usa las tablas de
propuestas por Mackinnon para este tipo de casos. Adicional al método anterior y
utilizando la misma Tabla 7 se realiza el método de cointegración alterno de Phillips-
Ouliaris (P-O). Este método en su estructura es muy similar al de E-G con la diferencia
que se aplica el test de Phillips-Perron (PP) de raíz unitaria. Los resultados también
están en línea con los de E-G. Como resultado entonces se concluye que el análisis
de las variables muestra cointegración y por tanto es adecuado realizar, si las
oportunidades de mercado se dan, negociaciones de valor relativo entre las variables.
En las Gráficas 5 y 6 se aprecia el comportamiento del logaritmo natural del precio de
las variables de análisis a través del tiempo. Algunos investigadores trabajan las
variables de análisis en niveles o con el logaritmo de los precio. Para el presente
análisis se trabaja en niveles para algunos modelos, sin embargo lo más importante
del resultado de los análisis es el resultado arrojado en el comportamiento de los
residuos, los cuales deben ser ruido blanco.
Test de Cointegracion 14-16 14-20 14-24 16-20 20-24
Resultados Test en Residuos t-Est t-Est t-Est t-Est t-Est
Modelo E_G (ADF) -20.2739 -18.91532 -17.76724 -22.21935 -21.72383
Modelo P-O (PP) -20.46985 -18.91925 -17.77904 -22.22943 -22.40211
34
Gráfica 5 – Comportamiento de las tasas de los bonos y los residuos
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
TES16 TES14 RESID14_16
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
5
6
7
8
9
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
RESID14_20 TES14 TES20
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
.20
5
6
7
8
9
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
RESID_1424 TES14 TES24
35
Gráfica 6 – Comportamiento de las tasas de los bonos y los residuos
En los años recientes y debido a las limitaciones en el análisis del modelo de dos
pasos de E-G en cuanto al número de variables que se incluyen en la ecuación, el
método de prueba de cointegración de Johansen ha ganado gran popularidad, este
método está basado en gran parte en el método VAR desarrollado por Sims. A pesar
de que para dos variables el método de E-G es muy usado en la práctica, rápido y
funciona de forma adecuada, a manera de alternativa en la presente aplicación se
desarrolla el método de Johansen obteniendo los siguientes resultados. Se obtiene la
prueba de causalidad vía Johansen. Los resultado de las prueba de hipótesis se
observan a continuación en la Tabla 8.
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
TES20 TES16 RESID16_20
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
TES24 TES20 RESID20_24
36
Tabla 8- Prueba de Johansen de causalidad
De los anteriores resultados se observa que dentro de las variables de
análisis más importantes del CP1, se identifican la causalidad entre cada una
de las variables y en que vía se da esta relación. Este análisis arroja
resultados similares a los obtenidos por el método de Granger para algunos
pares de combinaciones de variables. De igual forma en el análisis de
cointegración se obtienen los vectores autorregresivos de corrección de error
VEC, este resultado se comprueba analizando los coeficientes de las
ecuaciones generadas en cada combinación de variables y rechazando o no
rechazando la hipótesis nula al 5%. En la Tabla 9 se muestran los resultados.
TABLA 9- Relación entre variables en el VEC
Pruebas de Causalidad por VAR Prob Resultado
Tes 14 vs Tes 16 0.0167 Se rechaza Ho
Tes 16 vs Tes 14 0.0000 Se rechaza Ho
Tes 14 vs Tes 20 0.1270 NO Se rechaza Ho
Tes 20 vs Tes 14 0.4151 NO Se rechaza Ho
Tes 14 vs Tes 24 0.2605 NO Se rechaza Ho
Tes 24 vs Tes 14 0.0574 Se rechaza Ho
Tes 16 vs Tes 20 0.0000 Se rechaza Ho
Tes 20 vs Tes 16 0.0359 Se rechaza Ho
Tes 20 vs Tes 24 0.0928 NO Se rechaza Ho
Tes 24 vs Tes 20 0.0000 Se rechaza Ho
VEC- Relacion entre variables Vlr Coef. Prob. Resultado Ho
Tes 14 vs Tes 16 -0.0923 0.0032 Rechazo
Tes 14 vs Tes 24 -0.0368 0.0526 Rechazo
Tes 16 vs Tes 20 -0.0425 0.0336 Rechazo
Tes 20 vs Tes 24 -0.0597 0.0224 Rechazo
37
Finalmente para comprobar la estabilidad dinámica del modelo se
obtiene el inverso de las raíces del polinomio característico AR las cuales se
encuentran dentro del círculo unitario, como se observa en la Grafica 7.
Tes14-Tes16 Tes14-Tes20
Tes14-Tes 24 Tes16-20
Grafica 7- Raíces Inversas en círculo unitario
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial
38
Sección 5
Conclusiones.
Se ha utilizado el procedimiento estadístico multivariado de Análisis de
Componentes Principales (ACP) para reducir la dimensionalidad del grupo de
variables que componen la curva de rendimiento de bonos de deuda pública de la
república de Colombia. De esta forma se concentra el análisis en las variables que
tengan una mayor relación en términos de variabilidad. Luego se ha planteado un
análisis econométrico de las variables que capturan dicha mayor variabilidad del
sistema, es decir las variables que están en el componente CP1 mayor a 50%. Las
pruebas de raíz unitaria se realizan y luego se aplica los métodos de cointegración
Engle-Granger (E-G) y Phillips-Ouliaris (P-O). Como estructura base y mucho antes
de los aportes de E-G se observa como las variables poseen un comportamiento de
reversión a la media que a su vez aplicando la ecuación diferencial parcial de Ornstein
y Uhlenbeck (O-U) presentada en los años 30, genera un mayor sentido matemático,
estadístico y econométrico a dichos métodos de cointegración. Para definir las
variables dependientes se aplica la causalidad de Granger y se estructura el análisis
de cointegración basado en dichos criterios. Por último se plantea un análisis adicional
utilizando la metodología de Johansen obteniendo resultados acordes con los
obtenidos por E-G y P-O. Es decir que se observa causalidad entre las variables y
cointegración. Por lo tanto, las negociaciones de valor relativo deben realizarse
teniendo en cuenta las variables resultantes del presente estudio y no usando
cualquier par de variables (bonos). Cuando el comportamiento del spread entre las
variables de análisis se desvíe de su media, se podrá establecer una estrategia de
compra-venta y esperar su corrección a su tendencia de largo plazo. El porcentaje de
éxito en las estrategias establecidas de esta forma será mayor debido a la estructura
de relación de las variables.
39
Apéndice 1.
Revisión del concepto O-U:
La mayoría de modelos expuestos en este trabajo, supone un proceso llamado
de Ornstein - Uhlenbeck (O-U). Esta es un modelo matemático famoso y conocido a
partir del año 1930 cuando se pública el artículo “en la teoría del movimiento
Browniano” por los físicos L.S. Ornstein y G.E Uhlenbeck.
Steele (2001) plantea que el razonamiento del proceso O-U es “aquel proceso en
donde una molécula individual podría acelerarse hacia arriba o hacia abajo, pero
siendo consistente con la velocidad promedio que generan las diferentes trayectorias
dadas por las moléculas, la diferencia entre dicha velocidad de la partícula individual y
la media de las trayectorias debe mostrar una reversión hacia cero”. Wiserma (2008)
se atreve a plantear que es tal vez la ecuación diferencial estocástica más recordada
sea esta de la forma:
𝑑𝑋 𝑡 = −λ X 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜍. 𝑑𝐵(𝑡) (31)
Con λ y 𝜍 constantes y positivas.
Donde −𝜆𝑋 𝑡 recibe el nombre de componente de tendencia y 𝜍. 𝑑𝐵(𝑡)
componente de difusión del proceso. Esta ecuación fue la postulada por Ornstein
Uhlenbeck y podemos obtener su derivación en Mikosh (2000). Existen muchos
campos de aplicación del proceso O-U. En finanzas el proceso O-U fue aplicado con
bastante éxito por Vasicek (1977) para modelar el comportamiento de las tasas de
interés. En el artículo original de Vasicek (1977) éste muestra cómo la tasa instantánea
de interés sigue un proceso de O-U de la siguiente forma:
𝑑𝑟 = 𝛼 𝛾 − 𝑟 . 𝑑𝑡 + 𝜌. 𝑑𝑧 (32)
40
Donde 𝛼(𝛾 − 𝑟) es la tendencia instantánea y representa la fuerza que ayuda
al proceso a mantenerse (o a regresar) a la medida del proceso largo plazo (𝛾). La
parte estocástica la cual posee una varianza instantánea constante ρ2 causa que el
proceso fluctúe alrededor del nivel ya explicado (𝛾) de forma errática pero continua.
Cox, Ingersoll y Ross (1985) proponen una solución más robusta al modelo
para evitar problemas con posibles tasas de interés negativas de la forma:
𝑑𝑟 𝑡 = 𝑘 𝜃 − 𝑟 𝑡 𝑑𝑡 + 𝛿. 𝑟 𝑡 𝑑𝑤(𝑡) (33)
41
Apéndice 2.
Revisión del concepto de Análisis de Componentes Principales (ACP).
Dentro el modelo propuesto de negociación de valor relativo (spreads) el
análisis de componentes principales (ACP) será una herramienta de ajuste muy
importante en la toma de decisiones. Existe gran cantidad de bibliografía sobre el
ACP, alguna bibliografía muy representativa ha sido usada y desarrollada en el
presente trabajo como es el caso de Basilerevsky (1994) para todo el tema de la
explicación de algo más de 20 teoremas que cuidadosamente expone dicho autor.
Jolliffe (2002) es otra gran referencia sobre todo en el tema de ACP a series de
tiempo. Otra referencias interesantes adicionales por su aplicación matemática son
Härdle y Simar (2007), Timm (2002), Raycov y Marcoulides (2008). Gran cantidad de
documentos técnicos también se han escrito sobre el uso del ACP para tasas de
interés a partir del trabajo realizado por Litterman y Sheinkman (1991), algunos de los
cuales se revisaron como Bliss (1997), Soto (2004), Alexander (2003), Alexander
(2008) y James y Webber (2000).
El propósito final del ACP es reducir la dimensionalidad del un grupo de
variables de análisis teniendo en cuenta las variaciones que estas (variables) poseen
originalmente. Este propósito se logra transformándolas en un nuevo grupo de
variables que llamaremos componentes principales. Estos componentes, serán en su
definición más sencilla, que resultan de combinaciones lineales de las variables
originales, las cuales no estarán correlacionadas pero sí ordenadas tal como lo
presenta Everitt y Hothorn (2011). Para realizar el proceso anterior debemos
comenzar por diagonalizar la matriz de correlación (o de varianza y covarianzas). La
cual proporciona la asociación entre vectores y valores propios. Para realizar la
respectiva diagonalización, la matriz deberá cumplir ciertas propiedades como ser
simétrica, no singular y positiva semi-definida. Esta matriz se pre multiplicará y post
multiplicará por una matriz orto normal. Los elementos obtenidos en la diagonal son
llamados valores propios destacados por λ (lambda) o también reciben el nombre de
raíces características.
42
Sección 6
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